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(n\(A\times B\)=n(A)n(B)=2\times3=6) होता है। परीक्षा में पहले दोनों समुच्चयों के अवयव गिनें। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)=2\times3=6). In exams, first count elements of both sets.
\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से आता है। क्रमित युग्म में क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। / In \(A\times B\), the first element comes from (A) and the second from (B). Order is very important in ordered pairs.
योग सम तब होगा जब दोनों घटक सम हों या दोनों विषम हों। यहां सही युग्म ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)) हैं। / The sum is even when both components are even or both are odd. Here the valid pairs are ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)).
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से होना चाहिए। इसलिए ((1,4)) सही है। / In \(B\times A\), the first element must be from (B) and the second from (A). Hence ((1,4)) is correct.
सही युग्म ((1,2)) और ((2,1)) हैं। ध्यान रखें कि दोनों क्रमित युग्म अलग माने जाते हैं। / The valid pairs are ((1,2)) and ((2,1)). Remember that these two ordered pairs are considered different.
A. क्योंकि \(1\in A\) और \(y\in B\)/because \(1\in A\) and \(y\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\((1,y)\in A\times B\) तभी होगा जब \(1\in A\) और \(y\in B\) हो। सदस्यता जांच में क्रम न बदलें। / \((1,y)\in A\times B\) only when \(1\in A\) and \(y\in B\). Do not reverse order while checking membership.
सही युग्म ((1,3),(2,4),(3,5)) हैं। ऐसी शर्तों में पहले (x) चुनकर (y) निकालना आसान है। / The valid pairs are ((1,3),(2,4),(3,5)). In such conditions, choose (x) first and then find (y).
किसी भी समुच्चय का रिक्त समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन \(\varnothing\) होता है। यदि एक भी समुच्चय रिक्त हो तो कोई क्रमित युग्म नहीं बनता। / The Cartesian product of any set with an empty set is \(\varnothing\). If one set is empty, no ordered pair is formed.
सही युग्म ((2,1),(3,1),(3,2),(5,1),(5,2),(5,3)) हैं। असमानता में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / The valid pairs are ((2,1),(3,1),(3,2),(5,1),(5,2),(5,3)). In inequalities, reversing order can change the answer.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (20=4n(B)) और (n(B)=5)। ऐसे प्रश्नों में गुणन सूत्र सीधे लगाएं। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so (20=4n(B)) and (n(B)=5). Use the multiplication formula directly in such questions.
\(B\cup C={3,4,5,6}\), इसलिए (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8)। पहले समुच्चय संक्रिया पूरी करें। / \(B\cup C={3,4,5,6}\), so (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8). Complete the set operation first.
(n\(A\times A\)=n(A)2=32=9) होता है। \(A\times A\) में समान अवयव वाले युग्म भी शामिल होते हैं। / (n\(A\times A\)=n(A)2=32=9). In \(A\times A\), pairs with equal elements are also included.
\(B\cap C={3,4}\), इसलिए (n(A\times\(B\cap C\))=3\times2=6)। प्रतिच्छेद निकालकर ही कार्तीय गुणन गिनें। / \(B\cap C={3,4}\), so (n(A\times\(B\cap C\))=3\times2=6). Find the intersection before counting the Cartesian product.
दोनों स्थानों पर अवयव अपने संबंधित समुच्चय से हैं, इसलिए ((2,2)) शामिल है। समान अवयव वाला क्रमित युग्म भी मान्य होता है। / Both entries are from their respective sets, so ((2,2)) is included. An ordered pair with equal entries is also valid.
\(A\cup B={1,2,3}\), इसलिए (n(\(A\cup B\)\times C)=3\times2=6)। समान अवयव को दो बार न गिनें। / \(A\cup B={1,2,3}\), so (n(\(A\cup B\)\times C)=3\times2=6). Do not count a common element twice.
A. यह नहीं होगा क्योंकि \(A\ne B\)/it will not happen because \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
केवल समान संख्या के अवयव होना पर्याप्त नहीं है। सामान्यतः \(A\times B=B\times A\) तभी जब (A=B) या कोई समुच्चय रिक्त हो। / Having the same number of elements is not enough. Usually \(A\times B=B\times A\) only when (A=B) or one set is empty.
सही युग्म ((1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,6),(4,4)) हैं। विभाज्यता में कौन किसे विभाजित कर रहा है यह ध्यान रखें। / The valid pairs are ((1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,6),(4,4)). In divisibility, note carefully which number divides the other.
पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से लिया जाता है। (B) में केवल (5) है, इसलिए दोनों युग्मों में दूसरा अवयव (5) होगा। / The first element is taken from (A) and the second from (B). Since (B) has only (5), the second entry in both pairs is (5).
सही युग्म ((3,6),(5,4),(5,6)) हैं। सीमा वाली असमानता में बराबरी शामिल है या नहीं यह जरूर देखें। / The valid pairs are ((3,6),(5,4),(5,6)). In boundary inequalities, check whether equality is included or not.
