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(18x-2-45x+14=(3x-1)(6x-14)), इसलिए मूल \(\frac{1}{3}\) और \(\frac{7}{3}\) हैं। परीक्षा में सामान्य गुणक हो तो अंतिम जाँच जरूर करें। / (18x-2-45x+14=(3x-1)(6x-14)), so the roots are \(\frac{1}{3}\) and \(\frac{7}{3}\). In exams, always check the final factors when a common factor appears.
यहां (ac=900) और (-36+(-25)=-61), इसलिए सही विभाजन (-36x-25x) है। परीक्षा में बड़ा (ac) हो तो भी योग और गुणनफल दोनों मिलाएं। / Here (ac=900) and (-36+(-25)=-61), so the correct split is (-36x-25x). In exams, even for large (ac), match both sum and product.
(30x-2-61x+30=(5x-6)(6x-5)), इसलिए मूल \(\frac{6}{5}\) और \(\frac{5}{6}\) हैं। परीक्षा में भिन्न मूलों के हर को सही रखें। / (30x-2-61x+30=(5x-6)(6x-5)), so the roots are \(\frac{6}{5}\) and \(\frac{5}{6}\). In exams, keep the denominators of fractional roots correct.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए ((k-5)2=k-2-36) और \(k=\frac{61}{10}\) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय स्थिर पद ध्यान से लें। / For equal roots, (D=0), so ((k-5)2=k-2-36) and \(k=\frac{61}{10}\). In exams, handle constant terms carefully while expanding squares.
मूलों का योग (4) है और \(\frac{p+6}{7}=4\), इसलिए (p=22) है। परीक्षा में \(-\frac{b}{a}\) से योग निकालें। / The sum of roots is (4), and \(\frac{p+6}{7}=4\), so (p=22). In exams, use \(-\frac{b}{a}\) for the sum.
पहले \(x^2-4x+\frac{9}{13}=0\) बनता है, फिर ((x-2)2=\frac{43}{13}) मिलता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें। / First \(x^2-4x+\frac{9}{13}=0\) is obtained, then ((x-2)2=\frac{43}{13}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
((x-2)2=\frac{43}{13}), इसलिए \(x=2\pm\sqrt{\frac{43}{13}}=2\pm\frac{\sqrt{559}}{13}\) है। परीक्षा में हर को परिमेय बनाएं। / Since ((x-2)2=\frac{43}{13}), \(x=2\pm\sqrt{\frac{43}{13}}=2\pm\frac{\sqrt{559}}{13}\). In exams, rationalize the denominator.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (576-4m=0) से (m=144) है। परीक्षा में समान मूल का संकेत (D=0) होता है। / For real and equal roots, (D=0), so (576-4m=0) gives (m=144). In exams, equal roots indicate (D=0).
पहले समीकरण के मूल \(\frac{5}{2},\frac{8}{5}\) और दूसरे के मूल \(\frac{5}{2},\frac{4}{5}\) हैं। परीक्षा में समान मूल के लिए दोनों समीकरण अलग हल करें। / The first equation has roots \(\frac{5}{2},\frac{8}{5}\), and the second has roots \(\frac{5}{2},\frac{4}{5}\). In exams, solve both equations separately for the common root.
मूलों का योग (25) है, इसलिए दूसरा मूल (25-10=15) होगा। परीक्षा में एक मूल दिया हो तो योग का प्रयोग करें। / The sum of roots is (25), so the other root is (25-10=15). In exams, use the sum when one root is given.
दूसरा मूल (15) है, इसलिए \(q=10\times15=150\) होगा। परीक्षा में (a=1) हो तो स्थिर पद मूलों का गुणनफल होता है। / The other root is (15), so \(q=10\times15=150\). In exams, when (a=1), the constant term is the product of roots.
(12x-2+x-6=(3x-2)(4x+3)), इसलिए \(x=\frac{2}{3},-\frac{3}{4}\) सही है। परीक्षा में गुणनखंडों से संकेत सावधानी से बदलें। / (12x-2+x-6=(3x-2)(4x+3)), so \(x=\frac{2}{3},-\frac{3}{4}\) is correct. In exams, change signs carefully from factors.
क्योंकि (17=\(\sqrt{17}\)2) और मध्य पद \(-2\sqrt{17}x\) है, इसलिए यह (\(x-\sqrt{17}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since (17=\(\sqrt{17}\)2) and the middle term is \(-2\sqrt{17}x\), it is (\(x-\sqrt{17}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
(\(x-\sqrt{17}\)2=0), इसलिए दोहराया हुआ मूल \(\sqrt{17}\) है। परीक्षा में ((x-a)2=0) से (x=a) मिलता है। / (\(x-\sqrt{17}\)2=0), so the repeated root is \(\sqrt{17}\). In exams, ((x-a)2=0) gives (x=a).
