Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(k+1\neq 0\), अर्थात \(k\neq -1\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(k+1\neq 0\), so \(k\neq -1\).
गुणा करने पर \(2x^2+8x-3x-12=0\), इसलिए \(2x^2+5x-12=0\) मिलता है। मध्य पदों को सही जोड़ना परीक्षा में जरूरी है। / Multiplying gives \(2x^2+8x-3x-12=0\), so \(2x^2+5x-12=0\). Adding middle terms correctly is important in exams.
क्षेत्रफल (x(x+3)=10) होगा जिससे \(x^2+3x-10=0\) मिलता है। ज्यामिति प्रश्न में सूत्र से समीकरण बनाएं। / The area is (x(x+3)=10), which gives \(x^2+3x-10=0\). In geometry questions, form the equation using the formula.
D. हाँ क्योंकि \(x^2\) का गुणांक (2) है/Yes because the coefficient of \(x^2\) is (2)
Explanation
Simple Explanation
\(2x^2=0\) में \(x^2\) का गुणांक \(2\neq 0\) है। रैखिक और स्थिर पद न होने पर भी यह द्विघात हो सकता है। / In \(2x^2=0\), the coefficient of \(x^2\) is \(2\neq 0\). It can be quadratic even without linear and constant terms.
मानक रूप में \(x^2\) पद, (x) पद और स्थिर पद हो सकते हैं। इसलिए अधिकतम (3) पद होते हैं। / The standard form may contain the \(x^2\) term, the (x) term, and the constant term. So the maximum number of terms is (3).
A. हाँ क्योंकि \(x^2\) का गुणांक (1) है/Yes because the coefficient of \(x^2\) is (1)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+4=0\) में \(x^2\) का गुणांक (1) है इसलिए यह द्विघात है। वास्तविक मूल होना द्विघात होने की शर्त नहीं है। / In \(x^2+4=0\), the coefficient of \(x^2\) is (1), so it is quadratic. Having real roots is not a condition for being quadratic.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में \(x^2\) के सामने जो गुणांक है वह \(a\) है। गुणांक का अर्थ उस पद के आगे वाला संख्यात्मक गुणन है; यदि \(a=0\) होता तो समीकरण द्विघात नहीं रहता। विकल्प A (\(b\)) गलत है क्योंकि \(b\) \(x\) का गुणांक है, विकल्प C (\(c\)) स्वतन्त्र पद है और विकल्प D (\(x\)) स्वयं चर है, गुणांक नहीं। परीक्षा टिप: किसी दिए समीकरण को द्विघात मानने के लिए पहले यह सुनिश्चित करें कि \(a\neq0\)। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), the coefficient of \(x^2\) is \(a\). The coefficient is the number multiplying that power of \(x\); if \(a=0\) the equation would not be quadratic. Option A (\(b\)) is incorrect because \(b\) is the coefficient of \(x\); option C (\(c\)) is the constant term; option D (\(x\)) is the variable itself. Exam tip: always check that the leading coefficient \(a\) is nonzero when identifying a quadratic equation.
चर (y) की सबसे बड़ी घात (2) है इसलिए यह (y) में द्विघात है। चर कोई भी हो सकता है पर घात (2) होनी चाहिए। / The highest power of (y) is (2), so it is quadratic in (y). The variable may be different, but the degree must be (2).
इसमें (x) वाला पद नहीं है इसलिए रैखिक पद अनुपस्थित है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) माना जाता है। / There is no (x) term, so the linear term is absent. The coefficient of a missing term is considered (0).
