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वर्ग का क्षेत्रफल भुजा का वर्ग होता है, इसलिए यदि भुजा \\(x+2)\\ है तो क्षेत्रफल \\ (x+2)^2 \\ होगा। दिया गया क्षेत्रफल 49 है, अतः समीकरण \\ (x+2)^2 = 49 \\ बनेगा। इसे मानक रूप में लाने पर विस्तार करके \\ x^2+4x+4=49 \\ और फिर सभी पद एक तरफ लाकर \\ x^2+4x-45=0 \\ मिलता है। विकल्प B (\\x+2=49\\) गलत है क्योंकि उसने भुजा को सीधे क्षेत्रफल मान लिया है; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे भुजा का वर्ग लेने में त्रुटि दर्शाते हैं। परीक्षा सुझाव: शब्दों को सीधे सूत्र "क्षेत्रफल = (भुजा)2" से जोड़ें और बराबर के बाद सभी पदों को एक तरफ लाकर मानक द्विघात रूप \\ax-2+bx+c=0\\ बना लें। / Area of a square equals the square of its side. With side \\(x+2)\\ the area is \\(x+2)^2\\, and since the area is 49 the equation is \\( (x+2)^2 = 49)\\. Expanding gives \\x^2+4x+4=49\\ and rearranging yields the quadratic \\x^2+4x-45=0\\. Option B (\\x+2=49\\) is incorrect because it treats the side as if it were the area. Options C and D are wrong because they show incorrect algebraic manipulation (missing the square or misplacing terms). Exam tip: directly apply Area = (side)2 and then bring terms to one side to get the standard quadratic form before solving.
\\((x+4)(x-3)\\) को फैलाएँ: \\(x^2 -3x +4x -12 = x^2 + x -12\\). इसलिए यह दिया गया द्विघात समीकरण पूरा करता है। निकटभ्रम (विकल्प B) का विस्तार करने पर \\((x-4)(x+3)= x^2 - x -12\\) मिलता है — मध्य पद का संकेत अलग है, इसलिए गलत। विकल्प C और D के विस्तार क्रमशः \\(x^2+7x+12\\) और \\(x^2-7x+12\\) होंगे, जो मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में दो ऐसे संख्याएँ ढूँढें जिनका गुणन \\-12\\ और योग \\+1\\ हो — यहाँ 4 और -3। / Expand \\((x+4)(x-3)\\): \\(x^2 -3x +4x -12 = x^2 + x -12\\), so it matches the given quadratic. Closest distractor B expands to \\((x-4)(x+3)= x^2 - x -12\\), which has the middle term \\(-x\\) (wrong sign). Options C and D expand to \\(x^2+7x+12\\) and \\(x^2-7x+12\\) respectively, so they do not match. Exam tip: find two numbers whose product is \\-12\\ and sum is \\+1\\ (here 4 and -3).
इस बहुपद में चर x का सबसे बड़ा घातांक \(2\) है (\(x^2\) के लिए)। इसलिए बहुपद की घात 2 है और यह द्विघात समीकरण कहलाता है। विकल्प D गलत है क्योंकि 6 केवल \(x^2\) का गुणांक (coefficient) है, घातांक नहीं — गुणांकों को घात समझकर गलत उत्तर न दें। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की घात हमेशा चर के सबसे बड़े घातांक से तय होती है, गुणांक से नहीं। / The highest power (exponent) of the variable x is \(2\) (from the term \(x^2\)), so the degree is 2 and the equation is quadratic. Option D (6) is incorrect because 6 is the coefficient of \(x^2\), not the exponent; do not confuse coefficient with degree. Exam tip: The degree of a polynomial is the largest exponent of the variable, not the largest numerical coefficient.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में यहाँ \(a=4,\; b=-2,\; c=-6\) हैं। अतः \(a-b+c=4-(-2)+(-6)=4+2-6=0\)। विकल्प B (2) सामान्यतः संकेत त्रुटि से आता है — यदि कोई गलती से \(b\) का चिन्ह उल्टा ले ले तो गलत उत्तर निकलता है (उदा. \(b=+2\) लेने पर \(4-2-6=-4\))। परीक्षा टिप: पहले समीकरण को स्पष्ट रूप में \(ax^2+bx+c=0\) लिखें और हर गुणांक का चिन्ह ध्यान से पहचानें। / In standard form \(ax^2+bx+c=0\) we have \(a=4,\; b=-2,\; c=-6\). So \(a-b+c=4-(-2)+(-6)=4+2-6=0\). Option B (2) typically arises from a sign mistake — for example, if one incorrectly takes \(b=+2\) then \(4-2-6=-4\), not 2. Exam tip: always rewrite the equation as \(ax^2+bx+c=0\) and read off the signs of \(a,b,c\) carefully before substituting.
