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दो फलनों का योग (f+g)(x)=f(x)+g(x) होता है। अतः (2x+3)+\(x^2−1\)=x-2+2x+2। विकल्प B में स्थिर पदों का योग गलत किया गया है। परीक्षा में पहले दोनों फलनों को जोड़कर समान पदों को एकत्र करें। / The sum of two functions is defined by (f+g)(x)=f(x)+g(x). Therefore, (2x+3)+\(x^2−1\)=x-2+2x+2. Option B results from adding the constant terms incorrectly. In an exam, combine like terms only after writing the two functions together.
((f-g)(x)=f(x)-g(x)), अतः (x-2+4x-(3x-5)=x-2+x+5)। घटाते समय bracket का sign बदलता है। / ((f-g)(x)=f(x)-g(x)), hence (x-2+4x-(3x-5)=x-2+x+5). While subtracting, change the signs inside the bracket.
((fg)(x)=f(x)g(x)), इसलिए ((x+2)(x-3)=x-2-x-6)। गुणा में दोनों terms को distribute करें। / ((fg)(x)=f(x)g(x)), so ((x+2)(x-3)=x-2-x-6). In multiplication, distribute both terms properly.
(\frac{x-2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3), पर (x=3) allowed नहीं है। cancel करने के बाद भी मूल denominator याद रखें। / (\frac{x-2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3), but (x=3) is not allowed. Even after cancellation, remember the original denominator.
दोनों square roots defined होने चाहिए, इसलिए \(x-1\geq 0\) और \(5-x\geq 0\), जिससे \(x\in[1,5]\)। sum के लिए domains का intersection लें। / Both square roots must be defined, so \(x-1\geq 0\) and \(5-x\geq 0\), giving \(x\in[1,5]\). For a sum, take the intersection of domains.
(f(x)) में denominator (x-2) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x\neq 2\)। polynomial (g(x)) सभी real (x) पर defined है। / In (f(x)), the denominator (x-2) cannot be zero, so \(x\neq 2\). The polynomial (g(x)) is defined for all real (x).
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \(f(-1)=(-1)^2=1\) और \(g(-1)=2(-1)+1=-1\), अतः \((f+g)(-1)=1+(-1)=0\)। विकल्प B केवल \(f(-1)\) का मान है, पूरे योग का नहीं। परीक्षा में पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Here, \(f(-1)=(-1)^2=1\) and \(g(-1)=2(-1)+1=-1\), so \((f+g)(-1)=1+(-1)=0\). Option B is only the value of \(f(-1)\), not the sum. In an exam, evaluate both functions separately before adding them.
(g(2)=5) और (f(2)=4), इसलिए ((g-f)(2)=5-4=1)। order को ध्यान से पढ़ें क्योंकि (g-f) और (f-g) अलग होते हैं। / (g(2)=5) and (f(2)=4), so ((g-f)(2)=5-4=1). Read the order carefully because (g-f) and (f-g) are different.
फलनों के योग के लिए संबंधित फलनों के मान जोड़े जाते हैं: \((f+g+h)(x)=f(x)+g(x)+h(x)=(x+1)+(x-1)+x^2\)। यहाँ \(+1\) और \(-1\) कट जाते हैं, इसलिए परिणाम \(x^2+2x\) है। परीक्षा में फलनों के योग में प्रत्येक पद को उसके चिह्न सहित लिखना न भूलें। / For the sum of functions, add their values at the same input: \((f+g+h)(x)=f(x)+g(x)+h(x)=(x+1)+(x-1)+x^2\). The constants \(+1\) and \(-1\) cancel, leaving \(x^2+2x\). In an exam, write every term with its sign before combining like terms.
