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B. (-2) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at (-2) and right side
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(x\ge -2\) मिलता है। \(\ge\) के कारण सीमा शामिल होती है और दाईं ओर छायांकन होगा। / Solving gives \(x\ge -2\). Because of \(\ge\), the boundary is included and shading goes right.
हल करने पर \(-3x\le 6\) और फिर \(x\ge -2\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देते समय चिह्न बदलना न भूलें। / Solving gives \(-3x\le 6\) and then \(x\ge -2\). Remember to reverse the sign when dividing by a negative.
हल करने पर \(5x\le 15\) और \(x\le 3\) मिलता है। \(\le\) में (3) शामिल होगा। / Solving gives \(5x\le 15\) and \(x\le 3\). The sign \(\le\) includes (3).
खुला सिरा सीमा को बाहर रखता है और बंद सिरा सीमा को शामिल करता है। इसलिए \(-1<x\le 6\) सही है। / An open endpoint excludes the boundary and a closed endpoint includes it. Hence \(-1<x\le 6\) is correct.
वर्ग कोष्ठक (-4) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक (3) को बाहर रखता है। इसलिए \(-4\le x<3\) होगा। / The square bracket includes (-4) and the parenthesis excludes (3). Therefore the form is \(-4\le x<3\).
सभी भागों को (2) से भाग देने पर \(-3\le x<5\) मिलता है। इसलिए बायाँ सिरा बंद और दायाँ सिरा खुला है। / Dividing all parts by (2) gives \(-3\le x<5\). Hence the left endpoint is closed and the right endpoint is open.
पहला भाग (-2) को शामिल करता है और दूसरा भाग (4) को बाहर रखता है। अलग भागों के लिए \(\cup\) का प्रयोग करें। / The first part includes (-2) and the second part excludes (4). Use \(\cup\) for separate parts.
B. (5) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at (5) and right side
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(x-2\ge 3\) और \(x\ge 5\) मिलता है। सीमा शामिल होने से भरा वृत्त बनेगा। / Solving gives \(x-2\ge 3\) and \(x\ge 5\). Since the boundary is included, use a closed circle.
हल करने पर (2x+1<15) और (x<7) मिलता है। कठोर असमता में (7) शामिल नहीं होगा। / Solving gives (2x+1<15) and (x<7). A strict inequality does not include (7).
बाहर की छायांकन दो अलग क्षेत्रों को दिखाती है और खुले वृत्त सीमाओं को बाहर रखते हैं। इसलिए (\(-\infty,-5\)\cup\(1,\infty\)) सही है। / Outward shading shows two separate regions and open circles exclude the endpoints. Hence (\(-\infty,-5\)\cup\(1,\infty\)) is correct.
B. \(x\le -7\) या \(x\ge 3\)/\(x\le -7\) or \(x\ge 3\)
Explanation
Simple Explanation
भरे वृत्त दोनों सीमाओं को शामिल करते हैं और बाहर की छायांकन दो बाहरी क्षेत्रों को दिखाती है। इसलिए बराबरी सहित या का प्रयोग होगा। / Closed circles include both endpoints and outward shading shows two outside regions. So inclusive inequalities with or are used.
पहले (3) से गुणा करें और फिर (1) जोड़ें तो \(-5\le x<13\) मिलता है। इसलिए अंतराल ([-5,13)) है। / First multiply by (3) and then add (1) to get \(-5\le x<13\). Therefore the interval is ([-5,13)).
दोनों अंतरालों में सामान्य भाग (0) से (8) तक है और दोनों मान शामिल हैं। इसलिए ([0,8]) सही है। / The common part of both intervals is from (0) to (8), and both values are included. Hence ([0,8]) is correct.
पहला अंतराल (2) से पहले खत्म होता है और दूसरा (2) के बाद शुरू होता है। इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं है। / The first interval ends before (2), and the second starts after (2). Therefore there is no common point.
हल करने पर (-2x>-6) और फिर (x<3) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिह्न उलटता है। / Solving gives (-2x>-6) and then (x<3). The sign reverses when dividing by a negative.
हल करने पर \(-4x\ge -16\) और \(x\le 4\) मिलता है। बराबरी शामिल होने से (4) पर बंद सिरा होगा। / Solving gives \(-4x\ge -16\) and \(x\le 4\). Since equality is included, (4) is a closed endpoint.
(1) जोड़कर \(3<3x\le 12\) और फिर \(1<x\le 4\) मिलता है। इसलिए ((1,4]) सही है। / Adding (1) gives \(3<3x\le 12\), then \(1<x\le 4\). Hence ((1,4]) is correct.
दोनों का समान भाग (-3) से (0) तक है। दोनों सीमाएँ इस समान भाग में शामिल हैं। / The common part is from (-3) to (0). Both endpoints are included in this intersection.
दोनों अंतराल (5) पर जुड़े हुए हैं और (1) तथा (9) शामिल नहीं हैं। इसलिए मिलकर ((1,9)) बनता है। / The intervals meet at (5), while (1) and (9) are excluded. Together they form ((1,9)).
(4) से गुणा करने पर \(-4\le x+2\le 12\) और फिर \(-6\le x\le 10\) मिलता है। दोनों सीमाएँ शामिल हैं। / Multiplying by (4) gives \(-4\le x+2\le 12\), then \(-6\le x\le 10\). Both endpoints are included.
