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C. कोई वास्तविक मूल नहीं होता/It has no real roots
Explanation
Simple Explanation
(D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। विवेचक नकारात्मक हो तो वास्तविक संख्या रेखा पर मूल नहीं मिलते। / When (D<0), there are no real roots. A negative discriminant gives no roots on the real number line.
यदि \(D=b^2-4ac=0\) है तो द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान (equal) और वास्तविक होंगे। ऐसे दो समान मूल का मान \(x=-\dfrac{b}{2a}\) होता है। विकल्प A निकटभ्रांति है क्योंकि \(D>0\) होने पर ही दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं; विकल्प C गलत है क्योंकि \(D<0\) होने पर ही वास्तविक मूल नहीं होते; विकल्प D असंभव है क्योंकि द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल होते हैं। परीक्षा टिप: हमेशा पहले \(D=b^2-4ac\) निकालकर उसे 0, >0, या <0 से तुलना करें। / When \(D=b^2-4ac=0\), the quadratic has two equal (repeated) real roots. The common root equals \(x=-\dfrac{b}{2a}\). Option A is a close distractor — two distinct real roots occur only when \(D>0\). Option C is wrong because no real roots occur only when \(D<0\). Option D is impossible since a quadratic cannot have three roots. Exam tip: compute \(D\) first and compare it with 0 to decide the nature of roots.
(D>0) होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। विवेचक का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है। / When (D>0), the equation has two distinct real roots. The sign of the discriminant tells the nature of roots.
विवेचक को सामान्यतः \(D\) से दर्शाया जाता है और इसकी मानक अभिव्यक्ति \(D=b^2-4ac\) है। यह गुण बताता है कि समीकरण की मूलें वास्तविक और भिन्न हैं (यदि \(D>0\)), द्वि-सम (यदि \(D=0\)) या क्रमिक/समिश्र (यदि \(D<0\)) हैं। विकल्प B (\(b^2+4ac\)) में चिन्ह गलत है इसलिए वह विवेचक नहीं हो सकता; विकल्प A व D में प्रतीकों के स्थान बदल दिए गए हैं और वे भी सही नहीं हैं। परीक्षा-टिप: हमेशा \(a, b, c\) को समीकरण से सही तरह से पहचानें और फिर \(b^2-4ac\) में रखें। / The discriminant is denoted by \(D\) and is given by \(D=b^2-4ac\). It determines the nature of the roots: two distinct real roots if \(D>0\), one repeated real root if \(D=0\), and two complex conjugate roots if \(D<0\). Option B has the wrong sign (\(+4ac\) instead of \(-4ac\)), while options A and D mix up the coefficients and are not the standard discriminant. Exam tip: correctly identify \(a,b,c\) from the equation and substitute into \(b^2-4ac\) to avoid sign errors.
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(m-2\neq 0\) यानी \(m\neq 2\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(m-2\neq 0\), so \(m\neq 2\).
प्रतिस्थापन द्वारा जाँच करें: \(0^2+5\cdot0=0\) प्राप्त होता है, अतः \(x=0\) समीकरण को शून्य बनाता है और इसलिए यह एक मूल है। वैकल्पिक रूप से समीकरण को गुणनखंडित करें: \(x^2+5x=x(x+5)=0\) से मूल \(x=0\) और \(x=-5\) मिलते हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=5\) रखने पर \(25+25\neq0\)। विकल्प D आंशिक रूप से भ्रामक है — \(x=-5\) मूल है पर केवल वही मूल नहीं है। परीक्षा सुझाव: किसी भी संभावित मूल की जाँच के लिए पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन करो; अगर संभव हो तो सामान्यीकृत रूप से गुणनखंड कर दो। / Check by substitution: \(0^2+5\cdot0=0\), so \(x=0\) makes the equation zero and is therefore a root. Factoring gives \(x^2+5x=x(x+5)=0\), so the roots are \(x=0\) and \(x=-5\). Option C is wrong because \(x=5\) yields \(25+25\neq0\). Option D is misleading: \(x=-5\) is a root but not the only one. Exam tip: verify roots by direct substitution or factor the quadratic (look for a common factor first).
