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All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Reverse pairs among (1,2,3) are complete, and (4) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
Transitivity holds inside each connected group, so it is an equivalence relation. चरण 1: सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। चरण 2: (1,2,3) के बीच उल्टे युग्म भी पूरे हैं और (4) केवल स्वयं से संबंधित है। चरण 3: प्रत्येक जुड़े समूह के भीतर संक्रमणीयता पूरी है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
(1,2,3) are mutually connected, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(4) is connected only to itself through ((4,4)), so it forms a separate class.
Step 3
Exam Tip
While finding equivalence classes, group mutually related elements together. चरण 1: (1,2,3) आपस में सभी दिशाओं में जुड़े हैं, इसलिए वे एक वर्ग बनाते हैं। चरण 2: (4) केवल ((4,4)) से स्वयं से जुड़ा है, इसलिए उसका अलग वर्ग है। चरण 3: तुल्यता वर्ग बनाते समय जुड़े अवयवों को एक समूह में रखें।
A. यह आंशिक क्रम संबंध है/It is a partial order relation
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
No reverse pair for unequal elements occurs, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), so it is a partial order relation. चरण 1: सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: किसी असमान युग्म का उल्टा साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है।
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है/Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
A partial order must be transitive.
Step 2
Why this answer is correct
Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, ((1,3)) is required, but it is missing.
Step 3
Exam Tip
Even if reflexivity and antisymmetry hold, failure of transitivity prevents partial order. चरण 1: आंशिक क्रम में संक्रमणीयता जरूरी होती है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) होने पर ((1,3)) चाहिए, पर वह नहीं है। चरण 3: स्वसमता और विरोधी सममितता होने पर भी संक्रमणीयता टूटे तो आंशिक क्रम नहीं बनेगा।
A. यह आंशिक क्रम संबंध है/It is a partial order relation
Step 1
Concept
Every number divides itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\mid b\) and \(b\mid a\), then (a=b) here, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Divisibility is also transitive, so it is a partial order relation. चरण 1: हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid a\), तो इस समुच्चय में (a=b), इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: विभाज्यता संक्रमणीय भी है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है।
(2) divides (6), so ((2,6)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
In divisibility questions, check whether the first element divides the second exactly. चरण 1: ((a,b)) तब होगा जब (a), (b) को विभाजित करे। चरण 2: (2), (6) को विभाजित करता है, इसलिए ((2,6)) संबंध में होगा। चरण 3: विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहले देखें कि पहला अवयव दूसरे को पूरा भाग देता है या नहीं।
A. संक्रमणीय है, पर स्वसम नहीं/Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
No set is a proper subset of itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(A\subset B\) and \(B\subset C\), then \(A\subset C\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
Carefully distinguish proper subset from subset. चरण 1: कोई समुच्चय स्वयं का वास्तविक उपसमुच्चय नहीं होता, इसलिए स्वसमता नहीं है। चरण 2: यदि \(A\subset B\) और \(B\subset C\), तो \(A\subset C\), इसलिए संक्रमणीयता है। चरण 3: वास्तविक उपसमुच्चय और उपसमुच्चय में अंतर ध्यान से रखें।
A. क्योंकि यह स्वसम, विरोधी सममित और संक्रमणीय है/Because it is reflexive, antisymmetric and transitive
Step 1
Concept
Every set is a subset of itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If two sets are subsets of each other, they are equal, so antisymmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The subset relation passes through another set, so transitivity holds. चरण 1: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: दो समुच्चय एक-दूसरे के उपसमुच्चय हों तो वे समान होते हैं, इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: उपसमुच्चय का संबंध आगे भी चलता है, इसलिए संक्रमणीयता है।
Numbers related to (0) must satisfy (a-0) divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
This means (a) is a multiple of (4).
