यदि A = U हो, तो \(\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(U)\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Correct Answer: A. \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(U)\). Explanation: यदि दो समुच्चय समान हैं (यहाँ A = U), तो उनका हर उपसमुच्चय भी समान होगा। इसलिए दोनों के उपसमुच्चयों का समूह, यानी उनका घातसमुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(U)\), भी बराबर होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी भी समुच्चय का घातसमुच्चय कभी शून्य समुच्चय नहीं होता; यहाँ तक कि शून्य समुच्चय के लिए भी \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\) होता है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(\mathcal{P}(U)\) के तत्त्व U के उपसमुच्चय होते हैं, U के तत्व नहीं—इसलिए वे सामान्यतः A के तत्व नहीं होते ताकि समावेशन \(\subset\) सही रहे। विकल्प D गलत है क्योंकि समान घातसमुच्चय का परस्पर छेद्य वही घातसमुच्चय होगा, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: सेट-सम्बन्धों में स्पष्ट करें कि घातसमुच्चय के तत्त्व उपसमुच्चय होते हैं, तत्व नहीं; और याद रखें कि \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\)। / If two sets are equal (here A = U), they have exactly the same subsets. Hence their power sets are equal: \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(U)\). Option B is false because a power set is never empty; even \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\). Option C is incorrect because elements of \(\mathcal{P}(U)\) are subsets of U, not elements of U, so inclusion \(\mathcal{P}(U)\subset A\) generally does not hold. Option D is false because the intersection of identical power sets is the same power set, not the empty set. Exam tip: distinguish between 'element of a set' and 'subset of a set' and remember the identity: A = B implies \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\).