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किसी द्विघात समीकरण का सामान्य रूप
\(ax^2+bx+c=0\) होता है। दिए गए समीकरण \(12x^2=0\) को अनुपस्थित पदों को शून्य मानकर \(12x^2+0x+0=0\) लिखा जाता है। इसलिए \(a=12,\ b=0,\ c=0\) हैं। निकटवर्ती विचलन (12,1,0) इसलिए गलत है क्योंकि मध्य का गुणांक \(b\) यहाँ 0 है, 1 नहीं। परीक्षा सुझाव: अनुपस्थित x या स्थिर पदों को स्पष्ट रूप से \(+0x\) या \(+0\) लिखकर गुणांक पहचानें। / The general form of a quadratic is \(ax^2+bx+c=0\). The equation \(12x^2=0\) can be written as \(12x^2+0x+0=0\), so the coefficients are \(a=12,\ b=0,\ c=0\). The distractor (12,1,0) is wrong because the coefficient of x is 0, not 1. Exam tip: always write missing terms as \(0x\) or \(+0\) to read off coefficients correctly.
यदि \(x=4\) रखा जाए तो बाएँ पक्ष \(4^2-8\cdot4+16=16-32+16=0\) बनता है, अतः समीकरण का रूप \(0=0\) होता है और \(x=4\) इस समीकरण को संतुष्ट करता है। विकल्प B (4=0) भ्रमित करने योग्य है पर गलत है क्योंकि बाएँ पक्ष का मान 4 नहीं बल्कि 0 आता है। परीक्षा टिप: जड़ जाँचते समय चरण-दर-चरण पहले वर्ग और गुणन फिर जोड़/घटाना करें ताकि अंकगणितीय त्रुटियाँ न हों। / Substituting \(x=4\) gives the left-hand side \(4^2-8\cdot4+16=16-32+16=0\), so the equation becomes \(0=0\); therefore \(x=4\) satisfies the equation. Option B (4=0) is a tempting distractor but incorrect because the left-hand side evaluates to 0, not 4. Exam tip: when checking roots, simplify squares and products first, then perform addition/subtraction to avoid arithmetic mistakes.
समीकरण \(x^2-25=0\) को हल करने पर \(x^2=25\) मिलता है, इसलिए \(x=\pm5\)। विकल्पों में \(5\) मौजूद है और \(5^2-25=0\) होता है, अतः \(5\) सही हल है। अन्य विकल्पों की जाँच करने पर: \(2^2-25=-21\), \((-2)^2-25=-21\), \(10^2-25=75\) — ये शून्य नहीं देते, इसलिए वे हल नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: दोनों सकारात्मक और नकारात्मक वर्गमूल (\(\pm\)) के बारे में सोचें और दिए गए विकल्पों में से मौजूद मान की जाँच के लिए सरल प्रतिस्थापन करें। / Solving \(x^2-25=0\) gives \(x^2=25\), so \(x=\pm5\). The value 5 is among the choices and indeed satisfies \(5^2-25=0\), so 5 is a correct solution. Checking the others: \(2^2-25=-21\), \((-2)^2-25=-21\), \(10^2-25=75\) — none are zero, so they are not solutions. Exam tip: take square roots to get \(x=\pm\sqrt{25}\) and then substitute the available options to verify quickly.
\(x=3\) रखकर परिकलन करें: \(3^2-4\cdot3+3 = 9-12+3 = 0\). इसलिए बायाँ पक्ष \(0\) होगा और \(x=3\) समीकरण को शून्य देता है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(3\) सामान्यतः तब आता है जब गुणा या ऋणात्मक चिह्न गलत लागू हो जाएँ (उदाहरण के लिए \(3^2\) को \(3\) समझ लेना)। परीक्षा-सुझाव: हर पद को अलग-अलग गुणा/घटाएं और BODMAS/क्रम-क्रिया का पालन करें। / Substitute \(x=3\): \(3^2-4\cdot3+3 = 9-12+3 = 0\). Thus the left-hand side equals \(0\), so \(x=3\) makes the expression zero. The closest distractor \(3\) typically arises from sign or squaring mistakes (e.g. treating \(3^2\) as \(3\)). Exam tip: evaluate each term separately and follow the order of operations (BODMAS).