यह समीकरण ((x-p)(x-q)=0) के बराबर है, इसलिए मूल (p) और (q) हैं। परीक्षा में प्रतीकात्मक गुणनखंडों पर भी शून्य गुणनफल नियम लगाएं। / The equation is equivalent to ((x-p)(x-q)=0), so the roots are (p) and (q). In exams, apply zero product rule to symbolic factors too.
यह ((x-u)2-v-2=0) है, इसलिए \(x-u=\pm v\) और \(x=u\pm v\) हैं। परीक्षा में वर्गों के अंतर को जल्दी पहचानें। / It is ((x-u)2-v-2=0), so \(x-u=\pm v\) and \(x=u\pm v\). In exams, quickly recognize the difference of squares.
पूरे समीकरण को (49) से भाग देने पर (x-2-(r+s)x+rs=0) मिलता है। परीक्षा में पहले सामान्य गुणक हटाना हल को छोटा करता है। / Dividing the whole equation by (49) gives (x-2-(r+s)x+rs=0). In exams, removing the common factor first shortens the solution.
क्योंकि (x-4=\(x^2\)2=y-2), इसलिए नया समीकरण \(y^2-25y+144=0\) है। परीक्षा में प्रतिस्थापन से द्विघात रूप बनाएं। / Since (x-4=\(x^2\)2=y-2), the new equation is \(y^2-25y+144=0\). In exams, use substitution to form a quadratic.
\(y^2-25y+144=0\) से (y=9,16), इसलिए \(x^2=9,16\) और \(x=\pm3,\pm4\) हैं। परीक्षा में वापस (x) के मान निकालना न भूलें। / From \(y^2-25y+144=0\), (y=9,16), so \(x^2=9,16\) and \(x=\pm3,\pm4\). In exams, do not forget to return to (x).
दोनों पक्षों को (7x) से गुणा करने पर \(7+7x^2=50x\), यानी \(7x^2-50x+7=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें। / Multiplying both sides by (7x) gives \(7+7x^2=50x\), that is \(7x^2-50x+7=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
(7x-2-50x+7=(7x-1)(x-7)), इसलिए \(x=\frac{1}{7}\) और (7) हैं। परीक्षा में प्राप्त हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें। / (7x-2-50x+7=(7x-1)(x-7)), so \(x=\frac{1}{7}\) and (7). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
क्रॉस गुणा करने पर ((x+6)2=49x), इसलिए \(x^2+12x+36-49x=0\) और \(x^2-37x+36=0\) है। परीक्षा में क्रॉस गुणा सावधानी से करें। / Cross multiplication gives ((x+6)2=49x), so \(x^2+12x+36-49x=0\), and \(x^2-37x+36=0\). In exams, cross multiply carefully.
(x-2-37x+36=(x-1)(x-36)), इसलिए (x=1) और (x=36) हैं। परीक्षा में हर के निषिद्ध मानों से हलों की जांच करें। / (x-2-37x+36=(x-1)(x-36)), so (x=1) and (x=36). In exams, check solutions against excluded denominator values.
(D=(-14)2-4(1)(13)=144), इसलिए \(x=\frac{14\pm12}{2}\) से (1) और (13) मिलते हैं। परीक्षा में (D) पूर्ण वर्ग हो तो उत्तर जल्दी सरल करें। / (D=(-14)2-4(1)(13)=144), so \(x=\frac{14\pm12}{2}\) gives (1) and (13). In exams, if (D) is a perfect square, simplify quickly.
मूलों का योग \(-\frac{p}{9}\) है, इसलिए \(-\frac{p}{9}=-10\) से (p=90) है। परीक्षा में योग का सूत्र \(-\frac{b}{a}\) याद रखें। / The sum of roots is \(-\frac{p}{9}\), so \(-\frac{p}{9}=-10\) gives (p=90). In exams, remember the sum formula \(-\frac{b}{a}\).
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{10}\) है, इसलिए \(\frac{p}{10}=\frac{2}{5}\) से (p=4) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{10}\), so \(\frac{p}{10}=\frac{2}{5}\) gives (p=4). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
\(\alpha+\beta=27\) और \(\alpha\beta=180\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=272-2(180)=369) है। परीक्षा में (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) याद रखें। / \(\alpha+\beta=27\) and \(\alpha\beta=180\), so (\alpha-2+\beta-2=272-2(180)=369). In exams, remember (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{24}{135}=\frac{8}{45}\) होता है। परीक्षा में उत्तर को सरल रूप में लिखें। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{24}{135}=\frac{8}{45}\). In exams, write the answer in simplest form.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-31}{8}=\frac{31}{8}\) है। परीक्षा में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-31}{8}=\frac{31}{8}\). In exams, keep the sign of (b) carefully.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{15}{8}\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{15}{8}\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{31}{8}\right\)2-\frac{15}{2}=\frac{481}{64}) है। परीक्षा में भिन्नों को समान हर में बदलें। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{31}{8}\right\)2-\frac{15}{2}=\frac{481}{64}). In exams, convert fractions to a common denominator.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (256-4n<0) और (n>64) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (256-4n<0) and (n>64). In exams, connect (D<0) with no real roots.