मोनिक द्विघात का अर्थ है कि \(x^2\) का गुणांक 1 हो। विकल्प A में समीकरण \(x^2+5x+6=0\) में \(x^2\) का गुणांक स्पष्ट रूप से 1 है, इसलिए यह मोनिक है। निकटतम विसंगति वाला विकल्प B है क्योंकि उसमें भी द्विघातीय रूप है परंतु \(x^2\) का गुणांक 2 है, इसलिए वह मोनिक नहीं है। परीक्षा टिप: किसी द्विघात समीकरण के मोनिक होने की जाँच के लिए केवल \(x^2\) का गुणांक देखें — यदि वह 1 है तो मोनिक है। / A monic quadratic has the coefficient of \(x^2\) equal to 1. In option A, \(x^2+5x+6=0\) has coefficient 1 for \(x^2\), so it is monic. The closest distractor is option B because it is also a quadratic but has coefficient 2 for \(x^2\), so it is not monic. Exam tip: to identify a monic quadratic quickly, check only the coefficient of \(x^2\); if it is 1, the quadratic is monic.
शुद्ध द्विघात समीकरण का सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) में बिंदु 'shuddh' से आशय यह है कि मध्य का रैखिक पद अनुपस्थित हो यानी \(b=0\)। इसलिए शुद्ध रूप \(ax^2+c=0\) होता है। विकल्प \(\,4x^2-9=0\,\) में रैखिक पद (\(x\) का पद) नहीं है इसलिए यह शुद्ध द्विघात है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प \(x^2+2x+1=0\) द्विघात है पर शुद्ध नहीं क्योंकि इसमें \(2x\) (रैखिक) पद मौजूद है। परीक्षा-सूत्र: किसी भी समीकरण में शुद्ध द्विघात पहचानने के लिए \(x\) का गुणांक देखें — यदि वह शून्य है तो वह शुद्ध द्विघात है। / A pure quadratic equation has the form \(ax^2+bx+c=0\) with the linear coefficient \(b=0\), so it reduces to \(ax^2+c=0\). In \(4x^2-9=0\) there is no \(x\) term, so it is a pure quadratic. The closest distractor, \(x^2+2x+1=0\), is a quadratic but not pure because of the \(2x\) term. Exam tip: check the coefficient of \(x\); if it is zero (or the \(x\) term is absent) the equation is a pure quadratic.
द्विघात पद वह होता है जिसमें चर का घात 2 हो, यानी पद में \(x^2\) शामिल हो। समीकरण \(6x^2 - x + 5 = 0\) में केवल \(6x^2\) में ही \(x^2\) है, इसलिए यह द्विघात पद है। निकटवर्ती ग़लत विकल्पों में \(-x\) और \(x\) रेखीय पद हैं (घात 1) और \(5\) एक नियतांक (घात 0) है। परीक्षा टिप: किसी पद का घात देखकर तुरंत पहचान लें — जिस पद में \(x^2\) होगा वही द्विघात पद होगा। / A quadratic term is the term in which the variable has exponent 2 (i.e. contains \(x^2\)). In the equation \(6x^2 - x + 5 = 0\), only \(6x^2\) contains \(x^2\), so it is the quadratic term. The distractors \(-x\) and \(x\) are linear terms (exponent 1) and \(5\) is a constant (exponent 0). Exam tip: check the exponent of the variable — the term with \(x^2\) is the quadratic term.