A. (-2) से (6) तक छायांकन और (3) पर खाली वृत्त/Shading from (-2) to (6) with an open circle at (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\setminus{3}\) का अर्थ है (3) को हटाना। इसलिए बंद अंतराल में (3) पर खाली वृत्त दिखेगा। / The notation \(\setminus{3}\) means remove (3). So an open circle appears at (3) inside the closed interval.
यह दोनों ओर की सभी संख्याएँ लेता है लेकिन (2) को छोड़ देता है। संख्या रेखा पर (2) पर खाली वृत्त होगा। / It takes all numbers on both sides but leaves out (2). On the number line, (2) has an open circle.
\(|x|\le 5\) का अर्थ है \(-5\le x\le 5\)। बराबरी होने से दोनों सिरे बंद होंगे। / \(|x|\le 5\) means \(-5\le x\le 5\). Since equality is present, both endpoints are closed.
(|x|>4) में (x<-4) या (x>4) होता है। दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं इसलिए खुले वृत्त होंगे। / (|x|>4) means (x<-4) or (x>4). Both boundaries are excluded, so open circles are used.
\(|x|\ge 2\) में \(x\le -2\) या \(x\ge 2\) होता है। बराबरी शामिल है इसलिए दोनों बाहरी सिरे बंद होंगे। / \(|x|\ge 2\) means \(x\le -2\) or \(x\ge 2\). Equality is included, so the outer endpoints are closed.
पहले अंतराल में (-2) शामिल है और दूसरा उसके तुरंत बाद शुरू होता है। मिलकर ([-8,5)) बनता है। / The first interval includes (-2), and the second starts just after it. Together they form ([-8,5)).
समान भाग (0) से बड़ा और (3) तक है। (0) शामिल नहीं है लेकिन (3) शामिल है। / The common part is greater than (0) and up to (3). (0) is excluded but (3) is included.
हल करने पर \(2x-2\le x+4\) और \(x\le 6\) मिलता है। \(\le\) होने से (6) शामिल है। / Solving gives \(2x-2\le x+4\) and \(x\le 6\). Since \(\le\) is present, (6) is included.
हल करने पर (3x+6>2x-1) और (x>-7) मिलता है। कठोर असमता होने से (-7) खुला रहेगा। / Solving gives (3x+6>2x-1) and (x>-7). Since the inequality is strict, (-7) remains open.
सरल करने पर \(3-2x\ge 1\), फिर \(-2x\ge -2\) और \(x\le 1\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिह्न बदलता है। / Simplifying gives \(3-2x\ge 1\), then \(-2x\ge -2\), and \(x\le 1\). The sign reverses when dividing by a negative.
C. (2) और (9) दोनों शामिल नहीं हैं/Both (2) and (9) are not included
Explanation
Simple Explanation
खाली वृत्त सीमा को समाधान से बाहर रखता है। इसलिए दोनों अंतिम बिंदु शामिल नहीं होंगे। / Open circles keep boundary points out of the solution. Therefore both endpoints are not included.
(0) हटाने का अर्थ है (0) पर खाली वृत्त लगाना। बाकी (-3) और (7) शामिल रहेंगे। / Removing (0) means placing an open circle at (0). The endpoints (-3) and (7) remain included.
दूसरा अंतराल (-4) को शामिल करता है इसलिए बीच में कोई खाली जगह नहीं बचती। संयुक्त अंतराल ([-10,2]) है। / The second interval includes (-4), so no gap remains in the middle. The combined interval is ([-10,2]).
समान भाग (1) से शुरू होकर (6) से पहले तक है। (1) शामिल है और (6) शामिल नहीं है। / The common part starts at (1) and goes up to but not including (6). (1) is included and (6) is excluded.
([2,5]) में (2) और (5) शामिल हैं इसलिए बाहर का भाग उन्हें शामिल नहीं करेगा। इसलिए दोनों सीमाएँ खुली रहेंगी। / Since ([2,5]) includes (2) and (5), the outside part will not include them. Thus both boundaries are open.
((-1,4)) में (-1) और (4) शामिल नहीं हैं इसलिए पूरक में दोनों शामिल होंगे। अतः बाहरी भाग बंद सिरों के साथ होगा। / ((-1,4)) does not include (-1) and (4), so the complement includes both. Hence the outside regions have closed endpoints.
B. (1) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at (1) and right side
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(5-2x\le 3\), फिर \(-2x\le -2\) और \(x\ge 1\) मिलता है। सीमा शामिल है इसलिए (1) बंद होगा। / Solving gives \(5-2x\le 3\), then \(-2x\le -2\), and \(x\ge 1\). The boundary is included, so (1) is closed.
पहले अंतराल में (0) शामिल है और दूसरा (0) के बाद शुरू होता है। इसलिए कोई खाली जगह नहीं रहती और ([-5,4]) बनता है। / The first interval includes (0), and the second starts after (0). So no gap remains and the result is ([-5,4]).
दोनों अंतरालों का केवल सामान्य बिंदु (1) है। इसलिए संख्या रेखा पर (1) पर भरा बिंदु होगा। / The only common point of the two intervals is (1). So the number line has a closed point at (1).
खुला सिरा (a) को बाहर रखता है और बंद सिरा (b) को शामिल करता है। इसलिए अंतराल ((a,b]) होगा। / The open endpoint excludes (a), and the closed endpoint includes (b). Therefore the interval is ((a,b]).
A. (2) पर खाली वृत्त और दाईं ओर छायांकन/Open circle at (2) and shading right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर (x>2) मिलता है। कठोर असमता में सीमा शामिल नहीं होती इसलिए खाली वृत्त बनता है। / Solving gives (x>2). A strict inequality excludes the boundary so an open circle is used.