मानक रूप से द्विघात समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) में लिखा जाता है। दाएँ ओर के पदों को बाएँ ओर ले जाने के लिए दोनों तरफ से \(5x+3\) घटाएँ: \(2x^2-5x-3=0\)। यहाँ \(a=2, b=-5, c=-3\)। विकल्प C निकटतम प्रत्याशी है पर उसमें स्थिर पद का चिह्न गलत (+3 के बजाय −3)। परीक्षा सलाह: हमेशा सभी पद एक ही ओर लाकर \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में व्यवस्थित करें और गुणांक लिखें। / The standard form for a quadratic is \(ax^2+bx+c=0\). Move the right-hand side terms to the left by subtracting \(5x+3\) from both sides to get \(2x^2-5x-3=0\). Thus \(a=2, b=-5, c=-3\). Option C is the closest distractor but has the constant term with the wrong sign (+3 instead of −3). Exam tip: always convert to \(ax^2+bx+c=0\) by bringing all terms to one side before identifying coefficients or solving.
मानक रूप से द्विघात समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) में लिखते हैं। मूल समीकरण \(4x^2+7x=9\) में दाहिनी ओर स्थित \(9\) को बाईं ओर लाने पर यह \(4x^2+7x-9=0\) बनता है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसने \(9\) का संकेत बदलकर \(+9\) रख दिया है। विकल्प C व D में मध्यम पद \(7x\) का संकेत उल्टा है, इसलिए वे भी गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा सभी पदों को एक ही पक्ष पर लाकर \(ax^2+bx+c=0\) का रूप बनाइए। / A quadratic is written in standard form as \(ax^2+bx+c=0\). Moving the RHS term \(9\) to the left changes its sign, giving \(4x^2+7x-9=0\), so option B is correct. Option A is wrong because it keeps \(+9\) instead of \(-9\). Options C and D are wrong because they change the sign of the linear term \(7x\). Exam tip: bring every term to one side and combine like terms to reach \(ax^2+bx+c=0\).
द्विघात समीकरण की परिभाषा के अनुसार चर का उच्चतम घात 2 होना चाहिए। समीकरण में \(x^2\) का गुणांक \(p\) शून्य न हो — यानी \(p\neq0\) — तभी समीकरण द्विघात होगा। यदि \(p=0\) हो तो \(x^2\) का पद गायब हो जाएगा और समीकरण रैखिक या कम डिग्री का बन जाएगा, इसलिए विकल्प A गलत है। विकल्प C और D (\(q=0\) या \(r=0\)) केवल कुछ पदों के हटने को दर्शाते हैं, पर वे डिग्री को बदलते नहीं जब तक \(p\neq0\) बना रहे। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की डिग्री देखने के लिए सबसे बड़ा घात और उसके गुणांक (leading coefficient) की जाँच करें। / By definition a quadratic equation must have the highest power of the variable equal to 2. That requires the coefficient of \(x^2\), namely \(p\), to be nonzero, i.e. \(p\neq0\). If \(p=0\) the \(x^2\) term disappears and the equation becomes linear (or lower degree), so option A is incorrect. Options C and D (\(q=0\) or \(r=0\)) merely eliminate other terms but do not change the degree as long as \(p\neq0\). Exam tip: always check the leading coefficient to determine if an equation is quadratic.
समान्य द्विघात रूप के लिए हम समीकरण को \(13x^2+0x-20=0\) लिखते हैं। यहाँ \(a=13,\; b=0,\; c=-20\)। इसलिए \(b\) का मान 0 है। भ्रम में पड़ने वाला विकल्प \(-20\) दरअसल स्वतंत्र सदस्य \(c\) है, न कि रैखिक गुणांक। परीक्षा संकेत: किसी भी द्विघात में यदि रैखिक पद गायब लगे तो सीधे \(b=0\) मानें। / Write the equation in standard form as \(13x^2+0x-20=0\). Thus \(a=13,\; b=0,\; c=-20\), so \(b=0\). A common distractor is \(-20\), but that is the constant term \(c\), not the linear coefficient. Exam tip: if the x-term is missing, take the linear coefficient \(b\) equal to zero immediately.