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (256-4n>0) और (n<64) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (256-4n>0) and (n<64). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
((8x+5)(x-3)=8x-2-19x-15) नहीं बल्कि यह विस्तार गलत होगा; सही गुणनखंड ((8x+5)(x-3)) से (-24x+5x=-19x) बनता है। परीक्षा में विस्तार से हर विकल्प जांचें। / ((8x+5)(x-3)=8x-2-19x-15), so it is not for the given equation. In exams, verify each option by expansion.
((x+5)(8x-3)=8x-2+37x-15) नहीं बनता; इसलिए विकल्पों में भी सावधानी चाहिए। सही गुणनखंड ((8x+5)(x-3)) नहीं है, अतः यह प्रश्न जाँच आधारित है। / ((x+5)(8x-3)) does not expand to the given equation, so the options must be checked carefully. The correct factorisation is not present among careless options.
((4x+3)(2x-5)=8x-2-20x+6x-15=8x-2-14x-15), इसलिए यह सही है। परीक्षा में गुणनखंड को विस्तार करके जांचें। / ((4x+3)(2x-5)=8x-2-20x+6x-15=8x-2-14x-15), so it is correct. In exams, verify factorisation by expanding.
((4x+3)(2x-5)=0), इसलिए \(x=-\frac{3}{4}\) और \(\frac{5}{2}\) हैं। परीक्षा में संकेत बदलकर मूल लिखें। / ((4x+3)(2x-5)=0), so \(x=-\frac{3}{4}\) and \(\frac{5}{2}\). In exams, change signs while writing roots.
\(x^2+14x=-10\) में (49) जोड़ने पर ((x+7)2=39) मिलता है। परीक्षा में दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ें। / Adding (49) to \(x^2+14x=-10\) gives ((x+7)2=39). In exams, add the same number to both sides.
((x+7)2=39), इसलिए \(x=-7\pm\sqrt{39}\) है। परीक्षा में \(\pm\) के दोनों मान लिखें। / Since ((x+7)2=39), \(x=-7\pm\sqrt{39}\). In exams, write both values using \(\pm\).
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=12\) और \(\alpha\beta=-28\), इसलिए मान (-336) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें। / (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=12\) and \(\alpha\beta=-28\), so the value is (-336). In exams, factor the expression first.
मूलों को (-r) और (-2r) मानें, तो \(2r^2=64\) से \(r=4\sqrt{2}\) और \(p=3r=12\sqrt{2}\) है। परीक्षा में दोनों मूलों के चिन्ह ध्यान से रखें। / Let the roots be (-r) and (-2r), then \(2r^2=64\) gives \(r=4\sqrt{2}\), and \(p=3r=12\sqrt{2}\). In exams, keep signs of both roots carefully.
यहां (D=(-13)2-4(1)(7)=141), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{141}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-13)2-4(1)(7)=141), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{141}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
यहां (D=(-14)2-4(7)(19)=-336<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-14)2-4(7)(19)=-336<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
(7x-2-14x+19=7(x-1)2+12), इसलिए यह वास्तविक (x) के लिए शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग रूप से भी मूलों की प्रकृति दिखती है। / (7x-2-14x+19=7(x-1)2+12), so it cannot be zero for real (x). In exams, completed square form also shows the nature of roots.
मूल (4,12) हैं, इसलिए नए मूल (10,18) होंगे और समीकरण ((x-10)(x-18)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें। / The roots are (4,12), so new roots are (10,18), and the equation is ((x-10)(x-18)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=26\) और \(\alpha\beta=165\), इसलिए मान \(\frac{676-330}{165}=\frac{346}{165}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=26\) and \(\alpha\beta=165\), so the value is \(\frac{676-330}{165}=\frac{346}{165}\). In exams, convert expressions into sum and product.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (676-676k=0) और (k=1) है। परीक्षा में (a=k) को ठीक से रखें। / For equal roots, (D=0), so (676-676k=0) and (k=1). In exams, keep (a=k) correctly.
(D=4(k+7)2-4k-2=0) से ((k+7)2=k-2), इसलिए (14k+49=0) और \(k=-\frac{7}{2}\) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+7)2-4k-2=0) gives ((k+7)2=k-2), so (14k+49=0) and \(k=-\frac{7}{2}\). In exams, expand squares carefully.
((x-7)(x-15)=x-2-22x+105), इसलिए \(x^2-22x+105=26\) से \(x^2-22x+79=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-7)(x-15)=x-2-22x+105), so \(x^2-22x+105=26\) gives \(x^2-22x+79=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
यहां (D=(-22)2-4(1)(79)=168), इसलिए \(x=\frac{22\pm2\sqrt{42}}{2}=11\pm\sqrt{42}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-22)2-4(1)(79)=168), so \(x=\frac{22\pm2\sqrt{42}}{2}=11\pm\sqrt{42}\). In exams, simplify (D) correctly.
