Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) हो तो मूलों का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है (Vieta सूत्र)। यहाँ \(a=3,\;c=-8\) इसलिए गुणनफल \(\dfrac{-8}{3}=-\tfrac{8}{3}\) होगा। विकल्प B (\(\tfrac{8}{3}\)) केवल साइन में त्रुटि है; विकल्प C और D में अंकीय मान ही गलत हैं। परीक्षा सुझाव: सीधे \(\dfrac{c}{a}\) याद रखें और c का चिन्ह बदलने से बचें—चिन्ह वही उपयोग करें जो समीकरण में है। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the product of roots equals \(c/a\) (Vieta's formula). Here \(a=3\) and \(c=-8\), so the product is \(\dfrac{-8}{3}=-\tfrac{8}{3}\). Option B (\(\tfrac{8}{3}\)) is a sign error; options C and D have incorrect numerical values. Exam tip: apply \(c/a\) directly and pay attention to the sign of \(c\) from the given equation.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}\) है। सूत्र में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}\). Pay attention to the sign of (b) in the formula.
मानक मोनिक द्विघात समीकरण में यदि मूलों का योग S और गुणनफल P हो तो समीकरण होता है \(x^2-Sx+P=0\)। यहाँ S=5 और P=6 है, इसलिए समीकरण \(x^2-5x+6=0\) सही है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों की जाँच: विकल्प B में गुणनफल 6 है पर योग \(-5\) है (गलत), विकल्प C और D में गुणनफल 5 है (गलत)। परीक्षा सुझाव: सामान्य नियम याद रखें — यदि समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) हो तो मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। / For a monic quadratic with root-sum S and product P the equation is \(x^2-Sx+P=0\). With S=5 and P=6 this gives \(x^2-5x+6=0\), so option A is correct. Check distractors: B has product 6 but sum \(-5\), while C and D have product 5, not 6. Exam tip: remember for \(ax^2+bx+c=0\) the sum of roots = \(-b/a)\) and product = \(c/a)\).
मूलों का गुणनफल \(4\cdot6=24\) है। मूलों से समीकरण बनाते समय योग और गुणनफल दोनों उपयोगी होते हैं। / The product of roots is \(4\cdot6=24\). Sum and product are both useful while forming an equation from roots.
मूलों का योग (2+(-3)=-1) है। अलग-अलग चिन्ह वाले पूर्णांकों को जोड़ते समय बड़े परिमाण का चिन्ह लें। / The sum of roots is (2+(-3)=-1). When adding integers with unlike signs, take the sign of the larger magnitude.
(x) के साथ लगा गुणांक \(2\sqrt{3}\) है। करणी वाले गुणांक भी सामान्य गुणांक की तरह लिए जाते हैं। / The coefficient attached to (x) is \(2\sqrt{3}\). Radical coefficients are treated like ordinary coefficients.
\(x+\frac{1}{x}=2\) में चर हर में है, इसलिए यह सीधे द्विघात मानक रूप में नहीं है। द्विघात बहुपद रूप में ऋणात्मक घात नहीं होती। / In \(x+\frac{1}{x}=2\), the variable is in the denominator, so it is not directly in standard quadratic form. A quadratic polynomial form has no negative power.
भिन्नांकों वाले गुणांकों को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को हर पद के हरमूल (यहाँ LCM = 3) से गुणा करें। दोनों ओर 3 से गुणा करने पर मिलने वाला समीकरण: \(3\times\frac{1}{3}x^2=x^2,\;3\times\left(-\frac{2}{3}x\right)=-2x,\;3\times1=3\)। इसलिए समतुल्य रूप \(x^2-2x+3=0\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें केवल पहले पद को त्रि‑गुणा कर दिया गया है (गलत प्रसंस्करण); विकल्प B में मध्य पद का चिन्ह गलत है और विकल्प D में नियतांक गलत है। परीक्षा‑सुझाव: भिन्नांक हटाने के लिए पूरे समीकरण को एक साथ LCM से गुणा करें, हर पद अलग‑अलग नहीं बदलें। / To remove fractional coefficients multiply the entire equation by the LCM of denominators (here 3). Multiplying by 3 gives: \(3\times\frac{1}{3}x^2=x^2,\;3\times(-\frac{2}{3}x)=-2x,\;3\times1=3\). Thus the equivalent equation is \(x^2-2x+3=0\). Option C is wrong because it incorrectly applies the factor 3 (only the first term appears scaled); option B has the wrong sign for the x‑term and option D has the wrong constant. Exam tip: always multiply the whole equation by the LCM of denominators to obtain integer coefficients in one step.
