यदि \(A\subseteq U\) और \(A'=\varnothing\) है, तो कौन सा निष्कर्ष सही है?

Correct Answer: B. \(A=U\). Explanation: यहाँ \(A'\) का अर्थ यूनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष पूरक है, यानी \(A'=U\setminus A\). यदि \(A'=\varnothing\) तो \(U\setminus A=\varnothing\) आता है, अर्थात् कोई भी तत्व \(U\) में ऐसा नहीं है जो \(A\) के बाहर हो; इसका अर्थ \(U\subseteq A\) है। दिया गया है कि \(A\subseteq U\) भी है, इसलिए दोनों सम्मिलित कर के \(A=U\) प्राप्त होता है। विकल्प (A) गलत है क्योंकि यदि \(A=\varnothing\) होता तो \(A' = U\), जो सामान्यतः खाली नहीं होगा (केवल तब खाली जब \(U=\varnothing\) हो)। विकल्प (C) और (D) भी सामान्यतः सत्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: पूरक की परिभाषा \(A'=U\setminus A\) और उपस सेट संबंधों का संयोजन लिखकर त्वरित निष्कर्ष निकालें। / Here \(A'\) denotes the complement of \(A\) relative to the universal set \(U\), i.e. \(A'=U\setminus A\). If \(A'=\varnothing\) then \(U\setminus A=\varnothing\), so no element of \(U\) lies outside \(A\); hence \(U\subseteq A\). Given \(A\subseteq U\) as well, we conclude \(A=U\). Option (A) is incorrect because if \(A=\varnothing\) then \(A'=U\), not \(\varnothing\) (except in the degenerate case \(U=\varnothing\)). Options (C) and (D) are not generally implied by the hypothesis. Exam tip: Use \(A'=U\setminus A\) and combine subset relations to prove equality quickly (\(U\setminus A=\varnothing\Rightarrow U\subseteq A\Rightarrow A=U\)).