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में दिए गए मान रखने पर हमें \(3x^2+0x-12=0\) मिलता है। \(0x\) का अर्थ है कि x वाला पद अनुपस्थित है, इसलिए समीकरण सरल कर के \(3x^2-12=0\) लिखते हैं। और यदि चाहें तो दोनों ओर को 3 से भाग देकर \(x^2-4=0\) भी प्राप्त कर सकते हैं। निकटतम विचलन (option C) में \(-12x\) दिया है जो गलत है क्योंकि यहाँ \(b=0\)। option B में संकेत गलत है और option D में सहगुणांक आपस में बदल दिए गए हैं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले मानों को \(ax^2+bx+c=0\) में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापित करें और फिर सामान्यीकृत करें; अगर संभव हो तो सामान्य भाजक से भाग दें। / Use the standard form \(ax^2+bx+c=0\). Substituting gives \(3x^2+0x-12=0\), and since the \(x\)-term is absent this simplifies to \(3x^2-12=0\). You can further divide by 3 to get \(x^2-4=0\). Closest distractors fail for clear reasons: option C wrongly includes a \(-12x\) term (but \(b=0\)), option B has the wrong sign on the constant, and option D swaps coefficients. Exam tip: always substitute coefficients carefully and then simplify; check whether the \(x\)-term should be present when \(b=0\).
यदि \(x=2\) दिया गया मूल है तो उसे समीकरण में रखें: \(2^2+k\cdot2+2=0\) अर्थात \(4+2k+2=0\). इससे \(2k=-6\) और अतः \(k=-3\). विकल्प A (3) गलत है क्योंकि उसके स्थान पर रखने पर किनारे शून्य नहीं मिलेगा (\(4+6+2=12\)). विकल्प D (\(-2\)) भी गलत है क्योंकि वह देने पर शेषफल \(2\) मिलता है (\(4-4+2=2\)). परीक्षा युक्ति: किसी भी दिए गए मूल के लिए सीधे उस मान को बहुपद में रखने से ही \(k\) आसानी से मिल जाता है (Factor Theorem)। / Substitute the root \(x=2\) into the polynomial: \(2^2+k\cdot2+2=0\) so \(4+2k+2=0\). Thus \(2k=-6\) and \(k=-3\). Option A (3) is incorrect because substituting 3 gives \(4+6+2=12\neq0\). Option D (\(-2\)) is also wrong since it yields \(4-4+2=2\neq0\). Exam tip: use direct substitution or the Factor Theorem — if \(x=a\) is a root then the polynomial evaluated at \(a\) equals zero.
\((x+1)^2\) को गुणा करके फैलाने पर मिलता है \(x^2 + 2x + 1\)। सामान्य द्विघात रूप वह होता है जिसमें सभी पद एक ओर और शून्य दूसरी ओर हों, अतः मानक रूप \(x^2 + 2x + 1 = 0\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x^2 - 2x + 1\) actually \((x-1)^2\) का विस्तार है, और विकल्प A तथा D आवश्यक मध्यवर्ती या रेखीय पद को गलत रूप में दिखाते हैं। परीक्षा टिप: बाइनोमियल वर्ग का सूत्र \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) याद रखें — तुरंत विस्तार कर के शून्य के बराबर रख दें। / Expanding \((x+1)^2\) gives \(x^2 + 2x + 1\). The standard quadratic form places all terms on one side equal to zero, so the correct form is \(x^2 + 2x + 1 = 0\). Option B is incorrect because \(x^2 - 2x + 1\) is the expansion of \((x-1)^2\); options A and D omit or alter the linear term. Exam tip: use the identity \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) to expand quickly and then set the expression equal to zero.
D. क्योंकि इसमें \(\sqrt{x}\) पद है/Because it has a \(\sqrt{x}\) term
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x}\) चर की भिन्न घात दिखाता है इसलिए यह सामान्य द्विघात रूप में नहीं है। द्विघात में केवल \(x^2\), (x) और स्थिर पद होते हैं। / The term \(\sqrt{x}\) shows a fractional power of the variable, so it is not in usual quadratic form. A quadratic equation has only \(x^2\), (x), and constant terms.
