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Every element has the same parity as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Same parity remains true when order is reversed and through a chain.
Step 3
Exam Tip
In such questions, first form the classes. चरण 1: हर तत्व अपने जैसे सम या विषम वर्ग में आता है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: समान सम-विषम प्रकृति क्रम बदलने पर भी बनी रहती है और श्रृंखला में भी बनी रहती है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले वर्ग बनाकर देखें।
Every triangle has the same area as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Equality of area remains true when order is reversed, and it also passes through a chain.
Step 3
Exam Tip
For equality-based relations, check all three properties separately. चरण 1: हर त्रिभुज का क्षेत्रफल अपने ही क्षेत्रफल के बराबर होता है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: समान क्षेत्रफल की बात क्रम बदलने पर भी सही रहती है और यदि पहले तथा दूसरे का क्षेत्रफल समान है, दूसरे तथा तीसरे का भी समान है, तो पहले तथा तीसरे का क्षेत्रफल भी समान होगा। चरण 3: समानता पर आधारित संबंधों में तीनों गुण अलग-अलग जांचें।
In the given set, (1) also leaves the same remainder, so the class is ({1,4}).
Step 3
Exam Tip
Put only elements with the same remainder in the equivalence class. चरण 1: (4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (1) भी वही शेषफल देता है, इसलिए वर्ग ({1,4}) है। चरण 3: समतुल्यता वर्ग में केवल वही तत्व रखें जो समान शेषफल दें।
All three identity pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((a,b)) comes with ((b,a)), and the group ({a,b}) satisfies transitivity.
Step 3
Exam Tip
Identifying small groups helps check equivalence quickly. चरण 1: तीनों आत्म युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी है और ({a,b}) का समूह संक्रामिता पूरी करता है। चरण 3: छोटे समूहों को पहचानकर समतुल्यता संबंध जल्दी जांचा जा सकता है।
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है/Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
\((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires \((1,3)\in R\), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
In transitivity, join the middle element to find the required pair. चरण 1: \((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) हैं। चरण 2: संक्रामी गुण के लिए \((1,3)\in R\) होना चाहिए, पर यह नहीं है। चरण 3: संक्रामिता में बीच वाले तत्व को जोड़कर जरूरी युग्म खोजें।
A. (R) प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी हो/(R) is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
The definition of an equivalence relation is based on three properties.
Step 2
Why this answer is correct
Reflexive, symmetric, and transitive properties are all required together.
Step 3
Exam Tip
Do not decide from only one property in exams. चरण 1: समतुल्यता संबंध की परिभाषा तीन गुणों पर आधारित है। चरण 2: प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण एक साथ चाहिए। चरण 3: परीक्षा में किसी एक गुण से निर्णय न लें।
(a-a=0), and (0) is divisible by (4), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (4), then (b-a) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
Transitivity also follows from adding differences. चरण 1: (a-a=0), और (0) (4) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) (4) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (4) से विभाज्य होगा। चरण 3: अंतरों के योग से संक्रामिता भी पूरी होती है।
A. क्योंकि ((4,4)) नहीं है/Because ((4,4)) is missing
Step 1
Concept
Reflexivity requires the identity pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
Here, ((4,4)) is not present for the element (4).
Step 3
Exam Tip
While checking equivalence, first match the list of identity pairs. चरण 1: प्रतिवर्ती गुण के लिए हर तत्व का आत्म युग्म होना चाहिए। चरण 2: यहां तत्व (4) के लिए ((4,4)) मौजूद नहीं है। चरण 3: समतुल्यता जांचते समय पहले आत्म युग्मों की सूची मिलाएं।
Therefore, if \((x,y)\in R\), then the reverse pair \((y,x)\in R\).
Step 3
Exam Tip
The reverse pair is the key sign of symmetry. चरण 1: समतुल्यता संबंध में सममित गुण अवश्य होता है। चरण 2: इसलिए \((x,y)\in R\) होने पर उल्टा युग्म \((y,x)\in R\) होगा। चरण 3: सममितता में उल्टा युग्म सबसे जरूरी संकेत है।
In ((p,q)) and ((q,r)), the middle element (q) matches.
Step 2
Why this answer is correct
By transitivity, \((p,r)\in R\) must hold.