सामान्य रूप से द्विघात समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) लिखा जाता है। दिए गए समीकरण को \(11x^2-6x+0=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए नियत पद \(c=0\) है। विकल्प B (\(-6\)) गुणांक \(b\) है और विकल्प A (\(11\)) गुणांक \(a\) है; विकल्प D का साइन भी गलत है। परीक्षा टिप: हमेशा समीकरण को मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में लिखें — यदि नियत पद अनुपस्थित दिखे तो उसे \(0\) मानें। / A quadratic is written as \(ax^2+bx+c=0\). The given equation can be written as \(11x^2-6x+0=0\), so the constant term is \(c=0\). Note that \(-6\) is the coefficient \(b\) and \(11\) is \(a\); option D has the wrong sign. Exam tip: always put the equation in standard form and if the constant term is missing treat it as 0.
आम रूप से द्विघात समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) लिखा जाता है। यहाँ \(8x^2+3x+12=0\) में तुलनात्मक रूप से \(a=8\), \(b=3\) और \(c=12\) है। इसलिए \(c\) का मान \(12\) है। विकल्पों में से \(8\) गलत है क्योंकि वह \(x^2\) का गुणांक (\(a\)) है और \(3\) गलत है क्योंकि वह \(x\) का गुणांक (\(b\)) है; \(0\) भी गलत है क्योंकि स्थिर पद यहाँ \(12\) है, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: हमेशा समीकरण को पहले मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में लिखें और फिर गुणांक पढ़ें। / A quadratic equation is written in standard form as \(ax^2+bx+c=0\). Comparing \(8x^2+3x+12=0\) with this form gives \(a=8\), \(b=3\) and \(c=12\). Hence \(c=12\). Option 8 is incorrect because it is the coefficient of \(x^2\) (\(a\)), option 3 is the coefficient of \(x\) (\(b\)), and 0 is incorrect because the constant term here is 12, not 0. Exam tip: rewrite any given equation in standard form first and then read off \(a, b, c\).
द्विघात समीकरण का सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) होता है। यहाँ \(b\) वह गुणांक है जो \(x\) के साथ जुड़ा होता है। समीकरण \(5x^2-9x+4=0\) में \(x\) का गुणांक \(-9\) है, इसलिए \(b=-9\)। अन्य विकल्पों में \(5\) गुणांक \(a\) के बराबर है और \(4\) स्वतंत्र पद \(c\) है; \(9\) केवल \(-9\) का धनात्मक विरोधी है और सही नहीं है। परीक्षा टिप: हमेशा पहले समीकरण को \(ax^2+bx+c\) के रूप में पहचानें और सीधे \(x\) के गुणांक को लेकर निर्णय लें। / A quadratic is written as \(ax^2+bx+c=0\), where \(b\) is the coefficient of \(x\). In \(5x^2-9x+4=0\) the coefficient of \(x\) is \(-9\), so \(b=-9\). The option 5 is the coefficient \(a\), 4 is the constant term \(c\), and 9 is just the positive opposite of the correct value. Exam tip: rewrite the equation in the form \(ax^2+bx+c\) and read off the coefficient of \(x\) to avoid sign mistakes.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में \(a\) \(x^2\) का गुणांक होता है। दिए गए समीकरण में \(x^2\) का गुणांक 7 है, इसलिए \(a=7\)। विकल्प B (2) \(x\) का गुणांक है (यह \(b\) होगा), और विकल्प C (−5) स्थिर पद यानी \(c\) है। परीक्षा सुझाव: किसी भी द्विघात समीकरण को पहले मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में लिखकर सीधे \(a,b,c\) पहचानें। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), \(a\) is the coefficient of \(x^2\). In the given equation the coefficient of \(x^2\) is 7, so \(a=7\). Option B (2) is the coefficient of \(x\) (that's \(b\)), and option C (−5) is the constant term \(c\). Exam tip: Always write the quadratic in standard form \(ax^2+bx+c=0\) and read off \(a,b,c\) directly.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में (x) का गुणांक (b) होता है। यहां (kx) में (k) (x) का गुणांक है। / In \(ax^2+bx+c=0\), (b) is the coefficient of (x). Here in (kx), (k) is the coefficient of (x).