हल करने पर \(-5x\le 15\) और फिर \(x\ge -3\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर असमता का चिह्न बदलता है। / Solving gives \(-5x\le 15\) and then \(x\ge -3\). The inequality sign reverses when dividing by a negative.
दोनों अंतरालों का समान भाग (-2) से बड़ा और (4) से छोटा है। दोनों सीमाएँ इस समान भाग में शामिल नहीं हैं। / The common part is greater than (-2) and less than (4). Both endpoints are excluded in this intersection.
दूसरा अंतराल (-1) को शामिल करता है इसलिए बीच में कोई अंतर नहीं बचता। संयुक्त भाग (5) से पहले तक की सभी संख्याएँ देता है। / The second interval includes (-1), so no gap remains. The union gives all numbers before (5).
मूल अंतराल में (-4) शामिल है लेकिन (2) शामिल नहीं है। पूरक में (-4) बाहर और (2) शामिल होगा। / The original interval includes (-4) but excludes (2). In the complement, (-4) is excluded and (2) is included.
हल करने पर \(5\le 2x-3<15\) और फिर \(4\le x<9\) मिलता है। इसलिए (4) शामिल है लेकिन (9) शामिल नहीं है। / Solving gives \(5\le 2x-3<15\) and then \(4\le x<9\). Therefore (4) is included but (9) is excluded.
पूर्णांक (-4,-3,-2,-1,0,1,2) हैं। (3) खुला सिरा है इसलिए उसे नहीं गिनते। / The integers are (-4,-3,-2,-1,0,1,2). The endpoint (3) is open, so it is not counted.
A. (4) पर खाली गोला और दाईं ओर रेखा/Open circle at (4) and line to the right
Explanation
Simple Explanation
(>) में सीमा संख्या शामिल नहीं होती इसलिए खाली गोला लगेगा। परीक्षा में दिशा चिन्ह से तय करें। / In (>), the boundary number is not included, so use an open circle. In exams, decide direction from the inequality sign.
C. (-2) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (-2) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\ge\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए बंद बिंदु लगेगा। परीक्षा में दिशा हमेशा बड़े मानों की ओर देखें। / The sign \(\ge\) includes equality so the dot is closed. In exams always check the direction toward greater values.
B. (-3) पर भरा गोला और बाईं ओर रेखा/Closed circle at (-3) and line to the left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में सीमा संख्या शामिल होती है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। परीक्षा में भरे गोले का अर्थ शामिल समझें। / In \(\le\), the boundary number is included and smaller numbers lie to the left. In exams, a closed circle means included.
B. (-4) पर खुला बिंदु और (1) पर बंद बिंदु/Open dot at (-4) and closed dot at (1)
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक वाला सिरा शामिल नहीं होता और वर्ग कोष्ठक वाला सिरा शामिल होता है। परीक्षा में (() को खुला और ([) को बंद याद रखें। / A round bracket endpoint is not included and a square bracket endpoint is included. In exams remember (() means open and ([) means closed.
A. (2) पर खाली गोला (7) पर भरा गोला और बीच का भाग/Open circle at (2) closed circle at (7) and shaded between
Explanation
Simple Explanation
(() का अर्थ सीमा शामिल नहीं और (]) का अर्थ सीमा शामिल है। परीक्षा में कोष्ठक देखकर गोला चुनें। / The bracket (() means not included and (]) means included. In exams, choose the circle type from the bracket.
खुला बिंदु बताता है कि (3.5) शामिल नहीं है और बाईं दिशा छोटे मान दिखाती है। परीक्षा में खुले बिंदु के लिए सख्त असमानता लिखें। / The open dot shows that (3.5) is not included and the left direction shows smaller values. In exams write a strict inequality for an open dot.
A. (5) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (5) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(x\ge 5\) मिलता है इसलिए (5) शामिल है और रेखा दाईं ओर जाएगी। परीक्षा में पहले असमानता सरल करें फिर संख्या रेखा बनाएं। / Solving gives \(x\ge 5\) so (5) is included and the ray goes right. In exams simplify the inequality first then draw the number line.
B. (-4) पर भरा गोला और (2) पर खाली गोला/Closed circle at (-4) and open circle at (2)
Explanation
Simple Explanation
(-4) शामिल है पर (2) शामिल नहीं है। परीक्षा में \(\le\) को भरा और (<) को खाली गोला मानें। / The number (-4) is included but (2) is not included. In exams, treat \(\le\) as closed and (<) as open.
खुले सिरों का अर्थ है कि (0) और (6) दोनों शामिल नहीं हैं। परीक्षा में दोनों खुले बिंदुओं के लिए ((0,6)) लिखें। / Open endpoints mean both (0) and (6) are not included. In exams write ((0,6)) for two open dots.
भरा गोला (6) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। परीक्षा में \(\infty\) के साथ हमेशा खुला कोष्ठक रखें। / A closed circle includes (6), and numbers to the right are greater. In exams, always use an open bracket with \(\infty\).
खाली गोला सीमा को हटाता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ होती हैं। परीक्षा में बाईं दिशा को (<) से जोड़ें। / An open circle excludes the boundary and the left side has smaller numbers. In exams, connect left shading with (<).
(3) शामिल है और उससे छोटी सभी संख्याएँ ली गई हैं। परीक्षा में (]) को \(\le\) से मिलाएँ। / The number (3) is included and all smaller numbers are taken. In exams, match (]) with \(\le\).
