Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दो फलनों का योग बिंदुवार जोड़ा जाता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+1)+(2x-3)=x^2+2x-2\)। विकल्प B में \(2x\) का चिन्ह गलत है और स्थिर पद भी सही नहीं है। परीक्षा में समान घात वाले पदों को अलग-अलग जोड़कर चिन्हों की जाँच करें। / The sum of two functions is found by adding their values pointwise: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+1)+(2x-3)=x^2+2x-2\). Option B has the wrong sign for the linear term and an incorrect constant term. In exams, combine like powers separately and check the signs carefully.
((g-f)(x)=g(x)-f(x)=x-2-4-(3x+5)=x-2-3x-9)। घटाते समय पूरे (f(x)) पर ऋण लगाएँ। / ((g-f)(x)=g(x)-f(x)=x-2-4-(3x+5)=x-2-3x-9). While subtracting, apply the minus sign to the whole (f(x)).
\((fg)(x)\) का अर्थ यहाँ दोनों फलनों का गुणनफल है: \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10\)। विकल्प D, \(f(x)+g(x)=2x-3\), यानी योगफल है, गुणनफल नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को \(f(g(x))\) से अलग पहचानें; पहला गुणनफल और दूसरा संयोजन होता है। / Here, \((fg)(x)\) denotes the product of the two functions: \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10\). Option D, \(2x-3\), is \(f(x)+g(x)\), the sum rather than the product. Exam tip: distinguish \((fg)(x)\), which means a product, from \(f(g(x))\), which means composition.
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{x-2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3), जहाँ \(x \neq 3\)। हर शून्य न हो, यह हमेशा जाँचें। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{x-2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3), where \(x \neq 3\). Always check that the denominator is not zero.
हरों (x-2) और (x+4) को शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(x \neq 2\) और \(x \neq -4\)। परिमेय फलनों में हर पहले जाँचें। / The denominators (x-2) and (x+4) must not be zero, so \(x \neq 2\) and \(x \neq -4\). In rational functions, check denominators first.
फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=2x^2-(x+1)\)। अब \(x=-2\) रखने पर \(f(-2)=2(-2)^2=8\) और \(g(-2)=-2+1=-1\), इसलिए \((f-g)(-2)=8-(-1)=9\)। विकल्प 7 में \(g(-2)\) के ऋणात्मक मान का सही ढंग से ध्यान नहीं रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालें, फिर घटाएँ। / For the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=2x^2-(x+1)\). At \(x=-2\), \(f(-2)=2(-2)^2=8\) and \(g(-2)=-2+1=-1\). Therefore, \((f-g)(-2)=8-(-1)=9\). The distractor 7 results from mishandling the negative value of \(g(-2)\). Exam tip: evaluate both functions separately before subtracting.
((f+g)(x)=2x-2), अतः ((f+g)(3)=2\cdot 32=18)। विरोधी पद कट सकते हैं, इसलिए सरल रूप देखें। / ((f+g)(x)=2x-2), hence ((f+g)(3)=2\cdot 32=18). Opposite terms may cancel, so simplify first.
पहले \(f(2)=2^2-1=3\) और \(g(2)=2(2)+1=5\) निकालते हैं। अतः \((fg)(2)=f(2)g(2)=3\times5=15\)। यहाँ \((fg)\) फलनों के गुणनफल को दर्शाता है, संयोजन को नहीं। परीक्षा में \((fg)(x)\) और \((f\circ g)(x)\) के बीच का अंतर अवश्य जाँचें। / First, \(f(2)=2^2-1=3\) and \(g(2)=2(2)+1=5\). Therefore, \((fg)(2)=f(2)g(2)=3\times5=15\). Here, \((fg)\) denotes the product of the two functions, not their composition. In an exam, carefully distinguish \((fg)(x)\) from \((f\circ g)(x)\).
फलनों का योग क्रमविनिमेय है, इसलिए ((f+g)(x)=(g+f)(x))। योग में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / Addition of functions is commutative, so ((f+g)(x)=(g+f)(x)). Changing order in addition does not change the value.
