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((4x-3)(x+5)=4x-2+17x-15) और (2(3x-1)=6x-2) है। सभी पद एक ओर लाने पर \(4x^2+11x-13=0\) मिलता है। / Here ((4x-3)(x+5)=4x-2+17x-15) and (2(3x-1)=6x-2). Bringing all terms to one side gives \(4x^2+11x-13=0\).
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(t^2-64\neq0\), इसलिए \(t\neq\pm8\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(t^2-64\neq0\), so \(t\neq\pm8\).
पहला कदम वर्गों को विस्तृत करना है: \(3(x+1)^2=3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3\) और \(2(x-4)^2=2(x^2-8x+16)=2x^2-16x+32\)। जोड़ने पर मिलता है \(5x^2-10x+35=74\)। अब दोनों पक्षों को एक तरफ लाकर सरल करने पर \(5x^2-10x+35-74=0\) अर्थात् \(5x^2-10x-39=0\)। विकल्प B (\(+10x\)) सबसे नज़दीकी भ्रांतिदायक है — वहाँ परिचर का संकेत उल्टा है। परीक्षा टिप: पहले वर्गों को सही से फैलाएँ, समान पद मिलाएँ और फिर दायाँ पक्ष बाएँ ले आएँ; अंतिम स्थिर पद के लिए अंकगणित दोबारा जाँचें (यहाँ \(3+32-74=-39\))। / Expand the squares first: \(3(x+1)^2=3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3\) and \(2(x-4)^2=2(x^2-8x+16)=2x^2-16x+32\). Adding gives \(5x^2-10x+35=74\). Bring 74 to the left and simplify: \(5x^2-10x+35-74=0\), so \(5x^2-10x-39=0\). Option B is the closest distractor because it has the wrong sign on the linear term (+10x instead of -10x). Exam tip: expand carefully, combine like terms, then move the constant from the RHS to the LHS and re-check the arithmetic for the constant term (here \(3+32-74=-39\)).
पूरे समीकरण को (20) से गुणा करने पर \(16x^2-12+5x-10=60\) मिलता है। इसलिए \(16x^2+5x-82=0\) नहीं बल्कि \(16x^2+5x-82=0\) मिलेगा। / Multiplying the whole equation by (20) gives \(16x^2-12+5x-10=60\). Therefore the standard form is \(16x^2+5x-82=0\).
\(x=-6\) को समीकरण \(2x^2+px-18=0\) में रखें: \(2(-6)^2 + p(-6) - 18 = 0\). यह बनता है \(72 - 6p - 18 = 0\) अर्थात् \(54 - 6p = 0\). इसलिए \(p = \dfrac{54}{6} = 9\). विकल्प \(-9\) आम गलत जवाब है जब संकेत की गलती हो (गलत तरीके से \(+6p\) ले लिया जाए)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी दिये गए मूल को सीधे समीकरण में प्रतिस्थापित करके क्रमवार रूप से सादगी करें और संकेतों (positive/negative) पर विशेष ध्यान दें। / Substitute \(x=-6\) into \(2x^2+px-18=0\): \(2(-6)^2 + p(-6) -18 = 0\). This gives \(72 - 6p - 18 = 0\) → \(54 - 6p = 0\), so \(p = 54/6 = 9\). The choice \(-9\) typically arises from a sign error (treating \(p(-6)\) as \(+6p\)). Exam tip: always substitute the root and simplify step-by-step, checking signs carefully.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-15) रखने पर \(x^2+15x+56=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-15) gives (x^2+15x+56=0).\)
समान मूल होने के लिए द्विघात समीकरण का डिस्क्रिमिनेंट \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1,\ b=-2m,\ c=64\)। अतः \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4\cdot1\cdot64=4m^2-256\)。 \(D=0\) से \(4m^2-256=0\Rightarrow m^2=64\Rightarrow m=\pm8\)। इसलिए सही उत्तर \(m=\pm8\) है। विकल्प \(m=\pm16\) गलत है क्योंकि उस मान पर \(D\neq0\) होगा (जैसे \(m=16\) पर \(D=4\cdot256-256\neq0\))। परीक्षा टिप: समान मूल के लिए सीधे \(D=b^2-4ac=0\) लागू करें और समीकलन को सरल करके हल करें। / For equal roots the discriminant must be zero: \(D=0\). In the given equation \(a=1,\ b=-2m,\ c=64\). So \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4\cdot1\cdot64=4m^2-256\). Setting \(D=0\) gives \(4m^2-256=0\Rightarrow m^2=64\Rightarrow m=\pm8\). Thus \(m=\pm8\) is correct. The option \(m=\pm16\) is incorrect because it yields a nonzero discriminant (roots are not equal). Exam tip: always compute \(b^2-4ac\) first for equal/distinct roots and solve the resulting equation for the parameter.
