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C. (-6) पर खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा/Open dot at (-6) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) में बराबरी शामिल नहीं होती इसलिए खुला बिंदु लगेगा। परीक्षा में बड़े मानों के लिए रेखा दाईं ओर बनाएं। / The sign (>) does not include equality so the dot is open. In exams draw the ray to the right for greater values.
(-2) शामिल नहीं है लेकिन (3) शामिल है इसलिए पूर्णांक (-1) से (3) तक होंगे। परीक्षा में खुले और बंद endpoints के अनुसार integer points चुनें। / The value (-2) is excluded but (3) is included so the integers are from (-1) to (3). In exams choose integer points according to open and closed endpoints.
बंद बिंदु (-1) को शामिल करता है और बाईं दिशा छोटे मान दिखाती है। परीक्षा में बंद बिंदु के साथ \(\le\) या \(\ge\) का प्रयोग करें। / The closed dot includes (-1) and the left direction shows smaller values. In exams use \(\le\) or \(\ge\) with a closed dot.
बंद बिंदु (11) को शामिल करता है और दाईं दिशा बड़े मान दिखाती है। परीक्षा में closed dot के साथ equality वाला चिन्ह चुनें। / The closed dot includes (11) and the right direction shows greater values. In exams choose the equality sign with a closed dot.
B. \(\frac{1}{2}\) पर बंद और (4) पर खुला बिंदु/Closed dot at \(\frac{1}{2}\) and open dot at (4)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक \(\frac{1}{2}\) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक (4) को हटाता है। परीक्षा में brackets को सीधे endpoints में बदलें। / The square bracket includes \(\frac{1}{2}\) and the round bracket excludes (4). In exams convert brackets directly into endpoints.
A. (3) पर खुला बिंदु और बाईं ओर रेखा/Open dot at (3) and ray to the left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर (x<3) मिलता है इसलिए (3) शामिल नहीं है। परीक्षा में पहले सीमा मान निकालें फिर खुला या बंद बिंदु तय करें। / Solving gives (x<3) so (3) is not included. In exams first find the boundary value then decide open or closed dot.
A. (4) पर खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा/Open dot at (4) and ray right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर (x>4) मिलता है इसलिए (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में पहले boundary निकालें फिर direction तय करें। / Solving gives (x>4) so (4) is not included. In exams first find the boundary and then decide the direction.
दोनों खुले बिंदु बताते हैं कि (0) और (4) शामिल नहीं हैं। परीक्षा में दो खुले सिरों के लिए गोल कोष्ठक लगाएं। / Both open dots show that (0) and (4) are not included. In exams use round brackets for two open endpoints.
(-6) शामिल है और (-1) शामिल नहीं है इसलिए \(-6\le x<-1\) सही है। परीक्षा में negative endpoints को भी number line order में पढ़ें। / The value (-6) is included and (-1) is excluded so \(-6\le x<-1\) is correct. In exams read negative endpoints in number line order.
(5) से गुणा करके और (3) घटाकर \(7\le x<12\) मिलता है। परीक्षा में positive multiplication से inequality sign नहीं बदलता। / Multiplying by (5) and subtracting (3) gives \(7\le x<12\). In exams positive multiplication does not reverse the inequality sign.
बंद बिंदु (8) को शामिल करता है और दाईं दिशा बड़े मान दिखाती है। परीक्षा में दाईं रेखा के लिए (>) या \(\ge\) चुनें। / The closed dot includes (8) and the right direction shows greater values. In exams choose (>) or \(\ge\) for a right ray.
or में दोनों अलग-अलग भागों का union लिया जाता है। परीक्षा में \(\le\) वाले endpoint को बंद और (>) वाले endpoint को खुला रखें। / For or take the union of both separate parts. In exams keep the \(\le\) endpoint closed and the (>) endpoint open.
(-5) शामिल है और (2) शामिल नहीं है इसलिए ([-5,2)) सही है। परीक्षा में बराबरी वाले सिरे पर वर्ग कोष्ठक लगाएं। / The value (-5) is included and (2) is excluded so ([-5,2)) is correct. In exams use a square bracket at the equality endpoint.