\(-1\in A\) और \(4\in B\), इसलिए \((-1,4)\in A\times B\) सत्य है। पहले और दूसरे स्थान की अलग-अलग जांच करें। / Since \(-1\in A\) and \(4\in B\), \((-1,4)\in A\times B\) is true. Check first and second positions separately.
सही युग्म ((2,1)) और ((3,2)) हैं। दिए हुए (B) के अवयवों से (x) निकालना तेज तरीका है। / The valid pairs are ((2,1)) and ((3,2)). A quick method is to choose elements of (B) and then find (x).
A. क्योंकि \(4\notin A\) और \(1\notin B\)/because \(4\notin A\) and \(1\notin B\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में पहले स्थान पर (A) का अवयव होना चाहिए और दूसरे स्थान पर (B) का। यहां दोनों स्थान गलत हैं। / In \(A\times B\), the first entry must be from (A) and the second from (B). Here both positions are wrong.
सही युग्म ((1,1),(2,4),(3,9)) हैं। कार्तीय गुणन में दिए संबंध की शर्त लगाकर उपसमुच्चय बनाया जाता है। / The valid pairs are ((1,1),(2,4),(3,9)). In a Cartesian product, applying a condition forms a subset relation.
सही युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। क्रमित युग्मों में ((2,3)) और ((3,2)) अलग होते हैं। / The valid pairs are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)). In ordered pairs, ((2,3)) and ((3,2)) are different.
\(A=\{-1,0,1\}\) में (3) अवयव और (B) में (2) अवयव हैं। इसलिए कुल युग्म \(3\times2=6\) हैं। / \(A=\{-1,0,1\}\) has (3) elements and (B) has (2) elements. Therefore total pairs are \(3\times2=6\).
(A-B={1,3,5}), इसलिए (n\((A-B)\times C\)=3\times3=9)। पहले समुच्चय का अंतर निकालें फिर कार्तीय गुणन गिनें। / (A-B={1,3,5}), so (n\((A-B)\times C\)=3\times3=9). First find the set difference and then count the Cartesian product.
(n\(A\times B\)=4) और (n(C)=1), इसलिए (n(\(A\times B\)\times C)=4)। ध्यान रखें कि (\(A\times B\)) खुद एक समुच्चय है। / (n\(A\times B\)=4) and (n(C)=1), so (n(\(A\times B\)\times C)=4). Remember that (\(A\times B\)) itself is a set.
\(1\in A\) के साथ (B) के सभी (3) अवयव जुड़ेंगे। इसलिए पहला घटक (1) कुल (3) बार आएगा। / The element \(1\in A\) pairs with all (3) elements of (B). So the first component (1) appears (3) times.
\(8\in B\) के साथ (A) के सभी (3) अवयव जुड़ेंगे। इसलिए दूसरा घटक (8) कुल (3) बार आएगा। / The element \(8\in B\) pairs with all (3) elements of (A). Therefore the second component (8) appears (3) times.
\((3,4)\in A\times B\) और (3+4=7)। ((4,3)) सही नहीं क्योंकि पहला अवयव (A) से नहीं है। / \((3,4)\in A\times B\) and (3+4=7). ((4,3)) is not correct because the first element is not from (A).
सही युग्म ((1,2),(1,3),(2,3)) हैं। शर्त लगाने के बाद ही गिनती करें। / The correct pairs are ((1,2),(1,3),(2,3)). Count only after applying the condition.
सही युग्म ((1,1)) और ((2,0)) हैं। ध्यान रखें कि पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। / The correct pairs are ((1,1)) and ((2,0)). Remember the first element must come from (A) and the second from (B).
सही युग्म ((2,2),(4,2),(4,4)) हैं। विभाज्यता में स्थान बदलने से अर्थ बदल जाता है। / The correct pairs are ((2,2),(4,2),(4,4)). In divisibility, changing positions changes the meaning.
(A) से (B) में संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है। केवल ({(1,3),(2,5)}) के दोनों युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation from (A) to (B) is any subset of \(A\times B\). Only ({(1,3),(2,5)}) has both pairs in \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=3\times2=6), और हर संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है। इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6\) होगी। / (n\(A\times B\)=3\times2=6), and every relation is a subset of \(A\times B\). Therefore the number of relations is \(2^6\).
(n\(A\times B\)=3\times1=3), इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) है। संबंध गिनने में \(2^{n(A\times B)}\) याद रखें। / (n\(A\times B\)=3\times1=3), so the number of subsets is \(2^3=8\). For counting relations, remember \(2^{n(A\times B)}\).
A. दोनों में अवयवों की संख्या समान है पर युग्म अलग हैं/both have same number of elements but different pairs
Explanation
Simple Explanation
दोनों में \(2\times2=4\) युग्म होंगे, पर क्रम बदलने से युग्म बदल जाते हैं। कार्तीय गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता। / Both have \(2\times2=4\) pairs, but changing order changes the pairs. Cartesian product is not commutative.
((2,2)) दोनों \(A\times B\) और \(B\times A\) में है। प्रतिच्छेद के लिए युग्म दोनों समुच्चयों में होना चाहिए। / ((2,2)) is in both \(A\times B\) and \(B\times A\). For intersection, the pair must belong to both sets.