A. \(p\leq -7\) या \(p\geq 7\)/\(p\leq -7\) or \(p\geq 7\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए द्विघात का डिस्क्रिमिनेंट \(D\geq0\) होना आवश्यक है। यहाँ \(D=(2p)^2-4\cdot1\cdot49=4p^2-196=4(p^2-49)\). \(D\geq0\) से \(p^2-49\geq0\) अर्थात् \(p^2\geq49\) जो देता है \(p\leq-7\) या \(p\geq7\)। विकल्प B गलत है क्योंकि उस पर \(p^2<49\) होगा और \(D<0\) होगा; विकल्प C बहुत संकुचित है और विकल्प D भी गलत है क्योंकि \(p\neq7\) में कई मान ऐसे हैं जिनसे \(D<0\)। परीक्षा टिप: किसी भी पैरामीट्रिक द्विघात के लिए सबसे पहले \(D=(b^2-4ac)\) की शर्त \(\ge0\) पर निर्णय लें। / For real roots the discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here \(D=(2p)^2-4\cdot1\cdot49=4p^2-196=4(p^2-49)\). Requiring \(D\ge0\) gives \(p^2-49\ge0\) or \(p^2\ge49\), hence \(p\le-7\) or \(p\ge7\). Option B is incorrect because for \(-7<p<7\) we have \(p^2<49\) so \(D<0\); option C is just a special value and not the general condition; option D is too broad and includes values that do not give real roots. Exam tip: For parameter problems, compute \(D=b^2-4ac\) first and set \(D\ge0\) to find the range of the parameter.
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\frac{\frac{19}{6}}{\frac{10}{6}}=\frac{19}{10}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here it is \(\frac{\frac{19}{6}}{\frac{10}{6}}=\frac{19}{10}\).
किसी समीकण \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का वर्गीय सम्बन्ध (Vieta) कहता है कि मूलों का योग = \(-b\) और गुणनफल = \(c\)। यहाँ समीकरण \(x^2 - s x + p = 0\) है, अतः दो मूलों का योग = \(s\) और गुणनफल = \(p\)। दिए गये मूल 8 और 9 हैं, तो \(s=8+9=17\) और \(p=8\times9=72\)। इसलिए \(s+p=17+72=89\)। निकटतम भ्रामक विकल्पों में से \(17\) केवल \(s\) (मूलों का योग) है और \(72\) केवल \(p\) (मूलों का गुणनफल) है, अतः वे गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: समीकरण को सामान्य रूप \(x^2+bx+c=0\) में देखें और Vieta के नियम याद रखें — योग = \(-b\), गुणनफल = \(c\)। / By Vieta’s relations for \(x^2+bx+c=0\), the sum of roots = \(-b\) and the product = \(c\). For \(x^2 - s x + p = 0\), the sum of the roots equals \(s\) and the product equals \(p\). With roots 8 and 9 we get \(s=8+9=17\) and \(p=8\times9=72\). Hence \(s+p=17+72=89\). Note that 17 is only the sum (s) and 72 is only the product (p), so they are incorrect as s+p. Exam tip: apply Vieta’s formulas directly instead of recomputing coefficients each time.
किसी द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac\) का धनात्मक होना आवश्यक है। यहाँ \(a=1,\;b=-20,\;c=k\) इसलिए
\(D=(-20)^2-4\cdot1\cdot k=400-4k\).
वास्तविक तथा भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) चाहिए, अतः \(400-4k>0\) से \(k<100\)।
यदि \(k=100\) तो मूल समान होंगे (दोहराव), और \(k>100\) पर मूल सम्मिश्र (complex) होंगे।
परीक्षा-सूत्र: डिस्क्रिमिनेंट निकालते समय सामान्य रूप से 4 से गुणा करके सरलता से लिखें — यहाँ \(D=4(100-k)\)। / For a quadratic to have real and distinct roots the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be positive. Here \(a=1,\;b=-20,\;c=k\), so
\(D=(-20)^2-4\cdot1\cdot k=400-4k\).
Real and distinct roots require \(D>0\), hence \(400-4k>0\) which gives \(k<100\).
If \(k=100\) the roots are equal, and if \(k>100\) the roots are complex. Exam tip: factor common multiples (\(D=4(100-k)\)) to check the sign quickly.
विवेचक की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। विकल्प A में \(a=1,\;b=1,\;c=12\) इसलिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot12=1-48=-47\)। विकल्प D (जो निकटतम विकल्प है) के लिए \(D=(-8)^2-4\cdot1\cdot30=64-120=-56\), अतः वह -47 नहीं है। परीक्षा-सुझाव: हर समीकरण में पहले \(a, b, c\) पहचानकर सीधे \(b^2-4ac\) की गणना करें और साइन पर विशेष ध्यान दें। / Discriminant is defined by \(D=b^2-4ac\). For option A, \(a=1,\;b=1,\;c=12\), so \(D=1^2-4\cdot1\cdot12=1-48=-47\), which matches. The closest distractor, option D, gives \(D=(-8)^2-4\cdot1\cdot30=64-120=-56\), not -47. Exam tip: always identify \(a,b,c\) first and compute \(b^2-4ac\) carefully, watching signs of b and c.
मूलों का गुणनफल (54) है, इसलिए दूसरा मूल (9) होगा। योग (15) है और (-a=15), इसलिए (a=-15)। / The product of roots is (54), so the other root is (9). The sum is (15), and (-a=15), so (a=-15).