Step 3
Exam Tip
For transitivity, read the chain of pairs carefully. चरण 1: यहां ((p,q)) और ((q,r)) में बीच का तत्व (q) समान है। चरण 2: संक्रामी गुण के अनुसार \((p,r)\in R\) होना चाहिए। चरण 3: संक्रामिता के लिए युग्मों की श्रृंखला ध्यान से पढ़ें।
Do not include (0) outside the given set in the equivalence class. चरण 1: (5) को (5) से भाग देने पर शेषफल (0) आता है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में केवल (5) ही शेषफल (0) देता है। चरण 3: समतुल्यता वर्ग में दिए गए समुच्चय के बाहर का (0) नहीं जोड़ना चाहिए।
A. (R) समतुल्यता संबंध है/(R) is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b) is even, then (b+a) is even, and same parity gives transitivity.
Step 3
Exam Tip
An even sum means both numbers have the same parity. चरण 1: (a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: (a+b) सम होने पर (b+a) भी सम होगा और समान सम-विषम प्रकृति संक्रामिता देती है। चरण 3: सम योग का अर्थ दोनों संख्याओं की सम-विषम प्रकृति समान है।
A. वे समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं/They divide the set into separate parts
Step 1
Concept
An equivalence relation groups similar elements together.
Step 2
Why this answer is correct
These groups divide the set into separate parts.
Step 3
Exam Tip
It is easy to understand equivalence classes as parts of a partition. चरण 1: समतुल्यता संबंध समान तत्वों को समूहों में रखता है। चरण 2: ये समूह समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। चरण 3: समतुल्यता वर्गों को भागों की तरह समझना आसान रहता है।
A. वे सभी तत्व जो (a) से संबंधित हैं/All elements related to (a)
Step 1
Concept
([a]) means the equivalence class of (a).
Step 2
Why this answer is correct
It contains all elements related to (a) according to (R).
Step 3
Exam Tip
To find a class, directly apply the condition of the relation. चरण 1: ([a]) का अर्थ (a) का समतुल्यता वर्ग है। चरण 2: इसमें वे सभी तत्व आते हैं जो संबंध (R) के अनुसार (a) से जुड़े हैं। चरण 3: वर्ग निकालते समय संबंध की शर्त को सीधे लागू करें।
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(|a|=|a|) is true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
Equality of absolute values remains true when order is reversed and through a chain.
Step 3
Exam Tip
Relations based on equality of values often show all three properties clearly. चरण 1: (|a|=|a|) हर (a) के लिए सत्य है। चरण 2: बराबर परम मान का संबंध क्रम बदलने पर और श्रृंखला में भी सत्य रहता है। चरण 3: समान मान आधारित संबंधों में तीनों गुण अक्सर साफ दिखते हैं।
On division by (4), the possible remainders are (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
All four remainders occur in the given set, so four classes are formed.
Step 3
Exam Tip
In modulo questions, counting remainders is a quick method. चरण 1: (4) से भाग देने पर संभावित शेषफल (0,1,2,3) होते हैं। चरण 2: दिए गए समुच्चय में चारों शेषफल मिलते हैं, इसलिए चार वर्ग बनेंगे। चरण 3: मापांक प्रश्नों में शेषफलों की संख्या गिनना तेज तरीका है।
A universal relation contains all possible ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, identity pairs, reverse pairs, and transitive pairs are all present.
Step 3
Exam Tip
On seeing \(A\times A\), quickly identify all three properties. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए आत्म युग्म, उल्टे युग्म और संक्रामी युग्म सभी मिल जाते हैं। चरण 3: \(A\times A\) देखकर तीनों गुण तुरंत पहचानें।
A. नहीं, क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है/No, because it is not reflexive
Step 1
Concept
On a non-empty set, reflexivity requires ((1,1)) and ((2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no identity pair.
Step 3
Exam Tip
Do not treat the empty relation on a non-empty set as an equivalence relation. चरण 1: अरिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) और ((2,2)) चाहिए। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई आत्म युग्म नहीं है। चरण 3: अरिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध को समतुल्यता संबंध न मानें।
A. समानता संबंध और समतुल्यता संबंध/Equality relation and equivalence relation
Step 1
Concept
In (R), every element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Such a relation is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
The equality relation is a key example of an equivalence relation. चरण 1: (R) में हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित है। चरण 2: ऐसा संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। चरण 3: समानता संबंध समतुल्यता संबंध का मुख्य उदाहरण है।
All elements in the same class are related to one another.
Step 2
Why this answer is correct
(3) and (4) both belong to ({2,3,4}), so \((3,4)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Before checking a pair, identify the class of both elements. चरण 1: एक ही वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। चरण 2: (3) और (4) दोनों ({2,3,4}) में हैं, इसलिए \((3,4)\in R\) होगा। चरण 3: युग्म देखने से पहले दोनों तत्वों का वर्ग पहचानें।
(1) is in ({1,5}), while (3) is in ({2,3,4}), so \((1,3)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
If the classes are different, the pair is not in the relation. चरण 1: अलग-अलग वर्गों के तत्व संबंधित नहीं होते। चरण 2: (1) वर्ग ({1,5}) में है और (3) वर्ग ({2,3,4}) में है, इसलिए \((1,3)\notin R\)। चरण 3: वर्ग अलग हों तो युग्म संबंध में नहीं आएगा।
Equivalence classes divide a set into complete non-overlapping parts.