पूरे समीकरण को (2) से गुणा करने पर \(x^2+6x-10=0\) मिलता है। भिन्न हटाने के लिए हर से गुणा करें। / Multiplying the whole equation by (2) gives \(x^2+6x-10=0\). To remove fractions, multiply by the denominator.
सामान्य द्विघात रूप \(ax^2+bx+c=0\) में \(b\) \(x\) पद का गुणांक है और \(c\) स्थायी पद (constant) है। यदि \(x\) का पद अनुपस्थित है तो उसका गुणांक \(0\) माना जाता है। विकल्प \(\;\,\,\,\;\,\,\,\;\,\,\,\;\) \(3x^2-12=0\) में \(b=0\) (क्योंकि \(x\) का पद नहीं है) और \(c=-12\), जो कि नकारात्मक है (\(c<0\))। इसलिए विकल्प B सही है। नजदीकी भ्रामक विकल्प C (\(2x^2+4=0\)) में भी \(b=0\) है परन्तु \(c=4>0\) है, इसलिए वह गलत है; विकल्प D में \(b=-1\) है, इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा टिप: हमेशा समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में लिखकर \(a, b, c\) की मान निकालें और अनुपस्थित पदों का गुणांक \(0\) लें। / For the general quadratic \(ax^2+bx+c=0\), \(b\) is the coefficient of \(x\) and \(c\) is the constant term. A missing \(x\)-term means its coefficient is \(0\). In \(3x^2-12=0\) we have \(b=0\) and \(c=-12\), and since \(-12<0\) this satisfies the requirement, so option B is correct. Closest distractor C (\(2x^2+4=0\)) also has \(b=0\) but \(c=4>0\), so it fails the \(c<0\) condition; option D has \(b=-1\) (not zero). Exam tip: rewrite each equation as \(ax^2+bx+c=0\), read off \(a,b,c\), and treat missing terms as zero to avoid mistakes.
सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) से यहाँ \(a=2,\ b=7,\ c=3\) है। अतः \(ac=a\times c=2\times3=6\)। विकल्प B और D क्रमशः \(b\) और \(c\) के मान हैं, इसलिए वे गलत हैं। विकल्प C (10) किसी योग का गलत मान है — यह \(a+b\) या \(b+c\) नहीं है। परीक्षा टिप: हमेशा पहले मानक रूप में गुणांक पहचानें और फिर आवश्यक गुणा/योग करें। / From the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we identify \(a=2,\ b=7,\ c=3\). Therefore \(ac=a\times c=2\times3=6\). Options B and D represent \(b\) and \(c\) respectively, so they are incorrect; option C (10) is not the product but an incorrect sum/product. Exam tip: first identify \(a, b, c\) from the equation, then compute the required combination (here multiply \(a\) and \(c\)).
क्वाड्रेटिक को गुणनखंड करने के लिए ऐसे दो संख्याएँ चाहिएं जिनका गुणनफल 12 और योग 7 हो। 3 और 4 का गुणनफल 12 और योग 7 है, इसलिए \((x+3)(x+4)=0\) सही गुणनखंड रूप है। शून्य-गुणन संपत्ति के अनुसार इससे शून्य होने पर मूल x = −3 और x = −4 मिलते हैं। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प (B) में संख्याएँ −3 व −4 का योग −7 बनता है (सही संकेत नहीं), (C) का योग 8 है और (D) का गुणनफल −12 है — इसलिए ये गलत हैं। परीक्षा युक्ति: सीधे c का मान (यहाँ 12) और b का मान (यहाँ 7) देखकर उन दो पूर्णांकों को ढूँढें जिनका गुणनफल c और योग b हो। / To factorise the quadratic we look for two numbers whose product is 12 (the constant term) and whose sum is 7 (the coefficient of x). The pair 3 and 4 satisfy this, so \((x+3)(x+4)=0\) is the correct factorisation. By the zero-product property the roots are x = −3 and x = −4. Closest distractor (B) yields a sum of −7 (wrong sign), (C) yields sum 8, and (D) gives product −12 — hence they are incorrect. Exam tip: match pairs whose product equals c and whose sum equals b to factor quickly for integer-coefficient quadratics.