केंद्रीय विचार: द्विघात समीकरण के सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) में \(a, b, c\) क्रमशः \(x^2, x\) और स्थायी पद के गुणांक होते हैं। यहाँ \(a=5,\; b=5,\; c=5\)। इसलिए \(a+b+c=5+5+5=15\)। विकल्प B (10) गलत है क्योंकि वह केवल दो पदों के योग जैसा दिखता है — सभी तीन गुणांकों का योग नहीं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा समीकरण को सामान्य रूप में पढ़ें और स्थायी पद को भी "c" के रूप में दर्ज करें। / Core idea: In a quadratic of the form \(ax^2+bx+c=0\), \(a,b,c\) are the coefficients of \(x^2, x\) and the constant term respectively. Here \(a=5,\; b=5,\; c=5\). Thus \(a+b+c=5+5+5=15\). Option B (10) is incorrect because it corresponds to adding only two terms rather than all three coefficients. Exam tip: Always identify the coefficients from the standard form \(ax^2+bx+c\); include the constant term as \(c\).
द्विघात समीकरण के अधिकतम (2) वास्तविक हल हो सकते हैं। घात से अधिकतम हलों का संकेत मिलता है। / A quadratic equation can have at most (2) real solutions. The degree indicates the maximum number of solutions.
मानक रूप से एक द्विघात समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में लिखा जाता है; इसलिए यदि समीकरण के दाहिने पक्ष पर संख्या है तो उसे बाएँ लाकर साइन बदलनी होगी। विकल्प A में \(x^2+2x=8\) को बाएँ लाने पर 8 बदल कर -8 होगा और हमें \(x^2+2x-8=0\) मिलता है — इसलिए A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x^2+2x=-8\) को बाएँ लाने पर यह \(x^2+2x+8=0\) बनेगा (संकेत उल्टा)। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि उनमें मध्य पद का गुणांक \(-2x)\) है, जबकि लक्ष्य समीकरण में \(+2x\) है। परीक्षा टिप: हमेशा सभी पदों को एक ही तरफ (आम तौर पर बाएँ) लाकर \(ax^2+bx+c=0\) फॉर्म बनाएं। / Standard form for a quadratic is \(ax^2+bx+c=0\); to convert, bring the RHS term(s) to the left and change their signs. In option A, moving 8 to the left gives \(-8\), so \(x^2+2x=8\) becomes \(x^2+2x-8=0\) — correct. Option B is wrong because \(x^2+2x=-8\) would become \(x^2+2x+8=0\). Options C and D are incorrect because they have \(-2x\) (different sign for the linear term) not \(+2x\). Exam tip: always move all terms to one side to match \(ax^2+bx+c=0\) before comparing coefficients.
