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(A) में (4) तत्व हैं इसलिए (\mathcal{P}(A)) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। परीक्षा में पहले मूल समुच्चय के अलग-अलग तत्व गिनें। / Set (A) has (4) elements so (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) elements. In exams first count the distinct elements of the original set.
\(512=2^9\) इसलिए (n(A)=9) होगा। घात समुच्चय में हमेशा \(2^n\) नियम लगाएं। / \(512=2^9\) so (n(A)=9). Always use the \(2^n\) rule for power set questions.
उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय स्वयं शामिल नहीं होता। इसलिए संख्या (1024-1=1023) है। / A proper subset does not include the whole set itself. Therefore the number is (1024-1=1023).
घात समुच्चय का प्रत्येक तत्व मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({r,t}) में केवल (A) के तत्व हैं इसलिए यह सही है। / Every element of a power set is a subset of the original set. ({r,t}) contains only elements of (A) so it is correct.
(1) स्वयं (A) का तत्व नहीं है बल्कि ({1}) तत्व है। इसलिए ({0,1}), (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (1) itself is not an element of (A); ({1}) is an element. So ({0,1}) is not a subset of (A).
(A) में दो अलग-अलग तत्व हैं इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) को अलग समझें। / Set (A) has two distinct elements so its power set has \(2^2=4\) elements. Treat \(\varnothing\) and \({\varnothing}\) as different.
(\mathcal{P}({a})) में (2) तत्व होते हैं। इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। / (\mathcal{P}({a})) has (2) elements. Therefore its power set has \(2^2=4\) elements.
(A') में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। यहां वे तत्व (b,d,e) हैं। / (A') contains elements of (U) that are not in (A). Here those elements are (b,d,e).
एक विद्यालय के (75) विद्यार्थियों में (32) संगीत में और (28) नाटक में भाग लेते हैं। यदि (10) विद्यार्थी दोनों में भाग लेते हैं, तो किसी भी गतिविधि में भाग न लेने वाले विद्यार्थी कितने हैं?
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cap B\)'=A'\cup B')। प्रतिच्छेद के पूरक में कम से कम एक समुच्चय से बाहर वाले तत्व आते हैं। / By De Morgan's law, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'). The complement of an intersection includes elements outside at least one set.
पूरक खाली है तो (U) में (A) के बाहर कोई तत्व नहीं है। इसलिए (A=U) होगा। / If the complement is empty, no element of (U) lies outside (A). Therefore (A=U).
(24) के भाजक (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं इसलिए (n(A)=8)। अतः (n(\mathcal{P}(A))=28=256)। / The divisors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24), so (n(A)=8). Hence (n(\mathcal{P}(A))=28=256).
एकल समुच्चय के उपसमुच्चय \(\varnothing\) और वही समुच्चय होते हैं। इसलिए घात समुच्चय में ({k}) आएगा, केवल (k) नहीं। / The subsets of a singleton set are \(\varnothing\) and the set itself. So the power set contains ({k}), not just (k).
A. \(m\in A\) और \(n\in A\)/\(m\in A\) and \(n\in A\)
Explanation
Simple Explanation
\({m,n}\in \mathcal{P}(A)\) का अर्थ है \({m,n}\subseteq A\)। इसलिए (m) और (n) दोनों (A) के तत्व होंगे। / \({m,n}\in \mathcal{P}(A)\) means \({m,n}\subseteq A\). Therefore both (m) and (n) are elements of (A).
दिए गए तीनों विकल्प (A) के उपसमुच्चय हैं। इसलिए ये सभी (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। / All three given options are subsets of (A). Therefore all of them are elements of (\mathcal{P}(A)).
\(\varnothing\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। इसलिए \(\varnothing\) हमेशा (\mathcal{P}(A)) का तत्व होगा। / \(\varnothing\) is a subset of every set. Therefore \(\varnothing\) is always an element of (\mathcal{P}(A)).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। \(\varnothing\) और (A) को हटाने पर (14) अरिक्त उचित उपसमुच्चय बचते हैं। / Total subsets are \(2^4=16\). Removing \(\varnothing\) and (A) leaves (14) non-empty proper subsets.
ठीक (2) तत्व चुनने की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) है। हर चयन घात समुच्चय का एक तत्व बनता है। / The number of ways to choose exactly (2) elements is \(\binom{5}{2}=10\). Each choice becomes an element of the power set.
एक तत्व को रखना तय है और बाकी (6) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6=64\) होगी। / One element is fixed to be included and the remaining (6) elements are free. So the number of subsets is \(2^6=64\).
दो निश्चित तत्व हटाने पर (3) तत्व बचते हैं। इनके उपसमुच्चय \(2^3=8\) होंगे। / After excluding two fixed elements, (3) elements remain. Their subsets are \(2^3=8\).
\(A=\{4,8,12,16\}\) है इसलिए (n(A)=4)। (U) में (18) तत्व हैं अतः (n(A')=18-4=14)। / \(A=\{4,8,12,16\}\), so (n(A)=4). Since (U) has (18) elements, (n(A')=18-4=14).