स्थिर पद वह पद होता है जिसमें चर (x) नहीं होता। समीकरण \(2x^2+3x-8\) में केवल \(-8)\) ऐसा पद है जिसमें x नहीं है, इसलिए स्थिर पद \(-8)\) है। विकल्प C (8) भ्रमित करने वाला है लेकिन सही नहीं है क्योंकि यहाँ स्थिर पद का संकेत ऋणात्मक है। परीक्षा सुझाव: स्थिर पद पहचानने के लिए हर पद देखें — जिसमें x नहीं आता वही स्थिर पद होगा और संकेत का ध्यान रखें। / The constant term is the term that does not contain the variable x. In \(2x^2+3x-8\) the only term without x is \(-8\), so the constant term is \(-8\). Option C (8) is a common distractor but incorrect because the sign is negative. Exam tip: to find the constant quickly, scan for the term with no x and pay attention to its sign.
इसमें (x) वाला पद नहीं है इसलिए रैखिक पद (0x) माना जाता है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) होता है। / There is no (x) term, so the linear term is considered (0x). A missing term has coefficient (0).
मानक रूप के लिए सभी पदों को एक ही ओर लाकर \(ax^2+bx+c=0\) में लिखते हैं। सुरुचि से देखें: \(4 = 3x - x^2\)। दाएँ पक्ष के पदों को बाएँ तरफ लाने पर \(-x^2\) का चिह्न बदलकर \(+x^2\) और \(+3x\) का चिह्न बदलकर \(-3x\) हो जाएगा; स्थिर पद \(+4\) वैसे ही रहेगा। अतः मानक रूप \(x^2-3x+4=0\) होता है। विकल्प C (\(x^2-3x-4=0\)) सबसे भ्रमित करने वाला है क्योंकि उसमें केवल स्थिर पद का चिह्न गलत है; विकल्प B और D में मध्य पद या दोनों पदों के चिह्न गलत हैं। परीक्षात्मक सुझाव: हमेशा सभी पदों को एक तरफ लाकर पहले \(ax^2\), फिर \(bx\), फिर \(c\) का क्रम रखें और हर पद का चिह्न जाँचें। / To write in standard form bring all terms to one side as \(ax^2+bx+c=0\). From \(4 = 3x - x^2\), moving the right-hand terms to the left changes signs: \(-x^2\) becomes \(+x^2\), \(+3x\) becomes \(-3x\), and \(+4\) stays. So the standard form is \(x^2-3x+4=0\). The closest distractor is option C (\(x^2-3x-4=0\)) which has the constant term sign wrong; option B has the sign of the linear term wrong. Exam tip: always rearrange to \(ax^2+bx+c=0\) and check sign changes when moving terms across ‘=’.
\(x^2\) के साथ लगा गुणांक (5) है। गुणांक लिखते समय केवल पद के साथ लगा संख्यात्मक भाग लें। / The coefficient attached to \(x^2\) is (5). While writing a coefficient, take the numerical part attached to the term.
द्विघात समीकरण की घात (2) होती है इसलिए अधिकतम (2) मूल हो सकते हैं। घात और अधिकतम मूल की संख्या को जोड़कर याद रखें। / A quadratic equation has degree (2), so it can have at most (2) roots. Remember degree and maximum number of roots together.
D. क्योंकि सबसे बड़ी घात (1) है/Because the highest power is (1)
Explanation
Simple Explanation
(3x+2=0) में (x) की सबसे बड़ी घात (1) है। द्विघात के लिए सबसे बड़ी घात (2) होनी चाहिए। / In (3x+2=0), the highest power of (x) is (1). A quadratic equation must have highest power (2).
वर्ग का अर्थ \(x^2\) और (3) गुना का अर्थ (3x) है। शब्द प्रश्न में वाक्य को धीरे-धीरे समीकरण में बदलें। / Square means \(x^2\) and (3) times means (3x). In word problems, convert the sentence slowly into an equation.
