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A. (A) और (B) के सभी क्रमित युग्म/All ordered pairs of (A) and (B)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। परीक्षा में क्रमित युग्म का क्रम जरूर देखें। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). In exams, always check the order of the pair.
हर तत्व (A) से लेकर (B) के (3) के साथ युग्म बनाया जाता है। सूची बनाते समय पहला स्थान (A) का रखें। / Each element of (A) is paired with (3) from (B). While listing, keep the first position for (A).
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए \(1\times 2=2\)। परीक्षा में पहले संख्या गिनें फिर गुणा करें। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so \(1\times 2=2\). In exams, count elements first and then multiply.
कार्तीय गुणन में तत्वों की संख्या (n(A)n(B)) होती है। यहां \(4\times 5=20\), यही सही उत्तर है। / The number of elements in a Cartesian product is (n(A)n(B)). Here \(4\times 5=20\), so this is the correct answer.
पहले घटक के लिए (A) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा। खाली समुच्चय पर विशेष ध्यान दें। / There is no element in (A) for the first component, so no ordered pair is formed. Pay special attention to the empty set.
A. हां, क्योंकि \(2\in A\) और \(3\in B\)/Yes, because \(2\in A\) and \(3\in B\)
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) में पहला घटक (2) है जो (A) में है और दूसरा (3) है जो (B) में है। सदस्यता जांचते समय दोनों स्थान अलग-अलग जांचें। / In ((2,3)), the first component (2) is in (A) and the second (3) is in (B). Check both positions separately for membership.
A. \(p\in A\) और \(q\in B\)/\(p\in A\) and \(q\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में क्रमित युग्म का पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से होता है। इसी नियम से अधिकतर सदस्यता प्रश्न हल होते हैं। / In \(A\times B\), the first component of an ordered pair is from (A) and the second is from (B). This rule solves most membership questions.
B. \(A\times B\) और \(B\times A\) सामान्यतः समान नहीं होते/\(A\times B\) and \(B\times A\) are generally not equal
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन में क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए \(A\times B\) सामान्यतः \(B\times A\) से अलग होता है। परीक्षा में उल्टा क्रम गलती कराता है। / Order matters in Cartesian product, so \(A\times B\) is generally different from \(B\times A\). Reversed order is a common exam mistake.
\(A\times B={(1,1),(1,2)}\) और \(B\times A={(1,1),(2,1)}\) हैं। केवल दिखने में समान संख्याएं होने से क्रम नहीं बदलता। / \(A\times B={(1,1),(1,2)}\) and \(B\times A={(1,1),(2,1)}\). Similar looking numbers do not remove the importance of order.
((5,7)) में पहला घटक (5) और दूसरा घटक (7) है। कार्तीय गुणन में पहला घटक पहले समुच्चय से आता है। / In ((5,7)), the first component is (5) and the second component is (7). In Cartesian product, the first component comes from the first set.
((5,7)) का दूसरा घटक (7) है। परीक्षा में कोष्ठक के अंदर स्थान को ध्यान से पढ़ें। / The second component of ((5,7)) is (7). In exams, read the position inside the brackets carefully.
(A) में (2) और (B) में (2) तत्व हैं, इसलिए \(2\times 2=4\)। छोटी सूचियों में चाहें तो सभी युग्म लिखकर भी जांचें। / (A) has (2) elements and (B) has (2) elements, so \(2\times 2=4\). For small sets, you may also list all pairs to check.
((3,5)) में \(3\in A\) और \(5\in B\), इसलिए यह \(A\times B\) में है। बाकी विकल्पों में घटक का स्थान या सदस्यता गलत है। / In ((3,5)), \(3\in A\) and \(5\in B\), so it belongs to \(A\times B\). Other options have wrong position or membership.
((3,1)) में पहला घटक (3) है जो (A) में नहीं है। गलत विकल्प पहचानने के लिए पहले घटक की जांच पहले करें। / In ((3,1)), the first component (3) is not in (A). To find the wrong option, check the first component first.
(A) का एकमात्र तत्व (0) पहले स्थान पर रहेगा और (B) के सभी तत्व दूसरे स्थान पर आएंगे। एकल तत्व वाले समुच्चय में भी क्रम न बदलें। / The only element (0) of (A) stays in the first position and all elements of (B) come in the second position. Do not reverse order even for singleton sets.
(n\(A\times A\)=n(A)n(A)=3\times 3=9)। समान समुच्चय के साथ भी गुणा ही किया जाता है। / (n\(A\times A\)=n(A)n(A)=3\times 3=9). Even with the same set, the counts are multiplied.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (12=3n(B)) और (n(B)=4)। अज्ञात संख्या निकालने के लिए भाग दें। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so (12=3n(B)) and (n(B)=4). Divide to find the unknown count.
यदि (A) खाली नहीं है फिर भी कोई युग्म नहीं बना, तो (B) खाली होना चाहिए। कार्तीय गुणन खाली होने पर कम से कम एक समुच्चय खाली होता है। / If (A) is not empty and still no pair is formed, then (B) must be empty. If a Cartesian product is empty, at least one set is empty.
A. (A) से पहला घटक और (B) से दूसरा घटक वाले सभी युग्म/All pairs with first component from (A) and second component from (B)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में पहला स्थान (A) और दूसरा स्थान (B) से भरा जाता है। इसे \(A\cup B\) समझना आम गलती है। / In \(A\times B\), the first position is filled from (A) and the second from (B). Confusing it with \(A\cup B\) is a common mistake.