दो फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=(x+6)(x-6)=x^2-6^2=x^2-36\)। विकल्प B में योग-संबंधी रूप लिया गया है, जबकि यहाँ गुणनफल है। परीक्षा-टिप: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) सर्वसमिका पहचानें। / The product of two functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x+6)(x-6)=x^2-6^2=x^2-36\). Option B incorrectly suggests a sum-of-squares pattern, whereas this is a product of conjugate binomials. Exam tip: recognize the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
मूल (f(x)) में \(x-1 \neq 0\), इसलिए \(x \neq 1\), भले ही गुणा के बाद सरलीकरण हो। प्रांत मूल अभिव्यक्तियों से तय करें। / In the original (f(x)), \(x-1 \neq 0\), so \(x \neq 1\), even if simplification occurs after multiplication. Decide the domain from original expressions.
((fg)(x)=\frac{2}{x}\cdot x-2=2x), पर मूल हर के कारण \(x \neq 0\)। सरलीकरण के बाद भी मूल प्रतिबंध रखें। / ((fg)(x)=\frac{2}{x}\cdot x-2=2x), but \(x \neq 0\) because of the original denominator. Keep original restrictions after simplification.
(\frac{x-2+4x+4}{x+2}=\frac{(x+2)2}{x+2}=x+2), जहाँ \(x \neq -2\)। हर का शून्य मान अलग से लिखें। / (\frac{x-2+4x+4}{x+2}=\frac{(x+2)2}{x+2}=x+2), where \(x \neq -2\). Write the zero of the denominator separately.
फलनों के घटाव के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \((f-g)(-5)=|-5|-(-5)=5+5=10\)। विकल्प B गलत है, क्योंकि यहाँ दोनों फलनों के मानों का घटाव शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या का निरपेक्ष मान लेते समय उसका चिह्न हट जाता है, लेकिन \(g(-5)=-5\) ही रहता है। / By the definition of subtraction of functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Hence, \((f-g)(-5)=|-5|-(-5)=5+5=10\). Option B is incorrect because the two function values are not equal. Exam tip: \(|-5|=5\), while \(g(-5)=-5\); do not replace the latter by its absolute value.
फलनों के बीजीय संयोजन के अनुसार \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\)। अतः \(2x^3-(2x^3-1)=2x^3-2x^3+1=1\)। विकल्प B में ऋण चिह्न का प्रभाव गलत लिया गया है। परीक्षा में कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न होने पर कोष्ठक के अंदर सभी चिह्न बदलना याद रखें। / For the algebraic combination of functions, \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\). Therefore, \(2x^3-(2x^3-1)=2x^3-2x^3+1=1\). Option B results from handling the negative sign incorrectly. In an exam, remember that a minus sign before brackets changes the signs of all terms inside.
\(x^2\) सभी वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है, लेकिन \(\sqrt{x}\) के लिए \(x \geq 0\) चाहिए। योग का प्रांत प्रतिच्छेद है। / \(x^2\) is defined for all real (x), but \(\sqrt{x}\) needs \(x \geq 0\). The domain of the sum is the intersection.
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x \geq 2\) और \(\frac{1}{x}\) के लिए \(x \neq 0\); प्रतिच्छेद \(x \geq 2\) है। सबसे कड़ा प्रतिबंध पहचानें। / \(\sqrt{x-2}\) requires \(x \geq 2\) and \(\frac{1}{x}\) requires \(x \neq 0\); the intersection is \(x \geq 2\). Identify the strongest restriction.
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{-1}{1}=-1)। भाग में हर का मान शून्य है या नहीं, पहले देखें। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{-1}{1}=-1). In division, first check whether the denominator value is zero.
फलनों का अंतर ((g-f)(x)=g(x)-f(x)) होता है। इसलिए ((g-f)(x)=\(x^2+4\)-\(x^2-4\)=x-2+4-x-2+4=8)। \(x^2\) के समान पद कट जाते हैं, इसलिए विकल्प B और C सही नहीं हैं; ऋणात्मक मान विकल्प D भी गलत है। परीक्षा-युक्ति: घटाव में दूसरे फलन के प्रत्येक पद का चिह्न बदलना न भूलें। / The difference of two functions is defined by ((g-f)(x)=g(x)-f(x)). Thus, ((g-f)(x)=\(x^2+4\)-\(x^2-4\)=x-2+4-x-2+4=8). The like terms \(x^2\) cancel, so options B and C are incorrect, while option D has the wrong sign. Exam tip: when subtracting a function, change the signs of every term in the function being subtracted.