\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) होता है। यहाँ \(\left(-\frac{7}{6}\right)^2-2\cdot\frac{1}{3}=\frac{25}{36}\)। / \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\). Here \(\left(-\frac{7}{6}\right)^2-2\cdot\frac{1}{3}=\frac{25}{36}\).
विस्मय के अनुसार, \((\alpha-8)(\beta-8)=\alpha\beta-8(\alpha+\beta)+64\)। द्विघात समीकरण \(x^2-18x+80=0\) के लिए Vieta से \(\alpha+\beta=18\) और \(\alpha\beta=80\)। अतः मान = \(80-8\times18+64=80-144+64=0\)। सबसे प्रबल भ्रांति यह होगी कि केवल \(\alpha\beta\) को ही उत्तर मान लिया जाए (80), पर वहां \(-8(\alpha+\beta)\) और \(+64\) का योगदान भी है। परीक्षा युक्ति: ऐसे विक्षेप के सवालों में सीधे Vieta के सूत्र लागू करें या \(y=x-8\) के substitution द्वारा गुणनफल खोजें। / Use the identity \((\alpha-8)(\beta-8)=\alpha\beta-8(\alpha+\beta)+64\). For \(x^2-18x+80=0\), by Vieta \(\alpha+\beta=18\) and \(\alpha\beta=80\). Therefore the value is \(80-8\times18+64=80-144+64=0\). A common mistake is to pick \(80\) (the product \(\alpha\beta\)) and ignore the linear shift terms. Exam tip: Apply Vieta's formulas directly or set \(y=x-8\) to transform the expression quickly.
बाईं ओर \(x^2+13x+40+x^2+3x-28=2x^2+16x+12\) है। (110) घटाने पर \(2x^2+16x-98=0\) मिलता है। / The left side is \(x^2+13x+40+x^2+3x-28=2x^2+16x+12\). Subtracting (110) gives \(2x^2+16x-98=0\).
(3r+4r=28) से (r=4) मिलता है, इसलिए मूल (12) और (16) हैं। स्थिर पद मूलों का गुणनफल (192) होगा। / From (3r+4r=28), we get (r=4), so the roots are (12) and (16). The constant term is the product of roots (192).
इस समीकरण के लिए विवेक (discriminant) \(D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4\cdot1\cdot40 = 144 - 160 = -16 < 0\) है। जब \(D<0\) होता है तो द्विघात समीकरण की मूल वास्तविक नहीं होते (वे काल्पनिक युग्म होते हैं)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि समान (दोहराए गए) वास्तविक मूल तभी होंगे जब \(D=0\)। विकल्प C गलत है क्योंकि दो भिन्न वास्तविक मूल तभी होंगे जब \(D>0\)। विकल्प D भी गलत है क्योंकि मूलों का गुणनफल \(c/a = 40\) होना चाहिए न कि \(-40\)। परीक्षा टिप: सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) की गणना करें—\(D\) का चिन्ह ही मूलों की प्रकृति तुरंत बता देता है; साथ ही गुणनफल के लिए \(c/a\) और योग के लिए \(-b/a\) याद रखें। / Compute the discriminant: \(D=b^2-4ac = (-12)^2 - 4\cdot1\cdot40 = 144 - 160 = -16 < 0\). When \(D<0\) a quadratic has no real roots (the roots are non-real complex conjugates). Thus option A is correct. Option B is wrong because equal (repeated) real roots occur only if \(D=0\). Option C is wrong because two distinct real roots require \(D>0\). Option D is wrong because the product of the roots equals \(c/a = 40\), not \(-40\). Exam tip: always evaluate \(D\) first to decide the nature of roots; use sum = \(-b/a\) and product = \(c/a\) for quick checks.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का गुणनफल \(c/a\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=7m\) होने से गुणनफल \(7m\) है। एक मूल \(7\) दिया है, इसलिए दूसरा मूल \(\dfrac{7m}{7}=m\) होगा। जाँच: मूलों का योग \( -b/a = m+7\) और \(7+m\) भी यही है, इसलिए परिणाम संगत है। नज़दीकी भ्रम (विकल्प B: \(7m\)) तब बनता है जब गुणनफल को ही मूल समझ लिया जाए — गुणनफल और मूल अलग होते हैं। परीक्षा-सुझाव: सारांश के लिए नियम याद रखें — योग = \(-b/a\), गुणनफल = \(c/a\)। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the product of roots equals \(c/a\). Here \(a=1\) and \(c=7m\), so the product is \(7m\). Given one root is 7, the other root is \(\dfrac{7m}{7}=m\). Check with the sum: sum = \(-b/a\) = \(m+7\), which matches \(7+m\). The closest distractor (option B: \(7m\)) confuses the product with a root. Exam tip: always apply sum = \(-b/a\) and product = \(c/a\), and watch the signs of coefficients.