((4,1)) में पहला अवयव (A) से नहीं और दूसरा (B) से नहीं है। क्रमित युग्म में स्थान की जांच जरूरी है। / In ((4,1)), the first element is not from (A) and the second is not from (B). Position checking is necessary in ordered pairs.
सबसे बड़ा पहला घटक (2) और सबसे बड़ा दूसरा घटक (5) है, इसलिए योग (7) अधिकतम है। ((5,2)) \(A\times B\) में नहीं है। / The greatest first component is (2) and the greatest second component is (5), so the maximum sum is (7). ((5,2)) is not in \(A\times B\).
समान घटकों वाले युग्म ((1,1)) और ((2,2)) हैं। केवल \(A\cap B\) के अवयव ऐसे युग्म बनाते हैं। / The equal-component pairs are ((1,1)) and ((2,2)). Only elements of \(A\cap B\) form such pairs.
सही युग्म ((2,1),(4,2),(6,3)) हैं। शर्त को हर संभव युग्म पर लागू करें। / The correct pairs are ((2,1),(4,2),(6,3)). Apply the condition to every possible pair.
A. (x)-अक्ष पर \(1\le x\le3\) वाला रेखाखंड/line segment on (x)-axis with \(1\le x\le3\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B={(x,0):1\le x\le3}\), इसलिए यह (x)-अक्ष पर रेखाखंड है। अंतराल वाले प्रश्नों में निर्देशांक रूप लिखें। / \(A\times B={(x,0):1\le x\le3}\), so it is a line segment on the (x)-axis. In interval questions, write the coordinate form.
पहला घटक हमेशा (0) होगा और दूसरा ([-2,2]) से बदलता रहेगा। इसलिए यह (y)-अक्ष का रेखाखंड है। / The first component is always (0), and the second varies in ([-2,2]). So it is a segment on the (y)-axis.
\(A\times B\) क्रमित युग्मों का समुच्चय है, इसलिए रूप \({(x,y):x\in A,,y\in B}\) है। योग या गुणन कार्तीय गुणन नहीं है। / \(A\times B\) is a set of ordered pairs, so its form is \({(x,y):x\in A,,y\in B}\). Sum or product of entries is not Cartesian product.
\(A\times B\) में सभी पहले घटक (A) से आते हैं और (B) रिक्त नहीं है। इसलिए पहले घटकों का समुच्चय (A) ही है। / In \(A\times B\), all first components come from (A), and (B) is non-empty. Therefore the set of first components is (A).
दूसरे घटक हमेशा (B) से आते हैं। यदि (A) रिक्त नहीं है तो (B) का हर अवयव दूसरे घटक के रूप में आएगा। / Second components always come from (B). If (A) is non-empty, every element of (B) appears as a second component.
A. हर \(a\in A\) के लिए (B) के सभी अवयवों से युग्म बनते हैं/for every \(a\in A\), pairs are formed with all elements of (B)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन में (A) का हर अवयव (B) के प्रत्येक अवयव के साथ जुड़ता है। यही कारण है कि कुल युग्म (n(A)n(B)) होते हैं। / In Cartesian product, every element of (A) pairs with each element of (B). That is why total pairs are (n(A)n(B)).
सही युग्म ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4),(2,4)) नहीं दोहराएं; वास्तविक अलग युग्म ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4)) और ((2,4)) की पुनरावृत्ति हटाने पर (4) होता है। / The listed valid distinct pairs are ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4)), so the count is (4). Avoid counting the same pair twice.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times2=6) होता है। परीक्षा में पहले दोनों समुच्चयों के अवयव गिनें। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times2=6). In exams, first count the elements of both sets.
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। सभी संभव युग्म लिखना जरूरी है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). All possible pairs must be written.
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से होना चाहिए। इसलिए ((4,3)) सही है। / In \(B\times A\), the first element must be from (B) and the second from (A). Hence ((4,3)) is correct.
क्योंकि \(2\in A\) और \(3\in B\), इसलिए \((2,3)\in A\times B\) सत्य है। क्रमित युग्म में दोनों स्थान अलग-अलग जांचें। / Since \(2\in A\) and \(3\in B\), \((2,3)\in A\times B\) is true. Check both positions separately in an ordered pair.
\(B\cap C={4,6}\), इसलिए (n(A\times\(B\cap C\))=4\times2=8)। पहले प्रतिच्छेद निकालें फिर गुणन करें। / \(B\cap C={4,6}\), so (n(A\times\(B\cap C\))=4\times2=8). First find the intersection and then multiply.
\(B\cup C={3,4,5,6}\), इसलिए कुल युग्म \(2\times4=8\) हैं। संघ में समान अवयव को दो बार न गिनें। / \(B\cup C={3,4,5,6}\), so total pairs are \(2\times4=8\). Do not count a common element twice in union.
