Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\)
Step 1
Concept
संक्रामी संबंध में दो जुड़े हुए क्रमित युग्मों को देखा जाता है। / A transitive relation is checked using two connected ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहला युग्म (a) से (b) तक और दूसरा (b) से (c) तक है, तो (a) से (c) तक का युग्म भी होना चाहिए। / If one pair goes from (a) to (b) and the next goes from (b) to (c), then the pair from (a) to (c) must also be present.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में बीच वाले तत्व के समान होने पर ही संक्रामी जाँच करें। / In exams, check transitivity only when the middle element is common.
यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) जुड़े हुए युग्म हैं। / Here ((1,2)) and ((2,3)) are connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
इनके कारण ((1,3)) होना चाहिए, और वह संबंध में मौजूद है। / They require ((1,3)), and it is already present in the relation.
Step 3
Exam Tip
संक्रामी जाँच में जरूरी बने युग्म को सूची में ढूँढना सबसे आसान तरीका है। / For transitivity checks, find the pair that is forced and then look for it in the list.
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं, इसलिए संक्रामी होने के लिए ((1,3)) चाहिए। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation, transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए संबंध में ((1,3)) नहीं है। / The pair ((1,3)) is not present.
Step 3
Exam Tip
एक ही कमी संबंध को संक्रामी न मानने के लिए पर्याप्त होती है। / One missing required pair is enough to show that a relation is not transitive.
इस संबंध में केवल ((a,a)) जैसे विकर्ण युग्म हैं। / This relation contains only diagonal pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,a)) और ((a,a)) लिए जाएँ, तो जरूरी युग्म फिर ((a,a)) ही है, जो मौजूद है। / If ((a,a)) and ((a,a)) are used, the required pair is again ((a,a)), which is present.
Step 3
Exam Tip
केवल विकर्ण युग्मों वाला संबंध संक्रामी होता है। / A relation containing only diagonal pairs is transitive.
संक्रामी शर्त तभी जाँची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) दोनों संबंध में हों। / The transitive condition is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त तोड़ने वाला कोई उदाहरण नहीं मिलता। / The empty relation has no pair, so no example violates the condition.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध को संक्रामी मानना एक महत्वपूर्ण मूल बात है। / Remember that the empty relation is transitive by vacuous truth.
((1,2)) और ((2,4)) जुड़े हुए हैं क्योंकि बीच वाला तत्व (2) समान है। / ((1,2)) and ((2,4)) are connected because the middle element (2) is common.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामी होने के लिए ((1,4)) होना चाहिए। / Transitivity requires ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
जोड़ने वाले युग्म में पहले युग्म का पहला तत्व और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व रखें। / The required pair uses the first element of the first pair and the second element of the second pair.
संक्रामी जाँच के लिए दो युग्म चाहिए जिनमें बीच का तत्व समान हो। / To check transitivity, we need two pairs with a common middle element.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ केवल एक युग्म है, इसलिए ऐसी कोई श्रृंखला नहीं बनती जो शर्त तोड़े। / Here there is only one pair, so no chain exists to violate the condition.
Step 3
Exam Tip
एक अकेला युग्म वाला संबंध अक्सर संक्रामी हो सकता है, यदि कोई जरूरी अगला युग्म न बने। / A relation with a single pair can be transitive when no required next pair is formed.
\(a \equiv b \pmod{3}\) और \(b \equiv c \pmod{3}\) का अर्थ है कि तीनों का शेषफल समान दिशा में जुड़ा है। / \(a \equiv b \pmod{3}\) and \(b \equiv c \pmod{3}\) mean the remainders are linked through the same middle number.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a \equiv c \pmod{3}\) होगा। / Therefore \(a \equiv c \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाला संबंध संक्रामी होता है। / Same-remainder relations are transitive.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) है, और ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी है। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
सभी जरूरी शृंखला युग्म मौजूद हों तो संबंध संक्रामी होता है। / A relation is transitive when all required chain pairs are present.
यदि \(a\ge b\) और \(b\ge c\), तो \(a\ge c\) होगा। / If \(a\ge b\) and \(b\ge c\), then \(a\ge c\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दो जुड़े हुए युग्म तीसरे जरूरी युग्म को भी संबंध में रखते हैं। / Therefore two connected pairs force a third pair that also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
\(\ge\) और \(\le\) दोनों क्रम संबंध संक्रामी होते हैं। / Both \(\ge\) and \(\le\) are transitive order relations.
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), then every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\subseteq C\) मिल जाता है। / Hence \(A\subseteq C\).
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय संबंध संक्रामी संबंध का मानक उदाहरण है। / The subset relation is a standard example of a transitive relation.
दोनों युग्मों में बीच का तत्व (4) समान है। / The common middle element in the two pairs is (4).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामी नियम के अनुसार ((1,6)) होना जरूरी है। / By the transitive rule, ((1,6)) must be present.
Step 3
Exam Tip
पहले युग्म का पहला तत्व और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व मिलाकर उत्तर बनाइए। / Form the answer using the first element of the first pair and the second element of the second pair.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो पहले से है। / ((1,2)) and ((2,2)) require ((1,2)), which is already present.