Step 3
Exam Tip
In same-remainder relations, a class contains numbers with the same remainder. चरण 1: (0) से संबंधित संख्याओं के लिए (a-0), (4) से विभाज्य होना चाहिए। चरण 2: इसका अर्थ है कि (a), (4) का गुणज है। चरण 3: समान शेष वाले संबंध में वर्ग वही संख्याएँ रखता है जिनका शेष समान हो।
A. वे संख्याएँ जिनका (4) से भाग देने पर शेष (1) हो/Numbers leaving remainder (1) on division by (4)
Step 1
Concept
(a) is related to (1) when (a-1) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
This means (a) leaves remainder (1) when divided by (4).
Step 3
Exam Tip
Equivalence classes are easy to identify by remainders. चरण 1: (a), (1) से संबंधित है जब (a-1), (4) से विभाज्य हो। चरण 2: इसका अर्थ है कि (a) को (4) से भाग देने पर शेष (1) आता है। चरण 3: तुल्यता वर्ग को शेष के आधार पर पहचानना आसान रहता है।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
The given set contains elements of all three remainder types.
Step 3
Exam Tip
Each same-remainder group forms one equivalence class. चरण 1: (3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: दिए गए समुच्चय में तीनों प्रकार के शेष वाले अवयव हैं। चरण 3: समान शेष का प्रत्येक समूह एक तुल्यता वर्ग बनाता है।
Hence the equivalence class of (2) is ({2,5}). चरण 1: (2) को (3) से भाग देने पर शेष (2) आता है। चरण 2: (5) को भी (3) से भाग देने पर शेष (2) आता है। चरण 3: इसलिए (2) का तुल्यता वर्ग ({2,5}) है।
A symmetric relation is identified by reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) is present, ((b,a)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not guarantee self-pairs or transitivity. चरण 1: सममित संबंध की पहचान उल्टे युग्म से होती है। चरण 2: ((a,b)) होने पर ((b,a)) अवश्य होना चाहिए। चरण 3: सममितता अपने युग्म या संक्रमणीयता की गारंटी नहीं देती।
A. \((a,b)\in R\) और \((b,a)\in R\) दोनों/Both \((a,b)\in R\) and \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
Antisymmetry does not allow reverse pairs together for unequal elements.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\ne b\), both ((a,b)) and ((b,a)) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
Self-pairs do not violate antisymmetry. चरण 1: विरोधी सममितता असमान अवयवों के उल्टे युग्मों को साथ नहीं रहने देती। चरण 2: \(a\ne b\) होने पर ((a,b)) और ((b,a)) दोनों नहीं हो सकते। चरण 3: अपने युग्म विरोधी सममितता को नहीं तोड़ते।
A relation with only self-pairs is symmetric because each reverse is the same pair.
Step 2
Why this answer is correct
It has no reverse pairs between unequal elements, so it is also antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
Antisymmetry fails when reverse pairs of unequal elements occur together. चरण 1: केवल अपने युग्मों वाला संबंध सममित होता है, क्योंकि उल्टा युग्म वही रहता है। चरण 2: इसमें असमान अवयवों के उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए विरोधी सममितता भी है। चरण 3: असमान उल्टे युग्म साथ मिलते ही विरोधी सममितता टूटती है।
The union contains all pairs from both relations, so self-pairs remain.
Step 3
Exam Tip
The union of reflexive relations is reflexive. चरण 1: दोनों संबंधों में हर अपने युग्म ((a,a)) मौजूद है। चरण 2: संघ में दोनों के सभी युग्म आ जाते हैं, इसलिए अपने युग्म भी रहेंगे। चरण 3: स्वसम संबंधों का संघ स्वसम रहता है।
\(R\cap S\) contains only pairs common to both relations.
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) is in both, symmetry gives ((b,a)) in both.
Step 3
Exam Tip
Therefore the intersection is also symmetric. चरण 1: \(R\cap S\) में वही युग्म होंगे जो दोनों में हैं। चरण 2: यदि ((a,b)) दोनों में है, तो सममितता के कारण ((b,a)) भी दोनों में होगा। चरण 3: इसलिए प्रतिच्छेद भी सममित रहता है।
Linked pairs in the intersection are present in both relations.