(-3) से भाग देने पर दोनों चिन्ह पलटते हैं और \(-2\le x<5\) मिलता है। परीक्षा में negative division के बाद endpoints का क्रम सही करें। / Dividing by (-3) reverses both signs and gives \(-2\le x<5\). In exams fix the endpoint order after negative division.
D. \(\frac{3}{2}\) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at \(\frac{3}{2}\) and ray left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में बराबरी शामिल है और छोटे मान बाईं ओर होते हैं। परीक्षा में भिन्न सीमा मान को भी सामान्य संख्या की तरह रखें। / The sign \(\le\) includes equality and smaller values lie to the left. In exams place a fractional boundary like any ordinary number.
दोनों खुले बिंदु बताते हैं कि दोनों endpoints शामिल नहीं हैं। परीक्षा में open-open segment को round brackets से लिखें। / Both open dots show that both endpoints are excluded. In exams write an open-open segment using round brackets.
खुला बिंदु (-3) को हटाता है और बंद बिंदु (6) को शामिल करता है। परीक्षा में छायांकित भाग को बीच की असमानता में लिखें। / The open dot excludes (-3) and the closed dot includes (6). In exams write the shaded region as a compound inequality.
B. \(\frac{5}{3}\) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at \(\frac{5}{3}\) and ray left
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{5}{3}\) शामिल है और उससे छोटे सभी मान लिए जाते हैं। परीक्षा में (\(-\infty,a]\) को \(x\le a\) समझें। / The value \(\frac{5}{3}\) is included and all smaller values are taken. In exams understand (\(-\infty,a]\) as \(x\le a\).
हल करने पर \(-2x\ge -4\) और ऋणात्मक से भाग देने पर चिह्न बदलकर \(x\le 2\) होता है। परीक्षा में ऋणात्मक से भाग देने पर असमानता का चिन्ह पलटें। / Solving gives \(-2x\ge -4\) and dividing by a negative changes the sign to \(x\le 2\). In exams reverse the inequality sign when dividing by a negative.
A. (9) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at (9) and ray to the left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,9]\) में (9) शामिल है और सभी छोटे मान लिए जाते हैं। परीक्षा में \(-\infty\) की ओर रेखा बाईं दिशा में होती है। / The interval (\(-\infty,9]\) includes (9) and all smaller values. In exams the ray toward \(-\infty\) goes left.
B. (4) पर खुला बिंदु और बाकी पूरी रेखा/Open dot at (4) and the rest of the whole line
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne 4\) में (4) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। परीक्षा में हटाए गए बिंदु को खुला दिखाएं। / The inequality \(x\ne 4\) includes all real numbers except (4). In exams show the removed point as an open dot.
C. (-7) शामिल नहीं है और (-2) शामिल है/(-7) is excluded and (-2) is included
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक (-7) को हटाता है और वर्ग कोष्ठक (-2) को शामिल करता है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं में भी सिरों का नियम वही रहता है। / The round bracket excludes (-7) and the square bracket includes (-2). In exams the endpoint rule stays the same for negative numbers.
खुला बिंदु (1) को हटाता है और दाईं दिशा बड़े मानों को दिखाती है। परीक्षा में \(\infty\) वाले सिरे पर हमेशा गोल कोष्ठक होता है। / The open dot excludes (1) and the right direction shows greater values. In exams infinity endpoints always use round brackets.
C. (-1) और (3) दोनों पर बंद बिंदु/Closed dots at both (-1) and (3)
Explanation
Simple Explanation
([-1,3]) में दोनों सिरों पर वर्ग कोष्ठक हैं इसलिए दोनों मान शामिल हैं। परीक्षा में closed interval के दोनों बिंदु बंद बनाएं। / The interval ([-1,3]) has square brackets at both ends so both values are included. In exams draw closed dots for both endpoints of a closed interval.
दोनों बंद बिंदु बताते हैं कि (-8) और (2) शामिल हैं। परीक्षा में closed dots को \(\le\) वाले दोनों चिह्नों से जोड़ें। / Both closed dots show that (-8) and (2) are included. In exams connect closed dots with \(\le\) signs on both sides.