किसी फलन का अदिश गुणज \((3f)(x)=3f(x)\) होता है। इसलिए \((3f)(x)=3(2x^2-1)=6x^2-3\)। विकल्प B गलत है क्योंकि 3 से \(-1\) को गुणा करने पर \(-3\) प्राप्त होना चाहिए। परीक्षा-टिप: \((3f)(x)\) को \(f(3x)\) न समझें; पहले में पूरे फलन का 3 से गुणन होता है। / The scalar multiple of a function is defined by \((3f)(x)=3f(x)\). Hence, \((3f)(x)=3(2x^2-1)=6x^2-3\). Option B is incorrect because multiplying the entire function by 3 changes \(-1\) to \(-3\). Exam tip: do not confuse \((3f)(x)\) with \(f(3x)\); the former multiplies the whole function by 3.
quotient में denominator (g(x)=x) शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(x\neq 0\)। simplify करने से पहले restriction लगाएं। / In a quotient, the denominator (g(x)=x) must not be zero, so \(x\neq 0\). Apply the restriction before simplifying.
product का domain दोनों domains का intersection होता है, और (f(x)) में \(x\neq 4\)। (g(x)) polynomial है, इसलिए कोई नई restriction नहीं है। / The domain of a product is the intersection of both domains, and in (f(x)), \(x\neq 4\). Since (g(x)) is a polynomial, it adds no new restriction.
(g(-2)=0), इसलिए quotient (\left\(\frac{f}{g}\right\)(-2)) defined नहीं है। numerator भी (0) हो तो भी denominator (0) allowed नहीं होता। / (g(-2)=0), so the quotient (\left\(\frac{f}{g}\right\)(-2)) is not defined. Even if the numerator is (0), a zero denominator is not allowed.
(f(-3)=3) और (g(-3)=-3), इसलिए ((f-g)(-3)=3-(-3)=6)। modulus में negative input का output positive होता है। / (f(-3)=3) and (g(-3)=-3), so ((f-g)(-3)=3-(-3)=6). A modulus gives a non-negative output.
((f+g)(x)=2x+5+5-2x=10), इसलिए यह constant function है। opposite terms cancel हों तो ध्यान से लिखें। / ((f+g)(x)=2x+5+5-2x=10), so it is a constant function. When opposite terms cancel, write the remaining constant carefully.
((f+g)(x)=x-2-x-2=0), इसलिए यह zero function है। समान opposite functions का sum zero देता है। / ((f+g)(x)=x-2-x-2=0), so it is the zero function. The sum of equal opposite functions gives zero.
फलनों पर गुणांक पूरे फलन के प्रत्येक पद पर लागू होते हैं: \\((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)=2(x+5)-3(2x-1)=2x+10-6x+3=-4x+13\\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \\(x\\) के पद का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा में पहले कोष्ठक खोलकर समान पदों को सावधानी से जोड़ें। / The coefficients apply to the entire functions: \\((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)=2(x+5)-3(2x-1)=2x+10-6x+3=-4x+13\\)。Hence, option A is correct. In option B, the sign of the \\(x\\)-term is handled incorrectly. In an exam, expand the brackets first and then combine like terms carefully.
दो फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \((f-g)(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=x^2+1-x^2+1=2\)। विकल्प B जोड़ने पर प्राप्त होता है, घटाने पर नहीं। परीक्षा-टिप: कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न होने पर उसके भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न बदल जाता है। / By the definition of the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Hence, \((f-g)(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=x^2+1-x^2+1=2\). Option B results from adding the functions, not subtracting them. Exam tip: When a bracket is preceded by a minus sign, the sign of every term inside the bracket changes.
((fg)(x)=(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}=1), पर (x=-1) allowed नहीं है। reciprocal वाली function में denominator check करें। / ((fg)(x)=(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}=1), but (x=-1) is not allowed. Always check the denominator in a reciprocal function.
\(\sqrt{x+2}\) के लिए \(x\geq -2\) और \(\frac{1}{x-1}\) के लिए \(x\neq 1\)। intersection से domain \([-2,\infty\)-{1}) मिलता है। / For \(\sqrt{x+2}\), \(x\geq -2\), and for \(\frac{1}{x-1}\), \(x\neq 1\). Their intersection gives \([-2,\infty\)-{1}).
(\frac{x-2-2x}{x-2}=\frac{x(x-2)}{x-2}=x), पर \(x\neq 2\)। cancelled factor से मूल restriction खत्म नहीं होती। / (\frac{x-2-2x}{x-2}=\frac{x(x-2)}{x-2}=x), but \(x\neq 2\). A cancelled factor does not remove the original restriction.