Step 2
Why this answer is correct
Since both relations are transitive, the required third pair is present in both.
Step 3
Exam Tip
Hence that third pair is also in the intersection, making it transitive. चरण 1: प्रतिच्छेद में आने वाले जुड़े युग्म दोनों संबंधों में मौजूद होंगे। चरण 2: दोनों संबंध संक्रमणीय हैं, इसलिए जरूरी तीसरा युग्म दोनों में होगा। चरण 3: इस कारण प्रतिच्छेद में भी तीसरा युग्म रहेगा और वह संक्रमणीय होगा।
A. क्योंकि जुड़े युग्म अलग-अलग संबंधों से आ सकते हैं और तीसरा युग्म छूट सकता है/Because linked pairs may come from different relations and the third pair may be missing
Step 1
Concept
Transitivity requires ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
In a union, the first two pairs may come from different relations, so the third pair may not be present.
Step 3
Exam Tip
Always check transitivity of a union separately. चरण 1: संक्रमणीयता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। चरण 2: संघ में पहले दो युग्म अलग-अलग संबंधों से आ सकते हैं, इसलिए तीसरा युग्म मिलना जरूरी नहीं। चरण 3: संघ की संक्रमणीयता को अलग से जाँचना चाहिए।
The main linked pairs are ((1,2)) and ((2,3)), requiring ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) is present, and ((3,3)) does not create a missing requirement.
Step 3
Exam Tip
Transitivity does not require all self-pairs, only required linked conclusions. चरण 1: मुख्य जुड़े युग्म ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जिनसे ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((1,3)) मौजूद है और ((3,3)) से कोई नई कमी नहीं बनती। चरण 3: संक्रमणीयता के लिए अपने सभी युग्म होना जरूरी नहीं, जरूरी जुड़े निष्कर्ष पूरे होने चाहिए।
A. क्योंकि ((2,2)) नहीं है/Because ((2,2)) is missing
Step 1
Concept
((2,1)) and ((1,2)) are both in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((2,2)) from them.
Step 3
Exam Tip
Since ((2,2)) is missing, transitivity fails. चरण 1: ((2,1)) और ((1,2)) दोनों संबंध में हैं। चरण 2: संक्रमणीयता के लिए इनसे ((2,2)) चाहिए। चरण 3: ((2,2)) न होने से संक्रमणीयता टूट जाती है।
The number of subsets of (25) pairs is \(2^{25}\). चरण 1: \(A\times A\) में \(5^2=25\) क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: हर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। चरण 3: (25) युग्मों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{25}\) है।
The remaining (25-5=20) pairs are free, so the count is \(2^{20}\). चरण 1: कुल युग्म \(5^2=25\) हैं। चरण 2: स्वसमता के लिए (5) अपने युग्म निश्चित होंगे। चरण 3: बाकी (25-5=20) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{20}\) है।
The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
For (n=5), \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) independent choices.
Step 3
Exam Tip
Therefore the number is \(2^{15}\). चरण 1: सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। चरण 2: (n=5) रखने पर \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) स्वतंत्र चुनाव मिलते हैं। चरण 3: इसलिए संख्या \(2^{15}\) होगी।
The non-self reverse-pair groups are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\).
Step 3
Exam Tip
These (10) groups are independent, so the count is \(2^{10}\). चरण 1: स्वसमता (5) अपने युग्मों को निश्चित कर देती है। चरण 2: असमान युग्मों के उल्टे-जोड़ी समूह \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) हैं। चरण 3: ये (10) समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है।
The empty relation has no pair, so no pair violates symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
There are no linked pairs to violate transitivity.