(x=0) रखने पर विकल्प (A) में (0=0) मिलता है। हल जांचने का सबसे सरल तरीका प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन है। / Putting (x=0) in option (A) gives (0=0). Direct substitution is the simplest way to check a solution.
सही मानक रूप है \(x^2 - 5x + 6 = 0\)। सामान्य विधि यह है कि दाहिने ओर के सभी पदों को बाएँ ओर लाकर समीकरण को शून्य के बराबर करना चाहिए; जब हम \(-6\) को बाएँ ले आते हैं तो उसका चिन्ह बदलकर \(+6\) हो जाता है। विकल्प (B) वही आम गलती दिखाता है जहाँ छात्र ने \(-6\) को स्थानांतरित करते समय उसका चिन्ह नहीं बदला और इसलिए वह गलत है। निकटवर्ती विकार (D) भी गलत है क्योंकि वह अभी भी मानक रूप नहीं है; (C) अनावश्यक रूप से \(0x\) जोड़ना दिखाता है पर वह मानक रूप बनाना नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: किसी भी पद को एक तरफ लाते समय उसका चिन्ह उलट दें और अंत में समीकरण को \(=0\) पर सेट करें। / The correct standard form is \(x^2 - 5x + 6 = 0\). To convert, bring all terms to one side and set the equation equal to zero; moving \(-6\) from the right to the left changes its sign to \(+6\). Option (B) shows the common mistake where the sign of \(-6\) was not changed, so it is the wrong conversion and therefore the required 'common mistake'. The closest distractor (D) simply leaves the equation unchanged and is not in standard form; (C) unnecessarily writes \(0x\), which is not the standard conversion. Exam tip: always move all terms to one side, flip signs when moving terms, combine like terms and set equal to zero.
दो लगातार पूर्णांक होने पर यदि छोटा पूर्णांक \(x\) है तो अगला लगातार पूर्णांक \(x+1\) होगा। चूँकि हमें गुणनफल (product) दिया गया है, इसलिए समीकरण \(x(x+1)=30\) बनेगा। विकल्प B में जोड़ (sum) दिया गया है न कि गुणनफल, इसलिए वह गलत है। विकल्प C तब सही होता यदि दिए गए में बड़ा पूर्णांक \(x\) दिया गया होता; पर प्रश्न में छोटा \(x\) है, इसलिए C गलत है। विकल्प D \(2x=30\) तब मान्य होगा यदि दोनों पूर्णांक बराबर होते (\(x+x=30\)) — पर यहाँ लगातार पूर्णांक बराबर नहीं होते। परीक्षा-सुझाव: शब्दों पर ध्यान दें — "गुणनफल" को जोड़ से न बदलें और यह स्पष्ट करें कि "छोटा" कौन-सा है। / If the smaller integer is \(x\), the next consecutive integer is \(x+1\). Since the relationship given is product, the correct equation is \(x(x+1)=30\). Option B uses a sum \(x+x+1=30\) instead of a product, so it is incorrect. Option C represents \(x\) being the larger integer (product \(x(x-1)\)), which contradicts the statement that \(x\) is the smaller one. Option D, \(2x=30\), models two equal integers (\(x+x\)), not consecutive integers. Exam tip: carefully note whether the problem states "product" or "sum" and which integer (smaller/larger) is denoted by the variable.
क्षेत्रफल का सूत्र है: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। यहाँ लंबाई \(x+3\) और चौड़ाई \(x\) है, अतः समीकरण बनेगा \(x(x+3)=10\)। इसे सामान्य द्विघात रूप में लिखने पर \(x^2+3x-10=0\) मिलेगा जिसे हल किया जा सकता है। विकल्प C (\(2x+3=10\)) संभवतः गलत धारणा से उत्पन्न हुआ है — परिमाप या किसी जोड़ के गलत प्रयोग से; विकल्प B और D स्पष्ट रूप से क्षेत्रफल के सही गुणन संबंध का उल्लंघन करते हैं। परीक्षा टिप: पहले गुणन संबंध लिखें, फिर सब कुछ एक तरफ लाकर मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में बदलें ताकि आप गुणन/सूत्र या द्विघात सूत्र लगा सकें। / Area = length × width. With length \(x+3\) and width \(x\), the equation is \(x(x+3)=10\), which rearranges to the quadratic \(x^2+3x-10=0\) for solving. Option C (\(2x+3=10\)) might come from a mistaken linear relation (not the area formula); options B and D do not represent the product of length and width. Exam tip: Always form the product first, then bring all terms to one side to convert to standard quadratic form before solving.