(A-B={2,4}), इसलिए (n\((A-B)\times C\)=2\times2=4)। पहले समुच्चय अंतर निकालना जरूरी है। / (A-B={2,4}), so (n\((A-B)\times C\)=2\times2=4). It is necessary to find the set difference first.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (35=5n(B)) और (n(B)=7)। ऐसे प्रश्नों में सूत्र को उल्टा भी लगाएं। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so (35=5n(B)) and (n(B)=7). In such questions, use the formula in reverse too.
A. दोनों में (12) अवयव होंगे/both have (12) elements
Explanation
Simple Explanation
दोनों में अवयवों की संख्या \(3\times4=12\) होती है। संख्या समान हो सकती है पर युग्मों का क्रम सामान्यतः अलग होता है। / Both have \(3\times4=12\) elements. The number can be the same, but the order of pairs is generally different.
\(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{1,2\}\), इसलिए (n\(A\times B\)=4\times2=8)। सेट-बिल्डर रूप को पहले सूची रूप में बदलें। / \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{1,2\}\), so (n\(A\times B\)=4\times2=8). Convert set-builder form into roster form first.
\(A=\{-2,-1,0,1\}\) में (4) अवयव हैं और (B) में (2) अवयव हैं। इसलिए कुल युग्म \(4\times2=8\) होंगे। / \(A=\{-2,-1,0,1\}\) has (4) elements and (B) has (2) elements. Therefore total pairs are \(4\times2=8\).
रिक्त समुच्चय से पहला घटक नहीं लिया जा सकता, इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा। किसी भी तरफ रिक्त समुच्चय हो तो कार्तीय गुणन \(\varnothing\) होता है। / No first component can be taken from the empty set, so no ordered pair is formed. If either side is empty, the Cartesian product is \(\varnothing\).
(n\(A\times A\)=n(A)2=22=4) होता है। ((p,p)) और ((q,q)) जैसे समान घटक वाले युग्म भी शामिल होते हैं। / (n\(A\times A\)=n(A)2=22=4). Pairs with equal components such as ((p,p)) and ((q,q)) are also included.
(y=2) के लिए (1) युग्म, (y=4) के लिए (3) युग्म और (y=6) के लिए (4) युग्म मिलते हैं। कुल (1+3+4=8) नहीं, सही गिनती ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6)) यानी (8) है। / The valid pairs are ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6)), so the count is (8). List carefully to avoid overcounting.
सही युग्म ((1,3),(2,2),(3,1)) हैं। क्रमित युग्म में स्थान निश्चित रहते हैं। / The valid pairs are ((1,3),(2,2),(3,1)). The positions in an ordered pair remain fixed.
सही युग्म ((1,2),(2,4),(4,8)) हैं। पहले (x) चुनकर (y) निकालना आसान तरीका है। / The valid pairs are ((1,2),(2,4),(4,8)). A simple method is to choose (x) first and then find (y).
सही युग्म ((2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(6,1),(6,2),(6,3)) हैं। विभाज्यता में कौन सा घटक भाजक है यह ध्यान रखें। / The valid pairs are ((2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(6,1),(6,2),(6,3)). In divisibility, note which component is the divisor.
पहला घटक (2) तय करने पर दूसरा घटक (B) के (3) अवयवों में से कोई भी हो सकता है। इसलिए (3) युग्म मिलेंगे। / When the first component (2) is fixed, the second component can be any of the (3) elements of (B). Hence there are (3) pairs.
दूसरा घटक (6) तय होने पर पहला घटक (A) के (4) अवयवों में से कोई भी हो सकता है। इसलिए (4) युग्म होंगे। / When the second component (6) is fixed, the first component can be any of the (4) elements of (A). So there are (4) pairs.
(n\(A\times B\)=3\times2=6), और हर संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। इसलिए कुल संबंध \(2^6\) हैं। / (n\(A\times B\)=3\times2=6), and every relation is a subset of \(A\times B\). Therefore the total number of relations is \(2^6\).
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। केवल ({(1,4),(3,5)}) के सभी युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation is a subset of \(A\times B\). Only all pairs of ({(1,4),(3,5)}) belong to \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=2\times3=6), इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6\) है। उपसमुच्चय गिनने में \(2^n\) सूत्र लगाएं। / (n\(A\times B\)=2\times3=6), so the number of subsets is \(2^6\). Use the formula \(2^n\) for counting subsets.
दोनों में केवल ((2,2)) समान युग्म है। प्रतिच्छेद के लिए पूरा क्रमित युग्म समान होना चाहिए। / Only ((2,2)) is common to both. For intersection, the whole ordered pair must be identical.
A. रेखा (y=1) पर \(0\le x\le2\) वाला रेखाखंड/line segment on (y=1) with \(0\le x\le2\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B={(x,1):0\le x\le2}\) है। इसलिए यह (y=1) पर एक क्षैतिज रेखाखंड है। / \(A\times B={(x,1):0\le x\le2}\). Hence it is a horizontal line segment on (y=1).
पहला घटक हमेशा (-1) है और दूसरा ([2,5]) में बदलता है। यह ऊर्ध्वाधर रेखाखंड का रूप देता है। / The first component is always (-1), and the second varies in ([2,5]). This gives a vertical line segment.