फलनों के योग और अंतर के अनुसार, \((f+g-h)(x)=f(x)+g(x)-h(x)\)। अतः \((2x+3)+(x-4)-x^2=-x^2+3x-1\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(h(x)\) का ऋणात्मक चिह्न सही ढंग से नहीं लगाया गया है। परीक्षा-युक्ति: फलनों को जोड़ते या घटाते समय प्रत्येक फलन का पूरा व्यंजक लिखकर कोष्ठक खोलें। / By the definition of addition and subtraction of functions, \((f+g-h)(x)=f(x)+g(x)-h(x)\). Therefore, \((2x+3)+(x-4)-x^2=-x^2+3x-1\), so option A is correct. In option B, the sign of the \(x^2\) term is incorrect because \(h(x)\) is being subtracted. Exam tip: write the complete expressions in brackets before combining like terms.
(\frac{x-2+x}{x}=\frac{x(x+1)}{x}=x+1), जहाँ \(x \neq 0\)। साझा गुणनखंड काटते समय प्रतिबंध न भूलें। / (\frac{x-2+x}{x}=\frac{x(x+1)}{x}=x+1), where \(x \neq 0\). Do not forget the restriction while cancelling a common factor.
((f+g)(x)=\frac{x+2}{x+2}=1), लेकिन \(x+2 \neq 0\)। सरल उत्तर के साथ प्रांत का प्रतिबंध लिखना जरूरी है। / ((f+g)(x)=\frac{x+2}{x+2}=1), but \(x+2 \neq 0\). It is important to write the domain restriction with the simplified answer.
फलनों के गुणनफल के लिए ((fg)(x)=f(x)g(x) होता है। इसलिए ((fg)(x)=3\(x^2-7x\)=3x-2-21x)। विकल्प B में गुणन के बजाय जोड़ किया गया है, जबकि विकल्प C और D में गुणांक का सही वितरण नहीं हुआ। परीक्षा में ((fg)(x) को (f(x)+g(x)) न समझें। / For the product of two functions, ((fg)(x)=f(x)g(x). Hence, ((fg)(x)=3\(x^2-7x\)=3x-2-21x). Option B adds the functions instead of multiplying them, while options C and D do not distribute the constant correctly. In an exam, do not confuse ((fg)(x) with (f(x)+g(x)).
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार (f+f)(x)=f(x)+f(x)=2f(x)। अतः (f+f)(x)=2(x²+1)=2x²+2, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में केवल स्थिरांक 1 को दो बार जोड़ा गया है, जबकि पूरे फलन को दो बार जोड़ना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: समान फलन का योग उसके मान का दो गुना होता है। / By the definition of the sum of functions, (f+f)(x)=f(x)+f(x)=2f(x). Therefore, (f+f)(x)=2(x²+1)=2x²+2, so option A is correct. Option B incorrectly doubles only the constant term instead of the entire function. Exam tip: the sum of a function with itself is twice the function.
फलनों के गुणनफल की परिभाषा के अनुसार \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)\)। अतः \((ff)(x)=(x-2)(x-2)=(x-2)^2=x^2-4x+4\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(2f(x)\) के बराबर है, गुणनफल के नहीं। परीक्षा में \((ff)(x)\) को \(f(f(x))\) से अलग पहचानें; \(f(f(x))\) फलनों का संयोजन होता है। / By the definition of the product of functions, \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)\). Therefore, \((ff)(x)=(x-2)(x-2)=(x-2)^2=x^2-4x+4\), so option A is correct. Option B represents \(2f(x)\), not the product \(f(x)f(x)\). In an exam, distinguish \((ff)(x)\) from \(f(f(x))\), which denotes composition.