गुणनखंड के रूप के लिए हम (x-5)(x+3) का विस्तार करें: \((x-5)(x+3)=x^2+3x-5x-15=x^2-2x-15\)। अतः विकल्प A सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प B का विस्तार \((x+5)(x-3)=x^2+2x-15\) देता है जिसमें मध्य पद +2x है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा के लिए सुझाव: c को गुणनखंड करने के लिए उन दो संख्याओं को खोजें जिनका गुणनफल -15 और योग -2 हो — वे -5 और +3 हैं। / Expand the factors in A: \((x-5)(x+3)=x^2+3x-5x-15=x^2-2x-15\), so A matches the given quadratic. A common distractor B expands to \((x+5)(x-3)=x^2+2x-15\) which has +2x (not -2x), so it is incorrect. Exam tip: find two numbers whose product is -15 and sum is -2 (here -5 and 3) to factor quickly.
समीकरण की बाएँ ओर बहुपद \(5x^2+2x-1\) है। इसमें चर x का उच्चतम घात 2 है (शब्दानुसार \(x^2\) का घात 2)। अतः समीकरण की घात 2 है और यह द्विघात समीकरण है। विकल्प B (घात 1) गलत है क्योंकि वह रेखीय समीकरण दर्शाता है; विकल्प A (0) केवल स्थिर सदिश के लिए होता है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा बहुपद को सधा कर सबसे बड़ा घात देखो — जिन पदों के गुणांक शून्य हों उन्हें अनदेखा करो। / The left-hand side is the polynomial \(5x^2+2x-1\). The highest power of x present is 2 (from the term \(x^2\)), so the degree of the equation is 2 — it is a quadratic equation. Option B (degree 1) would indicate a linear equation and is therefore incorrect; option A (0) refers to a constant polynomial. Exam tip: simplify the expression first if needed and then take the largest exponent of the variable (ignore terms with zero coefficients).
सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) से यहाँ \(a=2\), \(b=-3\), \(c=-5\)। इसलिए \(a-b+c=2-(-3)+(-5)=2+3-5=0\)। सामान्य त्रुटि: यदि \(b\) का चिन्ह उल्टा मान लिया जाए (यानी \(b=+3\)) तो गलत उत्तर \(-6\) मिलता है। परीक्षा टिप: गुणांकों के आगे के चिन्हों को स्पष्ट रूप से लिखकर प्रतिस्थापित करें। / From the standard form \(ax^2+bx+c=0\) we have \(a=2\), \(b=-3\), \(c=-5\). Substituting gives \(a-b+c=2-(-3)+(-5)=2+3-5=0\). Common mistake: treating \(b\) as +3 yields \(2-3-5=-6\), which is incorrect. Exam tip: always write the signs of coefficients explicitly before substituting to avoid sign errors.
यहाँ समीकरण को सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) से मेल खिला कर देखें: \(a=4\), \(b=4\), \(c=1\)। इसलिए \(a+b+c=4+4+1=9\)। विकल्प B (8) उस सामान्य त्रुटि का परिणाम है जिसमें कोई छात्र स्थिर पद \(c\) को भूल जाए और केवल \(4+4=8\) ले ले — इसलिए 8 गलत है। परीक्षा टिप: हमेशा पहले यह सुनिश्चित करें कि द्विघात का मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में है और फिर सीधे गुणांक पढ़कर जोड़ें। / Match the equation to the standard form \(ax^2+bx+c=0\): here \(a=4\), \(b=4\), \(c=1\). So \(a+b+c=4+4+1=9\). Option B (8) arises from the common mistake of omitting the constant term \(c\) and adding only \(4+4=8\); therefore 8 is incorrect. Exam tip: always write the quadratic in the form \(ax^2+bx+c=0\) first, then read off and add the coefficients carefully.
द्विघात समीकरण के अधिकतम (2) वास्तविक हल हो सकते हैं। आसान प्रश्न में घात से अधिकतम हल का संकेत मिलता है। / A quadratic equation can have at most (2) real solutions. In easy questions, degree indicates the maximum possible solutions.