Step 2
Why this answer is correct
If two classes share an element, they cannot be different and must be the same.
Step 3
Exam Tip
Equivalence classes do not partially overlap. चरण 1: समतुल्यता वर्ग समुच्चय को बिना टूटे भागों में बांटते हैं। चरण 2: यदि दो वर्गों में साझा तत्व है, तो वे अलग नहीं हो सकते और समान होंगे। चरण 3: समतुल्यता वर्गों में आंशिक कटाव नहीं होता।
A. क्योंकि यह बराबरी पर आधारित है और तीनों गुण पूरे करता है/Because it is based on equality and satisfies all three properties
Step 1
Concept
\(a^2=a^2\), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), and equality also passes through a chain.
Step 3
Exam Tip
For equality-based conditions, check the three properties separately. चरण 1: \(a^2=a^2\), इसलिए प्रतिवर्ती गुण है। चरण 2: \(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\) और बराबरी की श्रृंखला भी सही रहती है। चरण 3: बराबरी आधारित शर्तों में तीनों गुण अलग-अलग जांचें।
In the given set, (2) also has absolute value (2), so the class is ({-2,2}).
Step 3
Exam Tip
In absolute value questions, focus on the magnitude rather than the sign. चरण 1: (|-2|=2) है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (2) का परम मान भी (2) है, इसलिए वर्ग ({-2,2}) है। चरण 3: परम मान वाले प्रश्न में चिन्ह के बजाय दूरी जैसे मान को देखें।
A person lives in the same city as themselves, so reflexivity is satisfied.
Step 2
Why this answer is correct
Living in the same city remains true when order is reversed and within a group.
Step 3
Exam Tip
A shared property is a good sign of an equivalence relation. चरण 1: कोई व्यक्ति अपने ही शहर में रहता है, इसलिए प्रतिवर्ती विचार पूरा होता है। चरण 2: एक ही शहर में रहना क्रम बदलने पर और समूह में भी सही रहता है। चरण 3: समान गुण वाली स्थिति समतुल्यता संबंध का अच्छा संकेत देती है।
No number is greater than itself, so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
If (a>b), then generally (b>a) is not true, so symmetry also fails.
Step 3
Exam Tip
Be careful with comparison relations. चरण 1: कोई संख्या अपने आप से बड़ी नहीं होती, इसलिए प्रतिवर्ती गुण नहीं है। चरण 2: यदि (a>b), तो सामान्यतः (b>a) नहीं होगा, इसलिए सममितता भी नहीं है। चरण 3: तुलना वाले संबंधों में सावधानी रखें।
A. क्योंकि ((3,1)) नहीं है/Because ((3,1)) is missing
Step 1
Concept
The pair ((1,3)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
For symmetry, the reverse pair ((3,1)) must be present, but it is missing.
Step 3
Exam Tip
Always check the reverse of every non-identical pair. चरण 1: संबंध में ((1,3)) मौजूद है। चरण 2: सममितता के लिए इसका उल्टा युग्म ((3,1)) होना चाहिए, जो नहीं है। चरण 3: हर असमान युग्म का उल्टा युग्म जरूर जांचें।
A. समतुल्यता संबंध नहीं होगा/It will not be an equivalence relation
Step 1
Concept
Symmetry is also necessary for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
Without symmetry, all three properties are not satisfied.
Step 3
Exam Tip
Even if two properties hold, always check the third one. चरण 1: समतुल्यता संबंध के लिए सममित गुण भी जरूरी है। चरण 2: सममित गुण न होने पर तीनों गुण पूरे नहीं होते। चरण 3: दो गुण पूरे होने पर भी तीसरा गुण अवश्य जांचें।
A. यह समतुल्यता संबंध नहीं है/It is not an equivalence relation
Step 1
Concept
Reflexivity is a compulsory condition for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
Since reflexivity is missing, the relation cannot be an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
It is important to remember all three defining properties. चरण 1: प्रतिवर्ती गुण समतुल्यता संबंध की अनिवार्य शर्त है। चरण 2: प्रतिवर्ती गुण नहीं है, इसलिए संबंध समतुल्यता संबंध नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा के तीनों गुण याद रखना जरूरी है।
In the given set, (2,4,6) are all divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
While forming a class, include all elements with the same property. चरण 1: (2) सम संख्या है और (2) से विभाज्य है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (2,4,6) सभी (2) से विभाज्य हैं। चरण 3: वर्ग बनाते समय वही गुण रखने वाले सभी तत्व जोड़ें।
(3) is odd and leaves remainder (1) on division by (2).