Step 3
Exam Tip
जब सभी संभावित श्रृंखलाएँ सही युग्म देती हैं, संबंध संक्रामी होता है। / When all possible chains give pairs already in the relation, the relation is transitive.
संक्रामी नियम सीधे ((a,b)) और ((b,c)) पर लागू होता है। / The transitive rule applies directly to ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
इन दोनों से ((a,c)) का होना अनिवार्य है। / These two pairs require ((a,c)).
Step 3
Exam Tip
उत्तर में क्रम न बदलें, पहले का पहला और दूसरे का दूसरा तत्व लें। / Do not reverse the order; take the first element of the first pair and the second element of the second pair.
सममितता और संक्रामीता अलग गुण हैं। / Symmetry and transitivity are different properties.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए ({(1,2),(2,1)}) सममित है, लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) न होने से संक्रामी नहीं है। / For example, ({(1,2),(2,1)}) is symmetric, but it is not transitive because ((1,1)) and ((2,2)) are missing.
Step 3
Exam Tip
संबंधों के गुणों को अलग-अलग जाँचना चाहिए। / Always check each property separately.
परावर्तकता में सभी ((a,a)) युग्म चाहिए। / Reflexivity requires all ((a,a)) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामीता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। ये अलग शर्तें हैं। / Transitivity requires ((a,c)) whenever ((a,b)) and ((b,c)) are present. These are different conditions.
Step 3
Exam Tip
परावर्तक देखकर संक्रामी मान लेना परीक्षा में सामान्य गलती है। / Assuming transitivity from reflexivity is a common exam mistake.
यदि ((a,b)) संबंध में है, तो (a) और (b) दोनों सम हैं। / If ((a,b)) is in the relation, then both (a) and (b) are even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((b,c)) भी संबंध में है, तो (c) भी सम है, इसलिए (a) और (c) दोनों सम होंगे। / If ((b,c)) is also in the relation, then (c) is even too, so (a) and (c) are both even.
Step 3
Exam Tip
समान वर्ग या समूह में रहने वाली शर्तें अक्सर संक्रामी होती हैं। / Conditions based on belonging to the same group often give transitivity.
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की समता समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b) और (c) की समता भी समान है, तो (a) और (c) की समता समान होगी, इसलिए (a+c) सम होगा। / If (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity, so (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
समान समता वाला संबंध संक्रामी होता है। / Same-parity relations are transitive.
दो अलग संक्रामी संबंधों का संघ नई श्रृंखला बना सकता है। / The union of two transitive relations can create a new chain.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों संक्रामी हैं, पर संघ में ((1,3)) नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are both transitive, but their union lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए संक्रामीता अलग से जाँचें। / Always check transitivity of a union separately.
यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are both in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों संक्रामी हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा, अतः प्रतिच्छेद में भी होगा। / Since both are transitive, ((a,c)) is in both, hence in the intersection.
Step 3
Exam Tip
संक्रामी संबंधों का प्रतिच्छेद संक्रामी रहता है। / The intersection of transitive relations remains transitive.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। / ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), which is also present.
Step 3
Exam Tip
उल्टे युग्मों के साथ विकर्ण युग्म भी हों तो संक्रामीता बच सकती है। / Reverse pairs can still be transitive when the needed diagonal pairs are included.
किसी समुच्चय पर (R) संक्रामी है। यदि \((a,b) \in R\) और कोई ((b,c)) प्रकार का युग्म (R) में नहीं है, तो क्या केवल ((a,b)) से कोई नया ((a,c)) युग्म अनिवार्य होगा?
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है, और (b) और (c) का भी शेषफल समान है, तो (a) और (c) का शेषफल भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) also have the same remainder, then (a) and (c) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) संबंध में आएगा। / So ((a,c)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाले संबंध संक्रामीता में मजबूत उदाहरण हैं। / Same-remainder relations are strong examples of transitivity.
((1,3)) और ((3,2)) में बीच का तत्व (3) समान है। / The common middle element in ((1,3)) and ((3,2)) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामीता के लिए ((1,2)) जरूरी है। / Transitivity requires ((1,2)).
Step 3
Exam Tip
पहले युग्म का पहला और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व लेकर जरूरी युग्म बनता है। / The required pair is formed from the first element of the first pair and the second element of the second pair.
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) के साथ बनने वाली जरूरतें भी ((2,2)) या ((2,3)) जैसे मौजूद युग्म देती हैं। / Chains involving ((2,2)) give pairs such as ((2,2)) or ((2,3)), which are already present.
Step 3
Exam Tip
हर संभावित श्रृंखला को अलग-अलग मिलाकर देखें। / Check each possible chain separately.
A. ऐसे ((a,b)) और ((b,c)) दिखाइए जिनके बावजूद ((a,c)) संबंध में न हो/Show ((a,b)) and ((b,c)) present but ((a,c)) absent
Step 1
Concept
संक्रामीता की शर्त दो जुड़े हुए युग्मों पर आधारित है। / The condition of transitivity is based on two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों युग्म मौजूद हों पर उनसे बनने वाला ((a,c)) मौजूद न हो, तो संबंध संक्रामी नहीं होगा। / If both pairs are present but the required ((a,c)) is absent, the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवाद लिखते समय तीनों युग्मों की स्थिति साफ बताइए। / When writing a counterexample, clearly state the status of all three pairs.