द्विघात समीकरण का मानक रूप है \(ax^2+bx+c=0\)। यहाँ a=2, b=0, c=-18 को रखकर मिलता है \(2x^2+0x-18=0\), जो सरलीकरण पर \(2x^2-18=0\) बनता है। विकल्प B में c का चिन्ह उल्टा है (यहाँ c = -18 है, जबकि B में +18 है), इसलिए गलत है। विकल्प C में x का मध्य पद है परंतु b=0 होने पर \(x\) का पद नहीं होगा। विकल्प D में a और c के मान उलट दिए गए हैं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) पर मान रखें और फिर शून्य पदों को हटा दें। / The standard form is \(ax^2+bx+c=0\). Substituting a=2, b=0, c=-18 gives \(2x^2+0x-18=0\), which simplifies to \(2x^2-18=0\). Option B is wrong because the sign of c is reversed (+18 instead of -18). Option C is incorrect because it includes an x-term even though b=0. Option D swaps coefficients (incorrect values for a and c). Exam tip: always write \(ax^2+bx+c=0\) first, substitute the coefficients, then remove any zero terms.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में दिए गए मान रखने पर \(a=3,b=-4,c=-2\) से समीकरण \(3x^2-4x-2=0\) बनता है, इसलिए विकल्प A सही है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प B केवल \(b\) का चिह्न उलट देता है (\(+4x\) लिखा है) इसलिए वह गलत है। विकल्प C और D में भी a, b, c की जगहें/मान बदल गए हैं। परीक्षा सुझाव: गुणांकों को सीधे \(ax^2+bx+c\) में रखें और b का चिह्न विशेष ध्यान से लिखें। / Using the standard form \(ax^2+bx+c=0\) and substituting \(a=3,b=-4,c=-2\) yields \(3x^2-4x-2=0\), so A is correct. The closest distractor B has the sign of \(b\) reversed (it shows \(+4x\)), making it incorrect. Options C and D change the positions or values of the coefficients. Exam tip: always substitute coefficients into \(ax^2+bx+c\) and carefully note the sign of \(b\).
A. समीकरण संतुष्ट होता है/The equation is satisfied
Explanation
Simple Explanation
यदि \(x=-3\) रखें तो बाएँ पक्ष = \((-3)^2+6(-3)+9=9-18+9=0\)। इसलिए समीकरण पूर्णरूपेण शून्य बनता है और \(x=-3\) इस समीकरण का हल है। विकल्प B गलत है क्योंकि समीकरण सत्य है; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि बाएँ पक्ष 6 या −6 नहीं बल्कि 0 है। परीक्षा सुझाव: नेगेटिव मान रखते समय हमेशा खोलने के लिए कोष्ठक का उपयोग करें और क्रमशः जोड़-घटाव करते जाएँ ताकि साइन की गलती न हो। / Substituting \(x=-3\) gives left-hand side = \((-3)^2+6(-3)+9=9-18+9=0\). Hence the equation holds and \(x=-3\) is a solution. Option B is incorrect because the equation is satisfied; options C and D are incorrect since the left-hand side evaluates to 0, not 6 or −6. Exam tip: when substituting negative numbers, keep them in parentheses and simplify step by step to avoid sign errors.
शुद्ध द्विघात समीकरण का सामान्य रूप ax-2+bx+c=0 होता है, जहाँ a ≠ 0 और 'b' (x के गुणांक) शून्य होता है। विकल्प A में 4x-2-16=0 में x का रैखिक पद नहीं है (b=0) और a=4 ≠ 0, अतः यह शुद्ध द्विघात है। विकल्प B में x का रैखिक पद (5x) मौजूद है इसलिए यह शुद्ध द्विघात नहीं है। विकल्प C एक प्रथम-आदेशीय समीकरण है और D घातांक 3 का है (घन), इसलिए वे भी शुद्ध द्विघात नहीं हैं। परीक्षा-टिप: किसी दिए समीकरण में तुरंत x के गुणांक (b) को देखें — यदि b=0 और a≠0 तो वह शुद्ध द्विघात है। / A pure (or 'pure') quadratic has the form ax-2+bx+c=0 with a ≠ 0 and the linear coefficient b = 0. In 4x-2-16=0 the x-term is absent (b=0) and a=4 ≠ 0, so it is a pure quadratic. x-2+5x+6=0 has a nonzero linear term (5x) so it is not pure. x+16=0 is linear (degree 1) and x-3-16=0 is cubic (degree 3), so neither is a quadratic. Exam tip: check the coefficient of x quickly — if it is zero and the x-2 coefficient is nonzero, the equation is a pure quadratic.