यदि \(f(x)=\sin x\) और \(g(x)=\cos x\) हैं, तो \((f^2+g^2)(x)\) का मान क्या होगा? यहाँ \(f^2\) और \(g^2\) क्रमशः फलनों के बिंदुवार वर्ग को दर्शाते हैं।
बिंदुवार फलन-संचालन के अनुसार \((f^2+g^2)(x)=[f(x)]^2+[g(x)]^2=\sin^2 x+\cos^2 x\)। मूल त्रिकोणमितीय पहचान \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से सही मान \(1\) है। विकल्प C में घटाव और विकल्प D में \(\sin 2x\) से संबंधित पद आता है। परीक्षा-युक्ति: \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) को तुरंत पहचानें। / For pointwise function operations, \((f^2+g^2)(x)=[f(x)]^2+[g(x)]^2=\sin^2 x+\cos^2 x\). Using the fundamental trigonometric identity \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), the value is \(1\). Option C uses subtraction, while option D is the double-angle expression \(\sin 2x\). Exam tip: immediately recognize \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(a)=f(a)+g(a)=a^2+2a\)। विकल्प B और C में \(x\) और \(a\) का अनुचित मिश्रण है, जबकि विकल्प D योग के बजाय अलग प्रकार का व्यंजक देता है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का \(a\) पर मान निकालते समय प्रत्येक \(x\) के स्थान पर \(a\) रखें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(a)=f(a)+g(a)=a^2+2a\). Options B and C incorrectly mix \(x\) and \(a\), while option D does not represent the sum. Exam tip: when evaluating a function at \(a\), replace every occurrence of \(x\) with \(a\).
(f(0)=0) और (g(0)=0), इसलिए ((fg)(0)=0)। उत्पाद में कोई एक मान शून्य हो तो उत्पाद शून्य होता है। / (f(0)=0) and (g(0)=0), so ((fg)(0)=0). If one value in a product is zero, the product is zero.
(f(x)) के लिए \(x \neq 1\) चाहिए और (f(x)=\frac{1}{x-1}) कभी शून्य नहीं होता। इसलिए केवल \(x \neq 1\) प्रतिबंध है। / (f(x)) needs \(x \neq 1\), and (f(x)=\frac{1}{x-1}) is never zero. So the only restriction is \(x \neq 1\).
(\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4), इसलिए (x=-1) पर मान (-5) होना चाहिए; पर सही जाँच में \(\frac{-15}{3}=-5\)। / (\left\(\frac{f}{g}\right\)(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4), so at (x=-1) the value is (-5). Check directly as \(\frac{-15}{3}=-5\).
(\frac{x-2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4), अतः (-1-4=-5)। सरलीकरण के बाद सही मान रखें। / (\frac{x-2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4), hence (-1-4=-5). Substitute carefully after simplification.
वर्गमूल के लिए \(9-x^2 \geq 0\), इसलिए \(-3 \leq x \leq 3\)। रैखिक फलन कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं देता। / For the square root, \(9-x^2 \geq 0\), so \(-3 \leq x \leq 3\). The linear function gives no extra restriction.
योग फलन को बिंदुवार जोड़ा जाता है: \\((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-5)+(5-2x)=0\\)। यहाँ \\(2x\\) और \\(-2x\\), तथा \\(-5\\) और \\(5\\) परस्पर निरस्त हो जाते हैं, इसलिए परिणाम शून्य फलन है। \\(4x-10\\) केवल \\(f(x)\\) को दो बार लेने पर मिलता है, अतः वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विपरीत पदों को पहले पहचानकर तुरंत काट दें। / The sum of two functions is defined pointwise: \\((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-5)+(5-2x)=0\\)। The terms \\(2x\\) and \\(-2x\\), as well as \\(-5\\) and \\(5\\), cancel each other, so the result is the zero function. \\(4x-10\\) would result from taking \\(f(x)\\) twice, not from adding the given functions. Exam tip: look for opposite terms before expanding further.
(\frac{x-2+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2), इसलिए (x=2) पर मान (4) है। गुणनखंड बनाकर समय बचाएँ। / (\frac{x-2+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2), so at (x=2) the value is (4). Factorisation saves time.