A. क्योंकि इसमें (x) की ऋणात्मक घात है/Because it has a negative power of (x)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है जो बहुपद रूप नहीं है। द्विघात समीकरण में चर की ऋणात्मक घात नहीं होती। / \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), which is not polynomial form. A quadratic equation cannot have a negative power of the variable.
\(3x^2+1=0\) में सबसे बड़ी घात (2) है। द्विघात पहचानने के लिए चर की घात देखें। / In \(3x^2+1=0\), the highest power is (2). To identify a quadratic equation, look at the power of the variable.
दाएँ पक्ष \(6x\) को बाएँ पक्ष में स्थानान्तरित करने पर चिन्ह बदलता है और हमें \(x^2-6x=0\) मिलता है। मानक रूप वह होता है जिसमें सभी पद एक ओर होकर दूसरी ओर शून्य हो: \(ax^2+bx+c=0\)। विकल्प A में चिन्ह उल्टा है इसलिए वह गलत है; विकल्प C और D में पदों का रूप मूल समीकरण से मेल नहीं खा रहा। परीक्षा-टिप: हमेशा सभी पदों को एक ओर लाकर समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में लिखें। / Bring the term on the right, \(6x\), to the left; the sign changes giving \(x^2-6x=0\). The standard form is \(ax^2+bx+c=0\) with all terms on one side. Option A has the wrong sign for the \(x\)-term; options C and D do not represent the same rearrangement of the original equation. Exam tip: always move all terms to one side so the equation equals zero and then identify \(a, b, c\).
विस्तार करने पर \(x(x-5)=x\cdot x - x\cdot 5 = x^2-5x\) प्राप्त होता है, अतः मानक रूप \(x^2-5x=0\) है। विकल्प A में ऋणात्मक का चिह्न उल्टा है (गलत साइन), विकल्प C में गुणांकें अनुचित हैं और विकल्प D में शून्यतः स्थायी पद गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी भी गुणन को फैलाते समय हर पद पर गुणन लागू करें और साइन ध्यान रखें। / Expanding gives \(x(x-5)=x\cdot x - x\cdot 5 = x^2-5x\), so the standard form is \(x^2-5x=0\). Option A has the wrong sign (should be -5x, not +5x); option C has incorrect coefficients; option D incorrectly changes the linear term to a constant. Exam tip: apply distributive property term-by-term and pay attention to signs when removing brackets.
मानक रूप से मिलाने पर स्थिर पद अनुपस्थित है इसलिए (c=0) है। अनुपस्थित स्थिर पद को (0) मानें। / Comparing with standard form, the constant term is absent, so (c=0). Treat a missing constant term as (0).
समीकरण \(2x^2 - x + 8 = 0\) में रैखिक (linear) पद \(-x\) है। किसी भी पद का गुणांक वह संख्या होती है जो चर के साथ गुणा होती है — यहाँ \(-x\) में \(x\) के साथ गुणा होने वाली संख्या \(-1\) है। इसलिए सही उत्तर \(-1\) है। विकल्प B (1) गलत है क्योंकि वह चिन्ह (–) को अनदेखा करता है; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि वे भिन्न स्थिरांक/गुणांक दर्शाते हैं। परीक्छा सुझाव: गुणांक लिखते समय चिन्ह को हमेशा शामिल करें और पहले रैखिक पद पहचानें। / In the equation \(2x^2 - x + 8 = 0\) the linear term is \(-x\). The coefficient is the number multiplied by \(x\), so here it is \(-1\). Hence the correct answer is \(-1\). Option B (1) is incorrect because it ignores the negative sign; options C and D are unrelated values. Exam tip: First identify the linear term and always include its sign when stating the coefficient.