पहले द्विघात समीकरण \(ax^{2}+bx+c=0\) का विभेदक \(D=b^{2}-4ac\) निकालें। यहाँ \(a=7,\;b=-30,\;c=32\) तो \(D=(-30)^{2}-4\cdot7\cdot32=900-896=4\). मूलों के अंतर का रूपुला है \(|r_{1}-r_{2}|=\dfrac{\sqrt{D}}{a}\)। अतः अंतर = \(\dfrac{\sqrt{4}}{7}=\dfrac{2}{7}\)। विकल्प \(\tfrac{4}{7}\) उस त्रुटि से आता है जहाँ कोई छात्र \(\dfrac{D}{a}\) कर देता है; \(\tfrac{16}{7}\) इधर एक मूल है (\(\tfrac{16}{7}\) और \(2\) मूल हैं) पर अंतर नहीं। परीक्षा-सुझाव: सीधे विभेदक \(D\) निकालकर \(|r_{1}-r_{2}|=\sqrt{D}/|a|\) नियम याद रखें — यह समय बचाता है। / Compute the discriminant: for \(7x^{2}-30x+32=0\), \(a=7,\;b=-30,\;c=32\) so \(D=b^{2}-4ac=900-896=4\). The difference between roots equals \(|r_{1}-r_{2}|=\dfrac{\sqrt{D}}{a}\). Therefore the difference is \(\dfrac{\sqrt{4}}{7}=\dfrac{2}{7}\). Note: the option \(\tfrac{4}{7}\) results from mistakenly using \(D/a\), and \(\tfrac{16}{7}\) is one of the roots (the other root is 2), not their difference. Exam tip: use \(|r_{1}-r_{2}|=\sqrt{D}/|a|\) to get the answer quickly without finding both roots explicitly.
पूर्ण वर्ग त्रिघात के रूप में इसे \((x+b)^2 = x^2 + 2bx + b^2\) लिखा जा सकता है। यहाँ मध्य पद का गुणांक 24 है, अतः \(2b=24\) से \(b=12\)। इसलिए \(c=b^2=12^2=144\)। वैकल्पिक तरीका: परिभाषित भाजक (discriminant) शून्य होना चाहिए, यानी \(b^2-4ac=24^2-4\cdot1\cdot c=576-4c=0\) से भी \(c=144\) मिलता है। सबसे भ्रमित करने वाला विकल्प \(576\) है (यह \(24^2\) है) पर वह \(c\) नहीं हो सकता; \(c\) को \(b^2\) होना चाहिए जहाँ \(2b=24\)। परीक्षा सुझाव: या तो सीधे \((x+b)^2\) के रूप में पूरा वर्ग बनाकर या डिस्क्रिमिनेंट को \(0\) रखकर जल्दी निकालें। / A perfect-square trinomial must match \((x+b)^2 = x^2 + 2bx + b^2\). Here the coefficient of \(x\) is 24, so \(2b=24\) giving \(b=12\), and hence \(c=b^2=12^2=144\). Alternatively use discriminant: \(b^2-4ac=24^2-4\cdot1\cdot c=576-4c=0\) which yields \(c=144\). Note: 576 might look tempting because it is \(24^2\), but the constant term must be \(b^2\) with \(2b=24\), not \(24^2\). Exam tip: either complete the square or set the discriminant to zero to solve such questions quickly.
दोनों समान मूल होने पर उनका योग \(\alpha+\beta=-b/a\) होता है। यहाँ \(a=1\) और दोनों मूल \(-12\) हैं, अतः योग \(-12)+(-12)=-24\). इसलिए \(-b=-24\) और \(b=24\)। वैकल्पिक रूप से, समान मूल होने पर मूल \(-b/(2a)\) से भी मिला सकते हैं: \(-b/2=-12\) से भी \(b=24\) आता है। नज़दीकी विचलित विकल्प \(-24\) संकेतों का उल्टा है इसलिए गलत है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा \(\alpha+\beta=-b/a\) और \(\alpha\beta=c/a\) के सूत्रों से त्वरित जाँच करें और साइन पर ध्यान दें। / For a quadratic, the sum of roots is \(\alpha+\beta=-b/a\). Here \(a=1\) and both roots are \(-12\), so the sum is \(-24\). Thus \(-b=-24\) which gives \(b=24\). Alternatively, for a repeated root use \(-b/(2a)\): \(-b/2=-12\) leads to the same result. The distractor \(-24\) is the sign-error mirror of the correct sum, so it is incorrect. Exam tip: use \(\alpha+\beta=-b/a\) and \(\alpha\beta=c/a\) and double-check signs when substituting.
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=9\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=20\) है। इसलिए दोनों धनात्मक हैं। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=9\) and the product is \(\frac{c}{a}=20\). So both are positive.