क्रमित युग्म में स्थान बदलने से युग्म बदल जाता है। केवल तब समानता होगी जब दोनों संबंधित घटक समान हों। / Changing positions changes an ordered pair. Equality holds only when corresponding components are equal.
\(A\times A\) में (A) का हर तत्व (A) के हर तत्व के साथ युग्म बनाता है। केवल समान घटक वाले युग्म लेना अधूरा उत्तर है। / In \(A\times A\), every element of (A) pairs with every element of (A). Taking only equal component pairs is incomplete.
(B) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई दूसरा घटक नहीं मिल सकता। संख्या पूछी गई है, इसलिए उत्तर (0) है। / There is no element in (B), so no second component is available. Since the number is asked, the answer is (0).
दोनों समुच्चय में एक-एक तत्व है, इसलिए केवल ((4,6)) बनेगा। एकल समुच्चयों का गुणन एक क्रमित युग्म देता है। / Both sets have one element each, so only ((4,6)) is formed. The product of singleton sets gives one ordered pair.
क्रमित युग्मों की समानता में पहले घटक बराबर और दूसरे घटक बराबर होते हैं। इसलिए (a=2) और (b=3)। / In equality of ordered pairs, first components are equal and second components are equal. Hence (a=2) and (b=3).
परिभाषा के अनुसार \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\)। सेट-बिल्डर रूप में घटकों का क्रम वही रखें। / By definition, \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\). In set-builder form, keep the order of components unchanged.
\(B\times A\) में पहला घटक (B) से (2) होगा और दूसरा घटक (A) से (1) या (2) होगा। क्रम बदलने से उत्तर बदलता है। / In \(B\times A\), the first component is (2) from (B) and the second is (1) or (2) from (A). Reversing the order changes the answer.
दोनों की संख्या (n(A)n(B)) होती है, इसलिए संख्याएं बराबर होती हैं। ध्यान रखें कि संख्या बराबर हो सकती है पर समुच्चय अलग हो सकते हैं। / Both counts are (n(A)n(B)), so the numbers are equal. Remember that counts may be equal even when the sets are different.
(A) के दोनों तत्व पहले स्थान पर और (B) का (0) दूसरे स्थान पर आता है। ऋणात्मक संख्या भी सामान्य तत्व की तरह ही प्रयोग होती है। / Both elements of (A) come in the first position and (0) from (B) comes in the second position. A negative number is used like any other element.
((6,2)) में \(6\in A\) और \(2\in B\), इसलिए यह सही है। केवल दोनों संख्याएं मौजूद होना काफी नहीं, स्थान भी सही होना चाहिए। / In ((6,2)), \(6\in A\) and \(2\in B\), so it is correct. Having both numbers present is not enough; their positions must also be correct.
((1,0)) में दोनों घटक (A) से हैं, इसलिए यह \(A\times A\) में होगा। \(A\times A\) में दोनों स्थानों पर (A) के तत्व आते हैं। / In ((1,0)), both components are from (A), so it belongs to \(A\times A\). In \(A\times A\), elements of (A) fill both positions.
यदि (A) का हर तत्व (B) में है, तो \(A\times C\) का हर युग्म \(B\times C\) में भी होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्न में पहले घटक पर ध्यान दें। / If every element of (A) is in (B), then every pair of \(A\times C\) is also in \(B\times C\). In subset questions, focus on the first component.
दूसरे घटक के लिए (C) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई क्रमित युग्म नहीं बनेगा। खाली समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन खाली होता है। / There is no element in (C) for the second component, so no ordered pair is formed. Cartesian product with an empty set is empty.
क्रमित युग्म को ((a,b)) के रूप में लिखा जाता है, जबकि ({a,b}) समुच्चय है। परीक्षा में कोष्ठक और मध्यम कोष्ठक का अंतर पहचानें। / An ordered pair is written as ((a,b)), while ({a,b}) is a set. In exams, notice the difference between parentheses and braces.
A. ((a,b)) और ((b,a)) सामान्यतः अलग होते हैं/((a,b)) and ((b,a)) are generally different
Explanation
Simple Explanation
क्रमित युग्म में पहला और दूसरा स्थान अलग अर्थ रखते हैं। इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) को सामान्यतः समान न मानें। / The first and second positions in an ordered pair have different meanings. Therefore, do not generally treat ((a,b)) and ((b,a)) as equal.
कार्तीय गुणन में प्रत्येक (A) तत्व (B) के हर तत्व से जुड़ता है, इसलिए कुल संख्या (mn) होती है। गिनती वाले प्रश्न में जोड़ नहीं, गुणा करें। / In Cartesian product, each element of (A) pairs with every element of (B), so the total count is (mn). For counting questions, multiply, do not add.
\(A\times B\) में (A) के (1,2) पहले स्थान पर और (B) के (3,4) दूसरे स्थान पर आते हैं। पूरी सूची में \(2\times 2=4\) युग्म होने चाहिए। / In \(A\times B\), (1,2) from (A) come first and (3,4) from (B) come second. The full list should have \(2\times 2=4\) pairs.
दूसरा घटक दूसरे समुच्चय ({3}) से आता है, इसलिए (y=3)। घटक की स्थिति देखकर उत्तर निकालें। / The second component comes from the second set ({3}), so (y=3). Use the position of the component to find the answer.