बहुपद की घात उस चर के सबसे बड़े घातांक से निर्धारित होती है जिसका गुणक शून्य न हो। समीकरण के बाएँ पक्ष में बहुपद \(x^2+1\) है जिसकी x की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए घात 2 है। विकल्प A (1) गलत है क्योंकि वहाँ x का घात 1 होना चाहिए था; विकल्प C (0) केवल स्थिर बहुपद के लिए सही होगा; विकल्प D (4) गलत है क्योंकि x-4 का कोई पद मौजूद नहीं है। परीक्षा टिप: किसी समीकर्ण की घात जानने के लिए बाएँ ओर का बहुपद मानें और स्थिर पदों को अनदेखा करके सबसे बड़ा घातांक देखें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of the variable with a nonzero coefficient. The left-hand side polynomial x-2+1 has highest power 2, so the degree is 2. Option A (1) is incorrect because that would require a highest power of x to be 1; option C (0) would apply only to a nonzero constant polynomial; option D (4) is wrong since there is no x-4 term. Exam tip: To find the degree of an equation, look at the polynomial on the left side in standard form and ignore constant terms—take the largest exponent of the variable.
(p(x)=x-2+2x+1) एक बहुपद है क्योंकि इसे (0) के बराबर नहीं रखा गया है। (=0) लगाने पर यह समीकरण बनेगा। / (p(x)=x-2+2x+1) is a polynomial because it is not set equal to (0). It becomes an equation when written as equal to (0).
मूल की जांच करने के लिए दिए गए मान को समीकरण में रखें: \(1^2-1=1-1=0\)। इसलिए \(x=1\) समीकरण को संतुष्ट करता है और मूल है। निकटतम भ्रामक उत्तर \("केवल \(x=0\) मूल है"\) गलत है क्योंकि समीकरण को गुणनखंडों में लिखा जा सकता है: \(x(x-1)=0\) से दोनों \(x=0\) और \(x=1\) मूल होते हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी संभावित मूल की जाँच के लिए सीधे प्रतिस्थापित करें या समीकरण को गुणा करके मूल तुरंत पहचानें। / To check a root substitute the value into the equation: \(1^2-1=1-1=0\). Thus \(x=1\) satisfies the equation and is a root. The closest distractor "Only \(x=0\) is a root" is incorrect because factoring gives \(x(x-1)=0\), so both \(x=0\) and \(x=1\) are roots. Exam tip: Either substitute the candidate value or factor the quadratic to identify roots quickly.
मूल वह मान है जिसे रखने पर समीकरण का बायां पक्ष (0) हो जाता है। इसलिए (p\(\alpha\)=0) सही है। / A root is a value that makes the left side of the equation (0). Therefore (p\(\alpha\)=0) is correct.
मूल (0) और (-3) होने पर गुणनखंड (x) और (x+3) होंगे। इसलिए समीकरण (x(x+3)=0) यानी \(x^2+3x=0\) है। / For roots (0) and (-3), the factors are (x) and (x+3). So the equation is (x(x+3)=0), that is \(x^2+3x=0\).
\(x^2=9\) से \(x=\pm\sqrt{9}=\pm3\) मिलता है, अतः मूल \(-3\) और \(3\) हैं। विकल्प B में 3 सही है पर 9 गलत है क्योंकि \(9^2=81\), विकल्प D में दोनों मानों का वर्ग 81 होता है, और विकल्प A में 0 का वर्ग 0 होता है — ये सभी समीकरण संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा सुझाव: जब \(x^2=a\) हो तो दोनों ±√a मान याद रखें और उत्तर की जाँच के लिए मूलों को दिए गए समीकरण में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापित कर देखें। / From \(x^2=9\) we get \(x=\pm\sqrt{9}=\pm3\), so the roots are \(-3\) and \(3\). Option B wrongly lists 9 (although 3 is correct) — but \(9^2=81\), not 9. Option D has ±9 whose squares are 81, and option A contains 0 whose square is 0, so none of those satisfy the equation. Exam tip: for equations of the form \(x^2=a\) always take both ±√a and verify by substituting back.