(n\(B\times C\)=1\times2=2), इसलिए (n(A\times\(B\times C\))=2\times2=4)। अंदर का कार्तीय गुणन पहले गिनें। / (n\(B\times C\)=1\times2=2), so (n(A\times\(B\times C\))=2\times2=4). Count the inner Cartesian product first.
दूसरे घटक हमेशा (B) से आते हैं। क्योंकि (A) अरिक्त है, (B) का हर अवयव दूसरे घटक में आएगा। / Second components always come from (B). Since (A) is non-empty, every element of (B) appears as a second component.
योग विषम तब होता है जब एक घटक विषम और दूसरा सम हो। यहां ऐसे (5) युग्म बनते हैं। / A sum is odd when one component is odd and the other is even. Here (5) such pairs are formed.
सही युग्म ((0,2)) और ((2,0)) हैं। ((1,1)) नहीं आएगा क्योंकि \(1\notin B\)। / The valid pairs are ((0,2)) and ((2,0)). ((1,1)) will not appear because \(1\notin B\).
सबसे बड़ा पहला घटक (4) और सबसे बड़ा दूसरा घटक (5) है। इसलिए ((4,5)) का योग सबसे बड़ा है। / The greatest first component is (4) and the greatest second component is (5). So ((4,5)) has the greatest sum.
सही युग्म ((3,1)) और ((4,2)) हैं। (y) चुनकर (x=y+2) निकालना तेज तरीका है। / The valid pairs are ((3,1)) and ((4,2)). A quick method is to choose (y) and find (x=y+2).
सही युग्म ((1,8),(2,4),(4,2)) हैं। उत्पाद शर्त में दोनों घटकों की सदस्यता जरूर जांचें। / The valid pairs are ((1,8),(2,4),(4,2)). In a product condition, always check membership of both components.
क्योंकि (B-C={3,4}), इसलिए (A) के हर अवयव के साथ (3) और (4) जुड़ेंगे। पहले अंतर निकालें फिर युग्म लिखें। / Since (B-C={3,4}), each element of (A) pairs with (3) and (4). Find the difference first and then write the pairs.
कार्तीय गुणन क्रमित युग्मों का समुच्चय है। इसलिए सही रूप \({(x,y):x\in A,,y\in B}\) है। / Cartesian product is a set of ordered pairs. Therefore the correct form is \({(x,y):x\in A,,y\in B}\).
सही युग्म ((1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)) हैं। \(\le\) में बराबरी वाले युग्म भी शामिल करें। / The valid pairs are ((1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)). Include equal pairs when the condition is \(\le\).
सही युग्म ((2,4),(3,3),(3,4)) हैं। (x+y=5) वाले युग्म शामिल नहीं होंगे। / The valid pairs are ((2,4),(3,3),(3,4)). Pairs with (x+y=5) are not included.
यदि दोनों समुच्चय अरिक्त हैं तो कम से कम एक क्रमित युग्म बनता है। इसलिए \(A\times B=\varnothing\) नहीं हो सकता। / If both sets are non-empty, at least one ordered pair is formed. Therefore \(A\times B=\varnothing\) cannot happen.
कार्तीय गुणन में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए यह सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। यह विशेष स्थिति में (A=B) या रिक्त समुच्चय के कारण समान हो सकता है। / Order matters in Cartesian product, so it is generally not commutative. It may be equal in special cases such as (A=B) or because of an empty set.
\(3\in A\) विषम है और \(b\in B\), इसलिए \((3,b)\in R\)। संबंध में दी गई शर्त को कार्तीय गुणन पर लागू करें। / \(3\in A\) is odd and \(b\in B\), so \((3,b)\in R\). Apply the given condition to the Cartesian product.
(R) के हर युग्म में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से है। इसलिए \(R\subseteq A\times B\)। / In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
युग्मों से योग (0+2=2), (0+3=3), (1+2=3) और (1+3=4) मिलते हैं। समुच्चय में (3) को दो बार नहीं लिखते। / The sums are (0+2=2), (0+3=3), (1+2=3) and (1+3=4). In a set, (3) is not written twice.
(B) के सभी (3) अवयव सम हैं और (A) के (3) अवयवों से जुड़ते हैं। इसलिए \(3\times3=9\) युग्म मिलते हैं। / All (3) elements of (B) are even and pair with (3) elements of (A). Hence \(3\times3=9\) pairs are obtained.
(A) में विषम अवयव (1) और (3) हैं, और हर एक (B) के (2) अवयवों से जुड़ेगा। इसलिए \(2\times2=4\) युग्म होंगे। / The odd elements in (A) are (1) and (3), and each pairs with (2) elements of (B). Therefore \(2\times2=4\) pairs are formed.
\(A\cap B={2}\), इसलिए पहला घटक केवल (2) हो सकता है और दूसरा (C) से होगा। इसलिए ((2,4)) सही है। / \(A\cap B={2}\), so the first component can only be (2) and the second must be from (C). Hence ((2,4)) is correct.