A. \(-\frac{5}{2}\) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at \(-\frac{5}{2}\) and ray right
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) के कारण सीमा मान शामिल है और बड़े मान दाईं ओर हैं। परीक्षा में ऋणात्मक भिन्न को संख्या रेखा पर सही स्थान पर रखें। / Because of \(\ge\) the boundary value is included and greater values are to the right. In exams place the negative fraction correctly on the number line.
C. जब असमानता में (<) या (>) हो/When the inequality has (<) or (>)
Explanation
Simple Explanation
सख्त असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता इसलिए endpoint खुला होता है। परीक्षा में (<) और (>) को open dot से जोड़ें। / In a strict inequality the boundary value is not included so the endpoint is open. In exams connect (<) and (>) with open dots.
(-4) शामिल नहीं है और सभी छोटे मान शामिल हैं इसलिए (x<-4) होगा। परीक्षा में \(-\infty\) वाले अंतराल को बाईं रेखा समझें। / The value (-4) is excluded and all smaller values are included so (x<-4). In exams read an interval with \(-\infty\) as a left ray.
खुला बिंदु (6) को हटाता है और दाईं छाया (6) से बड़े मान दिखाती है। परीक्षा में \(\infty\) पर कभी वर्ग कोष्ठक न लगाएं। / The open dot excludes (6) and right shading shows values greater than (6). In exams never use a square bracket with \(\infty\).
B. \(x\ge 2\) के रूप में बंद बिंदु और दाईं रेखा/As \(x\ge 2\) with closed dot and right ray
Explanation
Simple Explanation
हल में \(-4x\le -8\) आता है और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\ge 2\) मिलता है। परीक्षा में sign reversal भूलना सबसे सामान्य गलती है। / The solution gives \(-4x\le -8\) and dividing by a negative gives \(x\ge 2\). In exams forgetting sign reversal is the most common error.
A. (3) पर खुला और (8) पर बंद बिंदु/Open dot at (3) and closed dot at (8)
Explanation
Simple Explanation
((3,8]) में (3) हटता है और (8) शामिल होता है। परीक्षा में interval notation को सीधे endpoint dots में बदलें। / In ((3,8]) the value (3) is excluded and (8) is included. In exams convert interval notation directly into endpoint dots.
पूरी असमानता को (2) से गुणा करने पर \(2\le x<8\) मिलता है। परीक्षा में धनात्मक से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying the whole inequality by (2) gives \(2\le x<8\). In exams the sign does not change when multiplying by a positive number.
(-2) शामिल है और (5) शामिल नहीं है इसलिए ([-2,5)) सही है। परीक्षा में left endpoint और right endpoint अलग-अलग पढ़ें। / The value (-2) is included and (5) is excluded so ([-2,5)) is correct. In exams read the left and right endpoints separately.
D. (0) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (0) and ray right
Explanation
Simple Explanation
\(x\ge 0\) में (0) शामिल है और उससे बड़े मान दाईं ओर हैं। परीक्षा में (0) को भी सीमा मान की तरह शामिल करें। / In \(x\ge 0\) the value (0) is included and greater values are to the right. In exams treat (0) as a boundary value too.
यह असमानता केवल (x=2) को संतुष्ट करती है इसलिए एक बंद बिंदु बनेगा। परीक्षा में समान दोनों सिरों वाले closed interval को single point मानें। / This inequality is satisfied only by (x=2) so one closed dot is drawn. In exams treat a closed interval with equal endpoints as a single point.
((4,4)) में दोनों सिर खुले हैं और बीच में कोई संख्या नहीं बचती। परीक्षा में समान open endpoints वाला interval empty होता है। / In ((4,4)) both endpoints are open and no number remains between them. In exams an interval with equal open endpoints is empty.
(-6) पर बराबरी है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (-1) पर बराबरी नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक होगा। परीक्षा में signs को brackets में बदलना अभ्यास करें। / There is equality at (-6) so use a square bracket and no equality at (-1) so use a round bracket. In exams practice converting signs into brackets.
खुला बिंदु सीमा को हटाता है और बाईं दिशा छोटे मान दिखाती है। परीक्षा में negative fraction की दिशा पर खास ध्यान दें। / The open dot excludes the boundary and the left direction shows smaller values. In exams pay special attention to the direction for a negative fraction.