समीकरण को मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में लिखें: \(x^2-13x+0=0\)। यहाँ गुणांक हैं: \(a=1, b=-13, c=0\)। स्थिर पद का मान \(c=0\) है, यानी स्थिर पद अनुपस्थित है। निकटतम विचलन (रैखिक पद) गलत है क्योंकि \(-13x\) स्पष्ट रूप से मौजूद है। परीक्षा टिप: हमेशा समीकरण को \(ax^2+bx+c\) के रूप में लिखकर \(a,b,c\) पहचान लें। / Write the equation in the standard form \(ax^2+bx+c=0\): \(x^2-13x+0=0\). The coefficients are \(a=1, b=-13, c=0\). The constant term is \(c=0\), so the constant term is absent. The closest distractor (linear term) is wrong because the term \(-13x\) is present. Exam tip: always rewrite as \(ax^2+bx+c\) and read off \(a,b,c\).
स्थिर पद वह होता है जिसमें कोई चर (x) नहीं होता, यानी घातांक शून्य वाला पद। 6x-2 और x दोनों में x मौजूद है इसलिए वे चर वाले पद हैं। समीकरण में -8 ही ऐसा पद है जिसमें x नहीं है, अत: स्थिर पद -8 है। परीक्षा टिप: x = 0 रखकर बहुपद का मान निकालें — इससे सीधे स्थिर पद मिलता है \(यहाँ 6·0^2 + 0 − 8 = −8\)। / The constant term is the term that does not contain the variable x (degree zero). 6x-2 and x contain x, so they are not constant. The only term without x is −8, so the constant term is −8. Exam tip: substitute x = 0 into the polynomial; the result equals the constant term \(here 6·0^2 + 0 − 8 = −8\).
\(p(2)=2^2-4=4-4=0\)। इसलिए \(p(2)\) का मान 0 है और \(x=2\) इस बहुपद का शून्यक (root) है। सबसे नज़दीकी भ्रम (option C = 4) तब होता है जब कोई घटाव भूल कर केवल \(2^2\) निकाल ले; यह गलत है क्योंकि हमें पूरा व्यंजक \(2^2-4\) पर ही काम करना है। परीक्षात्मक सुझाव: बहुपद का मान निकालते समय क्रमचय (order of operations) का पालन करके पहले घात करें और फिर घटाव करें। / Compute \(p(2)=2^2-4=4-4=0\). Thus the value is 0 and \(x=2\) is a root of the polynomial. The closest distractor (option C = 4) arises if a student computes only \(2^2\) and forgets to subtract 4. Exam tip: when evaluating polynomials, substitute the number and follow order of operations—evaluate powers first, then perform addition/subtraction.
मानक रूप पाने के लिए गुणा करें: \(4x(x-3)=4x\cdot x-4x\cdot 3=4x^2-12x\)। इसलिए मानक \(ax^2+bx+c=0\) रूप \(4x^2-12x=0\) है। विकल्प B संकेत का चिन्ह गलत है (यहाँ नकारात्मक गुणा से बिंदु -12x बनता है, +12x नहीं)। विकल्प C में गुणांक '4' गायब है और विकल्प D एक रैखिक समीकरण है, इसलिए वे गलत हैं। परीक्षागत सुझाव: पहले फैक्टर्ड रूप को विस्तार कर के सभी पदों को एक तरफ प्रस्तुत करें ताकि स्पष्ट रूप से \(ax^2+bx+c=0\) दिखे। / Expand the factor: \(4x(x-3)=4x\cdot x-4x\cdot3=4x^2-12x\). Thus the standard quadratic form \(ax^2+bx+c=0\) is \(4x^2-12x=0\). Option B is wrong because the sign is incorrect (+12x instead of -12x). Option C is wrong because the coefficient 4 is missing, and option D is linear (not quadratic). Exam tip: always expand factors first and collect like terms to write the expression as \(ax^2+bx+c=0\).