\(B\cap C={5}\), इसलिए (n(A\times\(B\cap C\))=3\times1=3)। पहले प्रतिच्छेद निकालें फिर कार्तीय गुणन गिनें। / \(B\cap C={5}\), so (n(A\times\(B\cap C\))=3\times1=3). First find the intersection and then count the Cartesian product.
सही युग्म ((0,5),(2,3),(4,1)) हैं। योग की शर्त में दोनों घटकों की सदस्यता जरूर जांचें। / The valid pairs are ((0,5),(2,3),(4,1)). In a sum condition, always check membership of both components.
सही गिनती (y=1) के लिए (4), (y=2) के लिए (3) और (y=4) के लिए (1) है। इसलिए कुल (4+3+1=8) युग्म हैं। / The correct count is (4) for (y=1), (3) for (y=2), and (1) for (y=4). Thus total pairs are (4+3+1=8).
सही युग्म ((2,1),(4,2),(8,4)) हैं। भिन्न वाली शर्त में (y) का मान समुच्चय (B) से ही लें। / The valid pairs are ((2,1),(4,2),(8,4)). In a fraction condition, take (y) only from set (B).
((1,4)) में \(4\ne2\times1\), इसलिए यह (R) में नहीं है। संबंध में दी गई शर्त को हर विकल्प पर लगाएं। / In ((1,4)), \(4\ne2\times1\), so it is not in (R). Apply the given relation condition to each option.
गुणनफल \(1\cdot2=2\), \(1\cdot4=4\), \(1\cdot6=6\), \(3\cdot2=6\), \(3\cdot4=12\), \(3\cdot6=18\) मिलते हैं। समुच्चय में (6) को दो बार नहीं लिखते। / The products are \(1\cdot2=2\), \(1\cdot4=4\), \(1\cdot6=6\), \(3\cdot2=6\), \(3\cdot4=12\), \(3\cdot6=18\). In a set, (6) is not written twice.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times2=6) होता है। पहले दोनों समुच्चयों के अवयव गिनना सबसे सुरक्षित तरीका है। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times2=6). Counting elements of both sets first is the safest method.
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से आता है। हर (A) का अवयव (B) के सभी अवयवों से जुड़ता है। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). Each element of (A) pairs with all elements of (B).
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से होना चाहिए। इसलिए ((3,2)) सही है। / In \(B\times A\), the first element must be from (B) and the second from (A). Hence ((3,2)) is correct.
क्योंकि \(6\in A\) और \(4\in B\), इसलिए \((6,4)\in A\times B\) सत्य है। सदस्यता में दोनों स्थान अलग-अलग जांचें। / Since \(6\in A\) and \(4\in B\), \((6,4)\in A\times B\) is true. Check both positions separately for membership.
((2,5)) में पहला अवयव (A) से नहीं और दूसरा (B) से नहीं है। कार्तीय गुणन में क्रम बदलना सामान्य गलती है। / In ((2,5)), the first element is not from (A) and the second is not from (B). Reversing order is a common Cartesian product mistake.
\(B\cap C={3}\), इसलिए (n(A\times\(B\cap C\))=3\times1=3)। पहले प्रतिच्छेद निकालें फिर गुणन करें। / \(B\cap C={3}\), so (n(A\times\(B\cap C\))=3\times1=3). Find the intersection first and then multiply.
\(B\cup C={2,4,6,8}\), इसलिए (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8)। संघ में समान अवयव को दो बार न गिनें। / \(B\cup C={2,4,6,8}\), so (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8). Do not count common elements twice in a union.
(A-B={2,6}), इसलिए (n\((A-B)\times C\)=2\times3=6)। पहले समुच्चय अंतर निकालना जरूरी है। / (A-B={2,6}), so (n\((A-B)\times C\)=2\times3=6). It is necessary to find the set difference first.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (48=6n(B)) और (n(B)=8)। ऐसे प्रश्नों में सूत्र को उल्टा लगाएं। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so (48=6n(B)) and (n(B)=8). Use the formula in reverse in such questions.
B. दोनों में (20) अवयव होंगे/both have (20) elements
Explanation
Simple Explanation
दोनों की अवयव संख्या \(4\times5=20\) होगी। संख्या समान हो सकती है पर युग्मों का क्रम सामान्यतः अलग होता है। / Both have \(4\times5=20\) elements. The number can be the same but the order of pairs is generally different.
\(A=\{2,3,4,5\}\) और \(B=\{1,2,3\}\) हैं। इसलिए (n\(A\times B\)=4\times3=12)। / \(A=\{2,3,4,5\}\) and \(B=\{1,2,3\}\). Hence (n\(A\times B\)=4\times3=12).
दूसरा घटक (B) से लेना होता है पर \(B=\varnothing\) है। इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा और गुणन \(\varnothing\) होगा। / The second component must come from (B), but \(B=\varnothing\). Hence no ordered pair is formed and the product is \(\varnothing\).
(n\(A\times A\)=n(A)2=32=9) होता है। समान घटक वाले युग्म भी इसमें शामिल होते हैं। / (n\(A\times A\)=n(A)2=32=9). Pairs with equal components are also included.