\(9x^2=25\), इसलिए \(x^2=\frac{25}{9}\) और \(x=\pm \frac{5}{3}\)। वर्गमूल लेते समय दोनों चिन्ह लें। / \(9x^2=25\), so \(x^2=\frac{25}{9}\) and \(x=\pm \frac{5}{3}\). Take both signs while taking square roots.
समीकरण को गुणनखंड में लिखें: \(x^2-8x=x(x-8)\)। यदि \(x(x-8)=0\) हो तो या तो \(x=0\) या \(x-8=0\) जिससे \(x=8\)। अतः मूल \(0\) और \(8\) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x-8=0\) का हल \(-8\) नहीं बल्कि \(+8\) है। परीक्षा सुझाव: जब constant term शून्य हो तो एक मूल हमेशा 0 होगा; दूसरा मूल को पाने के लिए बकाया गुणनखंड से हल करें या मूलों के योग-गुणनफल का प्रयोग करें (योग = 8, गुणनफल = 0)। / Factor the left side: \(x^2-8x=x(x-8)\). From \(x(x-8)=0\) we get \(x=0\) or \(x=8\), so the roots are 0 and 8. Option B is incorrect because solving \(x-8=0\) gives +8, not -8. Quick exam tip: if the constant term is 0, one root is 0; find the other by factoring or use sum/product of roots (sum = 8, product = 0).
चौड़ाई = x तथा लंबाई = x+4 है। क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = x(x+4)=45। इसे सरल करने पर x-2+4x-45=0 मिलता है, जो विकल्प A है। विकल्प B तब गलत होगा जब कोई लंबाई को x−4 मान लेता है (संकेत गलती)। विकल्प C तब उत्पन्न होता यदि लंबाई = 4x माना गया हो — यह समस्या के अनुसार सही नहीं है। परीक्षा-सूत्र: सीधे शब्दों में लंबाई व चौड़ाई को सही चिन्हों के साथ लिखकर गुणा करें और फिर 45 के साथ बराबरी रखें। / Breadth = x, so length = x+4. Area = length × breadth = x(x+4) = 45. Expanding gives x-2+4x-45=0, so option A is correct. Option B is wrong because it assumes length = x−4 (wrong sign). Option C would arise if length were taken as 4x (incorrect interpretation). Exam tip: always express length in terms of x first (x+4 here), multiply to form the quadratic, then bring 45 to one side before simplifying.
यदि छोटे पूर्णांक को \(x\) माना जाए तो अगले क्रमागत पूर्णांक होगा \(x+1\)। उनका गुणनफल लिखेंगे: \(x(x+1)=56\)। इसे व्यवस्थित करने पर प्राप्त होगा \(x^2+x-56=0\), इसलिए विकल्प A सही है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प B (\(x^2-x-56=0\)) तब बनता है जब पूर्णांक \(x\) और \(x-1\) लिए जाएँ — यह यहाँ लागू नहीं है। विकल्प C का रूप \(x^2+2x-56=0\) दो-बाद वाले पूर्णांकों (जैसे \(x\) और \(x+2\)) का गुणनफल दर्शाता है, और D एक रैखिक समीकरण है और समस्या की प्रकृति से मेल नहीं खाता। परीक्षात्मक संकेत: क्रमागत पूर्णांकों को हमेशा \(x\) और \(x+1\) (या \(x-1\) और \(x\)) के रूप में परिभाषित करें और गुणनफल को 0 पर लाकर द्विघात बनाएं। / Let the smaller integer be \(x\); the next consecutive integer is \(x+1\). Their product gives \(x(x+1)=56\). Expanding yields \(x^2+x-56=0\), so option A is correct. Distractor B (\(x^2-x-56=0\)) corresponds to integers \(x\) and \(x-1\), not the given consecutive pair. Option C (\(x^2+2x-56=0\)) would arise from \(x\) and \(x+2\), and D is a linear equation unrelated to the product of two integers. Exam tip: after forming the equation, check factor pairs of 56 (e.g., 7 and 8) to verify your result quickly.