(f(1)=1) और (g(1)=3), इसलिए ((f+g)(1)-(fg)(1)=4-3=1)। ऐसे प्रश्नों में पहले अलग-अलग मान निकालें। / (f(1)=1) and (g(1)=3), so ((f+g)(1)-(fg)(1)=4-3=1). In such questions, find individual values first.
((f-g)(x)=x-2-2x+2=(x-1)2+1), जो कभी (0) नहीं होता। वर्ग पूर्ण करने से वास्तविक हल जल्दी दिखता है। / ((f-g)(x)=x-2-2x+2=(x-1)2+1), which is never (0). Completing the square quickly shows real solutions.
\((g-f)(x)=g(x)-f(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=2\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए। इसलिए यह एक स्थिर फलन है और इसका परिसर केवल \(\{2\}\) है। \(\{0\}\) सही नहीं है, क्योंकि घटाने पर स्थिर पदों का अंतर \(1-(-1)=2\) होता है। परीक्षा-युक्ति: दो फलनों के अंतर का परिसर ज्ञात करने से पहले \((g-f)(x)\) को सरल करें। / \((g-f)(x)=g(x)-f(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=2\) for every real \(x\). Thus, the difference is a constant function, whose range is the singleton set \(\{2\}\). \(\{0\}\) is incorrect because the constant terms give \(1-(-1)=2\). Exam tip: simplify \((g-f)(x)\) completely before determining its range.
फलनों का गुणनफल (fg)(x) = f(x)g(x) = (x + 1)x² = x³ + x² है। इस बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी घात 3 होगी। विकल्प B केवल g(x) की घात बताता है, पूरे गुणनफल की नहीं। परीक्षा में गुणनफल की घात ज्ञात करने के लिए पहले दोनों फलनों को गुणा करके उच्चतम घात देखें। / The product function is (fg)(x) = f(x)g(x) = (x + 1)x² = x³ + x². The highest power of x is 3, so the degree is 3. Option B gives the degree of g(x) alone, not that of the product. In such questions, multiply the functions first and then identify the highest power of x.
((f+g)(x)=x-2-2x=x(x-2)), इसलिए शून्यक (0) और (2) हैं। शून्यक के लिए फलन को (0) के बराबर रखें। / ((f+g)(x)=x-2-2x=x(x-2)), so the zeroes are (0) and (2). For zeroes, equate the function to (0).
समान हर होने पर अंश घटाएँ: (\frac{x-2-(x+3)}{x+1}=\frac{-5}{x+1})। हर (x+1) के कारण \(x \neq -1\)। / With the same denominator, subtract numerators: (\frac{x-2-(x+3)}{x+1}=\frac{-5}{x+1}). Because of denominator (x+1), \(x \neq -1\).
फलनों के रैखिक संयोजन में पूरे फलनों को उनके गुणांकों से गुणा किया जाता है: \((3f+2g)(x)=3f(x)+2g(x)=3(2x+1)+2(x-2)=6x+3+2x-4=8x-1\)। अतः सही उत्तर A है। विकल्प B में स्थिर पद के चिह्न की गलती है। परीक्षा में प्रत्येक गुणांक को पूरे फलन के प्रत्येक पद से गुणा करना न भूलें। / For a linear combination of functions, multiply each entire function by its coefficient: \((3f+2g)(x)=3f(x)+2g(x)=3(2x+1)+2(x-2)=6x+3+2x-4=8x-1\). Hence, option A is correct. Option B results from an incorrect sign in the constant term. In the exam, distribute each coefficient across every term of the corresponding function.
(\frac{x-2+6x+9}{x+3}=\frac{(x+3)2}{x+3}=x+3), अतः (x=0) पर मान (3) है। पूर्ण वर्ग पहचान उपयोगी है। / (\frac{x-2+6x+9}{x+3}=\frac{(x+3)2}{x+3}=x+3), hence the value at (x=0) is (3). The perfect square identity is useful.