([0,4)) में (0) शामिल है लेकिन (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में अंतिम कोष्ठक खुले होने पर अंतिम संख्या हटाएँ। / In ([0,4)), (0) is included but (4) is not included. In exams, exclude the endpoint with an open bracket.
पूर्णांक (-4,-3,-2,-1,0) हैं इसलिए कुल (5) हैं। परीक्षा में खुले सिरों को गिनती से बाहर रखें। / The integers are (-4,-3,-2,-1,0), so there are (5). In exams, keep open endpoints out of counting.
A. \(x\ge 3\) इसलिए (3) पर भरा गोला और दाईं ओर/\(x\ge 3\), so closed circle at (3) and right side
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(3x\ge 9\) और \(x\ge 3\) मिलता है। परीक्षा में पहले हल करें फिर संख्या रेखा बनाएं। / Solving gives \(3x\ge 9\) and \(x\ge 3\). In exams, solve first and then draw the number line.
A. (x<4) इसलिए (4) पर खाली गोला और बाईं ओर/(x<4), so open circle at (4) and left side
Explanation
Simple Explanation
हल (2x<8) से (x<4) है। परीक्षा में कठोर असमानता के लिए खाली गोला लगाएँ। / The solution is (2x<8), so (x<4). In exams, use an open circle for a strict inequality.
सभी भागों को (2) से भाग देने पर \(-3\le x\le 5\) मिलता है। परीक्षा में संयुक्त असमानता में हर भाग पर वही क्रिया करें। / Dividing all parts by (2) gives \(-3\le x\le 5\). In exams, apply the same operation to every part of a compound inequality.
सभी भागों को (2) से गुणा करने पर \(2<x\le 8\) मिलता है। परीक्षा में अंतिम सीमा शामिल है या नहीं यह जरूर देखें। / Multiplying all parts by (2) gives \(2<x\le 8\). In exams, check carefully whether each endpoint is included.
पूर्णांक (-2,-1,0,1,2,3) हैं इसलिए कुल (6) हैं। परीक्षा में बंद अंतराल में दोनों सिरों को गिनें। / The integers are (-2,-1,0,1,2,3), so the total is (6). In exams, count both endpoints in a closed interval.
दोनों गोले खाली हैं इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। परीक्षा में खाली गोला खुले कोष्ठक से लिखें। / Both circles are open, so both endpoints are excluded. In exams, write an open circle using an open bracket.
भरा गोला (7) को शामिल करता है और बाईं ओर (7) से छोटी संख्याएँ हैं। परीक्षा में भरा गोला देखकर बराबरी का चिन्ह जोड़ें। / A closed circle includes (7), and the left side contains numbers less than (7). In exams, add equality when you see a closed circle.
C. इसमें (-2) शामिल नहीं है पर (4) शामिल है/It does not include (-2) but includes (4)
Explanation
Simple Explanation
(() का अर्थ (-2) बाहर और (]) का अर्थ (4) अंदर है। परीक्षा में बाएँ और दाएँ कोष्ठक अलग-अलग जाँचें। / The bracket (() means (-2) is out and (]) means (4) is in. In exams, check left and right brackets separately.
पहला भाग (-1) से छोटा है और दूसरा भाग (3) सहित उससे बड़ा है। परीक्षा में \(\cup\) को या के रूप में पढ़ें। / The first part is less than (-1), and the second part is (3) and greater. In exams, read \(\cup\) as or.
दोनों का सामान्य भाग (4) से बड़ा और (6) तक है। परीक्षा में साथ वाली शर्त का मतलब प्रतिच्छेद होता है। / The common part is greater than (4) and up to (6). In exams, conditions taken together mean intersection.
(-5) शामिल है और (2) शामिल नहीं है। परीक्षा में दोनों शर्तों को मिलाकर बीच का साझा भाग लें। / (-5) is included and (2) is not included. In exams, combine both conditions and take the common middle part.
\([3,\infty\)) दाईं ओर अनंत तक जाता है इसलिए अंतिम दायाँ बिंदु नहीं है। परीक्षा में \(\infty\) को वास्तविक बिंदु न मानें। / \([3,\infty\)) extends endlessly to the right, so it has no final right endpoint. In exams, do not treat \(\infty\) as an actual point.
D. सभी (0) से छोटी वास्तविक संख्याएँ/All real numbers less than (0)
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,0\)) में (0) शामिल नहीं है और उससे छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। परीक्षा में खुले कोष्ठक का ध्यान रखें। / (\(-\infty,0\)) excludes (0) and contains all real numbers less than it. In exams, pay attention to the open bracket.
केवल अलग-अलग पूर्णांक बिंदु भरे हैं इसलिए \(x\in\mathbb{Z}\) होगा। परीक्षा में रेखा और अलग बिंदुओं में अंतर पहचानें। / Only separate integer points are filled, so \(x\in\mathbb{Z}\). In exams, distinguish a shaded line segment from separate points.
असमानता में (5) वह संख्या है जहाँ से दिशा तय होती है। परीक्षा में सीमा बिंदु पहले पहचानें। / In the inequality, (5) is the number from which the direction is decided. In exams, identify the boundary point first.
हल करने पर \(-2x\le -4\) और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\ge 2\) मिलता है। परीक्षा में चिन्ह पलटना जरूरी है। / Solving gives \(-2x\le -4\), and dividing by a negative gives \(x\ge 2\). In exams, reversing the sign is essential.