(f(1)=4) और (g(1)=2), इसलिए ((fg)(1)=4\cdot2=8)। product में values multiply होती हैं। / (f(1)=4) and (g(1)=2), so ((fg)(1)=4\cdot2=8). In a product, the function values are multiplied.
((g+f)(x)=g(x)+f(x)=x-2+2x+x-4=x-2+3x-4)। addition में order बदलने से answer नहीं बदलता। / ((g+f)(x)=g(x)+f(x)=x-2+2x+x-4=x-2+3x-4). In addition, changing the order does not change the answer.
दोनों denominators non-zero होने चाहिए, इसलिए \(x\neq -3\) और \(x\neq 1\)। rational functions में सभी denominators check करें। / Both denominators must be non-zero, so \(x\neq -3\) and \(x\neq 1\). For rational functions, check all denominators.
दो फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \(f(0)=0^2=0\) और \(g(0)=0+1=1\), अतः \((f-g)(0)=0-1=-1\)। विकल्प B में घटाव के क्रम को उलट दिया गया है। परीक्षा-टिप: \((f-g)(a)\) में पहले \(f(a)\) और फिर \(g(a)\) निकालकर घटाएँ। / For the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \(f(0)=0^2=0\) and \(g(0)=0+1=1\), so \((f-g)(0)=0-1=-1\). Option B results from reversing the order of subtraction. Exam tip: For \((f-g)(a)\), calculate \(f(a)\) first and subtract \(g(a)\) from it.
फलनों के योग के लिए ((f+g)(x)=f(x)+g(x))। अतः (f(3)=2(3)-7=-1) और (g(3)=3+5=8)। इसलिए ((f+g)(3)=-1+8=7)। विकल्प 9 केवल (g(3)+1) जैसा गलत संयोजन दर्शाता है। परीक्षा में पहले दोनों फलनों के मान निकालकर उन्हें जोड़ना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For the sum of two functions, ((f+g)(x)=f(x)+g(x)). Thus, (f(3)=2(3)-7=-1) and (g(3)=3+5=8). Therefore, ((f+g)(3)=-1+8=7). The value 9 results from an incorrect combination of the function values. In an exam, evaluate both functions at the given input first and then add them.
(\(x^2-1\)\(x^2+1\)=x-4-1) difference of squares से मिलता है। formula पहचानने से calculation तेज होती है। / (\(x^2-1\)\(x^2+1\)=x-4-1) by difference of squares. Recognizing the formula makes calculation faster.
(g(x)=(x+2)2), इसलिए (\frac{g(x)}{f(x)}=x+2), लेकिन \(x\neq -2\)। quotient में denominator की zero value हटानी जरूरी है। / (g(x)=(x+2)2), so (\frac{g(x)}{f(x)}=x+2), but \(x\neq -2\). In a quotient, remove the zero value of the denominator.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\geq 0\) चाहिए और (g(x)) सभी real (x) पर defined है। इसलिए product का domain \([0,\infty\)) है। / \(\sqrt{x}\) needs \(x\geq 0\), and (g(x)) is defined for all real (x). Therefore, the product domain is \([0,\infty\)).
((f+g)(x)=x-2+4x+2=(x+2)2-2)। complete square में आधे coefficient का square जोड़कर घटाते हैं। / ((f+g)(x)=x-2+4x+2=(x+2)2-2). In completing the square, add and subtract the square of half the coefficient.
\(\frac{1}{x}\) में (x=0) पर denominator शून्य हो जाता है। इसलिए sum का domain \(\mathbb{R}-{0}\) है। / In \(\frac{1}{x}\), the denominator becomes zero at (x=0). Therefore, the domain of the sum is \(\mathbb{R}-{0}\).
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^3-x\)। इसमें \(x\) को common factor लेने पर \(x(x^2-1)\) मिलता है। अब अंतर के वर्ग का सूत्र \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) लगाने पर उत्तर \(x(x-1)(x+1)\) है। विकल्प C में \((x-1)\) का वर्ग है, इसलिए वह \(x^3-x\) के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले common factor निकालें, फिर \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) लागू करें। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^3-x\). Taking \(x\) as the common factor gives \(x(x^2-1)\). Using the difference-of-squares identity \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), the factorized form is \(x(x-1)(x+1)\). Option C is incorrect because \((x-1)\) is squared, so it does not equal \(x^3-x\). Exam tip: take out the common factor first, then apply \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
(f(0)=3) और (g(0)=-6), इसलिए ((fg)(0)=3\cdot(-6)=-18)। sign multiplication में गलती न करें। / (f(0)=3) and (g(0)=-6), so ((fg)(0)=3\cdot(-6)=-18). Do not make a sign error in multiplication.