Step 3
Exam Tip
But on a non-empty set, it is not reflexive because self-pairs are missing. चरण 1: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता, इसलिए सममितता को तोड़ने वाला युग्म भी नहीं है। चरण 2: संक्रमणीयता तोड़ने वाले जुड़े युग्म भी नहीं हैं। चरण 3: पर अरिक्त समुच्चय पर अपने युग्म न होने से यह स्वसम नहीं होता।
A. स्वसम, सममित और संक्रमणीय/Reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
The universal relation contains all pairs of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence self-pairs, reverse pairs and pairs required for transitivity are all available.
Step 3
Exam Tip
Since all possible pairs are present, all three properties hold. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए अपने युग्म, उल्टे युग्म और संक्रमणीयता के लिए जरूरी युग्म सभी उपलब्ध होते हैं। चरण 3: सभी संभव युग्म होने से तीनों गुण पूरे हो जाते हैं।
A. जब समुच्चय में केवल एक अवयव हो/When the set has exactly one element
Step 1
Concept
A one-element set has only one possible pair ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
The same pair appears in both the identity and universal relations.
Step 3
Exam Tip
With two or more elements, the universal relation has extra non-self pairs. चरण 1: एक अवयव वाले समुच्चय में केवल एक ही संभव युग्म ((a,a)) होता है। चरण 2: वही युग्म तत्समक संबंध में भी है और सार्वत्रिक संबंध में भी। चरण 3: दो या अधिक अवयवों पर सार्वत्रिक संबंध में अतिरिक्त असमान युग्म भी होते हैं।
In an equivalence relation, linked elements belong to the same class. चरण 1: तुल्यता संबंध संक्रमणीय होता है। चरण 2: (aRb) और (bRc) से (aRc) अवश्य मिलेगा। चरण 3: तुल्यता संबंध में एक कड़ी से जुड़े अवयव एक ही वर्ग में आते हैं।
When the reverse relation is asked, identify symmetry. चरण 1: तुल्यता संबंध में सममितता शामिल होती है। चरण 2: सममितता कहती है कि (aRb) होने पर (bRa) होगा। चरण 3: प्रश्न में उल्टा संबंध माँगा हो तो सममितता पहचानें।
Reflexivity is the first required property of an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
Reflexivity means every element is related to itself.
Step 3
Exam Tip
When self-pairs are involved, recall reflexivity immediately. चरण 1: तुल्यता संबंध में स्वसमता पहला आवश्यक गुण है। चरण 2: स्वसमता के अनुसार हर अवयव स्वयं से संबंधित होता है। चरण 3: अपने युग्म दिखें तो स्वसमता को तुरंत याद करें।
Symmetry belongs to equivalence relations, not as a required condition for partial order. चरण 1: आंशिक क्रम संबंध के लिए स्वसमता जरूरी है। चरण 2: इसमें विरोधी सममितता और संक्रमणीयता भी जरूरी होती है। चरण 3: सममितता तुल्यता संबंध में आती है, आंशिक क्रम की जरूरी शर्त नहीं है।
An equivalence relation needs reflexivity, symmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
Antisymmetry is not a required condition for equivalence.
Step 3
Exam Tip
Remember the conditions of equivalence and partial order separately. चरण 1: तुल्यता संबंध के लिए स्वसमता, सममितता और संक्रमणीयता चाहिए। चरण 2: विरोधी सममितता इसकी शर्त नहीं है। चरण 3: तुल्यता और आंशिक क्रम की शर्तों को अलग-अलग याद रखें।
Every number has the same square as itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Equality of squares transfers to a third number, so it is an equivalence relation. चरण 1: हर संख्या का वर्ग स्वयं के वर्ग के बराबर है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि \(a^2=b^2\), तो \(b^2=a^2\), इसलिए सममितता है। चरण 3: वर्ग की समानता तीसरी संख्या तक भी चलती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
A. स्वसम और संक्रमणीय, पर विरोधी सममित नहीं/Reflexive and transitive, but not antisymmetric
Step 1
Concept
\(|a|\le |a|\) is always true, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\), then \(|a|\le |c|\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
(1) and (-1) are different but can be related both ways, so antisymmetry fails. चरण 1: \(|a|\le |a|\) हमेशा सत्य है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\), तो \(|a|\le |c|\), इसलिए संक्रमणीयता है। चरण 3: (1) और (-1) अलग हैं, फिर भी दोनों दिशाओं में संबंध हो सकता है, इसलिए विरोधी सममितता नहीं है।
A. क्योंकि विरोधी सममितता नहीं है/Because antisymmetry fails
Step 1
Concept
\(a^2\le a^2\) gives reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
Comparison of squares is transitive.