यदि हम \(x=2\) रखते हैं तो \(2^2-4=4-4=0\) मिलता है, इसलिए \(x=2\) समीकरण का मूल है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=-2\) भी परखने पर \((-2)^2-4=4-4=0\) देता है—अर्थात् दोनों \(x=2\) और \(x=-2\) मूल हैं, इसलिए 'केवल \(x=-2\)' कहना गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी प्रत्याशित मूल की जाँच करने के लिए उसे समीकरण में स्थानापन्न करें और परिणाम \(0\) आया या नहीं देखें। / Substituting \(x=2\) gives \(2^2-4=4-4=0\), so \(x=2\) is indeed a root. Option C is incorrect because \(x=-2\) also satisfies the equation (\((-2)^2-4=0\)), so it is false to claim 'only \(x=-2\)' is a root — both \(2\) and \(-2\) are roots. Exam tip: To check a candidate root, substitute it into the polynomial and verify the result equals \(0\).
द्विघात समीकरण वह होता है जिसका उच्चतम घात‑क्रम \(x^2\) हो और उसका गुणांक शून्य न हो। यदि \(a=0\) हो जाए तो पद \(x^2\) समाप्त होकर समीकरण \(bx+c=0\) बनकर रेखीय हो जाएगा, इसलिए आवश्यक शर्त \(a\neq 0\) है। विकल्प B (\(a<0\)) गलत है क्योंकि \(a\) को ऋण होना अनिवार्य नहीं है — \(a\) धनात्मक भी हो सकता है; विकल्प D (\(a=1\)) गलत है क्योंकि वह केवल एक विशेष मामला है, पर आवश्यक नहीं। परीक्षा-सूत्र: किसी बहुपद की डिग्री तय करने से पहले हमेशा ऊँचे घात के पद का गुणांक \(\neq 0\) जांचें। / A quadratic must have a nonzero coefficient for the highest power \(x^2\). If \(a=0\), the \(x^2\) term disappears and the equation reduces to the linear form \(bx+c=0\). Thus the required condition is \(a\neq 0\). Option B (\(a<0\)) is incorrect because \(a\) need not be negative; it can be positive. Option D (\(a=1\)) is only a special case, not a necessity. Exam tip: to confirm the degree of a polynomial, always check that the coefficient of the highest-power term is nonzero.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) के अनुसार समीकरण \(x^2-5x+6=0\) में \(x^2\) का गुणांक 1 है, इसलिए \(a=1\)। \(x\) के साथ वाला गुणांक \(-5\) है, अतः \(b=-5\)। स्वतंत्र पद 6 है, इसलिए \(c=6\)। विकल्प B में केवल \(b\) का चिह्न गलत है (सामान्य त्रुटि: संकेत भूल जाना)। विकल्प C में \(a\) का चिह्न गलत है और विकल्प D में पदों का क्रम बदल दिया गया है। परीक्षात्मक सुझाव: किसी भी द्विघात में पहले \(x^2\) का गुणांक देखें और हर पद का संकेत ध्यान से लिखें। / Compare with the standard form \(ax^2+bx+c=0\). Here the coefficient of \(x^2\) is 1 so \(a=1\); the coefficient of \(x\) is -5 so \(b=-5\); the constant term is 6 so \(c=6\). Option B is a common sign-mistake (it shows \(b=5\) instead of \(-5\)). Option C incorrectly negates \(a\), and D has the terms permuted. Exam tip: always identify the coefficient of \(x^2\) first and copy signs exactly from the equation.
इस समीकरण में (x) की सबसे बड़ी घात (2) है। घात हमेशा चर की सबसे बड़ी शक्ति से तय होती है। / The highest power of (x) in this equation is (2). Degree is decided by the greatest power of the variable.