सही युग्म ((3,3)) और ((4,4)) हैं। ऐसे युग्म \(A\cap B\) के अवयवों से बनते हैं। / The valid pairs are ((3,3)) and ((4,4)). Such pairs are formed from elements of \(A\cap B\).
(y=1) के लिए (1) युग्म, (y=3) के लिए (3) युग्म और (y=5) के लिए (4) युग्म मिलते हैं। कुल (1+3+4=8) नहीं, ध्यान से सूची बनाने पर ((0,1),(0,3),(1,3),(2,3),(0,5),(1,5),(2,5),(3,5)) यानी (8) युग्म हैं। / The valid pairs are ((0,1),(0,3),(1,3),(2,3),(0,5),(1,5),(2,5),(3,5)), so the count is (8). Careful listing prevents overcounting.
सही युग्म ((1,4),(2,3),(4,1)) हैं। हर युग्म में दोनों घटकों की सदस्यता जरूर जांचें। / The valid pairs are ((1,4),(2,3),(4,1)). Always check membership of both components in each pair.
सही युग्म ((1,2),(3,6),(5,10)) हैं। पहले (x) चुनकर (y) निकालना तेज तरीका है। / The valid pairs are ((1,2),(3,6),(5,10)). Choosing (x) first and then finding (y) is a quick method.
सही युग्म ((4,1),(4,2),(4,4),(6,1),(6,2),(8,1),(8,2),(8,4)) हैं। विभाज्यता में भाजक और भाज्य की जगह ध्यान से देखें। / The valid pairs are ((4,1),(4,2),(4,4),(6,1),(6,2),(8,1),(8,2),(8,4)). In divisibility, note the positions of divisor and dividend carefully.
सही युग्म ((1,1),(2,4),(4,16)) हैं। कार्तीय गुणन पर शर्त लगाने से संबंध बनता है। / The valid pairs are ((1,1),(2,4),(4,16)). Applying a condition to a Cartesian product forms a relation.
पहला घटक (4) तय होने पर दूसरा घटक (B) के (4) अवयवों में से कोई भी हो सकता है। इसलिए (4) युग्म बनते हैं। / When the first component (4) is fixed, the second component can be any of the (4) elements of (B). Hence (4) pairs are formed.
दूसरा घटक (20) तय होने पर पहला घटक (A) के (4) अवयवों में से कोई भी हो सकता है। इसलिए (4) युग्म होंगे। / When the second component (20) is fixed, the first component can be any of the (4) elements of (A). So there are (4) pairs.
(n\(A\times B\)=2\times3=6), और हर संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। इसलिए कुल संबंध \(2^6\) हैं। / (n\(A\times B\)=2\times3=6), and every relation is a subset of \(A\times B\). Therefore the total number of relations is \(2^6\).
संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। केवल ({(2,1),(6,3)}) के सभी युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation is a subset of \(A\times B\). Only all pairs of ({(2,1),(6,3)}) belong to \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=3\times2=6), इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6\) है। उपसमुच्चय गिनने में \(2^n\) लगाएं। / (n\(A\times B\)=3\times2=6), so the number of subsets is \(2^6\). Use \(2^n\) for counting subsets.
साझा युग्म ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)) हैं। प्रतिच्छेद में पूरा क्रमित युग्म दोनों समुच्चयों में होना चाहिए। / The common pairs are ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)). In intersection, the whole ordered pair must belong to both sets.
A. दोनों में (6) अवयव हैं पर समुच्चय सामान्यतः अलग हैं/both have (6) elements but the sets are generally different
Explanation
Simple Explanation
दोनों की अवयव संख्या \(2\times3=6\) है, पर क्रम बदलने से युग्म बदल जाते हैं। कार्तीय गुणन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। / Both have \(2\times3=6\) elements, but changing the order changes pairs. Cartesian product is generally not commutative.
B. रेखा (y=3) पर \(2\le x\le5\) वाला रेखाखंड/line segment on (y=3) with \(2\le x\le5\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B={(x,3):2\le x\le5}\) है। इसलिए यह (y=3) पर क्षैतिज रेखाखंड है। / \(A\times B={(x,3):2\le x\le5}\). Hence it is a horizontal line segment on (y=3).
पहला घटक हमेशा (2) है और दूसरा ([-1,4]) में बदलता है। यह (x=2) पर ऊर्ध्वाधर रेखाखंड है। / The first component is always (2), and the second varies in ([-1,4]). This is a vertical line segment on (x=2).
(n\(A\times B\)=3\times2=6) और (n(C)=1) है। इसलिए (n(\(A\times B\)\times C)=6\times1=6)। / (n\(A\times B\)=3\times2=6) and (n(C)=1). Therefore (n(\(A\times B\)\times C)=6\times1=6).
क्योंकि (B) अरिक्त है, (A) का हर अवयव पहले घटक के रूप में आएगा। इसलिए पहले घटकों का समुच्चय (A) है। / Since (B) is non-empty, every element of (A) appears as a first component. Therefore the set of first components is (A).
दूसरे घटक हमेशा (B) से आते हैं। क्योंकि (A) अरिक्त है, (B) का हर अवयव दूसरे घटक के रूप में आता है। / Second components always come from (B). Since (A) is non-empty, every element of (B) appears as a second component.