सभी भागों में (1) घटाने पर \(3<x\le 7\) मिलता है। परीक्षा में संयुक्त असमानता में दोनों सीमाएँ साथ बदलें। / Subtracting (1) from all parts gives \(3<x\le 7\). In exams, change both boundaries together in a compound inequality.
(-2) शामिल नहीं है इसलिए उससे ठीक छोटा पूर्णांक (-3) है। परीक्षा में खुले अंतिम बिंदु को उत्तर न चुनें। / (-2) is not included, so the integer just before it is (-3). In exams, do not choose an open endpoint.
(-4) शामिल नहीं है इसलिए अगला पूर्णांक (-3) है। परीक्षा में खुले बाएँ बिंदु के बाद वाला पूर्णांक लें। / (-4) is not included, so the next integer is (-3). In exams, take the integer after an open left endpoint.
B. केवल (2) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (2)
Explanation
Simple Explanation
([2,2]) में केवल (2) शामिल होता है। परीक्षा में समान सीमाओं वाले बंद अंतराल को एक बिंदु मानें। / ([2,2]) contains only (2). In exams, treat a closed interval with equal endpoints as a single point.
कोई संख्या (3) से बड़ी और (3) से छोटी साथ-साथ नहीं हो सकती। परीक्षा में समान सीमाओं वाले खुले अंतराल को रिक्त मानें। / No number can be greater than (3) and less than (3) at the same time. In exams, an open interval with equal endpoints is empty.
A. पूरी संख्या रेखा पर रेखा और (2) पर खाली गोला/Whole number line shaded with an open circle at (2)
Explanation
Simple Explanation
\(x\neq 2\) में (2) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। परीक्षा में हटाए गए बिंदु को खाली गोले से दिखाएँ। / In \(x\neq 2\), all real numbers except (2) are included. In exams, show the excluded point with an open circle.
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2\) ऋणात्मक नहीं होता। परीक्षा में सार्वत्रिक सत्य असमानता को पूरी रेखा से दिखाएँ। / For any real (x), \(x^2\) is never negative. In exams, represent an always true inequality by the whole line.
वास्तविक संख्या का वर्ग कभी (0) से छोटा नहीं होता। परीक्षा में असंभव शर्त को रिक्त समुच्चय लिखें। / The square of a real number is never less than (0). In exams, write an impossible condition as the empty set.
\(|x|\ge 4\) का अर्थ (0) से दूरी कम से कम (4) है। परीक्षा में दूरी अधिक हो तो बाहरी भाग लें। / \(|x|\ge 4\) means the distance from (0) is at least (4). In exams, when distance is greater, take the outside parts.
(-2) शामिल नहीं है लेकिन (2) शामिल है। परीक्षा में पूर्णांक शर्त होने पर अलग-अलग बिंदु दिखाएँ। / (-2) is not included but (2) is included. In exams, show separate points when the condition is over integers.
B. पूरी संख्या रेखा पर (1) को छोड़कर/Entire number line except (1)
Explanation
Simple Explanation
दोनों भाग (1) से छोटे और बड़े सभी मान लेते हैं पर (1) नहीं लेते। परीक्षा में संघ में दोनों भाग जोड़ें। / The two parts take all values less than and greater than (1), but not (1). In exams, combine both parts for union.
दोनों शर्तों को एक साथ केवल (0) पूरा करता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद का अर्थ साझा भाग होता है। / Only (0) satisfies both conditions together. In exams, intersection means the common part.
(\(1,\infty\)) में (1) शामिल नहीं है पर उससे बड़े मान शामिल हैं। परीक्षा में खुले बाएँ सिरे को बाहर रखें। / In (\(1,\infty\)), (1) is not included but greater values are included. In exams, exclude the open left endpoint.
दोनों सीमाएँ समान और शामिल हैं इसलिए केवल (-6) बिंदु मिलेगा। परीक्षा में इसे एक भरे बिंदु से दिखाएँ। / Both boundaries are equal and included, so only the point (-6) is obtained. In exams, show it as one closed point.
साझा भाग (2) से बड़ा और (5) सहित है। परीक्षा में प्रतिच्छेद में केवल ओवरलैप लिखें। / The common part is greater than (2) and includes (5). In exams, write only the overlap for intersection.
पहला भाग (2) तक खुला है और दूसरा (2) से शुरू होकर शामिल है इसलिए बीच में अंतर नहीं रहता। परीक्षा में जुड़े हुए अंतराल को मिलाकर लिखें। / The first part is open up to (2), and the second starts at (2) included, so no gap remains. In exams, merge connected intervals.
दोनों अंतराल (4) को बाहर रखते हैं इसलिए (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में संघ में भी खुले छूटे बिंदु पर ध्यान दें। / Both intervals exclude (4), so (4) is not included. In exams, watch for missing open points even in a union.
(-1) शामिल है और रेखा दाईं ओर जाती है इसलिए \(x\ge -1\) होगा। परीक्षा में ([ ) को बराबरी सहित पढ़ें। / (-1) is included and the line goes right, so \(x\ge -1\). In exams, read ([ ) as including equality.
A. (x>7) इसलिए (7) पर खाली गोला और दाईं ओर/(x>7), so open circle at (7) and right side
Explanation
Simple Explanation
दोनों ओर (3) से गुणा कर (x-1>6) और (x>7) मिलता है। परीक्षा में पहले सीमा मान निकालें फिर गोला और दिशा तय करें। / Multiplying both sides by (3) gives (x-1>6), so (x>7). In exams, find the boundary first and then choose circle and direction.