द्विघात समीकरण वह होता है जिसका उच्चतम घात 2 हो और वह बहुपद (polynomial) रूप में हो। विकल्प A में उच्चतम घात 2 है इसलिए यह द्विघात समीकरण है। विकल्प B में उच्चतम घात 1 है (रेखीय समीकरण), विकल्प C में उच्चतम घात 3 है (घनक समीकरण), और विकल्प D बहुपद नहीं है क्योंकि उसमें चर हर (denominator) में है; इसे बहुपद रूप में नहीं माना जा सकता। परीक्षा-सूत्र: सबसे पहले दिए गए समीकरण का उच्चतम घात देखें और सुनिश्चित करें कि समीकरण बहुपद के रूप में है। / A quadratic equation is a polynomial equation whose highest power (degree) of the variable is 2. In option A the highest power is 2, so it is quadratic. Option B is linear (degree 1). Option C is cubic (degree 3). Option D is not a polynomial because the variable appears in the denominator, so it cannot be a quadratic. Exam tip: first check the highest exponent and ensure the expression is a polynomial (no variables in denominators).
द्विघात समीकरण में (x) की सबसे बड़ी घात (2) होती है और \(a\neq 0\) होता है। परीक्षा में पहले मानक रूप पहचानें। / A quadratic equation has highest power (2) of (x) and \(a\neq 0\). In exams identify the standard form first.
संख्या का वर्ग \(x^2\) और (5) गुने से (6) अधिक (5x+6) है। इसलिए समीकरण \(x^2=5x+6\) बनेगा। / The square is \(x^2\), and (6) more than (5) times the number is (5x+6). So the equation is \(x^2=5x+6\).
\(x=-1\) को समीकरण में रखो: \((-1)^2 + m(-1) - 6 = 0\)। यह बनता है \(1 - m - 6 = 0\) यानी \(-m - 5 = 0\)। अत: \(m = -5\)। विकल्प 5 सामान्य साइन-त्रुटि है (\(m=5\) होने पर समीकण संतुष्ट नहीं होगा)। परीक्षा संकेत: किसी दिए गए मूल को सीधे समीकरण में रखकर चरण-दर-चरण सरल करें — खासकर घात और ऋणात्मक चिह्नों पर ध्यान दें। / Substitute \(x=-1\) into the equation: \((-1)^2 + m(-1) - 6 = 0\). This gives \(1 - m - 6 = 0\), i.e. \(-m - 5 = 0\). Therefore \(m = -5\). The option 5 arises from forgetting the negative sign on \(m\); if \(m=5\) the equation is not satisfied. Exam tip: Always substitute the root directly and simplify carefully, paying attention to signs and powers.
(2x+1)(x-4) को गुणा करें: 2x·x = 2x-2, 2x·(−4) = −8x, 1·x = x, 1·(−4) = −4। इनके योग से 2x-2 −8x + x −4 = 2x-2 −7x −4 मिलता है, इसलिए सही विकल्प 2x-2−7x−4=0 है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों में से B में मध्यम पद का चिन्ह गलत है (+7x के बजाय −7x), और D में स्थिर पद का चिन्ह गलत है (+4 के बजाय −4)। परीक्षा टिप: हर पद को क्रम से गुणा करें और फिर समरूप पदों को जोड़ें; स्थिर पद का चिन्ह हमेशा दोनों स्थिर पदों के गुणन से आएगा। / Multiply term-by-term: 2x·x = 2x-2, 2x·(−4) = −8x, 1·x = x, 1·(−4) = −4. Adding gives 2x-2 −8x + x −4 = 2x-2 −7x −4, so option A is correct. Closest distractors are wrong due to sign or constant errors (B has +7x instead of −7x; D has +4 instead of −4). Exam tip: multiply each term carefully and combine like terms; verify the constant by multiplying the constant terms of the binomials.