पहला घटक पहले समुच्चय ({4,5}) से आता है, इसलिए (x) (4) या (5) हो सकता है। पहले और दूसरे घटक को न मिलाएं। / The first component comes from the first set ({4,5}), so (x) can be (4) or (5). Do not mix the first and second components.
पहला घटक (1) तय होने पर दूसरा घटक (B) के (3) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। निश्चित पहले घटक के साथ युग्मों की संख्या (n(B)) होती है। / When the first component (1) is fixed, the second component can be any of the (3) elements of (B). With a fixed first component, the number of pairs is (n(B)).
(n(Y)=3) और (n(X)=2), इसलिए (n\(Y\times X\)=3\times 2=6)। नाम बदलने पर भी वही गुणा नियम लागू होता है। / (n(Y)=3) and (n(X)=2), so (n\(Y\times X\)=3\times 2=6). The same multiplication rule applies even when set names change.
(A) का (a) पहले स्थान पर रहेगा और (B) के दोनों तत्व दूसरे स्थान पर आएंगे। अक्षरों वाले प्रश्नों में भी नियम वही रहता है। / The element (a) of (A) stays in the first position and both elements of (B) come in the second position. The same rule works for letter elements too.
\(8=n(A)\times 2\), इसलिए (n(A)=4)। अज्ञात संख्या के लिए कुल युग्मों को ज्ञात संख्या से भाग दें। / \(8=n(A)\times 2\), so (n(A)=4). For an unknown count, divide the total pairs by the known count.
A. \((a,b)\in A\times B\Rightarrow a\in A,\ b\in B\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन की मूल शर्त है कि पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से हो। इस कथन को परिभाषा की तरह याद रखें। / The basic condition of Cartesian product is that the first component is from (A) and the second from (B). Remember this statement like a definition.
दूसरा घटक (4) तय होने पर पहला घटक (A) के (3) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। निश्चित दूसरे घटक के साथ संख्या (n(A)) होती है। / When the second component (4) is fixed, the first component can be any of the (3) elements of (A). With a fixed second component, the count is (n(A)).
पहला घटक (2) तय है और दूसरा घटक (B) के (2) तत्वों में से चुना जाएगा। इसलिए ऐसे (2) युग्म होंगे। / The first component (2) is fixed and the second component is chosen from the (2) elements of (B). Therefore, there are (2) such pairs.
B. नहीं, क्योंकि \(3\notin A\)/No, because \(3\notin A\)
Explanation
Simple Explanation
((3,1)) का पहला घटक (3) है, लेकिन \(3\notin A\)। दूसरे घटक के सही होने से पूरा युग्म सही नहीं हो जाता। / The first component of ((3,1)) is (3), but \(3\notin A\). A correct second component alone does not make the whole pair correct.
A. \(A\times B={(0,1)}\) और \(B\times A={(1,0)}\)/\(A\times B={(0,1)}\) and \(B\times A={(1,0)}\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में (0) पहले और (1) दूसरे स्थान पर है, जबकि \(B\times A\) में क्रम उल्टा है। एक-एक तत्व होने पर भी क्रम महत्वपूर्ण रहता है। / In \(A\times B\), (0) is first and (1) is second, while in \(B\times A\) the order is reversed. Order remains important even with one element in each set.
तीन समुच्चयों के गुणन में संख्या (n(A)n(B)n(C)) होती है, इसलिए \(2\times 1\times 2=4\)। यह क्रमित त्रिकों की गिनती है। / For the product of three sets, the count is (n(A)n(B)n(C)), so \(2\times 1\times 2=4\). This counts ordered triples.
(A) में (2) और (B) में (2) तत्व हैं, इसलिए \(2\times 2=4\) विकल्प बनते हैं। वास्तविक जीवन के चुनाव भी कार्तीय गुणन से गिने जा सकते हैं। / (A) has (2) elements and (B) has (2) elements, so \(2\times 2=4\) options are formed. Real-life choices can also be counted by Cartesian product.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times 2=6), इसलिए कुल (6) बिंदु मिलेंगे। कार्तीय गुणन को निर्देशांक बिंदुओं की तरह भी समझ सकते हैं। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)=3\times 2=6), so there are (6) points. Cartesian product can also be understood as coordinate points.
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। सूची बनाते समय हर पहले तत्व को (B) के हर तत्व से मिलाएं। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). While listing, pair each first-set element with every element of (B).
(n\(P\times Q\)=n(P)n(Q)=3\times 1=3)। गिनती वाले प्रश्न में तत्वों की संख्या गुणा करें। / (n\(P\times Q\)=n(P)n(Q)=3\times 1=3). In counting questions, multiply the number of elements.
(A) का एकमात्र तत्व (7) पहले स्थान पर रहेगा। दूसरे स्थान पर (B) के सभी तत्व क्रम से आएंगे। / The only element (7) of (A) stays in the first position. All elements of (B) come in the second position one by one.
((3,1)) में पहला घटक (3) है, लेकिन \(3\notin X\)। सदस्यता जांचते समय पहला और दूसरा स्थान अलग-अलग देखें। / In ((3,1)), the first component is (3), but \(3\notin X\). Check the first and second positions separately for membership.
\(A\times B\) में पहला घटक हमेशा पहले समुच्चय (A) से होता है। यही कार्तीय गुणन की मूल पहचान है। / In \(A\times B\), the first component always comes from the first set (A). This is the basic identity of Cartesian product.
दूसरे घटक के लिए (S) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई युग्म नहीं बनेगा। खाली समुच्चय के साथ गुणन हमेशा खाली देता है। / There is no element in (S) for the second component, so no pair is formed. Product with an empty set gives the empty set.