द्विघात समीकरण का अर्थ है वह समीकरण जिसमें दिए हुए चर की उच्चतम घात 2 हो। विकल्प (A) में चर \(t\) का उच्चतम घात \(2\) है (\(t^2\) पद मौजूद है), इसलिए यह \(t\) में द्विघात समीकरण है। विकल्प (B) भी द्विघात है पर वह \(x\) में द्विघात है, न कि \(t\) में — इसलिए वह इस प्रश्न का सही उत्तर नहीं है। विकल्प (C) और (D) में \(t\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए वे रैखिक (linear) समीकरण हैं। परीक्षा सुझाव: दिए हुए चर पर ध्यान दें और उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें — वही निर्धारित करेगा कि वह द्विघात है या नहीं। / A quadratic equation in a variable means the highest power (degree) of that variable is 2. In option A the variable \(t\) appears as \(t^2\), so its highest power is 2 and the equation is quadratic in \(t\). Option B is quadratic but in \(x\), not in \(t\), so it is not correct for this question. Options C and D are linear in \(t\) (highest power 1). Exam tip: always check the highest exponent of the specific variable named in the question, not just whether any variable is squared.
क्वाड्रैटिक समीकरण की सामान्य रूप है \(ax^2+bx+c=0\)। दिया गया समीकरण \(3x^2-21=0\) को लिखें जैसा कि \(3x^2+0x-21=0\)। इसलिए \(a=3,\; b=0,\; c=-21\)। सबसे आशंकास्पद विकल्प B (3, -21, 0) है — यह इसलिए गलत है क्योंकि इसमें \(b\) और \(c\) की जगह बदली हुई है; यहाँ \(b\) x की गुणांक है और x‑अवयव अनुपस्थित होने पर \(b=0\) होता है। परीक्षा की युक्ति: किसी भी क्वाड्रैटिक को पहले मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में लिखें ताकि सभी गुणांकों को सीधे पढ़ा जा सके। / A quadratic must be in standard form \(ax^2+bx+c=0\). Rewrite \(3x^2-21=0\) as \(3x^2+0x-21=0\). Hence \(a=3,\; b=0,\; c=-21\). The most tempting wrong choice is B (3, -21, 0) — it incorrectly swaps the linear and constant coefficients; the linear coefficient \(b\) is zero because there is no \(x\) term. Exam tip: always convert the equation to \(ax^2+bx+c=0\) first so you can read off \(a,b,c\) directly.
\(x=2\) रखने पर अभिव्यक्ति का मान है \(2^2+5\cdot2-14=4+10-14=0\)। इसलिए बायाँ पक्ष 0 होगा और \(x=2\) इस द्विघात समीकरण का एक शून्य है। विकल्प C (4) गलत है क्योंकि वह केवल \(x^2\) का मान है; विकल्प D (-4) गलत है क्योंकि वह केवल \(5x-14\) भाग का मान है। परीक्षा टिप: हर पद को अलग‑अलग मूल्य देकर चरणबद्ध रूप से जोड़ें/घटाएँ, फिर अंतिम परिणाम देखें। / Substituting \(x=2\) gives \(2^2+5\cdot2-14=4+10-14=0\). Hence the left-hand side equals 0, so \(x=2\) is a root of the quadratic. Option C (4) is wrong because it corresponds to evaluating only \(x^2\); option D (-4) is the value of \(5x-14\) alone. Exam tip: substitute values and simplify step by step (evaluate each term first), then combine to avoid sign or arithmetic mistakes.
\(x^2-49\) दो वर्गों का अंतर है, और सामान्य सूत्र है \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)। यहाँ \(a=x,\; b=7\) लाकर हमें \((x-7)(x+7)\) मिलता है, इसलिए सही गुणनखंड रूप \((x-7)(x+7)=0\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \((x-49)(x+1)=x^2-48x-49\) बनता है — मध्य पद गलत आता है। विकल्प C और D क्रमशः \((x+7)^2=x^2+14x+49\) और \((x-7)^2=x^2-14x+49\) देते हैं, जो मूल बहुपद से भिन्न हैं। परीक्षा टिप: अगर आपको \(x^2-b^2\) जैसा रूप मिले तो तुरंत \((x-b)(x+b)\) लगाएँ। / \(x^2-49\) is a difference of squares. Using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) with \(a=x, b=7\) gives \((x-7)(x+7)\), so the factorised equation is \((x-7)(x+7)=0\). Option B expands to \(x^2-48x-49\), so its middle term is incorrect. Options C and D expand to \(x^2+14x+49\) and \(x^2-14x+49\) respectively, which do not match the original expression. Exam tip: recognize the difference-of-squares pattern quickly and apply \((a-b)(a+b)\).