यह एक difference of squares है: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). समीकरण तब शून्य होगा जब \(x-1=0\) या \(x+1=0\), अतः \(x=1\) और \(x=-1\)। विकल्प A (0,1) गलत है क्योंकि \(x=0\) पर ऍक्सप्रेशन \(0^2-1=-1\neq0\)। विकल्प C और D भी दिए हुए समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा सलाह: ऐसे प्रश्नों में तुरंत \(x^2=a^2\) को \(x=\pm a\) या फर्क के वर्ग का गुणनखंड कर दें। / This is a difference of squares: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). The equation equals zero when \(x-1=0\) or \(x+1=0\), so \(x=1\) and \(x=-1\). Option A (0,1) is incorrect because at \(x=0\) we get \(0^2-1=-1\neq0\). Options C and D also do not satisfy the equation. Exam tip: recognize \(x^2-a^2\) and factor, or take square roots to write \(x=\pm a\).
मानक रूप का अर्थ है सभी पद एक ओर लेकर \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में लिखना। समीकरण \(x^2=7\) में दाएँ स्थिर पद \(7\) को बाएँ ले जाकर हमें \(x^2-7=0\) मिलता है, जो मानक रूप है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(x^2+7=0\) वह समीकरण है जिसका अर्थ होता है \(x^2=-7\)। विकल्प C में मध्यम पद \(-7x\) है जो मूल समीकरण से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: किसी भी क्वाड्रैटिक को मानक रूप में लिखने के लिए सभी पदों को बाएँ तरफ ले आकर \(ax^2+bx+c=0\) रखें। / Standard form means writing all terms on one side as \(ax^2+bx+c=0\). For \(x^2=7\), move 7 to the left to get \(x^2-7=0\), which is the standard form. Option A is incorrect because \(x^2+7=0\) corresponds to \(x^2=-7\). Option C is wrong since it introduces a \( -7x\) term not present in the original equation. Exam tip: To convert to standard form, bring every term to the left and arrange as \(ax^2+bx+c=0\).
दो द्विपदों को गुणा करते समय प्रत्येक पद को दूसरे द्विपद के प्रत्येक पद से गुणा करें: \((x+1)(x+2)=x\cdot x + x\cdot 2 + 1\cdot x + 1\cdot 2 = x^2+2x+x+2 = x^2+3x+2\). इसलिए सही विकल्प \(x^2+3x+2=0\) है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(x^2+3x-2=0\) है जिसमें स्थायी पद का साइन गलत है; अन्य विकल्पों में मध्य और स्थायी पदों के संयोजन गलत हैं। परीक्षा टिप: FOIL (First, Outer, Inner, Last) तरीके से गुणा करके समान पदों को जोड़ें और साइन पर ध्यान दें। / Multiply each term of the first binomial by each term of the second: \((x+1)(x+2)=x\cdot x + x\cdot 2 + 1\cdot x + 1\cdot 2 = x^2+2x+x+2 = x^2+3x+2\). Thus the expanded equation is \(x^2+3x+2=0\). The closest distractor \(x^2+3x-2=0\) has the constant term sign wrong; the other options have incorrect middle or constant terms. Exam tip: use FOIL and combine like terms carefully; check signs for the constant term.
B. क्योंकि \(x^2\) का गुणांक (0) है/Because the coefficient of \(x^2\) is (0)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(x^2\) का गुणांक (0) है इसलिए \(x^2\) पद समाप्त हो जाता है। द्विघात के लिए \(a\neq 0\) जरूरी है। / Here the coefficient of \(x^2\) is (0), so the \(x^2\) term disappears. For a quadratic equation, \(a\neq 0\) is necessary.
\(x^2\) का गुणांक (-1), (x) का गुणांक (4) और स्थिर पद (-1) है। ऋण चिन्ह को कभी न छोड़ें। / The coefficient of \(x^2\) is (-1), the coefficient of (x) is (4), and the constant term is (-1). Never ignore the negative sign.