(x-2+5x+6=(x+2)(x+3)), इसलिए quotient (x+3) है, पर \(x\neq -2\)। factorization के साथ restriction लिखना जरूरी है। / (x-2+5x+6=(x+2)(x+3)), so the quotient is (x+3), but \(x\neq -2\). Write the restriction along with the factorization.
फलनों का योग \\( (f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x+1)+(x-4)=3x-3 \\) होगा। अब \\(3x-3=0\\) से \\(3x=3\\), अतः \\(x=1\\)। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा में पहले फलनों का योग सही रूप से बनाकर फिर प्राप्त रैखिक समीकरण को हल करें; केवल \\(f(x)\\) या \\(g(x)\\) को शून्य रखने से गलत उत्तर मिल सकता है। / The sum of the functions is \\( (f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x+1)+(x-4)=3x-3 \\). Setting it equal to zero gives \\(3x-3=0\\), so \\(3x=3\\) and hence \\(x=1\\). Therefore, option A is correct. In an exam, form the sum first and then solve the resulting linear equation; setting only \\(f(x)\\) or \\(g(x)\\) equal to zero would give a wrong result.
(f(2)=0) और (g(2)=0), इसलिए ((fg)(2)=0\cdot0=0)। product में कोई factor zero हो तो product zero होता है। / (f(2)=0) and (g(2)=0), so ((fg)(2)=0\cdot0=0). If any factor is zero, the product is zero.
गुणनफल \((fg)(x)=\frac{3x}{(x+2)(x-5)}\) तभी परिभाषित होगा जब दोनों हर शून्य न हों। इसलिए \(x\neq -2\) और \(x\neq 5\), अतः domain \(\mathbb{R}\setminus\{-2,5\}\) है। केवल \(-2\) या केवल \(5\) को हटाना अधूरा है। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल फलन का domain, दोनों फलनों के domains का intersection होता है। / The product is \((fg)(x)=\frac{3x}{(x+2)(x-5)}\), so both denominator factors must be non-zero. Thus, \(x\neq -2\) and \(x\neq 5\), giving the domain \(\mathbb{R}\setminus\{-2,5\}\). Excluding only \(-2\) or only \(5\) is incomplete. Exam tip: the domain of a product function is the intersection of the domains of the two functions.
((f+g)(x)=x-2+2x=(x+1)2-1), इसलिए minimum value (-1) है। complete square से quadratic का minimum आसानी से मिलता है। / ((f+g)(x)=x-2+2x=(x+1)2-1), so the minimum value is (-1). Completing the square helps find the minimum of a quadratic.
((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-3\)=4), इसलिए (x=5) पर भी value (4) है। पहले simplify करने से calculation कम होती है। / ((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-3\)=4), so at (x=5) the value is also (4). Simplifying first reduces calculation.
\(\sqrt{x-4}\) के लिए \(x\geq 4\) और \(\sqrt{x+1}\) के लिए \(x\geq -1\)। intersection \([4,\infty\)) है। / For \(\sqrt{x-4}\), \(x\geq 4\), and for \(\sqrt{x+1}\), \(x\geq -1\). The intersection is \([4,\infty\)).
\((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x-1)+(x+1)=2x\)। इसी प्रकार, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x-1)-(x+1)=-2\)। इसलिए सही युग्म \((2x,-2)\) है। विकल्प B में घटाने पर चिन्ह की गलती है, जबकि विकल्प D गुणनफल \(f(x)g(x)\) से संबंधित है। परीक्षा-युक्ति: \(f-g\) में पूरे \(g(x)\) को घटाते समय उसके दोनों पदों के चिन्ह बदलें। / \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x-1)+(x+1)=2x\). Also, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x-1)-(x+1)=-2\). Therefore, the correct pair is \((2x,-2)\). Option B results from an incorrect sign while subtracting, and option D corresponds to the product \(f(x)g(x)\), not the sum or difference. Exam tip: when subtracting \(g(x)\), change the signs of both terms inside the parentheses.