रिक्त समुच्चय का एकमात्र उपसमुच्चय वही रिक्त समुच्चय है। इसलिए (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing})। / The only subset of the empty set is the empty set itself. Therefore (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}).
समान समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय भी समान होते हैं। इसलिए उनके घात समुच्चय बराबर होंगे। / Equal sets have exactly the same subsets. Therefore their power sets are equal.
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। केवल \(\varnothing\) रिक्त है इसलिए अरिक्त उपसमुच्चय (15) होंगे। / Total subsets are \(2^4=16\). Only \(\varnothing\) is empty so there are (15) non-empty subsets.
हर मूल तत्व से एक एक-तत्वीय उपसमुच्चय बनता है। (5) तत्वों से (5) singleton subsets बनेंगे। / Each original element forms one singleton subset. From (5) elements, there are (5) singleton subsets.
ठीक (4) तत्व चुनने की संख्या \(\binom{6}{4}=15\) है। ऐसे हर उपसमुच्चय को घात समुच्चय में गिना जाता है। / The number of ways to choose exactly (4) elements is \(\binom{6}{4}=15\). Every such subset is counted in the power set.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में (2) और (3) अकेले नहीं बल्कि ({2}) और ({3}) आते हैं। / A two-element set has four subsets. In the power set, (2) and (3) appear as ({2}) and ({3}), not alone.
(n(\mathcal{P}(A))=64) और (n(\mathcal{P}(B))=16) हैं। अनुपात (64:16=4:1) होगा। / (n(\mathcal{P}(A))=64) and (n(\mathcal{P}(B))=16). The ratio is (64:16=4:1).
(MOON) के अलग-अलग अक्षर (M,O,N) हैं इसलिए (n(A)=3)। अतः घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। / The distinct letters of (MOON) are (M,O,N), so (n(A)=3). Therefore the power set has \(2^3=8\) elements.
समुच्चय में दोहराए गए तत्व एक बार गिने जाते हैं इसलिए \(A=\{4,5,6,7\}\)। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=24=16)। / Repeated elements are counted once in a set, so \(A=\{4,5,6,7\}\). Hence (n(\mathcal{P}(A))=24=16).
(7) में से (6) तत्व चुनने के तरीके \(\binom{7}{6}=7\) हैं। हर चयन एक उपसमुच्चय है। / The number of ways to choose (6) elements from (7) is \(\binom{7}{6}=7\). Each choice is a subset.
कुल उपसमुच्चय \(2^n\) होते हैं और \(2048=2^{11}\)। इसलिए (A) में (11) तत्व होंगे। / Total subsets are \(2^n\), and \(2048=2^{11}\). Therefore (A) has (11) elements.
छोटे समुच्चय का पूरक बड़ा होता है। \(A\subseteq B\) होने पर \(B'\subseteq A'\) सही है। / The complement of the smaller set is larger. If \(A\subseteq B\), then \(B'\subseteq A'\) is correct.
(A') के तत्व (A) में नहीं होते। (U) से (4,10) हटाने पर \(A=\{2,6,8,12\}\) मिलता है। / Elements of (A') are not in (A). Removing (4,10) from (U) gives \(A=\{2,6,8,12\}\).
(2) रखना और (5) हटाना निश्चित है। बचे (1,3,4) के लिए \(2^3=8\) विकल्प हैं। / Including (2) and excluding (5) are fixed. For the remaining (1,3,4), there are \(2^3=8\) choices.
कम से कम (5) का अर्थ (5) या (6) तत्व है। संख्या \(\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=6+1=7\) है। / At least (5) means (5) or (6) elements. The number is \(\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=6+1=7\).
(3) और (7) को रखना तय है और बाकी (5) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^5=32\) होगी। / Including (3) and (7) is fixed and the remaining (5) elements are free. So the number is \(2^5=32\).
(1,2,3) हटाने पर (4,5,6) बचते हैं। इनके \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / After excluding (1,2,3), the elements (4,5,6) remain. Their subsets are \(2^3=8\).
(\mathcal{P}(A)) में कुल \(2^4=16\) तत्व हैं। उचित उपसमुच्चय के लिए केवल (A) को हटाते हैं, इसलिए (15) बचते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) elements. For proper subsets, remove only (A) itself, so (15) remain.
\(A\cup B={2,4,6,8,10}\) है इसलिए इसमें (5) तत्व हैं। अतः घात समुच्चय में \(2^5=32\) तत्व होंगे। / \(A\cup B={2,4,6,8,10}\), so it has (5) elements. Hence its power set has \(2^5=32\) elements.
(30) के भाजक (1,2,3,5,6,10,15,30) हैं इसलिए (n(A)=8)। अतः (n(A')=30-8=22)। / The divisors of (30) are (1,2,3,5,6,10,15,30), so (n(A)=8). Hence (n(A')=30-8=22).
कम से कम एक तत्व वाले उपसमुच्चय अरिक्त उपसमुच्चय होते हैं। कुल \(2^3=8\) में से \(\varnothing\) हटाने पर (7) बचते हैं। / Subsets with at least one element are non-empty subsets. From total \(2^3=8\), removing \(\varnothing\) leaves (7).