\(B\times A\) में पहला घटक (B) से (c) और दूसरा घटक (A) से (a) या (b) होगा। उल्टा क्रम अलग उत्तर देता है। / In \(B\times A\), the first component is (c) from (B), and the second is (a) or (b) from (A). Reversed order gives a different answer.
परिभाषा के अनुसार \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\)। सेट-बिल्डर रूप में भी घटकों का क्रम न बदलें। / By definition, \(A\times B={(x,y):x\in A,\ y\in B}\). Do not change the order of components in set-builder form.
क्रमित युग्मों की समानता में संबंधित घटक बराबर होते हैं। इसलिए (m=4) और (n=8)। / In equality of ordered pairs, corresponding components are equal. Hence (m=4) and (n=8).
(A) में (2) और (B) में (3) तत्व हैं, इसलिए \(2\times 3=6\)। पहले तत्व गिनें फिर गुणा करें। / (A) has (2) elements and (B) has (3) elements, so \(2\times 3=6\). Count the elements first and then multiply.
A. (A=B) और \(A\times B=A\times A\)/(A=B) and \(A\times B=A\times A\)
Explanation
Simple Explanation
समुच्चय में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए (A=B)। इसी कारण \(A\times B=A\times A\) होगा। / Order of elements in a set is not important, so (A=B). Therefore, \(A\times B=A\times A\).
((4,3)) में \(4\in A\) और \(3\in B\), इसलिए यह सही है। केवल तत्व मौजूद होना काफी नहीं, सही स्थान भी जरूरी है। / In ((4,3)), \(4\in A\) and \(3\in B\), so it is correct. Having the elements present is not enough; their positions must be correct.
\(15=5\times n(B)\), इसलिए (n(B)=3)। अज्ञात संख्या निकालने के लिए कुल युग्मों को ज्ञात संख्या से भाग दें। / \(15=5\times n(B)\), so (n(B)=3). To find the unknown count, divide the total pairs by the known count.
पहले घटक के लिए (A) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई युग्म नहीं बनेगा। संख्या पूछी गई है, इसलिए उत्तर (0) है। / There is no element in (A) for the first component, so no pair is formed. Since the number is asked, the answer is (0).
((2,1)) के दोनों घटक (A) से हैं, इसलिए यह \(A\times A\) में है। \(A\times A\) में दोनों स्थानों पर (A) के तत्व आते हैं। / Both components of ((2,1)) are from (A), so it is in \(A\times A\). In \(A\times A\), both positions use elements of (A).
(n(A)=4), इसलिए (n\(A\times A\)=4\times 4=16)। समान समुच्चय होने पर भी संख्या वर्ग की तरह आती है। / (n(A)=4), so (n\(A\times A\)=4\times 4=16). With the same set, the count behaves like a square.
यदि (B) खाली नहीं है और गुणन फिर भी खाली है, तो (A) खाली होना चाहिए। कार्तीय गुणन खाली होने पर कम से कम एक समुच्चय खाली होता है। / If (B) is not empty and the product is still empty, then (A) must be empty. If a Cartesian product is empty, at least one set is empty.
पहला घटक पहले समुच्चय ({6}) से आता है, इसलिए (x=6)। घटक की स्थिति से मान तुरंत मिल जाता है। / The first component comes from the first set ({6}), so (x=6). The position of the component quickly gives the value.
दूसरा घटक दूसरे समुच्चय ({5}) से आता है, इसलिए (y=5)। दूसरे स्थान को दूसरे समुच्चय से मिलाएं। / The second component comes from the second set ({5}), so (y=5). Match the second position with the second set.
पहला घटक (3) निश्चित है और दूसरा घटक (B) के (2) तत्वों में से चुना जाएगा। ऐसे युग्मों की संख्या (n(B)) होती है। / The first component (3) is fixed and the second component is chosen from the (2) elements of (B). The number of such pairs is (n(B)).
दूसरा घटक (3) निश्चित है और पहला घटक (A) के (2) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। ऐसे प्रश्नों में निश्चित घटक को अलग रखें। / The second component (3) is fixed and the first component can be any of the (2) elements of (A). In such questions, keep the fixed component separate.
A. दोनों की संख्या बराबर है पर युग्मों का क्रम अलग है/Both have equal count but the order of pairs is different
Explanation
Simple Explanation
दोनों में \(2\times 2=4\) युग्म होंगे, पर घटकों का क्रम अलग होगा। संख्या बराबर होने से समुच्चय समान होना जरूरी नहीं है। / Both have \(2\times 2=4\) pairs, but the order of components differs. Equal count does not mean the sets are necessarily equal.
A. ((p,q)=(r,s)\Rightarrow p=r) और (q=s)/((p,q)=(r,s)\Rightarrow p=r) and (q=s)
Explanation
Simple Explanation
क्रमित युग्मों की समानता में समान स्थानों के घटक बराबर होते हैं। यह नियम चर वाले प्रश्नों में सबसे उपयोगी है। / In equality of ordered pairs, components in the same positions are equal. This rule is very useful in variable-based questions.
A. हां, क्योंकि \(2\in A\) और \(2\in B\)/Yes, because \(2\in A\) and \(2\in B\)
Explanation
Simple Explanation
((2,2)) सही है क्योंकि पहला (2) (A) में और दूसरा (2) (B) में है। घटक समान हो सकते हैं, बस उनकी सदस्यता सही होनी चाहिए। / ((2,2)) is correct because the first (2) is in (A) and the second (2) is in (B). Components may be equal as long as membership is correct.