वाक्य से \(x^2+x=42\) बनता है, यानी \(x^2+x-42=0\)। शब्द प्रश्न में पहले बीजीय रूप लिखें। / The sentence gives \(x^2+x=42\), that is \(x^2+x-42=0\). In word problems, write the algebraic form first.
गुणनखंड ((x+2)) और ((x-5)) होंगे, जिनसे \(x^2-3x-10=0\) मिलता है। मूल के विपरीत चिन्ह वाले गुणनखंड बनाएं। / The factors are ((x+2)) and ((x-5)), giving \(x^2-3x-10=0\). Make factors with signs opposite to the roots.
मूल (1) और (4) हों तो गुणनखंड ((x-1)) और ((x-4)) होंगे। इनका गुणन \(x^2-5x+4=0\) देता है। / If the roots are (1) and (4), the factors are ((x-1)) and ((x-4)). Their product gives \(x^2-5x+4=0\).
विवेचक की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=2,\; b=3,\; c=5\)। इसलिए \(D=3^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31\)। चूँकि \(D<0\), यह ऋणात्मक है और समीकरण की निरूपित जड़ें वास्तविक नहीं बल्कि सम्मिश्र (complex conjugates) होंगी। विकल्प B (शून्य) गलत है क्योंकि \(D\) शून्य होने पर युग्मित समान वास्तविक मूल मिलते; विकल्प A (धनात्मक) गलत है क्योंकि तब दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते। परीक्षात्मक सुझाव: गणना करते समय पहले \(4ac\) का मान निकालें और उसके संकेत पर ध्यान दें ताकि चूक न हो। / The discriminant is defined by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=2,\; b=3,\; c=5\). So \(D=3^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31\). Since \(D<0\), the discriminant is negative and the equation has no real roots (it has complex conjugate roots). Option B (zero) is wrong because \(D=0\) would give equal real roots; option A (positive) is wrong because a positive \(D\) would give two distinct real roots. Exam tip: compute the \(4ac\) term first and track signs carefully to avoid arithmetic errors.
यहाँ \(D=6^2-4\cdot1\cdot9=0\), इसलिए मूल समान हैं। (D=0) का अर्थ दो समान वास्तविक मूल होता है। / Here \(D=6^2-4\cdot1\cdot9=0\), so the roots are equal. (D=0) means two equal real roots.
A. दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे/There will be two distinct real roots
Explanation
Simple Explanation
(D=25>0), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। (D) का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है। / Since (D=25>0), there will be two distinct real roots. The sign of (D) tells the nature of roots.
यहाँ \(D=b^2-4ac=4^2-4\cdot4\cdot1=0\) है। विवेचक में (a,b,c) सही पहचानना जरूरी है। / Here \(D=b^2-4ac=4^2-4\cdot4\cdot1=0\). Correctly identifying (a,b,c) is necessary for the discriminant.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में दिए हुए मान रखकर \(2x^2-7x+3=0\) प्राप्त होता है क्योंकि केवल \(a\), \(b\), \(c\) को क्रमशः 2, −7, 3 रखना होता है। विकल्प A गलत है क्योंकि वहाँ \(b\) का धनात्मक चिह्न है (गलत साइन)। विकल्प C में \(a\) और \(c\) को बदल दिया गया है। विकल्प D में गुणांक बदल दिए गए हैं। परीक्षा टिप: हमेशा पहले मानक रूप लिखें और फिर केवल दिए हुए a, b, c को स्थान पर रखें। / Using the standard form \(ax^2+bx+c=0\) and substituting \(a=2, b=-7, c=3\) yields \(2x^2-7x+3=0\). Option A is wrong because it uses +7 instead of −7 (wrong sign for b). Option C swaps coefficients (a and c are interchanged). Option D alters the coefficients arbitrarily. Exam tip: write \(ax^2+bx+c=0\) first and then substitute the given a, b, c to avoid sign errors.