Step 2
Why this answer is correct
(1,3,5) all leave the same remainder.
Step 3
Exam Tip
Separating even and odd classes is an easy method. चरण 1: (3) विषम संख्या है और (2) से भाग देने पर शेषफल (1) देती है। चरण 2: (1,3,5) सभी वही शेषफल देते हैं। चरण 3: सम और विषम वर्गों को अलग पहचानना आसान तरीका है।
A. वे आपस में संबंधित होते हैं/They are related to each other
Step 1
Concept
An equivalence class is a group of elements related to one another.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, two elements in the same class form a pair in the relation.
Step 3
Exam Tip
For elements inside the same class, write the related pair. चरण 1: समतुल्यता वर्ग का अर्थ ही ऐसे तत्वों का समूह है जो एक-दूसरे से संबंधित हैं। चरण 2: इसलिए एक ही वर्ग में मौजूद दो तत्वों का युग्म संबंध में आता है। चरण 3: वर्ग के भीतर संबंध मानकर युग्म लिखें।
Elements from different equivalence classes are not related.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, ((a,b)) will not belong to (R).
Step 3
Exam Tip
If the classes are different, treat the pair as outside the relation. चरण 1: अलग-अलग समतुल्यता वर्गों के तत्व संबंधित नहीं होते। चरण 2: इसलिए ((a,b)) संबंध (R) में नहीं होगा। चरण 3: वर्ग अलग दिखें तो युग्म को संबंध से बाहर मानें।
In a universal relation, count all possible ordered pairs. चरण 1: (A) में (3) तत्व हैं। चरण 2: \(A\times A\) में युग्मों की संख्या \(3\times 3=9\) होती है। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध में सभी संभव क्रमित युग्म गिनें।
A. हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\)/For every \(a\in A\), \((a,a)\in R\)
Step 1
Concept
Reflexivity is connected with identity pairs.
Step 2
Why this answer is correct
For every element (a), \((a,a)\in R\) must be present.
Step 3
Exam Tip
To check reflexivity, list all identity pairs. चरण 1: प्रतिवर्ती गुण आत्म युग्मों से जुड़ा होता है। चरण 2: हर तत्व (a) के लिए \((a,a)\in R\) होना चाहिए। चरण 3: प्रतिवर्तीता जांचने के लिए सभी आत्म युग्मों की सूची देखें।
A. यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\)/If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
In symmetry, the relation remains true after reversing the order.
Step 2
Why this answer is correct
So ((a,b)) must come with ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
Identify symmetry by checking the reverse pair. चरण 1: सममित गुण में क्रम उलटने पर संबंध बना रहना चाहिए। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होना चाहिए। चरण 3: उल्टा युग्म देखकर सममितता पहचानें।
A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\)/If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
Transitivity forms a link between two pairs.
Step 2
Why this answer is correct
From ((a,b)) and ((b,c)), ((a,c)) must follow.
Step 3
Exam Tip
Identify the common middle element before answering. चरण 1: संक्रामी गुण में दो युग्मों की कड़ी बनती है। चरण 2: ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलना चाहिए। चरण 3: बीच वाले समान तत्व को पहचानकर उत्तर दें।
A. क्योंकि ((2,3)) नहीं है/Because ((2,3)) is missing
Step 1
Concept
\((2,1)\in R\) and \((1,3)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires \((2,3)\in R\), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
In transitivity, look for the missing direct pair. चरण 1: \((2,1)\in R\) और \((1,3)\in R\) हैं। चरण 2: संक्रामिता के लिए \((2,3)\in R\) चाहिए, पर यह नहीं है। चरण 3: संक्रामी गुण में छूटे हुए सीधे युग्म को खोजें।
On division by (2), there are only two remainders, (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Remainder (0) gives even numbers, and remainder (1) gives odd numbers.
Step 3
Exam Tip
Remember modulo (2) through even and odd classes. चरण 1: (2) से भाग देने पर केवल दो शेषफल (0) और (1) होते हैं। चरण 2: शेषफल (0) सम संख्याएं और शेषफल (1) विषम संख्याएं देता है। चरण 3: मापांक (2) को सम-विषम वर्गों से जोड़कर याद रखें।
While finding the class, choose elements with the same remainder. चरण 1: (0) को (3) से भाग देने पर शेषफल (0) है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (3) भी शेषफल (0) देता है। चरण 3: वर्ग निकालते समय समान शेषफल वाले तत्व चुनें।
In a partition, every element belongs to some part.