तीन समुच्चयों के गुणन में कुल संख्या (n(A)n(B)n(C)) होती है। इसलिए \(2\times 1\times 3=6\)। / For the product of three sets, the total count is (n(A)n(B)n(C)). Therefore, \(2\times 1\times 3=6\).
((2,1)) में पहला घटक (2) है, लेकिन \(2\notin A\)। गलत युग्म में अक्सर स्थान उल्टा होता है। / In ((2,1)), the first component is (2), but \(2\notin A\). In wrong pairs, the position is often reversed.
दूसरे घटक में (A) के तत्व (B) में भी हैं, इसलिए \(C\times A\subset C\times B\)। उपसमुच्चय के साथ संबंधित घटक की स्थिति देखें। / Elements of (A) in the second component are also in (B), so \(C\times A\subset C\times B\). With subsets, check the position of the related component.
A. \(A\times B={(1,2)}\) और \(B\times A={(2,1)}\)/\(A\times B={(1,2)}\) and \(B\times A={(2,1)}\)
Explanation
Simple Explanation
पहले गुणन में (1) पहले स्थान पर है और दूसरे में (2) पहले स्थान पर है। एक-एक तत्व होने पर भी क्रम महत्वपूर्ण रहता है। / In the first product, (1) is in the first position, and in the second, (2) is in the first position. Order matters even with one element each.
हर क्रमित युग्म एक बिंदु की तरह माना जा सकता है और कुल \(3\times 2=6\) युग्म हैं। निर्देशांक वाले प्रश्नों में भी वही गुणा नियम लागू होता है। / Each ordered pair can be treated like a point, and there are \(3\times 2=6\) pairs. The same multiplication rule applies in coordinate questions.
रंगों की संख्या (2) और आकारों की संख्या (3) है, इसलिए \(2\times 3=6\) चुनाव बनेंगे। वास्तविक जीवन के संयोजन कार्तीय गुणन से गिने जाते हैं। / There are (2) colors and (3) sizes, so \(2\times 3=6\) choices are formed. Real-life combinations are counted using Cartesian product.
(n\(B\times A\)=n(B)n(A)=1\times 3=3)। क्रम बदलने से संख्या नहीं बदलती, पर युग्मों का क्रम बदलता है। / (n\(B\times A\)=n(B)n(A)=1\times 3=3). Reversing order does not change the count, but it changes the order of pairs.
पहला घटक (3) स्थिर है और दूसरा घटक (B) से (4) या (5) होगा। निश्चित पहले घटक पर केवल दूसरे समुच्चय के तत्व बदलते हैं। / The first component (3) is fixed, and the second component is (4) or (5) from (B). With a fixed first component, only elements of the second set vary.
दूसरा घटक (2) स्थिर है और पहला घटक (A) से (5) या (7) होगा। ऐसे युग्मों में पहला स्थान ही बदलता है। / The second component (2) is fixed, and the first component is (5) or (7) from (A). In such pairs, only the first position changes.
\(A\times B\) में \(2\times 2=4\) तत्व होंगे और वे क्रमित युग्म होंगे। उत्तर में युग्मों का रूप न भूलें। / \(A\times B\) has \(2\times 2=4\) elements, and they are ordered pairs. Do not forget the pair form in the answer.
A. क्योंकि \(2\in A\) और \(4\in B\)/Because \(2\in A\) and \(4\in B\)
Explanation
Simple Explanation
((2,4)) में पहला घटक (2) (A) से और दूसरा घटक (4) (B) से है। यही सदस्यता की सही जांच है। / In ((2,4)), the first component (2) is from (A) and the second component (4) is from (B). This is the correct membership check.
\(A=\{1,2\}\) और (B) में (2) तत्व हैं, इसलिए \(2\times 2=4\)। पहले सेट-बिल्डर रूप को सूची में बदलें। / \(A=\{1,2\}\) and (B) has (2) elements, so \(2\times 2=4\). First convert set-builder form into a list.
समान घटक वाले युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। ऐसे प्रश्न में पूरी संख्या (9) नहीं, केवल मांगी गई शर्त गिनें। / The equal-component pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)). In such questions, do not count all (9) pairs; count only the required condition.
(A) के तत्व पहले स्थान पर और (B) का (1) दूसरे स्थान पर आएगा। ऋणात्मक तत्व भी सामान्य तत्व की तरह प्रयोग होता है। / Elements of (A) come in the first position and (1) from (B) comes in the second position. A negative element is used like any ordinary element.
पहला घटक (सोम) (A) से और दूसरा घटक (शाम) (B) से है। इसलिए युग्म \(A\times B\) में आता है। / The first component (Mon) is from (A) and the second component (evening\() is from (B). Therefore, the pair belongs to (A\times B).\)
दूसरा घटक (4) तय है और पहला घटक (A) के (1) या (2) से आएगा। दूसरे घटक की शर्त में पहला समुच्चय बदलता है। / The second component (4) is fixed and the first component comes from (1) or (2) in (A). With a second-component condition, the first set varies.
पहला घटक (A) से (3) या (4) और दूसरा घटक (B) से (5) होगा। कार्तीय गुणन को संघ न समझें। / The first component is (3) or (4) from (A), and the second component is (5) from (B). Do not confuse Cartesian product with union.