C. (-6) पर खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा/Open dot at (-6) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) में बराबरी शामिल नहीं होती इसलिए खुला बिंदु लगेगा। परीक्षा में बड़े मानों के लिए रेखा दाईं ओर बनाएं। / The sign (>) does not include equality so the dot is open. In exams draw the ray to the right for greater values.
(-2) शामिल नहीं है लेकिन (3) शामिल है इसलिए पूर्णांक (-1) से (3) तक होंगे। परीक्षा में खुले और बंद endpoints के अनुसार integer points चुनें। / The value (-2) is excluded but (3) is included so the integers are from (-1) to (3). In exams choose integer points according to open and closed endpoints.
बंद बिंदु (-1) को शामिल करता है और बाईं दिशा छोटे मान दिखाती है। परीक्षा में बंद बिंदु के साथ \(\le\) या \(\ge\) का प्रयोग करें। / The closed dot includes (-1) and the left direction shows smaller values. In exams use \(\le\) or \(\ge\) with a closed dot.
बंद बिंदु (11) को शामिल करता है और दाईं दिशा बड़े मान दिखाती है। परीक्षा में closed dot के साथ equality वाला चिन्ह चुनें। / The closed dot includes (11) and the right direction shows greater values. In exams choose the equality sign with a closed dot.
B. \(\frac{1}{2}\) पर बंद और (4) पर खुला बिंदु/Closed dot at \(\frac{1}{2}\) and open dot at (4)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक \(\frac{1}{2}\) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक (4) को हटाता है। परीक्षा में brackets को सीधे endpoints में बदलें। / The square bracket includes \(\frac{1}{2}\) and the round bracket excludes (4). In exams convert brackets directly into endpoints.
A. (3) पर खुला बिंदु और बाईं ओर रेखा/Open dot at (3) and ray to the left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर (x<3) मिलता है इसलिए (3) शामिल नहीं है। परीक्षा में पहले सीमा मान निकालें फिर खुला या बंद बिंदु तय करें। / Solving gives (x<3) so (3) is not included. In exams first find the boundary value then decide open or closed dot.
A. (4) पर खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा/Open dot at (4) and ray right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर (x>4) मिलता है इसलिए (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में पहले boundary निकालें फिर direction तय करें। / Solving gives (x>4) so (4) is not included. In exams first find the boundary and then decide the direction.
दोनों खुले बिंदु बताते हैं कि (0) और (4) शामिल नहीं हैं। परीक्षा में दो खुले सिरों के लिए गोल कोष्ठक लगाएं। / Both open dots show that (0) and (4) are not included. In exams use round brackets for two open endpoints.
(-6) शामिल है और (-1) शामिल नहीं है इसलिए \(-6\le x<-1\) सही है। परीक्षा में negative endpoints को भी number line order में पढ़ें। / The value (-6) is included and (-1) is excluded so \(-6\le x<-1\) is correct. In exams read negative endpoints in number line order.
(5) से गुणा करके और (3) घटाकर \(7\le x<12\) मिलता है। परीक्षा में positive multiplication से inequality sign नहीं बदलता। / Multiplying by (5) and subtracting (3) gives \(7\le x<12\). In exams positive multiplication does not reverse the inequality sign.
बंद बिंदु (8) को शामिल करता है और दाईं दिशा बड़े मान दिखाती है। परीक्षा में दाईं रेखा के लिए (>) या \(\ge\) चुनें। / The closed dot includes (8) and the right direction shows greater values. In exams choose (>) or \(\ge\) for a right ray.
or में दोनों अलग-अलग भागों का union लिया जाता है। परीक्षा में \(\le\) वाले endpoint को बंद और (>) वाले endpoint को खुला रखें। / For or take the union of both separate parts. In exams keep the \(\le\) endpoint closed and the (>) endpoint open.
(-5) शामिल है और (2) शामिल नहीं है इसलिए ([-5,2)) सही है। परीक्षा में बराबरी वाले सिरे पर वर्ग कोष्ठक लगाएं। / The value (-5) is included and (2) is excluded so ([-5,2)) is correct. In exams use a square bracket at the equality endpoint.
(-3) से भाग देने पर दोनों चिन्ह पलटते हैं और \(-2\le x<5\) मिलता है। परीक्षा में negative division के बाद endpoints का क्रम सही करें। / Dividing by (-3) reverses both signs and gives \(-2\le x<5\). In exams fix the endpoint order after negative division.
D. \(\frac{3}{2}\) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at \(\frac{3}{2}\) and ray left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में बराबरी शामिल है और छोटे मान बाईं ओर होते हैं। परीक्षा में भिन्न सीमा मान को भी सामान्य संख्या की तरह रखें। / The sign \(\le\) includes equality and smaller values lie to the left. In exams place a fractional boundary like any ordinary number.
दोनों खुले बिंदु बताते हैं कि दोनों endpoints शामिल नहीं हैं। परीक्षा में open-open segment को round brackets से लिखें। / Both open dots show that both endpoints are excluded. In exams write an open-open segment using round brackets.
खुला बिंदु (-3) को हटाता है और बंद बिंदु (6) को शामिल करता है। परीक्षा में छायांकित भाग को बीच की असमानता में लिखें। / The open dot excludes (-3) and the closed dot includes (6). In exams write the shaded region as a compound inequality.
B. \(\frac{5}{3}\) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at \(\frac{5}{3}\) and ray left
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{5}{3}\) शामिल है और उससे छोटे सभी मान लिए जाते हैं। परीक्षा में (\(-\infty,a]\) को \(x\le a\) समझें। / The value \(\frac{5}{3}\) is included and all smaller values are taken. In exams understand (\(-\infty,a]\) as \(x\le a\).