\(f(x)\) में \(\sqrt{x-1}\) हर में है। इसलिए मूलांक के लिए \(x-1\geq 0\) और हर शून्य न होने के लिए \(x-1\neq 0\) होना चाहिए; अतः \(x>1\)। \(g(x)=x\) का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए \((f+g)\) का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद, अर्थात \((1,\infty)\), होगा। परीक्षा-सुझाव: हर में उपस्थित वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का पद सदैव धनात्मक लें। / In \(f(x)\), \(\sqrt{x-1}\) is in the denominator. Thus, the radicand must satisfy \(x-1\geq 0\), and the denominator must not be zero, so \(x-1\neq 0\). Therefore, \(x>1\). Since \(g(x)=x\) is defined for all real numbers, the domain of \((f+g)\) is the intersection of the two domains, namely \((1,\infty)\). Exam tip: For a square root in the denominator, require the expression under the root to be strictly positive.
((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-1\)=2), इसलिए किसी भी (x) पर मान (2) है। पहले सरल करने से गणना कम होती है। / ((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-1\)=2), so at any (x) the value is (2). Simplifying first reduces calculation.
फलनों का गुणनफल बिंदुवार परिभाषित होता है: \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। इसलिए \((fg)(x)=(2x)\left(\frac{1}{2}x\right)=x^2\)। विकल्प D, \(x\), फलनों के संयोजन \(f(g(x))\) से प्राप्त होता है, गुणनफल से नहीं। परीक्षा में \((fg)(x)\) को \(f(g(x))\) से अलग पहचानें। / The product of two functions is defined pointwise: \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(2x)\left(\frac{1}{2}x\right)=x^2\). Option D, \(x\), is obtained from the composition \(f(g(x))\), not from the product. In exams, distinguish \((fg)(x)\) from \(f(g(x))\).
फलनों का अंतर \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। इसलिए \((x^2+x+1)-(x^2-x+1)=x^2+x+1-x^2+x-1=2x\)। विकल्प B में घटाए जा रहे फलन के \(-x\) पद का चिह्न बदलना भूल गया है। परीक्षा-युक्ति: पूरे \(g(x)\) के आगे ऋण चिह्न होने पर उसके प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / The difference of two functions is \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((x^2+x+1)-(x^2-x+1)=x^2+x+1-x^2+x-1=2x\). Option B results from failing to change the sign of the \(-x\) term when subtracting the entire function \(g(x)\). Exam tip: when a function is preceded by a minus sign, change the sign of every term inside its brackets.
दो वास्तविक फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=\frac{x+2}{x-3}(x-3)=x+2\), जहाँ \(x\neq 3\)। अतः \((fg)(4)=4+2=6\)। विकल्प 1 केवल \(g(4)\) का मान है, जबकि विकल्प 4 यह मान लेने की गलती से मिलता है कि \(x=4\) पर फलन परिभाषित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले \((fg)(x)\) को \(f(x)g(x)\) के रूप में लिखें और मूल फलनों की डोमेन शर्त जाँचें। / The product of two real-valued functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \((fg)(x)=\frac{x+2}{x-3}(x-3)=x+2\), with the restriction \(x\neq 3\). Therefore, \((fg)(4)=4+2=6\). Option 1 is only the value of \(g(4)\), while option 4 incorrectly treats \(x=4\) as outside the domain. Exam tip: write \((fg)(x)=f(x)g(x)\) first and check the original domain restriction before cancelling factors.
((fg)(x)=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x), लेकिन दोनों वर्गमूलों के लिए \(x \geq 0\)। सरल रूप से प्रांत नहीं बदलता। / ((fg)(x)=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x), but both square roots require \(x \geq 0\). The simplified form does not change the original domain.
(\frac{x-2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2), अतः (x=3) पर मान (1) है। गुणनखंडन से भाग सरल होता है। / (\frac{x-2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2), so at (x=3) the value is (1). Factorisation makes division simple.
गुणनफल फलन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। इसलिए \((fg)(x)=(x+4)(4-x)=4^2-x^2=16-x^2\), क्योंकि यह \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) का रूप है। विकल्प B में चिह्न उलट गया है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले यह जाँचें कि \(fg\) से गुणनफल अभिप्रेत है या फलनों की रचना। / For the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \((fg)(x)=(x+4)(4-x)=4^2-x^2=16-x^2\), using the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Option B has the sign reversed. In an exam, first check whether \(fg\) denotes the product of functions or their composition.