B. (0) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at (0) and ray left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,0]\) में (0) शामिल है और उससे छोटे मान शामिल हैं। परीक्षा में (\(-\infty,0]\) को \(x\le 0\) से जोड़कर याद रखें। / The interval (\(-\infty,0]\) includes (0) and all smaller values. In exams remember (\(-\infty,0]\) as \(x\le 0\).
सरल करने पर \(x\le 6\) मिलता है इसलिए (6) पर बंद बिंदु और बाईं रेखा होगी। परीक्षा में चर पदों को एक तरफ लाकर हल करें। / Simplifying gives \(x\le 6\) so there is a closed dot at (6) and a left ray. In exams bring variable terms to one side before representing.
दोनों शर्तें मिलकर (0<x<5) देती हैं और दोनों endpoints खुले हैं। परीक्षा में and का अर्थ common shaded part होता है। / The two conditions together give (0<x<5) and both endpoints are open. In exams and means the common shaded part.
or में दोनों अलग-अलग भागों का union लिया जाता है। परीक्षा में \(\le -2\) पर बंद और (>3) पर खुला endpoint रखें। / For or take the union of both separate regions. In exams keep a closed endpoint for \(\le -2\) and an open endpoint for (>3).
दोनों खुले बिंदु सख्त असमानता बताते हैं इसलिए (-4<x<1) सही है। परीक्षा में open endpoints को (<) से लिखें। / Both open endpoints indicate strict inequalities so (-4<x<1) is correct. In exams write open endpoints using (<).
B. \(x\ge 3\) के रूप में दाईं रेखा/As \(x\ge 3\) with right ray
Explanation
Simple Explanation
\(3\le x\) को \(x\ge 3\) भी लिखा जा सकता है। परीक्षा में चर को बाईं ओर लिखकर दिशा समझना आसान होता है। / The inequality \(3\le x\) can also be written as \(x\ge 3\). In exams writing the variable on the left makes the direction easier to read.
B. (0) बंद और \(\frac{9}{4}\) खुला/(0) closed and \(\frac{9}{4}\) open
Explanation
Simple Explanation
(0) पर बराबरी है इसलिए बंद बिंदु और \(\frac{9}{4}\) पर बराबरी नहीं है इसलिए खुला बिंदु होगा। परीक्षा में mixed endpoints को ध्यान से बनाएं। / There is equality at (0) so it is closed and no equality at \(\frac{9}{4}\) so it is open. In exams draw mixed endpoints carefully.
B. (7) पर बंद बिंदु और दाईं रेखा/Closed dot at (7) and ray right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(x-1\ge 6\) और \(x\ge 7\) मिलता है। परीक्षा में \(\ge\) होने पर endpoint बंद रखें। / Solving gives \(x-1\ge 6\) and \(x\ge 7\). In exams keep the endpoint closed for \(\ge\).
पूरी वास्तविक रेखा (\(-\infty,\infty\)) से लिखी जाती है और infinity पर वर्ग कोष्ठक नहीं लगते। परीक्षा में infinity को endpoint मानकर शामिल न करें। / The whole real line is written as (\(-\infty,\infty\)) and square brackets are not used with infinity. In exams do not treat infinity as an includable endpoint.
खुला बिंदु (-9) को हटाता है और दाईं रेखा उससे बड़े मान लेती है। परीक्षा में (>) को (\(a,\infty\)) के रूप में लिखें। / The open dot excludes (-9) and the right ray takes values greater than it. In exams write (>) as (\(a,\infty\)).
दोनों भाग अलग हैं और (1) तथा (4) दोनों शामिल हैं। परीक्षा में union में दोनों rays को अलग-अलग दिखाएं। / The two parts are separate and both (1) and (4) are included. In exams show both rays separately for a union.
(-3) से भाग देने पर दोनों असमानता चिन्ह पलटते हैं और \(-2<x\le 4\) मिलता है। परीक्षा में negative division के बाद क्रम को सही रखें। / Dividing by (-3) reverses both inequality signs and gives \(-2<x\le 4\). In exams keep the order correct after negative division.