(A) का सबसे छोटा तत्व (1) है और उसके साथ (B) के (3) तत्व जुड़ेंगे। निश्चित पहले घटक के लिए उत्तर (n(B)) होता है। / The smallest element of (A) is (1), and it pairs with the (3) elements of (B). For a fixed first component, the answer is (n(B)).
(B) का सबसे बड़ा तत्व (2) है और उसके साथ (A) के (3) तत्व पहले घटक बन सकते हैं। निश्चित दूसरे घटक के लिए उत्तर (n(A)) होता है। / The largest element of (B) is (2), and the (3) elements of (A) can be first components with it. For a fixed second component, the answer is (n(A)).
ऐसे युग्म ((1,3)) और ((2,2)) हैं, दोनों का योग (4) है। शर्त वाले प्रश्न में पहले सभी संभव युग्म सोचें। / The pairs are ((1,3)) and ((2,2)), and both have sum (4). In condition-based questions, first think of all possible pairs.
(A) के तत्व विषम और (B) के तत्व सम हैं, इसलिए हर योग विषम होगा। कुल युग्म \(2\times 2=4\) हैं। / Elements of (A) are odd and elements of (B) are even, so every sum is odd. The total number of pairs is \(2\times 2=4\).
पहला घटक हमेशा सम है, इसलिए हर युग्म का गुणनफल सम होगा। कुल \(2\times 2=4\) युग्म हैं। / The first component is always even, so the product in every pair is even. There are \(2\times 2=4\) pairs in total.
ऐसे युग्म ((2,1),(3,1),(3,2)) हैं। तुलना वाले प्रश्न में \(A\times B\) का क्रम न बदलें। / The pairs are ((2,1),(3,1),(3,2)). In comparison questions, do not reverse the order of \(A\times B\).
समान घटक वाले युग्म ((1,1)) और ((2,2)) हैं। ऐसे प्रश्न में दोनों समुच्चयों के साझा तत्व काम आते हैं। / The equal-component pairs are ((1,1)) and ((2,2)). In such questions, common elements of both sets are useful.
ऐसे युग्म ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जिनमें दूसरे घटक और पहले घटक का अंतर (1) है। शर्त वाले प्रश्न में पहले संभव युग्म बनाकर जांचें। / The pairs are ((1,2)) and ((2,3)), where the difference between the second and first component is (1). In condition-based questions, first list possible pairs and then check.
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। पूरी सूची में \(2\times 2=4\) क्रमित युग्म होने चाहिए। / In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B). The full list must have \(2\times 2=4\) ordered pairs.
(n\(P\times Q\)=n(P)n(Q)=3\times 2=6)। कार्तीय गुणन में संख्या निकालने के लिए गुणा करें। / (n\(P\times Q\)=n(P)n(Q)=3\times 2=6). To find the number in Cartesian product, multiply.
(8) पहले स्थान पर रहेगा और (B) के तत्व दूसरे स्थान पर आएंगे। एकल समुच्चय होने पर भी क्रम नहीं बदलता। / (8) stays in the first position and elements of (B) come in the second position. Order does not change even with a singleton set.
((7,8)) में \(7\in X\) और \(8\in Y\), इसलिए यह सही है। सदस्यता में दोनों घटकों की सही स्थिति देखें। / In ((7,8)), \(7\in X\) and \(8\in Y\), so it is correct. In membership, check the correct position of both components.
\(A\times B\) में दूसरा घटक हमेशा (B) से आता है। परीक्षा में दूसरे स्थान को दूसरे समुच्चय से मिलाएं। / In \(A\times B\), the second component always comes from (B). In exams, match the second position with the second set.
पहले घटक के लिए (R) में कोई तत्व नहीं है, इसलिए कोई युग्म नहीं बनेगा। खाली समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन खाली होता है। / There is no element in (R) for the first component, so no pair is formed. Cartesian product with an empty set is empty.
(B) में (3) और (A) में (2) तत्व हैं, इसलिए \(3\times 2=6\)। क्रम बदलने से संख्या नहीं, केवल युग्मों का क्रम बदलता है। / (B) has (3) elements and (A) has (2) elements, so \(3\times 2=6\). Reversing order changes the pairs, not the count.
परिभाषा में क्रमित युग्म ((x,y)) होता है, जहां \(x\in A\) और \(y\in B\)। यह सूत्र हर सूचीकरण प्रश्न में उपयोगी है। / The definition uses the ordered pair ((x,y)), where \(x\in A\) and \(y\in B\). This formula is useful in every listing question.
क्रमित युग्मों की समानता में समान स्थानों के घटक बराबर होते हैं। इसलिए (a=9) और (b=12)। / In equality of ordered pairs, components in the same positions are equal. Hence (a=9) and (b=12).
(A) में (2) और (B) में (4) तत्व हैं, इसलिए \(2\times 4=8\)। पहले तत्व गिनना सबसे सुरक्षित तरीका है। / (A) has (2) elements and (B) has (4) elements, so \(2\times 4=8\). Counting elements first is the safest method.
समुच्चय में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए (A=B)। ध्यान रखें कि समुच्चय का क्रम और क्रमित युग्म का क्रम अलग बातें हैं। / The order of elements in a set is not important, so (A=B). Remember that order in a set and order in an ordered pair are different ideas.
((6,3)) में पहला घटक (6) है, लेकिन \(6\notin A\)। गलत विकल्प पहचानने के लिए पहले घटक से जांच शुरू करें। / In ((6,3)), the first component is (6), but \(6\notin A\). To identify the wrong option, start by checking the first component.
