A student says that if the decimal expansion of a number is non-terminating and non-repeating, then the number is irrational. What is the correct analysis of this statement?एक विद्यार्थी कहता है कि यदि किसी संख्या का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है, तो वह संख्या अपरिमेय होती है। इस कथन का सही विश्लेषण क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: The statement is true; every irrational number has a non-terminating, non-repeating decimal expansion.कथन सत्य है; प्रत्येक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है।
The statement is true. A rational number has either a terminating decimal expansion or a non-terminating recurring decimal expansion. Therefore, a decimal that is non-terminating and non-repeating represents an irrational number, for example \(\sqrt{2}=1.414213\ldots\). Option D is wrong because \(1/3=0.333\ldots\) is non-terminating but rational, since it repeats. Exam tip: For decimal-expansion questions, always check whether the digits repeat.कथन सत्य है। किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है, या अनंत आवर्ती होता है। इसलिए यदि दशमलव प्रसार अनंत तथा अनावर्ती है, तो संख्या अपरिमेय होगी; जैसे \(\sqrt{2}=1.414213\ldots\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(1/3=0.333\ldots\) अनंत है, पर आवर्ती होने के कारण परिमेय है। परीक्षा टिप: ‘अनंत’ के साथ ‘आवर्ती’ या ‘अनावर्ती’ शब्द अवश्य जाँचें।
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