\((x-3)^2\,=\,x^2-6x+9\) होने के कारण \((x-3)^2=0\) मूल समीकरण का समतुल्य रूप है। इसका एक द्विगुणमूल (double root) \(x=3\) है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \((x+3)^2=0\) का विस्तार \(x^2+6x+9\) देता है — यहाँ मध्य पद का संकेत विपरीत है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग की पहचान के लिए मध्य पद के दो गुना और स्थायी पद को मिलाकर देखें; इससे त्वरित फैक्टरिंग हो जाती है। / Since \((x-3)^2 = x^2-6x+9\), the equation \((x-3)^2=0\) is equivalent to the given quadratic. It has a repeated root \(x=3\). The closest distractor \((x+3)^2=0\) expands to \(x^2+6x+9\), so the sign of the linear term is wrong and that option is incorrect. Exam tip: Recognise perfect-square trinomials by checking if the constant equals the square of half the linear coefficient (here \((-6/2)^2=9\)).
रैखिक पद वह होता है जिसमें केवल \(x\) होता है (घातांक 1)। सामान्य रूप \(ax^2+bx+c\) में \(bx\) रैखिक पद है। यहाँ समीकरण \(9x^2+0x+2\) में \(b=0\) है, इसलिए रैखिक पद \(0x\) है। सबसे पास का विकर्षक \(9x\) इस समीकरण में मौजूद नहीं है — इसका अर्थ होगा कि \(b=9\), जो गलत होगा; \(9x^2\) द्विघातक पद है और \(2\) स्थायी पद है। परीक्षा-सुझाव: किसी क्वाड्रैटिक को \(ax^2+bx+c\) के रूप में लिखकर सीधे \(b\) की पहचान करें; यदि \(b=0\) तो रैखिक पद \(0x\) या अनुपस्थित माना जाता है। / The linear term is the term containing only \(x\) (power 1). In the standard form \(ax^2+bx+c\), the linear term is \(bx\). Here \(b=0\), so the linear term is \(0x\). The closest distractor, \(9x\), would be correct only if \(b=9\), which is not the case; \(9x^2\) is the quadratic term and \(2\) is the constant term. Exam tip: write the quadratic as \(ax^2+bx+c\) and read off \(b\); if \(b=0\), the linear term is \(0x\) or is omitted in the written expression.
द्विघात पद वह होता है जिसमें चर का घात 2 हो, यानि \(x^2\) शामिल हो। विकल्प (C) में स्पष्ट रूप से \(4x^2\) मौजूद है, इसलिए यह ही सही उत्तर है। बाकी विकल्पों में क्रमशः \(10x\), \(2x\) और \(x\) हैं — ये सभी रैखिक (degree 1) पद हैं, न कि द्विघात। समीपतम भ्रम (जैसे विकल्प A) इसलिए गलत है क्योंकि \(10x\) में घात 1 है, न कि 2। परीक्षा युक्ति: किसी भी विकल्प में केवल तभी द्विघात मानें जब पद में स्पष्ट रूप से \(x^2\) या समकक्ष घात‑2 दिया हो। / A quadratic term is the term where the variable has exponent 2, i.e. contains \(x^2\). Option C explicitly has \(4x^2\), so it is correct. The other options contain \(10x\), \(2x\) and \(x\), which are linear (degree 1) terms and not quadratic. The closest possible confusion could be mistaking a large coefficient (like 10 in option A) for a squared term, but the exponent must be 2. Exam tip: always check the exponent on x — only an explicit \(x^2\) (or equivalent) makes the term quadratic.