\(24=6\times n(B)\), इसलिए (n(B)=4)। अज्ञात संख्या के लिए कुल युग्मों को ज्ञात संख्या से भाग दें। / \(24=6\times n(B)\), so (n(B)=4). For an unknown count, divide total pairs by the known count.
(B) खाली है, इसलिए कोई दूसरा घटक नहीं मिलेगा और कोई युग्म नहीं बनेगा। संख्या पूछी गई है, इसलिए (0) लिखें। / (B) is empty, so no second component is available and no pair is formed. Since count is asked, write (0).
(n(C)=3), इसलिए (n\(C\times C\)=3\times 3=9)। समान समुच्चय के साथ भी गुणा नियम लागू रहता है। / (n(C)=3), so (n\(C\times C\)=3\times 3=9). The multiplication rule applies even with the same set.
(A) खाली नहीं है, फिर भी गुणन खाली है, इसलिए (B) खाली होना चाहिए। खाली गुणन में कम से कम एक समुच्चय खाली होता है। / (A) is not empty and still the product is empty, so (B) must be empty. In an empty product, at least one set is empty.
दूसरा घटक दूसरे समुच्चय ({4}) से आता है, इसलिए (y=4)। घटक की स्थिति देखकर उत्तर निकालें। / The second component comes from the second set ({4}), so (y=4). Find the answer by checking the component position.
पहला घटक पहले समुच्चय ({12}) से आता है, इसलिए (x=12)। पहले स्थान को पहले समुच्चय से मिलाएं। / The first component comes from the first set ({12}), so (x=12). Match the first position with the first set.
पहला घटक (4) निश्चित है और दूसरा घटक (B) के (2) तत्वों में से आएगा। निश्चित पहले घटक पर संख्या (n(B)) होती है। / The first component (4) is fixed and the second component comes from the (2) elements of (B). With a fixed first component, the count is (n(B)).
दूसरा घटक (2) निश्चित है और पहला घटक (A) के (2) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। निश्चित दूसरे घटक पर संख्या (n(A)) होती है। / The second component (2) is fixed and the first component can be any of the (2) elements of (A). With a fixed second component, the count is (n(A)).
A. दोनों में (3) युग्म हैं पर युग्मों का क्रम अलग है/Both have (3) pairs but the order of components is different
Explanation
Simple Explanation
दोनों की संख्या \(3\times 1=3\) है, पर घटकों का क्रम उल्टा है। समान संख्या का अर्थ समान समुच्चय नहीं होता। / Both have count \(3\times 1=3\), but the order of components is reversed. Equal count does not mean equal sets.
क्रमित युग्म में स्थान बदलने से युग्म बदल जाता है। केवल समान स्थानों पर समान घटक हों तो युग्म बराबर होते हैं। / Changing positions changes an ordered pair. Ordered pairs are equal only when corresponding components are equal.
A. हां, क्योंकि \(5\in A\) और \(5\in B\)/Yes, because \(5\in A\) and \(5\in B\)
Explanation
Simple Explanation
पहला (5) (A) में और दूसरा (5) (B) में है, इसलिए युग्म सही है। समान घटक होना गलती नहीं है। / The first (5) is in (A) and the second (5) is in (B), so the pair is correct. Equal components are not an error.
तीन समुच्चयों के गुणन में संख्या (n(A)n(B)n(C)) होती है। इसलिए \(2\times 2\times 1=4\)। / For the product of three sets, the count is (n(A)n(B)n(C)). Therefore, \(2\times 2\times 1=4\).
((1,0)) में \(1\notin A\) और \(0\notin B\), इसलिए यह \(A\times B\) में नहीं है। दोनों घटकों की सदस्यता जांचें। / In ((1,0)), \(1\notin A\) and \(0\notin B\), so it is not in \(A\times B\). Check membership of both components.
(A) का हर तत्व (B) में है, इसलिए \(A\times D\) का हर युग्म \(B\times D\) में होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्न में संबंधित घटक देखें। / Every element of (A) is in (B), so every pair of \(A\times D\) will be in \(B\times D\). In subset questions, check the related component.
A. \(A\times B={(6,9)}\) और \(B\times A={(9,6)}\)/\(A\times B={(6,9)}\) and \(B\times A={(9,6)}\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में (6) पहले और (9) दूसरे स्थान पर है। \(B\times A\) में क्रम उल्टा हो जाता है। / In \(A\times B\), (6) is first and (9) is second. In \(B\times A\), the order is reversed.
हर क्रमित युग्म एक बिंदु जैसा माना जा सकता है और कुल \(3\times 2=6\) युग्म हैं। निर्देशांक प्रश्नों में भी वही गिनती नियम प्रयोग करें। / Each ordered pair can be treated as a point and there are \(3\times 2=6\) pairs. Use the same counting rule in coordinate questions.
नाश्ते के (3) और पेय के (2) विकल्प हैं, इसलिए \(3\times 2=6\) संयोजन बनेंगे। वास्तविक जीवन के चुनाव कार्तीय गुणन से गिने जा सकते हैं। / There are (3) breakfast options and (2) drink options, so \(3\times 2=6\) combinations are formed. Real-life choices can be counted using Cartesian product.
(n\(B\times A\)=n(B)n(A)=1\times 4=4)। उल्टा गुणन भी संख्या में गुणा नियम ही देता है। / (n\(B\times A\)=n(B)n(A)=1\times 4=4). The reversed product also follows the multiplication rule for count.