योग सम तब होगा जब दोनों घटक समान सम-विषम प्रकृति के हों। यहां ऐसे \(2\times2+2\times1=6\) युग्म हैं। / The sum is even when both components have the same parity. Here such pairs are \(2\times2+2\times1=6\).
सही युग्म ((2,5),(4,3),(6,1)) हैं। शर्त लगाने के बाद ही युग्मों की गिनती करें। / The valid pairs are ((2,5),(4,3),(6,1)). Count pairs only after applying the condition.
सबसे बड़ा पहला घटक (8) और सबसे बड़ा दूसरा घटक (7) है। इसलिए ((8,7)) का योग सबसे बड़ा होगा। / The greatest first component is (8) and the greatest second component is (7). Therefore ((8,7)) has the greatest sum.
सही युग्म ((3,1),(4,2),(5,3)) हैं। (y) चुनकर (x=y+2) निकालना आसान है। / The valid pairs are ((3,1),(4,2),(5,3)). Choosing (y) and finding (x=y+2) is easy.
सही युग्म ((1,6),(2,3),(3,2),(6,1)) हैं। क्रमित युग्मों में ((2,3)) और ((3,2)) अलग हैं। / The valid pairs are ((1,6),(2,3),(3,2),(6,1)). In ordered pairs, ((2,3)) and ((3,2)) are different.
(B-C={3,9}), इसलिए (A) के हर अवयव के साथ (3) और (9) जुड़ेंगे। पहले अंतर निकालें फिर युग्म लिखें। / (B-C={3,9}), so each element of (A) pairs with (3) and (9). Find the difference first and then write the pairs.
कार्तीय गुणन क्रमित युग्मों का समुच्चय है। सही रूप में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। / Cartesian product is a set of ordered pairs. In the correct form, the first component is from (A) and the second is from (B).
(y=2) के लिए (2) युग्म, (y=3) के लिए (3) युग्म और (y=4) के लिए (4) युग्म हैं। कुल (2+3+4=9) युग्म मिलते हैं। / For (y=2), there are (2) pairs; for (y=3), (3) pairs; and for (y=4), (4) pairs. Total pairs are (2+3+4=9).
सही युग्म ((3,1),(6,2),(9,3)) हैं। शर्त लगाते समय दोनों समुच्चयों की सीमा याद रखें। / The valid pairs are ((3,1),(6,2),(9,3)). While applying the condition, remember the limits of both sets.
सही युग्म ((2,6),(5,4),(5,6)) हैं। (x+y=7) वाले युग्म शामिल नहीं होंगे। / The valid pairs are ((2,6),(5,4),(5,6)). Pairs with (x+y=7) are not included.
पहला घटक (A) से आना चाहिए पर \(A=\varnothing\) है। इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा। / The first component must come from (A), but \(A=\varnothing\). Therefore no ordered pair is formed.
यदि (A=B), तो दोनों तरफ वास्तव में \(A\times A\) ही है। इसलिए दोनों कार्तीय गुणन समान होंगे। / If (A=B), then both sides are actually \(A\times A\). Therefore both Cartesian products are equal.
\(4\in A\) सम है और \(b\in B\), इसलिए \((4,b)\in R\)। संबंध की शर्त को हर विकल्प पर लगाएं। / \(4\in A\) is even and \(b\in B\), so \((4,b)\in R\). Apply the relation condition to every option.
(R) के हर युग्म में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से है। इसलिए \(R\subseteq A\times B\)। / In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
योग (1+2=3), (1+5=6), (2+2=4) और (2+5=7) मिलते हैं। समुच्चय में परिणामों को एक बार लिखें। / The sums are (1+2=3), (1+5=6), (2+2=4) and (2+5=7). Write each result once in a set.
(B) के सभी (3) अवयव सम हैं और (A) के (4) अवयवों से जुड़ते हैं। इसलिए \(4\times3=12\) युग्म बनेंगे। / All (3) elements of (B) are even and pair with (4) elements of (A). Hence \(4\times3=12\) pairs are formed.
(A) में अभाज्य अवयव (2,3,5) हैं और हर एक (B) के (2) अवयवों से जुड़ता है। इसलिए \(3\times2=6\) युग्म होंगे। / The prime elements in (A) are (2,3,5), and each pairs with (2) elements of (B). Therefore \(3\times2=6\) pairs are formed.
\(A\cap B={2,3}\), इसलिए पहला घटक (2) या (3) और दूसरा (C) से होना चाहिए। ((3,0)) यह शर्त पूरी करता है। / \(A\cap B={2,3}\), so the first component must be (2) or (3) and the second must be from (C). ((3,0)) satisfies this condition.
\(B\cup C={2,3,4,5}\) और (\(B\cup C\)-A={4,5}) है। इसलिए (n(A\times(\(B\cup C\)-A))=3\times2=6)। / \(B\cup C={2,3,4,5}\) and (\(B\cup C\)-A={4,5}). Therefore (n(A\times(\(B\cup C\)-A))=3\times2=6).