हल करने पर \(-2x\ge -4\) और ऋणात्मक से भाग देने पर चिह्न बदलकर \(x\le 2\) होता है। परीक्षा में ऋणात्मक से भाग देने पर असमानता का चिन्ह पलटें। / Solving gives \(-2x\ge -4\) and dividing by a negative changes the sign to \(x\le 2\). In exams reverse the inequality sign when dividing by a negative.
A. (9) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at (9) and ray to the left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,9]\) में (9) शामिल है और सभी छोटे मान लिए जाते हैं। परीक्षा में \(-\infty\) की ओर रेखा बाईं दिशा में होती है। / The interval (\(-\infty,9]\) includes (9) and all smaller values. In exams the ray toward \(-\infty\) goes left.
B. (4) पर खुला बिंदु और बाकी पूरी रेखा/Open dot at (4) and the rest of the whole line
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne 4\) में (4) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। परीक्षा में हटाए गए बिंदु को खुला दिखाएं। / The inequality \(x\ne 4\) includes all real numbers except (4). In exams show the removed point as an open dot.
C. (-7) शामिल नहीं है और (-2) शामिल है/(-7) is excluded and (-2) is included
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक (-7) को हटाता है और वर्ग कोष्ठक (-2) को शामिल करता है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं में भी सिरों का नियम वही रहता है। / The round bracket excludes (-7) and the square bracket includes (-2). In exams the endpoint rule stays the same for negative numbers.
खुला बिंदु (1) को हटाता है और दाईं दिशा बड़े मानों को दिखाती है। परीक्षा में \(\infty\) वाले सिरे पर हमेशा गोल कोष्ठक होता है। / The open dot excludes (1) and the right direction shows greater values. In exams infinity endpoints always use round brackets.
C. (-1) और (3) दोनों पर बंद बिंदु/Closed dots at both (-1) and (3)
Explanation
Simple Explanation
([-1,3]) में दोनों सिरों पर वर्ग कोष्ठक हैं इसलिए दोनों मान शामिल हैं। परीक्षा में closed interval के दोनों बिंदु बंद बनाएं। / The interval ([-1,3]) has square brackets at both ends so both values are included. In exams draw closed dots for both endpoints of a closed interval.
दोनों बंद बिंदु बताते हैं कि (-8) और (2) शामिल हैं। परीक्षा में closed dots को \(\le\) वाले दोनों चिह्नों से जोड़ें। / Both closed dots show that (-8) and (2) are included. In exams connect closed dots with \(\le\) signs on both sides.
A. \(-\frac{5}{2}\) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at \(-\frac{5}{2}\) and ray right
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) के कारण सीमा मान शामिल है और बड़े मान दाईं ओर हैं। परीक्षा में ऋणात्मक भिन्न को संख्या रेखा पर सही स्थान पर रखें। / Because of \(\ge\) the boundary value is included and greater values are to the right. In exams place the negative fraction correctly on the number line.
C. जब असमानता में (<) या (>) हो/When the inequality has (<) or (>)
Explanation
Simple Explanation
सख्त असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता इसलिए endpoint खुला होता है। परीक्षा में (<) और (>) को open dot से जोड़ें। / In a strict inequality the boundary value is not included so the endpoint is open. In exams connect (<) and (>) with open dots.
(-4) शामिल नहीं है और सभी छोटे मान शामिल हैं इसलिए (x<-4) होगा। परीक्षा में \(-\infty\) वाले अंतराल को बाईं रेखा समझें। / The value (-4) is excluded and all smaller values are included so (x<-4). In exams read an interval with \(-\infty\) as a left ray.
खुला बिंदु (6) को हटाता है और दाईं छाया (6) से बड़े मान दिखाती है। परीक्षा में \(\infty\) पर कभी वर्ग कोष्ठक न लगाएं। / The open dot excludes (6) and right shading shows values greater than (6). In exams never use a square bracket with \(\infty\).
B. \(x\ge 2\) के रूप में बंद बिंदु और दाईं रेखा/As \(x\ge 2\) with closed dot and right ray
Explanation
Simple Explanation
हल में \(-4x\le -8\) आता है और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\ge 2\) मिलता है। परीक्षा में sign reversal भूलना सबसे सामान्य गलती है। / The solution gives \(-4x\le -8\) and dividing by a negative gives \(x\ge 2\). In exams forgetting sign reversal is the most common error.
A. (3) पर खुला और (8) पर बंद बिंदु/Open dot at (3) and closed dot at (8)
Explanation
Simple Explanation
((3,8]) में (3) हटता है और (8) शामिल होता है। परीक्षा में interval notation को सीधे endpoint dots में बदलें। / In ((3,8]) the value (3) is excluded and (8) is included. In exams convert interval notation directly into endpoint dots.
पूरी असमानता को (2) से गुणा करने पर \(2\le x<8\) मिलता है। परीक्षा में धनात्मक से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying the whole inequality by (2) gives \(2\le x<8\). In exams the sign does not change when multiplying by a positive number.
(-2) शामिल है और (5) शामिल नहीं है इसलिए ([-2,5)) सही है। परीक्षा में left endpoint और right endpoint अलग-अलग पढ़ें। / The value (-2) is included and (5) is excluded so ([-2,5)) is correct. In exams read the left and right endpoints separately.