((x-5)2=x-2-10x+25), इसलिए \(x^2-10x+25-16=0\) मिलता है। वर्ग सूत्र लगाते समय मध्य पद न भूलें। / ((x-5)2=x-2-10x+25), so \(x^2-10x+25-16=0\). Do not forget the middle term while using square identities.
\(x^2=5x-4\) को \(x^2-5x+4=0\) बनाया जा सकता है, इसलिए यह द्विघात है। मानक रूप में दायां पक्ष (0) होना चाहिए। / \(x^2=5x-4\) can be written as \(x^2-5x+4=0\), so it is quadratic. In standard form, the right side must be (0).
मूल दिया होने पर उसे समीकरण में रखें: \((-2)^2 + p(-2) - 6 = 0\) ⇒ \(4 - 2p - 6 = 0\) ⇒ \(-2 - 2p = 0\) ⇒ \(-2p = 2\) ⇒ \(p = -1\). सबसे सामान्य गलती संकेत की दिशा भूलना है — यदि आप \(p\) के साथ साइन गलत लेते हैं तो \(p=1\) जैसी त्रुटि आ सकती है (विकल्प A)। विकल्प C और D दोनों से पता चलता है कि वे संख्याएँ समीकरण को शून्य नहीं बनातीं जब आप सही स्थानापन्न करते हैं। परीक्षण युक्ति: दिया हुआ मूल सीधे समीकरण में स्थानापन्न करें और हर चरण पर साइन की जाँच करें। / Substitute the given root into the equation: \((-2)^2 + p(-2) - 6 = 0\) ⇒ \(4 - 2p - 6 = 0\) ⇒ \(-2 - 2p = 0\) ⇒ \(-2p = 2\) ⇒ \(p = -1\). A common mistake is to drop the negative sign on the \(px\) term, which would incorrectly give \(p=1\) (option A). Options C and D do not satisfy the equation when substituted. Exam tip: always substitute the root and simplify carefully, paying attention to signs.
A. हाँ — \(x=3\) समीकरण का एक मूल है/Yes, \(x=3\) is a root.
Explanation
Simple Explanation
मूल जाँचने के लिए दिए हुए मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करें। \(x=3\) रखने पर \(3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0\) प्राप्त होता है, इसलिए \(x=3\) समीकरण का मूल है। समीकरण को गुणनखंडों में भी लिखा जा सकता है: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\), जिससे स्पष्ट है कि दोनों \(x=1\) और \(x=3\) मूल हैं — इसलिए विकल्प C (केवल \(x=1\)) गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी दिए मान के लिए सीधे प्रतिस्थापन करें; वैकल्पिक रूप से त्वरित सत्यापन के लिए बहुपद को कारक रूप में लिखें। / Check a candidate root by substituting it into the expression. Putting \(x=3\) gives \(3^2-4\cdot3+3=9-12+3=0\), so \(x=3\) satisfies the equation and is a root. Factoring gives \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\), showing the roots are \(x=1\) and \(x=3\); thus option C (only \(x=1\)) is incorrect. Exam tip: verify roots by direct substitution or by factoring the quadratic to list all roots quickly.
सभी पद एक ओर लाकर \(-2x^2+5x-9=0\) मिलता है और (-1) से गुणा करने पर \(2x^2-5x+9=0\) मिलता है। मानक रूप में चिन्ह सावधानी से बदलें। / Bringing all terms to one side gives \(-2x^2+5x-9=0\), and multiplying by (-1) gives \(2x^2-5x+9=0\). Change signs carefully in standard form.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से यहाँ \(a=3,\; b=-2,\; c=7\)। इसलिए \(a+b+c=3+(-2)+7=8\)। अक्सर होने वाली गलती: संकेत भूलकर \(b=+2\) लेना — तब गलत उत्तर \(3+2+7=12\) मिलता है (option B)। परीक्षा टिप: गुणांकों के साथ उनके संकेत जरूर लिखें और पहले समीकरण को मानक रूप में चेक करें। / In standard form \(ax^2+bx+c=0\), we have \(a=3,\; b=-2,\; c=7\). Thus \(a+b+c=3+(-2)+7=8\). A common mistake is to drop the negative sign and take \(b=+2\), giving the incorrect sum \(3+2+7=12\) (option B). Exam tip: Always write down coefficients with their signs from the standard form before calculating sums.