पहला घटक (2) निश्चित है और दूसरा घटक (B) से (7) या (8) होगा। निश्चित पहले घटक के साथ दूसरे समुच्चय के सभी तत्व लगते हैं। / The first component (2) is fixed and the second component is (7) or (8) from (B). With a fixed first component, all elements of the second set are used.
दूसरा घटक (5) स्थिर है और पहला घटक (A) से (6) या (8) होगा। ऐसे प्रश्नों में तय घटक की जगह न बदलें। / The second component (5) is fixed and the first component is (6) or (8) from (A). In such questions, do not change the position of the fixed component.
कार्तीय गुणन के तत्व हमेशा क्रमित युग्म होते हैं। इसलिए उत्तर में ((x,y)) जैसा रूप जरूरी है। / Elements of Cartesian product are always ordered pairs. Therefore, a form like ((x,y)) is necessary in the answer.
A. क्योंकि \(3\in A\) और \(4\in B\)/Because \(3\in A\) and \(4\in B\)
Explanation
Simple Explanation
((3,4)) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से है। यही \(A\times B\) की सदस्यता की शर्त है। / In ((3,4)), the first component is from (A) and the second is from (B). This is the membership condition for \(A\times B\).
\(A=\{1,2,3\}\) और (B) में (2) तत्व हैं, इसलिए \(3\times 2=6\)। पहले सेट-बिल्डर रूप को समझें। / \(A=\{1,2,3\}\) and (B) has (2) elements, so \(3\times 2=6\). First understand the set-builder form.
समान घटक वाले युग्म ((2,2),(4,4),(6,6)) हैं। पूरी संख्या (9) नहीं, केवल शर्त वाले युग्म गिनें। / The equal-component pairs are ((2,2),(4,4),(6,6)). Do not count all (9) pairs, count only the pairs satisfying the condition.
((-1,3)) में पहला घटक \(-1\in A\) और दूसरा \(3\in B\) है। ऋणात्मक संख्या भी सामान्य तत्व की तरह जांची जाती है। / In ((-1,3)), the first component \(-1\in A\) and the second \(3\in B\). A negative number is checked like any ordinary element.
पहला घटक (रात) (A) से और दूसरा घटक (सर्दी) (B) से है। इसलिए यह \(A\times B\) का तत्व है। / The first component (night) is from (A) and the second component (winter\() is from (B). Therefore, it is an element of (A\times B).\)
दूसरा घटक (7) तय है और पहला घटक (A) के (2) या (5) से आएगा। दूसरे घटक की शर्त में पहला स्थान बदलता है। / The second component (7) is fixed and the first component comes from (2) or (5) in (A). With a second-component condition, the first position changes.
(A) के तत्व पहले स्थान पर और (B) का (0) दूसरे स्थान पर आता है। कार्तीय गुणन को साधारण समुच्चय संघ न मानें। / Elements of (A) come in the first position and (0) from (B) comes in the second position. Do not treat Cartesian product as ordinary union.
(A) का सबसे बड़ा तत्व (6) है और यह (B) के (3) तत्वों से युग्म बनाएगा। निश्चित पहले घटक के लिए उत्तर (n(B)) है। / The largest element of (A) is (6), and it pairs with the (3) elements of (B). For a fixed first component, the answer is (n(B)).
(B) का सबसे छोटा तत्व (4) है और पहला घटक (A) के (3) तत्वों से आ सकता है। निश्चित दूसरे घटक के लिए उत्तर (n(A)) होता है। / The smallest element of (B) is (4), and the first component can come from the (3) elements of (A). For a fixed second component, the answer is (n(A)).
ऐसे युग्म ((0,4)) और ((2,2)) हैं। शर्त वाले प्रश्न में पहले संभावित युग्मों को जांचें। / The pairs are ((0,4)) and ((2,2)). In condition-based questions, first check the possible pairs.
पहला घटक हमेशा सम और दूसरा हमेशा विषम है, इसलिए हर योग विषम होगा। कुल \(2\times 2=4\) युग्म हैं। / The first component is always even and the second is always odd, so every sum is odd. There are \(2\times 2=4\) pairs in total.
दूसरा घटक हमेशा सम है, इसलिए हर गुणनफल सम होगा। कुल \(2\times 2=4\) युग्म हैं। / The second component is always even, so every product is even. There are \(2\times 2=4\) pairs in total.
ऐसे युग्म ((2,1),(4,1),(4,3)) हैं। तुलना करते समय \(A\times B\) का पहला और दूसरा स्थान न बदलें। / The pairs are ((2,1),(4,1),(4,3)). During comparison, do not reverse the first and second positions of \(A\times B\).
समान घटक वाले युग्म ((2,2)) और ((3,3)) हैं। ऐसे प्रश्नों में दोनों समुच्चयों के साझा तत्वों को देखें। / The equal-component pairs are ((2,2)) and ((3,3)). In such questions, look at common elements of both sets.
ऐसे युग्म ((0,1)) और ((2,3)) हैं। अंतर वाले प्रश्नों में घटकों का क्रम बहुत ध्यान से रखें। / The pairs are ((0,1)) and ((2,3)). In difference questions, keep the order of components very carefully.
ऐसे युग्म ((2,6)) और ((5,6)) हैं जिनका गुणनफल (10) से अधिक है। शर्त वाले प्रश्नों में सभी संभव युग्मों को जल्दी जांचें। / The pairs are ((2,6)) and ((5,6)), whose products are greater than (10). In condition-based questions, quickly check all possible pairs.