\(x^2-7x=-10\) में (-10) को बाईं ओर लाने पर (+10) बनता है। इसलिए मानक रूप \(x^2-7x+10=0\) है। / In \(x^2-7x=-10\), moving (-10) to the left gives (+10). So the standard form is \(x^2-7x+10=0\).
सामान्य द्विघात रूप है \(ax^2+bx+c=0\)। इसमें मान रखने पर मिलता है \(1\cdot x^2+0\cdot x+(-25)=0\), जो सरल होकर \(x^2-25=0\) बनता है। विकल्प B में स्थिर पद का चिन्ह उलटा है (\(+25\) दिया है), विकल्प C में मध्य पद \(b\) और स्थिर पद \(c\) बदल दिए गए हैं, और विकल्प D में गुणांक स्केल किए गए हैं इसलिए वे गलत हैं। परीक्षात्मक टिप: हमेशा सीधे \(ax^2+bx+c=0\) में मान रखें और चरणबद्ध रूप से सरल करें — चिन्हों पर विशेष ध्यान दें। / The standard form is \(ax^2+bx+c=0\). Substituting gives \(1\cdot x^2+0\cdot x+(-25)=0\), which simplifies to \(x^2-25=0\). Option B has the wrong sign for the constant term (\(+25\) instead of \(-25\)), option C wrongly assigns \(b=25\) and changes \(c\), and option D changes/scales the coefficients. Exam tip: Plug values into \(ax^2+bx+c=0\) and simplify term-by-term; always check signs.
मानक रूप में सीधे रूप से a, b, c के मान रख दें: a=2, b=-5, c=3 से समीकरण \(2x^2-5x+3=0\) बनता है। विकल्प B तब गलत है जब तक कि b का चिन्ह बदल दिया जाए (यहां b = -5 है, न कि +5)। विकल्प C में b और c के मान आपस में बदल दिए गए हैं (यहां b = -5 पर C में b = -3 दिखता है)। विकल्प D में गुणांकों का क्रम ही बदल दिया गया है (a ≠ 5)। परीक्षा की टिप: हमेशा a, b, c को उनकी स्थितियों में सही चिह्न सहित सहसंबंधित करें और विकल्पों में सिर्फ चिह्न बदलने पर विशेष ध्यान दें। / Substitute the given values into the standard form: with a=2, b=-5, c=3 we get \(2x^2-5x+3=0\), so option A is correct. Option B is incorrect because it has b = +5 (wrong sign). Option C swaps the values of b and c (b would be -3 there), and option D changes the positions of the coefficients (a would be 5, not 2). Exam tip: always match each coefficient with its position (a with \(x^2\), b with \(x\), c constant) and check the signs carefully.
A. समीकरण संतुष्ट होता है/The equation is satisfied
Explanation
Simple Explanation
प्रतिस्थापन करने पर: \((-2)^2+4(-2)+4 = 4-8+4 = 0\)। बाएँ पक्ष \(0\) आता है, अतः दिया हुआ समीकरण संतुष्ट होता है और \(x=-2\) इस समीकरण का हल है। विकल्प B गलत है क्योंकि समीकरण असत्य नहीं है; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि बाएँ पक्ष \(4\) या \(-4\) नहीं बल्कि \(0\) है। परीक्षा टिप: नकारात्मक संख्याओं का वर्ग लेते समय संकेत का ध्यान रखें — \((-2)^2=4\), न कि \(-4\)। / Substituting gives: \((-2)^2+4(-2)+4 = 4-8+4 = 0\). The left-hand side equals 0, so the equation is satisfied and \(x=-2\) is a solution. Option B is incorrect because the equation is not false; options C and D are wrong since the left side is not 4 or -4 but 0. Exam tip: When squaring negatives, remember \((-a)^2= a^2\); evaluate each term carefully when substituting.