Step 2
Why this answer is correct
Being in the same part is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
A relation formed from a partition is a standard form of an equivalence relation. चरण 1: भाग-विभाजन में हर तत्व किसी न किसी भाग में होता है। चरण 2: एक ही भाग में होने का संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। चरण 3: भाग-विभाजन से बना संबंध समतुल्यता संबंध का सामान्य रूप है।
Due to reflexivity, for every \(a\in A\), \((a,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Self-relation is the first check for equivalence. चरण 1: समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती होता है। चरण 2: प्रतिवर्ती गुण के कारण हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होगा। चरण 3: आत्म संबंध समतुल्यता की पहली जांच है।
Identify symmetry by noticing the reverse relation. चरण 1: (aRb) से (bRa) मिलना क्रम उलटने का संकेत है। चरण 2: यही सममित गुण की मुख्य पहचान है। चरण 3: उलटे संबंध को देखकर सममितता पहचानें।
Here a chain is formed from (a) to (b) and from (b) to (c).
Step 2
Why this answer is correct
The same chain gives the relation from (a) to (c).
Step 3
Exam Tip
Whenever a chain gives a direct relation, identify transitivity. चरण 1: यहां (a) से (b) और (b) से (c) की कड़ी बनती है। चरण 2: उसी कड़ी से (a) से (c) का संबंध मिलता है। चरण 3: कड़ी बनते ही संक्रामी गुण पहचानें।
A. सार्वत्रिक और समतुल्यता संबंध/Universal and equivalence relation
Step 1
Concept
All elements of the given set are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, every element is related to every other element, so the relation is universal.
Step 3
Exam Tip
A universal relation is also an equivalence relation. चरण 1: दिए गए समुच्चय के सभी तत्व (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए हर तत्व हर दूसरे तत्व से संबंधित होगा, यानी संबंध सार्वत्रिक है। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध समतुल्यता संबंध भी होता है।
A. सार्वत्रिक और समतुल्यता संबंध/Universal and equivalence relation
Step 1
Concept
All elements are odd, and the sum of two odd numbers is even.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, every pair belongs to the relation, making it universal.
Step 3
Exam Tip
If all pairs are present, all three equivalence properties hold. चरण 1: सभी तत्व विषम हैं, और दो विषम संख्याओं का योग सम होता है। चरण 2: इसलिए हर युग्म संबंध में आएगा और संबंध सार्वत्रिक होगा। चरण 3: सभी युग्म मौजूद हों तो तीनों गुण पूरे होते हैं।
(1) and (2) form one class, and (3) forms a singleton class.
Step 3
Exam Tip
Identify the equivalence relation through the classes ({1,2}) and ({3}). चरण 1: (a=b) होने से सभी आत्म युग्म मिलते हैं। चरण 2: (1) और (2) एक ही वर्ग में हैं और (3) अकेला वर्ग बनाता है। चरण 3: वर्ग ({1,2}) और ({3}) देखकर समतुल्यता संबंध पहचानें।
A. किसी तत्व का आत्म युग्म गायब होना/Missing identity pair of an element
Step 1
Concept
An equivalence relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the identity pair of any element cannot be missing.
Step 3
Exam Tip
Catch missing identity pairs first. चरण 1: समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती होता है। चरण 2: इसलिए किसी भी तत्व का आत्म युग्म गायब नहीं हो सकता। चरण 3: आत्म युग्मों की कमी सबसे पहले पकड़ें।
(1) is also related to (4), so the class of (1) is ({1,4}).
Step 3
Exam Tip
To find a class, write all elements related to the given element. चरण 1: (1) अपने आप से संबंधित है। चरण 2: (1) का संबंध (4) से भी है, इसलिए (1) का वर्ग ({1,4}) है। चरण 3: वर्ग निकालने के लिए दिए गए तत्व से जुड़े सभी तत्व लिखें।
A. पहले प्रतिवर्ती, फिर सममित, फिर संक्रामी गुण जांचना/First check reflexive, then symmetric, then transitive properties
Step 1
Concept
Reflexivity quickly checks identity pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Then use reverse pairs for symmetry and chains for transitivity.
Step 3
Exam Tip
This order reduces the chance of mistakes. चरण 1: प्रतिवर्ती गुण से आत्म युग्मों की जांच जल्दी हो जाती है। चरण 2: फिर उल्टे युग्मों से सममितता और श्रृंखला से संक्रामिता जांचें। चरण 3: इसी क्रम से गलती की संभावना कम होती है।