Step 3
Exam Tip
For (1) and (-1), relation holds both ways but \(1\ne -1\), so antisymmetry fails. चरण 1: \(a^2\le a^2\) से स्वसमता मिलती है। चरण 2: वर्गों की तुलना संक्रमणीय भी होती है। चरण 3: (1) और (-1) के लिए दोनों दिशाओं में संबंध है, पर \(1\ne -1\), इसलिए विरोधी सममितता टूटती है।
A. यह स्वसम और संक्रमणीय है/It is reflexive and transitive
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) or ((1,3)) does not create any missing linked conclusion.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs are absent, so it is not symmetric, but it can be transitive. चरण 1: सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। चरण 2: ((1,2)) या ((1,3)) से कोई ऐसा नया जुड़ा युग्म नहीं बनता जो गायब हो। चरण 3: उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए यह सममित नहीं, पर संक्रमणीय हो सकता है।
No reverse pair for unequal elements appears, so it is antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
No required linked pair is missing, so it is also transitive. चरण 1: सभी अपने युग्म होने से स्वसमता है। चरण 2: कोई असमान उल्टा युग्म साथ नहीं है, इसलिए विरोधी सममितता है। चरण 3: जुड़े युग्मों से कोई जरूरी युग्म गायब नहीं, इसलिए संक्रमणीयता भी है।
If (a<b), then (b<a) is false, so symmetry fails and antisymmetry is not violated.
Step 3
Exam Tip
(a<b) and (b<c) imply (a<c), so it is transitive. चरण 1: (a<a) असत्य है, इसलिए (<) स्वसम नहीं है। चरण 2: (a<b) होने पर (b<a) नहीं होता, इसलिए सममितता नहीं है और विरोधी सममितता नहीं टूटती। चरण 3: (a<b) और (b<c) से (a<c), इसलिए संक्रमणीयता है।
Identity relation has every self-pair, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Self-pairs are their own reverses, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
There are no reverse pairs for unequal elements and transitivity also holds. चरण 1: तत्समक संबंध में हर अपने युग्म होता है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: अपने युग्म अपने ही उल्टे हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: असमान उल्टे युग्म नहीं होते और संक्रमणीयता भी पूरी रहती है।
A. यह सममित और विरोधी सममित दोनों होगा/It will be both symmetric and antisymmetric
Step 1
Concept
The reverse of a self-pair is the same pair, so symmetry holds.
Step 2
Why this answer is correct
There are no two-way pairs between unequal elements, so antisymmetry also holds.
Step 3
Exam Tip
Relations with only self-pairs can satisfy both properties. चरण 1: अपने युग्म का उल्टा वही युग्म होता है, इसलिए सममितता पूरी होती है। चरण 2: असमान अवयवों के दोनों दिशाओं वाले युग्म नहीं हैं, इसलिए विरोधी सममितता भी है। चरण 3: केवल अपने युग्मों वाले संबंधों में दोनों गुण साथ मिल सकते हैं।
((1,3)) may come from transitivity, not symmetry. चरण 1: सममितता प्रत्येक युग्म का उल्टा युग्म देती है। चरण 2: ((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलेगा। चरण 3: ((1,3)) संक्रमणीयता से आ सकता है, सममितता से नहीं।
Apply transitivity step by step in a chain. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलेगा। चरण 2: फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) मिलेगा। चरण 3: लंबी कड़ी में संक्रमणीयता को क्रम से लगाएँ।
In equivalence classes, all elements of the same class share the same group.