शुद्ध द्विघात का अर्थ है कि समीकरण में केवल \(x^2\) और स्थायी पद (constant) मौजूद हों और रैखिक पद (\(x\)) अनुपस्थित हो। विकल्प A \(x^2-9=0\) में \(x^2\) एवं स्थायी पद हैं और \(x\) का कोई पद नहीं है, इसलिए यह शुद्ध द्विघात है। विकल्प B में \(3x\) रैखिक पद है, इसलिए वह शुद्ध द्विघात नहीं; विकल्प C एक रैखिक समीकरण है और विकल्प D घनात्मक (cubic) समीकरण है। परीक्षा युक्ति: किसी भी बहुपद को देखते समय \(x\) का गुणांक जांचें — शुद्ध द्विघात के लिए वह शून्य होना चाहिए। / A pure quadratic has only the \(x^2\) term and a constant term, with the coefficient of the linear \(x\) term equal to zero. Option A, \(x^2-9=0\), contains \(x^2\) and a constant and has no \(x\) term, so it is a pure quadratic. Option B contains a \(3x\) term (linear), so it is not pure; option C is linear and option D is cubic. Exam tip: check the coefficient of \(x\); for a pure quadratic it must be zero.
किसी क्वाड्रेटिक समीकरण को सामान्य रूप में \(ax^2+bx+c=0\) लिखा जाता है। दिए गए समीकरण को \(x^2+10x+0=0\) के रूप में लिया जा सकता है, जहाँ \(a=1,\; b=10,\; c=0\)। इसलिए स्थिर पद (constant term) शून्य है और अनुपस्थित माना जाता है। द्विघात पद \(x^2\) और रैखिक पद \(10x\) दोनों मौजूद हैं, अतः विकल्प A और B गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी बहुपद में अनुपस्थित पद पहचानने के लिए उसे पहले मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में लिखें और \(a, b, c\) के मान देखें। / Write a quadratic in standard form \(ax^2+bx+c=0\). The given equation is \(x^2+10x+0=0\), so \(a=1, b=10, c=0\). The constant term \(c\) is zero and therefore absent. The quadratic term \(x^2\) and linear term \(10x\) are present, so options A and B are incorrect. Exam tip: always rewrite the polynomial as \(ax^2+bx+c=0\) and read off \(a,b,c\) to spot any missing term quickly.
स्थिर पद वह होता है जिसमें \(x\) उपस्थित नहीं होता (या जिसे \(x^0\) के गुणक के रूप में लिखा जा सके)। समीकरण \(2x^2+3x+1=0\) में केवल 1 ऐसा पद है जो किसी भी तरह के \(x\) को नहीं रखता, इसलिए 1 स्थिर पद है। विकल्प \(2x^2\) द्विघात पद है और \(3x\) रैखिक पद है — दोनों में \(x\) है; विकल्प 0 गलत है क्योंकि समीकरण में 0 किसी पद के रूप में नहीं दिया गया। परीक्षा-टिप: स्थिर पद पहचानने के लिए हर पद में \(x\) की शक्ति देखें — जहाँ शक्ति 0 है वही स्थिर पद है। / The constant term is the term that does not contain \(x\) (equivalently the coefficient of \(x^0\)). In \(2x^2+3x+1=0\), only 1 has no \(x\), so 1 is the constant term. \(2x^2\) is the quadratic term and \(3x\) is the linear term — both contain \(x\). Option 0 is incorrect because 0 is not a term present in the polynomial. Exam tip: look for the term with \(x\) raised to the power 0 to find the constant term.
गणना करें: \(p(1)=1^2-1=0\)। इसलिए उत्तर 0 है। जब किसी बहुपद के लिए \(p(a)=0\) होता है तो उस मान \(a\) को बहुपद का शून्य (root) कहते हैं। विकल्प C (−1) सामान्य त्रुटि है — कुछ विद्यार्थी घटाव को गलत तरीके से करते हैं; विकल्प B (1) और D (2) भी सरल अंकगणितीय गलतियाँ हैं। परीक्षा सुझाव: मान लगाने पर पहले घात (power) करें, फिर घटाएँ और उत्तर दो बार जाँच लें। / Compute: \(p(1)=1^2-1=0\). So the value is 0. When \(p(a)=0\), the number \(a\) is called a zero (root) of the polynomial. Choice C (−1) is a common slip — students often mishandle the subtraction; choices B (1) and D (2) result from simple arithmetic errors. Exam tip: substitute values carefully, evaluate powers before subtraction, and recheck your arithmetic.