D. (0) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (0) and ray right
Explanation
Simple Explanation
\(x\ge 0\) में (0) शामिल है और उससे बड़े मान दाईं ओर हैं। परीक्षा में (0) को भी सीमा मान की तरह शामिल करें। / In \(x\ge 0\) the value (0) is included and greater values are to the right. In exams treat (0) as a boundary value too.
यह असमानता केवल (x=2) को संतुष्ट करती है इसलिए एक बंद बिंदु बनेगा। परीक्षा में समान दोनों सिरों वाले closed interval को single point मानें। / This inequality is satisfied only by (x=2) so one closed dot is drawn. In exams treat a closed interval with equal endpoints as a single point.
((4,4)) में दोनों सिर खुले हैं और बीच में कोई संख्या नहीं बचती। परीक्षा में समान open endpoints वाला interval empty होता है। / In ((4,4)) both endpoints are open and no number remains between them. In exams an interval with equal open endpoints is empty.
(-6) पर बराबरी है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (-1) पर बराबरी नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक होगा। परीक्षा में signs को brackets में बदलना अभ्यास करें। / There is equality at (-6) so use a square bracket and no equality at (-1) so use a round bracket. In exams practice converting signs into brackets.
खुला बिंदु सीमा को हटाता है और बाईं दिशा छोटे मान दिखाती है। परीक्षा में negative fraction की दिशा पर खास ध्यान दें। / The open dot excludes the boundary and the left direction shows smaller values. In exams pay special attention to the direction for a negative fraction.
B. (0) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at (0) and ray left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,0]\) में (0) शामिल है और उससे छोटे मान शामिल हैं। परीक्षा में (\(-\infty,0]\) को \(x\le 0\) से जोड़कर याद रखें। / The interval (\(-\infty,0]\) includes (0) and all smaller values. In exams remember (\(-\infty,0]\) as \(x\le 0\).
सरल करने पर \(x\le 6\) मिलता है इसलिए (6) पर बंद बिंदु और बाईं रेखा होगी। परीक्षा में चर पदों को एक तरफ लाकर हल करें। / Simplifying gives \(x\le 6\) so there is a closed dot at (6) and a left ray. In exams bring variable terms to one side before representing.
दोनों शर्तें मिलकर (0<x<5) देती हैं और दोनों endpoints खुले हैं। परीक्षा में and का अर्थ common shaded part होता है। / The two conditions together give (0<x<5) and both endpoints are open. In exams and means the common shaded part.
or में दोनों अलग-अलग भागों का union लिया जाता है। परीक्षा में \(\le -2\) पर बंद और (>3) पर खुला endpoint रखें। / For or take the union of both separate regions. In exams keep a closed endpoint for \(\le -2\) and an open endpoint for (>3).
दोनों खुले बिंदु सख्त असमानता बताते हैं इसलिए (-4<x<1) सही है। परीक्षा में open endpoints को (<) से लिखें। / Both open endpoints indicate strict inequalities so (-4<x<1) is correct. In exams write open endpoints using (<).
B. \(x\ge 3\) के रूप में दाईं रेखा/As \(x\ge 3\) with right ray
Explanation
Simple Explanation
\(3\le x\) को \(x\ge 3\) भी लिखा जा सकता है। परीक्षा में चर को बाईं ओर लिखकर दिशा समझना आसान होता है। / The inequality \(3\le x\) can also be written as \(x\ge 3\). In exams writing the variable on the left makes the direction easier to read.
B. (0) बंद और \(\frac{9}{4}\) खुला/(0) closed and \(\frac{9}{4}\) open
Explanation
Simple Explanation
(0) पर बराबरी है इसलिए बंद बिंदु और \(\frac{9}{4}\) पर बराबरी नहीं है इसलिए खुला बिंदु होगा। परीक्षा में mixed endpoints को ध्यान से बनाएं। / There is equality at (0) so it is closed and no equality at \(\frac{9}{4}\) so it is open. In exams draw mixed endpoints carefully.
B. (7) पर बंद बिंदु और दाईं रेखा/Closed dot at (7) and ray right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(x-1\ge 6\) और \(x\ge 7\) मिलता है। परीक्षा में \(\ge\) होने पर endpoint बंद रखें। / Solving gives \(x-1\ge 6\) and \(x\ge 7\). In exams keep the endpoint closed for \(\ge\).
पूरी वास्तविक रेखा (\(-\infty,\infty\)) से लिखी जाती है और infinity पर वर्ग कोष्ठक नहीं लगते। परीक्षा में infinity को endpoint मानकर शामिल न करें। / The whole real line is written as (\(-\infty,\infty\)) and square brackets are not used with infinity. In exams do not treat infinity as an includable endpoint.
खुला बिंदु (-9) को हटाता है और दाईं रेखा उससे बड़े मान लेती है। परीक्षा में (>) को (\(a,\infty\)) के रूप में लिखें। / The open dot excludes (-9) and the right ray takes values greater than it. In exams write (>) as (\(a,\infty\)).
दोनों भाग अलग हैं और (1) तथा (4) दोनों शामिल हैं। परीक्षा में union में दोनों rays को अलग-अलग दिखाएं। / The two parts are separate and both (1) and (4) are included. In exams show both rays separately for a union.
(-3) से भाग देने पर दोनों असमानता चिन्ह पलटते हैं और \(-2<x\le 4\) मिलता है। परीक्षा में negative division के बाद क्रम को सही रखें। / Dividing by (-3) reverses both inequality signs and gives \(-2<x\le 4\). In exams keep the order correct after negative division.