क्षेत्रफल की परिभाषा से \((x+10)(x-7)=160\)। बाएँ भुजा का विस्तार करने पर \(x^2+3x-70=160\) मिलेगा। दाएँ तरफ के 160 को बाएँ स्थानांतरित करने पर \(x^2+3x-70-160=0\) अर्थात् \(x^2+3x-230=0\) आता है, इसलिए विकल्प A सही है। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प B है, जिसमें केवल स्थायी पद गलत रखा गया है (\(-160\) के बजाय \(-230\)) — यह उस चरण में त्रुटि दिखाता है जहाँ आप संख्या को दूसरी ओर ले जाते हैं। परीक्षा-सुझाव: द्विघात समीकरण बनाते समय पहले गुणा (expand) करें, फिर सभी पदों को एक तरफ लाकर शून्य के रूप में व्यवस्थित करें और संकेतों (signs) की जाँच करें। / Area gives \((x+10)(x-7)=160\). Expanding the left side yields \(x^2+3x-70=160\). Bringing 160 to the left gives \(x^2+3x-70-160=0\), i.e. \(x^2+3x-230=0\), so option A is correct. The closest wrong option is B, which has the constant term \(-160\) instead of \(-230\) — a typical mistake from not moving the right-hand term across correctly. Exam tip: first expand, then move all terms to one side to form the quadratic and carefully check signs and arithmetic.
यदि मूलों का योग (19) और गुणनफल (90) है, तो समीकरण \(x^2-19x+90=0\) होगा। मोनिक रूप का सूत्र याद रखें। / If the sum of roots is (19) and product is (90), the equation is \(x^2-19x+90=0\). Remember the monic form formula.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ मान \(\frac{17}{72}\) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the value is \(\frac{17}{72}\).
गणितीय पहचान के अनुसार \((x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\). दिया गया बहुपद \(x^2 + 28x + 196\) से तुलनात्मक गुणांक लेने पर \(2a = 28\) मिलता है, इसलिए \(a = 14\). साथ ही \(a^2 = 196\) भी सत्य है जब \(a = 14\). विकल्प \(-14\) को खारिज इसलिए किया जाता है क्योंकि यदि \(a = -14\) होता तो मध्य पद का गुणांक \(2a = -28\) होना चाहिए, जो दिए गए बहुपद से मेल नहीं खाता। परीक्षा सुझाव: बराबर की शक्तियों वाले पदों के गुणांक की तुलना करें — यह तेज़ और सुरक्षित तरीका है। / Using the identity \((x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\), compare coefficients with \(x^2 + 28x + 196\). From the coefficient of \(x\) we get \(2a = 28\), so \(a = 14\). Also \(a^2 = 196\) holds for \(a=14\). The option \(-14\) is incorrect because it would give \(2a = -28\), which contradicts the given linear coefficient. Exam tip: equate coefficients of like powers of \(x\) to find unknown parameters quickly.
यह द्विघात समीकरण पूर्णवर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \((6x-5k)^2=0\)। वैकल्पिक रूप से डिस्क्रिमिनेंट पर देखें: \(\Delta=b^2-4ac=(-60k)^2-4\cdot36\cdot25k^2=3600k^2-3600k^2=0\)। डिस्क्रिमिनेंट शून्य होने पर दोनों मूल समान और वास्तविक होते हैं (मूल \(x=5k/6\))। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ \(\Delta\neq0\) होना चाहिए; विकल्प C गलत है क्योंकि \(\Delta<0\) होना चाहिए; विकल्प D गलत है क्योंकि k के किसी भी वास्तविक मान के लिए प्रकृति तय रहती है। परीक्षा सुझाव: जल्दी पहचान के लिए पहले डिस्क्रिमिनेंट निकालें; यदि \(\Delta=0\) मिलता है तो दोनों मूल समान होते हैं। / The quadratic is a perfect square: \((6x-5k)^2=0\). Alternatively compute the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=(-60k)^2-4\cdot36\cdot25k^2=3600k^2-3600k^2=0\). A zero discriminant means the two roots are equal and real (root \(x=5k/6\)). Option B is wrong because that requires \(\Delta>0\); option C is wrong because that requires \(\Delta<0\); option D is wrong because the nature does not depend on a special value of k for real k — it is always equal roots. Exam tip: check the discriminant first or try factoring into a perfect square to save time.
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (64) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (64), so it is not possible.
समान मूलों के लिए \(p^2-196=0\) से \(p=\pm14\) मिलता है। ऋणात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{p}{2}<0\), इसलिए (p=14)। / For equal roots, \(p^2-196=0\) gives \(p=\pm14\). For equal negative roots, \(-\frac{p}{2}<0\), so (p=14).
(x=3) रखने पर बायां पक्ष (9k-24+5=9k-19) होता है। मूल न होने के लिए \(9k-19\neq0\), इसलिए \(k\neq\frac{19}{9}\)। / Putting (x=3), the left side becomes (9k-24+5=9k-19). For it not to be a root, \(9k-19\neq0\), so \(k\neq\frac{19}{9}\).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है। योग (0) और गुणनफल (-169) रखने पर \(x^2-169=0\) मिलता है। \(/ The monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Using sum (0) and product (-169) gives (x^2-169=0).\)
गुणनफल (11) और योग \(-\frac{k}{6}\) है। \(11=-2\left(-\frac{k}{6}\right)\) से \(k=33\) मिलता है। / The product is (11) and the sum is \(-\frac{k}{6}\). From \(11=-2\left(-\frac{k}{6}\right)\), we get \(k=33\).
मूलों का योग (7) और गुणनफल (-18) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=343+378=721)। / The sum of roots is (7) and the product is (-18). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=343+378=721).