बोला गया सिद्धान्त: किसी बहुपद या समीकरण की 'घात' (degree) उस समीकरण में चर के सबसे बड़े घातांक से मापी जाती है। यदि सबसे बड़ा घात \(2\) है तो वह द्विघात समीकरण कहलाता है और उसे सामान्य रूप में \(ax^2+bx+c=0\) से दिखाया जाता है। विकल्प A (रैखिक) गलत है क्योंकि रैखिक समीकरण की सबसे बड़ी घात \(1\) होती है; विकल्प C (घन) गलत है क्योंकि घन समीकरण की सबसे बड़ी घात \(3\) होती है। विकल्प D चर न होने पर होता है जिसकी घात \(0\) होती है। परीक्षा युक्ति: पहले समीकरण को मानक रूप में लाकर (अगर आवश्यक हो तो सरलीकृत करके) चर के सबसे बड़े घात को खोजें। / Core concept: The degree of an equation/polynomial is the highest exponent of the variable. If that highest exponent is \(2\), the equation is called a quadratic equation and is usually written as \(ax^2+bx+c=0\). Option A is wrong because linear equations have degree \(1\). Option C is wrong because cubic equations have degree \(3\). Option D refers to a constant (no variable), which has degree \(0\). Exam tip: Always simplify and write the expression in standard polynomial form, then read off the largest exponent to determine the degree.
समीकरण को गुणनखंडों में बाँटा जा सकता है: \(x^2-3x-10=(x-5)(x+2)\). इसलिए समीकरण के हल \(x=5\) और \(x=-2\) हैं। विकल्प \(5\) पर जाँच: \(5^2-3\cdot5-10=25-15-10=0\), अतः \(x=5\) हल है। निकटतम भ्रान्तिदायक विकल्प \(2\) पर जाँच करने से पता चलता है कि \(2^2-3\cdot2-10=4-6-10=-12\) जो शून्य नहीं है, इसलिए यह हल नहीं है। परीक्षा युक्ति: पहले समीकरण को फैक्टर करने की कोशिश करें — सही फैक्टर मिलते ही हल तुरंत मिल जाते हैं। / Factor the quadratic: \(x^2-3x-10=(x-5)(x+2)\). Thus the roots are \(x=5\) and \(x=-2\). Checking \(5\): \(5^2-3\cdot5-10=25-15-10=0\), so \(x=5\) is a solution. A common distractor is \(2\); checking shows \(2^2-3\cdot2-10=4-6-10=-12\), not zero, so it is not a root. Exam tip: try factoring first; if factoring is hard use substitution or the quadratic formula to verify candidates quickly.
\(x^2+10x+25\) एक पूर्ण वर्ग त्रिघात है क्योंकि यह सूत्र \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) का रूप है। यदि हम \(a=x\) और \(b=5\) लें तो \((x+5)^2=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=x^2+10x+25\) मिलता है, अतः सही गुणनखंड रूप \((x+5)^2=0\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \((x-5)^2\) गलत है क्योंकि \((x-5)^2=x^2-10x+25\) में मध्य पद \(-10x\) होगा, न कि \(+10x\)। परीक्षा टिप: मध्य पद की संख्या को \(2ab\) के बराबर परखें — साइन (±) पर ध्यान दें। / \(x^2+10x+25\) is a perfect square trinomial of the form \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Taking \(a=x\) and \(b=5\) gives \((x+5)^2=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=x^2+10x+25\), so the factorised form is \((x+5)^2=0\). The closest distractor \((x-5)^2\) is incorrect because \((x-5)^2=x^2-10x+25\), which has \(-10x\) instead of \(+10x\). Exam tip: compare the middle term with \(2ab\) and check the sign to identify the correct binomial square.
सामान्य रूप \(ax^{2}+bx+c=0\) में \(a\) को \(x^{2}\) का गुणांक कहा जाता है. दिए गए समीकरण \( -2x^{2}+5x-1=0 \) में \(x^{2}\) का गुणांक \(-2\) है, अतः \(a=-2\). विकल्प A (2) भ्रमित करने वाला है क्योंकि वह चिह्न को उल्टा कर देता है — चिह्न पहचानना आवश्यक है। परीक्षा टिप: हमेशा पहले समीकरण को सामान्य रूप से पढ़ें और \(x^{2}\), \(x\), तथा स्वतंत्र पद की गुणांकों को क्रम से पहचानें। / In the standard form \(ax^{2}+bx+c=0\), \(a\) is the coefficient of \(x^{2}\). In \( -2x^{2}+5x-1=0 \) the coefficient of \(x^{2}\) is \(-2\), so \(a=-2\). Option A (2) is a common trap that ignores the negative sign. Exam tip: write the equation in the form \(ax^{2}+bx+c=0\) first and read off the coefficients including their signs.