D. इसमें हमेशा \\(c\ne0\\) होना चाहिए/It must always have \\(c\ne0\\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार द्विघात समीकरण की सर्वोच्च घात \\(2\\) होती है और इसे मानक रूप में \\(ax^2+bx+c=0\\) लिखा जाता है जहाँ आवश्यक शर्त यही है कि \\(a\ne0\\)। परंतु \\(c\\) का मान शून्य भी हो सकता है — उदाहरण के लिए \\(ax^2+bx=0\\) या \\(ax^2=0\\) भी द्विघात समीकरण के रूप में गिने जाते हैं। इसलिए विकल्प D गलत है। निकट का भ्रामक विकल्प C नहीं है क्योंकि \\(a=0\\) होने पर घात घटकर 1 हो जाएगा। परीक्षा-सुझाव: किसी कथन की सत्यता पर संदेह होने पर एक सरल उदाहरण लेकर जाँचें, जैसे \\(x^2+2x=0\\)। / By definition a quadratic equation has degree \\(2\\) and is written in standard form \\(ax^2+bx+c=0\\) with the necessary condition \\(a\ne0\\). The constant term \\(c\\) can be zero (e.g. \\(ax^2+bx=0\\) or \\(ax^2=0\\)), so it is not required that \\(c\ne0\\). Hence option D is false. The common misconception is thinking every coefficient must be nonzero; that would make it not generally quadratic. Exam tip: verify statements by substituting a simple example such as \\(x^2+2x=0\\).
द्विघात पद का गुणांक ((k-1)) है जो (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(k\neq1\) होना जरूरी है। / The coefficient of the quadratic term is ((k-1)), which must not be (0). Hence \(k\neq1\) is necessary.
यहाँ
\((x+3)^2 = x^2+6x+9\)। अब दोनों ओर से 25 घटाने पर स्थायी पद बनता है \(9-25=-16\)। इसलिए मानक रूप होगा \(x^2+6x-16=0\)। विकल्प B में नियत पद का संकेत उल्टा है (यह +16 देता है), जबकि विकल्प C और D में x के गुणांक या स्थायी पद गलत हैं। परीक्षा-टिप: परिपूर्ण वर्ग को पहले विस्तार करें, फिर दाएँ पक्ष को बाएँ पक्ष पर लाकर सदिश पदों को समेकित करें। / Expand the perfect square: \((x+3)^2 = x^2+6x+9\). Subtract 25 from both sides: \(9-25=-16\), giving \(x^2+6x-16=0\). Thus option A is correct. Option B has the wrong sign on the constant (+16 instead of -16). Options C and D have incorrect coefficients for x or the constant term. Exam tip: always expand the square first, move all terms to one side and then combine like terms to reach the standard form.
सही मानक रूप \(x^2-6x-7=0\) है। विकल्प (B) में दाईं ओर के पदों के चिन्ह नहीं बदले गए। / The correct standard form is \(x^2-6x-7=0\). In option (B), the signs of the right-side terms were not changed.
सम के लगातार सम संख्याएँ एक-दूसरे से 2 से भिन्न होती हैं, इसलिए यदि छोटी संख्या x है तो अगली सम संख्या x+2 होगी। इसलिए गुणनफल के लिए समीकरण \(x(x+2)=48\) बनेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x+1\) लगातार पूर्णांकों के लिए सही है पर सम संख्याओं के लिए नहीं। विकल्प C गलत है क्योंकि वह गुणनफल नहीं बल्कि योग दर्शाता है। विकल्प D गलत है क्योंकि वह किसी भी तरह दोनों संख्याओं का गुणनफल दर्शाता नहीं; यह केवल 2x के बराबर 48 मानता है। परीक्षा टिप: "लगातार सम" से दूरी 2 होती है—पहले यह पंक्ति लिखें (x और x+2) और फिर गुणनफल या योग के अनुसार समीकरण बनायें। / Consecutive even numbers differ by 2, so if the smaller is x the next is x+2. The product equation is therefore \(x(x+2)=48\). Option B is incorrect because \(x+1\) represents consecutive integers, not consecutive even numbers. Option C is wrong because it gives a sum, not a product. Option D is incorrect because \(2x=48\) does not represent the product of two different consecutive even numbers. Exam tip: explicitly write the two numbers (x and x+2) first, then form the product or sum as stated in the problem.