मोनिक द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) के लिए Vieta के नियम के अनुसार मूलों का योग \(\alpha+\beta=-b\) और गुणनफल \(\alpha\beta=c\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=-6+13=7\), इसलिए \(-b=7\) से \(b=-7\)। गुणनफल \(\alpha\beta=-6\times13=-78\) इसलिए \(c=-78\)। अतः \(b+c=-7+(-78)=-85\)। सबसे नज़दीकी भ्रांति विकल्प C (71) उस स्थिति से उत्पन्न होती है जहाँ गुणनफल को प्रतीततः सकारात्मक \(+78\) माना गया हो; यह गलत है क्योंकि एक मूल नकारात्मक है। परीक्षा टिप: Vieta के संकेतों पर विशेष सतर्क रहें — सम का संबंध \(-b\) से और गुणनफल सीधे \(c\) से होता है। / For the monic quadratic \(x^2+bx+c=0\), Vieta's formulas give sum of roots \(\alpha+\beta=-b\) and product \(\alpha\beta=c\). Here \(\alpha+\beta=-6+13=7\), so \(-b=7\) and hence \(b=-7\). The product is \(-6\times13=-78\), so \(c=-78\). Therefore \(b+c=-7+(-78)=-85\). A common error (leading to option C = 71) is to take the product as +78 instead of -78. Exam tip: apply Vieta’s relations directly and watch sign conventions for sum and product of roots in monic quadratics.
यदि \(a=-4\) रखेंगे तो गुणांक बदलकर मिलते हैं: \(a+4=0\) और \(a^2-16=0\)। समीकरण बनता है \(0\cdot x^2+0\cdot x+13=0\) अर्थात् \(13=0\)। यह असंभव बराबरी है, इसलिए यह विरोधाभासी कथन है। विकल्प B (द्विघात) गलत है क्योंकि \(x^2\) का गुणांक शून्य हो गया; विकल्प C (रैखिक) भी गलत है क्योंकि \(x\) का गुणांक भी शून्य है; विकल्प D गलत है क्योंकि समीकरण किसी भी x के लिये सत्य नहीं है। परीक्षा-सुझाव: पैरामीटर की ऐसी मानों के लिये पहले गुणांक जाँचें — यदि उच्चतम डिग्री के सभी गुणांक शून्य हों तो समीकरण स्थिर (constant) बनकर सत्य/विरोधाभासी हो सकता है। / Substituting \(a=-4\) gives \(a+4=0\) and \(a^2-16=0\), so the equation reduces to \(0\cdot x^2+0\cdot x+13=0\), i.e. \(13=0\). This is impossible, so the statement is contradictory. Option B is wrong because the quadratic term vanishes, C is wrong because the linear term also vanishes, and D is wrong because the equality is not true for any x. Exam tip: when a parameter is given, first check whether coefficients of highest-degree terms become zero — that indicates a degenerate (constant) equation leading to either contradiction or identity.
विस्तार करने पर बाईं ओर \(2x^2-2x+85\) और दाईं ओर \(x^2+6x+9\) है। घटाने पर \(x^2-8x+76=0\) नहीं बल्कि \(x^2-8x+76=0\) मिलता है। / Expanding gives left side \(2x^2-2x+85\) and right side \(x^2+6x+9\). Subtracting gives \(x^2-8x+76=0\).
\(x=-1\) को बहुपद में रखने पर: \(1+(6k-3)(-1)+5k=0\) जो बनता है \(1-6k+3+5k=0\) यानी \(4-k=0\)। अतः \(k=4\)। विकल्प B (\(-4\)) सामान्यतः साइन की गलती से आता है; यहाँ सरल रैखिक समीकरण से स्पष्ट होता है कि उत्तर धनात्मक 4 है। परीक्षा टिप: किसी भी दिए गए मूल को सीधे बहुपद में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापित करके संख्यात्मक अदिशों को ध्यान से जोड़ें — साइन भूलना सामान्य गलती है। / Substitute \(x=-1\): \(1+(6k-3)(-1)+5k=0\) which simplifies to \(1-6k+3+5k=0\), i.e. \(4-k=0\). Therefore \(k=4\). Option B (\(-4\)) often results from a sign error during substitution; the correct simplification yields a positive 4. Exam tip: Always substitute the root directly and simplify terms carefully, watching for sign changes when \(x\) is negative.
समीकरण \(x^2-9x+4=0\) में मान लें कि \(a=1,\;b=-9,\;c=4\)। Viète के सूत्र के अनुसार \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=9\) और \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}=4\)। अतः \(\alpha+\beta+5\alpha\beta=9+5\times4=9+20=29\)। विकल्प B (13) इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल \(\alpha+\beta+\alpha\beta=9+4\) मानता है, जबकि हमें \(5\alpha\beta\) जोड़ना है; विकल्प C (20) केवल \(5\alpha\beta\) है और विकल्प D (36) है \((\alpha+\beta)(\alpha\beta)=9\times4\) — ये सभी प्रश्न की माँग से भिन्न हैं। परीक्षा टिप: किसी द्विघात समीकरण के लिए तुरंत Viète के सूत्र याद रखें: \(\alpha+\beta=-b/a,\;\alpha\beta=c/a\)। / For \(x^2-9x+4=0\) we have \(a=1,\;b=-9,\;c=4\). By Vieta, \(\alpha+\beta=-b/a=9\) and \(\alpha\beta=c/a=4\). Therefore \(\alpha+\beta+5\alpha\beta=9+5\times4=29\). Option B (13) is wrong because it uses \(\alpha+\beta+\alpha\beta=9+4\) instead of adding \(5\alpha\beta\); option C (20) equals only \(5\alpha\beta\); option D (36) equals \((\alpha+\beta)(\alpha\beta)=9\times4\). Exam tip: apply Vieta’s formulas quickly to get sum and product of roots for any quadratic \(ax^2+bx+c=0\).