जब \(x^2\) के आगे कोई संख्या नहीं लिखी होती तब गुणांक (1) होता है। यह अक्सर पूछी जाने वाली बात है। / When no number is written before \(x^2\), its coefficient is (1). This is often asked.
दोनों द्विपादों को गुणा करें: \((x-6)(x+2)=x^2+2x-6x-12=x^2-4x-12\)। इसलिए मानक रूप \((x^2-4x-12=0)\) है। विकल्प B में मध्य पद का संकेत उल्टा है (+4x जो गलत है), और विकल्प C में मध्य पद \(-8x\) गलत जोड़‑घटाव का परिणाम है। परीक्षा टिप: FOIL (First, Outer, Inner, Last) या व्यवस्थित रूप से हर पद को गुणा करके समान पदों को जोड़ें। / Multiply the factors: \((x-6)(x+2)=x^2+2x-6x-12=x^2-4x-12\). Thus the standard form is \((x^2-4x-12=0)\). Option B has the wrong sign on the x-term (+4x instead of -4x); option C shows -8x which results from incorrect addition of like terms. Exam tip: Use FOIL or multiply term-by-term and then combine like terms carefully.
गुणा करते समय हर पद को गुणा करें: \((x+4)(x+5)=x\cdot x + x\cdot5 + 4\cdot x + 4\cdot5 = x^2+5x+4x+20\). समरूप पद जोड़ने पर मिलता है \(x^2+9x+20=0\)। विकल्प D में स्थायी पद का चिह्न गलत है (\(-20\) दिया गया), और विकल्प B एवं C में क्रम/सहगुणक गलत हैं, इसलिए वे असंगत उत्तर हैं। परीक्षा टिप: द्विपद गुणा करते समय 'पहला, बाहरी, आंतरिक, आख़िरी' (FOIL) क्रम अपनाएँ और फिर समान पद जोड़ें। / Multiply each term: \((x+4)(x+5)=x\cdot x + x\cdot5 + 4\cdot x + 4\cdot5 = x^2+5x+4x+20\). Combining like terms gives \(x^2+9x+20=0\), so option A is correct. Distractors fail due to sign or coefficient errors (D has the constant as \(-20\); B and C have incorrect coefficients/signs). Exam tip: use FOIL (first, outer, inner, last) or multiply term-by-term and then combine like terms to avoid sign mistakes.
कौशल: बिंदु-वितरण (distributive property)। \(2x(x+7)\) में \(2x\) को द्वयात्मक कोष्ठक के दोनों पदों पर गुणा करें: \(2x\cdot x=2x^2\) और \(2x\cdot7=14x\)। अतः मानक रूप होगा \(2x^2+14x=0\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(2x^2-14x=0\) साइन की गलती है (\(+14x\) को गलत तरीके से \(-14x\) लिया गया)। अन्य विकल्पों में \(14x^2+2x=0\) में गुणांक उल्टे हैं और \(2x+7=0\) एक रैखिक समीकरण है, न कि द्विघात। परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले गुणा कर के सारांश रूप \(ax^2+bx+c=0\) में ले आएँ और फिर गुणांक निर्धारित करें। / Core idea: use the distributive property. Multiply \(2x\) across the bracket: \(2x\cdot x=2x^2\) and \(2x\cdot7=14x\), giving \(2x^2+14x=0\). The closest distractor \(2x^2-14x=0\) is wrong because the sign of the linear term is incorrect. Option \(14x^2+2x=0\) swaps coefficients and is not equivalent; \(2x+7=0\) is linear, not quadratic. Exam tip: always expand and collect like terms to write the equation as \(ax^2+bx+c=0\) before choosing the answer.