(x-2-1=(x-1)(x+1)), इसलिए denominator zero (x=1) और (x=-1) पर होता है। domain में denominator zero values हटती हैं। / (x-2-1=(x-1)(x+1)), so the denominator is zero at (x=1) and (x=-1). Values making the denominator zero are excluded from the domain.
फलनों के रैखिक संयोजन के नियम से \((5f-2g)(x)=5f(x)-2g(x)\)। अतः \(5(2x^2)-2(3x^2)=10x^2-6x^2=4x^2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(5f(x)\) को दर्शाता है और \(2g(x)\) घटाने पर ध्यान नहीं देता। परीक्षा में पहले प्रत्येक फलन का गुणांक लगाकर, फिर समान पदों को संयोजित करें। / Using the rule for a linear combination of functions, \((5f-2g)(x)=5f(x)-2g(x)\). Therefore, \(5(2x^2)-2(3x^2)=10x^2-6x^2=4x^2\), so option A is correct. Option B represents only \(5f(x)\) and ignores the subtraction of \(2g(x)\). In an exam, apply the coefficients first and then combine like terms.
(f(2)=0) और (g(2)=-1), इसलिए quotient (0) है। denominator non-zero हो तो numerator (0) allowed है। / (f(2)=0) and (g(2)=-1), so the quotient is (0). A zero numerator is allowed when the denominator is non-zero.
((f+g)(x)=x-2+x+2), जिसकी highest power (2) है। polynomial की degree highest exponent से मिलती है। / ((f+g)(x)=x-2+x+2), whose highest power is (2). The degree of a polynomial is given by its highest exponent.
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x^2-1)-(x-1)=x^2-1-x+1=x^2-x=x(x-1)\)। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में \(-1\) और \(+1\) के संकेतों का गलत प्रयोग हुआ है। परीक्षा-युक्ति: दो बहुपदों का घटाव करते समय दूसरे पूरे बहुपद के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x^2-1)-(x-1)=x^2-1-x+1=x^2-x=x(x-1)\), so option A is correct. Option B results from mishandling the signs in the subtraction. Exam tip: when subtracting a polynomial, change the sign of every term in the polynomial being subtracted before simplifying.
((fg)(x)=\frac{x+2}{x-1}(x-1)=x+2), पर मूल (f(x)) के कारण \(x\neq 1\)। simplification के साथ domain restriction लिखें। / ((fg)(x)=\frac{x+2}{x-1}(x-1)=x+2), but because of the original (f(x)), \(x\neq 1\). Write the domain restriction with the simplification.
(g(-1)=0), इसलिए quotient (-1) पर defined नहीं है। cancel करने से पहले original denominator check करें। / (g(-1)=0), so the quotient is not defined at (-1). Check the original denominator before cancellation.
फलनों का योग बिंदुवार किया जाता है: \((f+2g+h)(x)=f(x)+2g(x)+h(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\)। विकल्प B में \(g(x)\) के साथ गुणांक 2 नहीं लगाया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी रैखिक संयोजन में प्रत्येक फलन के सामने दिए गए गुणांक को अवश्य शामिल करें। / Function addition is performed pointwise: \((f+2g+h)(x)=f(x)+2g(x)+h(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\). Option B omits the coefficient 2 of \(g(x)\). Exam tip: In a linear combination, multiply each function by its stated coefficient before adding.
यहाँ \((fg)(x)\) का अर्थ फलनों का गुणनफल है: \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x-2)(x+2)=x^2-4\)। अतः \((fg)(x)+4=x^2-4+4=x^2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में 4 को घटाने के बजाय जोड़ दिया गया है। परीक्षा-टिप: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) का उपयोग करें। / Here, \((fg)(x)\) denotes the product of the two functions: \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x-2)(x+2)=x^2-4\). Therefore, \((fg)(x)+4=x^2-4+4=x^2\), so option A is correct. Option B results from adding 4 to the product without accounting for the \(-4\) term. Exam tip: apply the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