मूलों का योग (6+p) है और समीकरण में योग (-p) होता है। इसलिए (6+p=-p), जिससे (p=-3) मिलता है। / The sum of roots is (6+p), and in the equation the sum is (-p). Thus (6+p=-p), giving (p=-3).
विएटा के अनुसार किसी द्विघात समीकरण \(x^2-20x+96=0\) के लिए \(\alpha+\beta=20\) और \(\alpha\beta=96\) होगा। इसलिए
\((\alpha-8)(\beta-8)=\alpha\beta-8(\alpha+\beta)+64=96-8\times20+64=96-160+64=0\).
गलत विकल्पों पर टिप्पणी: 96 इसीलिए भ्रमित कर देता है क्योंकि यह सीधे \(\alpha\beta\) का मान है, न कि शिफ्ट किए हुए रूप का; -64 तब आ सकता है जब +64 की जगह -64 लगा दिया जाए (संकेत त्रुटि)। परीक्षा सुझाव: पहले \(\alpha+\beta\) और \(\alpha\beta\) निकाले और फिर व्यंजक को सामान्य रूप में फैल करें, इससे गलतियाँ कम होंगी। / By Vieta's formulas for \(x^2-20x+96=0\), we have \(\alpha+\beta=20\) and \(\alpha\beta=96\). Thus
\((\alpha-8)(\beta-8)=\alpha\beta-8(\alpha+\beta)+64=96-8\times20+64=96-160+64=0.\)
Notes on distractors: 96 is a common mistake from taking \(\alpha\beta\) directly; -64 can arise from a sign error when handling the constant term. Exam tip: Always compute sum and product of roots first (Vieta) and then substitute into the expanded expression to avoid algebraic slips.
त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र है \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\)। अतः \(\frac{1}{2}(x+5)(x+9)=95\)। दोनों ओर को 2 से गुणा करने पर \((x+5)(x+9)=190\) मिलता है। विस्तार करने पर \(x^2+14x+45=190\) और सरल करने पर \(x^2+14x-145=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलती से क्षेत्रफल को सीधे \((x+5)(x+9)=95\) मानता है, जो आधा हटाने में त्रुटि है; विकल्प C और D में स्थायी पद गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा क्षेत्रफल का सूत्र लिखकर दोनों طرفों को 2 से गुणा करें ताकि सरल द्विघात समीकरण बन जाए। / Area of the triangle is given by \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). So \(\frac{1}{2}(x+5)(x+9)=95\). Multiplying both sides by 2 gives \((x+5)(x+9)=190\). Expanding yields \(x^2+14x+45=190\), which simplifies to \(x^2+14x-145=0\); hence option A is correct. Option B is the common mistake of setting \((x+5)(x+9)=95\) (forgetting the factor 1/2). Options C and D have incorrect constant terms. Exam tip: write the area formula first and multiply by 2 immediately to avoid sign/constant errors when forming the quadratic.
सामान्य द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\) और गुणनफल \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1,\; b=-19,\; c=84\) है, इसलिए \(\alpha+\beta=-\dfrac{-19}{1}=19\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=19^2=361\)। विकल्प B (84) वास्तव में मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta\) है, न कि योग का वर्ग। विकल्प C (256) और D (324) क्रमशः \(16^2\) और \(18^2\) हैं — ये गलत हैं क्योंकि मूलों का योग 16 या 18 नहीं है। परीक्षात्मक टिप: हमेशा पहले \(a,b,c\) पहचान कर \(\alpha+\beta=-b/a\) और \(\alpha\beta=c/a\) लिखें; बाईनरी संकेत (sign) पर विशेष ध्यान दें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the sum of roots is \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\) and the product is \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\). In this equation \(a=1,\; b=-19,\; c=84\), so \(\alpha+\beta=-\dfrac{-19}{1}=19\). Therefore \((\alpha+\beta)^2=19^2=361\). Option B (84) is the product \(\alpha\beta\), not the square of the sum. Options C (256) and D (324) are \(16^2\) and \(18^2\) respectively and are incorrect because the sum is 19, not 16 or 18. Exam tip: identify \(a,b,c\) quickly and use \(\alpha+\beta=-b/a\); watch the sign of \(b\).
यहाँ \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=-33\) है। इसलिए (\alpha\beta+5\alpha+5\beta=-33+5(8)=7)। / Here \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=-33\). Thus (\alpha\beta+5\alpha+5\beta=-33+5(8)=7).
कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विभेदक (discriminant) \(D=b^2-4ac\) नकारात्मक होना चाहिए। यहाँ \(a=1,\; b=14,\; c=k\)। अतः \(D=14^2-4\cdot1\cdot k=196-4k\)। \(D<0\) होने पर \(196-4k<0\Rightarrow k>49\)। इसलिए सही उत्तर \(k>49\) है। निकटतम विकर्षक \(k=49\) पर \(D=0\) होता है और एक दोहराव वाला वास्तविक मूल मिलेगा, अतः वह विकल्प गलत है। परीक्षा-सूत्र: कोई वास्तविक मूल नहीं के लिये \(D<0\), एक समान वास्तविक मूल के लिये \(D=0\), दो अलग वास्तविक मूलों के लिये \(D>0\)। / For no real roots the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be negative. Here \(a=1,\; b=14,\; c=k\), so \(D=14^2-4\cdot1\cdot k=196-4k\). Requiring \(D<0\) gives \(196-4k<0\Rightarrow k>49\). Thus \(k>49\) is correct. The closest distractor \(k=49\) yields \(D=0\), giving one repeated real root, not “no real roots.” Exam tip: compute \(D\) first and use its sign to decide the nature of roots (\(D<0,=0,>0\)).
समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: \(x^2-2ax+a^2-49=(x-a)^2-49=0\). अतः \((x-a)^2=49\) से दोनों मूल \(a+7\) और \(a-7\) होंगे। इन दोनों का अंतर \((a+7)-(a-7)=14\) है। विकल्प (B)‑ 7 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल अंकात्मक अंतर का आधा है; विकल्प (C)‑ 2a और (D)‑ a+7 भी गलत हैं — (C) को मूलों के योग या गुणनफल से गलत निहितार्थ जोड़ा गया है और (D) एक मात्र एक मूल है, अंतर नहीं। परीक्षा-सुझाव: कभी भी द्विघात में समान रूप से व्यवस्थित सदस्य दिखें तो पहले पूर्ण वर्ग बनाने की कोशिश करें — इससे मूल सरलता से मिल जाते हैं। / Complete the square: \(x^2-2ax+a^2-49=(x-a)^2-49=0\). So \((x-a)^2=49\) and the roots are \(a+7\) and \(a-7\). Their difference is \((a+7)-(a-7)=14\). Option B (7) is incorrect — it is half the actual difference. Option C (2a) is unrelated to the difference here (it would be a mistaken use of coefficients), and option D (a+7) is just one root, not the difference. Exam tip: try completing the square or factor as \((x-a-7)(x-a+7)=0\) to read off roots quickly.
हर हटाने पर (6{(x+3)2+(x-2)2}=13(x+3)(x-2)) मिलता है। सरल करने पर \(x^2+x-156=0\) सही रूप है। / After clearing denominators, (6{(x+3)2+(x-2)2}=13(x+3)(x-2)). Simplifying gives the correct form \(x^2+x-156=0\).
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{11}{3}\) और \(\alpha\beta=2\), इसलिए मान \(\frac{85}{18}\) है। / We use \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). Here \(\alpha+\beta=\frac{11}{3}\) and \(\alpha\beta=2\), so the value is \(\frac{85}{18}\).
मूलों का योग (2k+5) और गुणनफल \(k^2+5k+6\) है। ((k+2)+(k+3)=2k+5) और ((k+2)(k+3)=k-2+5k+6) सही है। / The sum of roots is (2k+5) and the product is \(k^2+5k+6\). ((k+2)+(k+3)=2k+5) and ((k+2)(k+3)=k-2+5k+6) are correct.
विकेटा के अनुसार एक घनत्वीय द्विघात समीकरण \(x^2+px+q=0\) में मूलों का योग \(-p\) होता है। दिए गए मूलों का योग \((p+2)+(q-2)=p+q=8\) है, अतः \(-p=8\) और इसलिए \(p=-8\)। जाँच करने पर गुणनफल की शर्त \((p+2)(q-2)=q\) के साथ यह डेटा असंगत निकलता है: \(p=-8\) व \(q=16\) लेने पर बाएँ ओर \(-84\) मिलता है जो \(q=16\) से मेल नहीं खाता। पर प्रश्न सीधे योग से \(p\) पूछ रहा है, अतः उत्तर \(-8\) है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा योग और गुणनफल दोनों की जाँच करें; साइन में गलती होने पर अक्सर विरोधी विकल्प \(8\) जैसा मिलेगा। / By Vieta's relations for \(x^2+px+q=0\), the sum of roots equals \(-p\). The given roots sum to \((p+2)+(q-2)=p+q=8\), so \(-p=8\) and hence \(p=-8\). Note: checking the product condition \((p+2)(q-2)=q\) with \(p=-8\) (so \(q=16\)) gives \(-84\neq16\), so the full set of data is inconsistent; nevertheless the value of \(p\) is determined by the sum relation asked in the question. Exam tip: check both sum and product; a common mistake is to miss the negative sign and pick \(8\).