Step 2
Why this answer is correct
Since (b) is in the class of (a), the class of (b) is the same.
Step 3
Exam Tip
Equivalence classes are either identical or disjoint. चरण 1: तुल्यता वर्गों में एक ही वर्ग के सभी अवयव समान समूह साझा करते हैं। चरण 2: यदि (b), (a) के वर्ग में है, तो (b) का वर्ग भी वही होगा। चरण 3: तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या बिल्कुल अलग होते हैं।
A. वे या तो समान होंगे या असंयुक्त होंगे/They are either identical or disjoint
Step 1
Concept
An equivalence relation divides a set into separate classes.
Step 2
Why this answer is correct
An element cannot belong partly to two different classes.
Step 3
Exam Tip
Hence two classes are either identical or disjoint. चरण 1: तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग वर्गों में बाँटता है। चरण 2: किसी अवयव को दो अलग वर्गों में आधा-आधा नहीं रखा जा सकता। चरण 3: इसलिए दो वर्ग या तो एक जैसे होंगे या बिल्कुल अलग होंगे।
An equivalence relation divides a set into equivalence classes.
Step 2
Why this answer is correct
These classes together cover the set and remain disjoint.
Step 3
Exam Tip
When you see a partition, think of an equivalence relation. चरण 1: तुल्यता संबंध समुच्चय को तुल्यता वर्गों में बाँटता है। चरण 2: ये वर्ग मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं और आपस में अलग रहते हैं। चरण 3: विभाजन दिखे तो तुल्यता संबंध का विचार करें।
In a partial order, not every pair of elements must be comparable.
Step 2
Why this answer is correct
When every two elements are comparable, the partial order becomes a total order.
Step 3
Exam Tip
Relations like \(\le\) are common examples of total order. चरण 1: आंशिक क्रम में सभी अवयवों का तुलनीय होना जरूरी नहीं है। चरण 2: जब हर दो अवयव तुलनीय हों, तो आंशिक क्रम पूर्ण क्रम बन जाता है। चरण 3: \(\le\) जैसे संबंध पूर्ण क्रम के सामान्य उदाहरण हैं।
Any two natural numbers are comparable under \(\le\), so it is a total order. चरण 1: \(\le\) स्वसम है क्योंकि \(a\le a\)। चरण 2: यह विरोधी सममित और संक्रमणीय भी है। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं में हर दो संख्याओं की तुलना \(\le\) से हो सकती है, इसलिए यह पूर्ण क्रम है।
A. क्योंकि ({1}) और ({2}) तुलनीय नहीं हैं/Because ({1}) and ({2}) are not comparable
Step 1
Concept
In a total order, every two elements must be comparable.
Step 2
Why this answer is correct
\({1}\subseteq{2}\) is false and \({2}\subseteq{1}\) is also false.
Step 3
Exam Tip
One incomparable pair is enough to stop it from being a total order. चरण 1: पूर्ण क्रम में हर दो अवयव तुलनीय होने चाहिए। चरण 2: \({1}\subseteq{2}\) नहीं है और \({2}\subseteq{1}\) भी नहीं है। चरण 3: एक अतुलनीय जोड़ी मिलते ही पूर्ण क्रम नहीं बनता।
A. स्वसमता, सममितता या विरोधी सममितता, और संक्रमणीयता को अलग-अलग जाँचना/Check reflexivity, symmetry or antisymmetry, and transitivity separately
Step 1
Concept
Check reflexivity using self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Check symmetry or antisymmetry using reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
Check transitivity using linked pairs before deciding the final type. चरण 1: अपने युग्मों से स्वसमता जाँचें। चरण 2: उल्टे युग्मों से सममितता या विरोधी सममितता जाँचें। चरण 3: जुड़े युग्मों से संक्रमणीयता जाँचकर ही अंतिम प्रकार तय करें।
