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समान मूलों के लिए \(k^2=196\) और समान मूल \(-\frac{k}{2}\) होगा। धनात्मक मूल के लिए (k=-14) सही है। / For equal roots, \(k^2=196\), and the equal root is \(-\frac{k}{2}\). For a positive root, (k=-14) is correct.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (196-4k=0) और (k=49)। समान मूल की शर्त में विवेचक शून्य रखें। / For equal roots, (D=0), so (196-4k=0) and (k=49). For equal roots, set the discriminant to zero.
यदि \(x=5\) रखते हैं तो बायाँ पक्ष \(5^2-12\cdot5+35=25-60+35=0\) बनता है, अतः उत्तर \(0\) है और \(x=5\) समीकरण का मूल है। नज़दीकी विकल्प गलत इसलिए हैं क्योंकि वे केवल परिवर्तनात्मक मान (जैसे 5) या गलत जमा/घटाव के परिणाम हैं — substitution करके ही सत्यापित करें। परीक्षा सुझाव: हर बार मूल सत्यापित करने के लिए वैल्यू सब्स्टीट्यूट कर के सरल अंकगणित करें। / Substitute \(x=5\): the left-hand side becomes \(5^2-12\cdot5+35=25-60+35=0\). Thus the value is 0 and \(x=5\) is a root. Closest distractors are incorrect because they are either the substituted value (5) or give nonzero results when substituted; always verify by direct substitution and careful arithmetic. Exam tip: perform the arithmetic step-by-step to avoid sign mistakes.
पहला कदम बाएँ पक्ष का विस्तार करना है: \((x+2)(x-7)=x^2-7x+2x-14=x^2-5x-14\). अब समीकरण को मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में लाने के लिए दोनों ओर से \(3x\) घटाएँ: \(x^2-5x-14-3x=0\Rightarrow x^2-8x-14=0\). विकल्प B (\(x^2-5x-14=0\)) सिर्फ विस्तार का परिणाम है लेकिन उसने \(3x\) दूसरी ओर ले जाना भूल गया, इसलिए निकटतम गलत विकल्प है। C और D में चिन्ह या गुणा-त्रुटि है। परीक्षा-सुझाव: पहले विस्तार करें, फिर सभी पद एक तरफ लाकर समान शक्तियों के अनुसार क्रमबद्ध करें। / First expand the left side: \((x+2)(x-7)=x^2-7x+2x-14=x^2-5x-14\). To put in standard form \(ax^2+bx+c=0\), subtract \(3x\) from both sides: \(x^2-5x-14-3x=0\Rightarrow x^2-8x-14=0\). Option B (\(x^2-5x-14=0\)) is the expansion before moving \(3x\), so it is the closest distractor. Options C and D result from sign or arithmetic mistakes. Exam tip: Expand first, then bring all terms to one side and order by descending powers of \(x\).
पहले \((x-3)^2=x^2-6x+9\) और \(2(x-3)=2x-6\)। अब इन्हें मिलाकर और \(-8\) जोड़ने पर: \(x^2-6x+9+2x-6-8=x^2-4x-5\) मिलता है। अतः सही समीकरण \(x^2-4x-5=0\) है। विकल्प D (\(x^2-4x+5=0\)) सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प है क्योंकि वहां केवल स्थिर पद का चिन्ह उल्टा है; अन्य विकल्पों में रैखिक और स्थिर पद दोनों अलग हैं। परीक्षात्मक टिप: \ / Expand and combine like terms: \((x-3)^2=x^2-6x+9\) and \(2(x-3)=2x-6\). Adding and subtracting 8 gives \(x^2-6x+9+2x-6-8=x^2-4x-5\). Therefore \(x^2-4x-5=0\) is correct. Closest distractor D has the same linear term but wrong constant sign (+5 instead of -5). Exam tip: Always expand \((x-a)^2\) as \(x^2-2ax+a^2\) and then combine like terms carefully.
यदि दो मूल 6 और 6 हैं, तो मूलों का योग 6+6=12 और गुणनफल 6×6=36 होगा। सम और गुणनफल के संबंध के अनुसार किसी द्विघात समीकरण \(x^2+rx+36=0\) में मूलों का योग \(-r\) और गुणनफल 36 होता है। इसलिए \( -r=12\) से \(r=-12\)। विकल्प A (12) सामान्य साइन-त्रुटि है — वही संख्या सही है पर संकेत गलत है। विकल्प C और D मूलों के मान हैं, पर प्रश्न \(r\) पूछ रहा है। परीक्षा टिप: मूलों का योग और गुणनफल लिखकर सीधे समीकरण बनाएं और साइन का ध्यान रखें। / If the roots are 6 and 6, their sum is 6+6=12 and product is 6×6=36. For the quadratic \(x^2+rx+36=0\), the sum of roots equals \(-r\) and the product equals 36. Hence \(-r=12\) gives \(r=-12\). Option A (12) mistakes the sign. Options C and D are the root values themselves, not the coefficient asked for. Exam tip: Always apply sum = -b/a and product = c/a, and check signs carefully.
\(x^2+2x-35\) को गुणन खंडों में लिखें: \((x+7)(x-5)=0\)। इससे मूल \(x=-7\) और \(x=5\) मिलते हैं, अर्थात युग्म \((5,-7)\)। परीक्षण: मूलों का योग \(5+(-7)=-2\) जो \(-b/a\) के बराबर है और गुणनफल \(5\times(-7)=-35\) जो \(c/a\) के बराबर है। विकल्प B (\((7,-5)\)) का गुणनफल सही है पर योग \(+2\) है इसलिए गलत। परीक्षा टिप: उजागर गुणनखंड या जड़ों का योग-गुणनफल \(r_1+r_2=-b/a,\; r_1r_2=c/a\) से तेज़ी से जाँच करें। / Factorise: \(x^2+2x-35=(x+7)(x-5)=0\). Hence the roots are \(x=-7\) and \(x=5\), i.e. the pair \((5,-7)\). Check: sum \(5+(-7)=-2=-b/a\) and product \(5\times(-7)=-35=c/a\). Option B \((7,-5)\) has the correct product but wrong sum (+2), so it is incorrect. Exam tip: verify roots quickly using sum and product of roots or factorisation before finalising the answer.
मूल की जाँच के लिए x = -2 को समीकरणों में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापित करें।
A: (-2)2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0 → मूल है।
B: (-2)2 + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 → मूल है।
C: 2(-2)2 + 3(-2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0 → मूल है (यह भ्रमित करने वाला विकल्प है क्योंकि गुणांक बड़े दिखते हैं)।
D: (-2)2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 ≠ 0 → मूल नहीं है।
अतः विकल्प D सही है। परीक्षा सुझाव: किसी दिए गए मान का मूल होने की सबसे तेज जाँच प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन है; केवल तभी फैक्टरिंग उपयोग करें जब आपको दोनों जड़ें चाहिए। / Check each equation by substituting x = -2.
A: (-2)2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0 → x = -2 is a root.
B: (-2)2 + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 → x = -2 is a root.
C: 2(-2)2 + 3(-2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0 → x = -2 is a root (this is the trickiest distractor because coefficients look nontrivial).
D: (-2)2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 ≠ 0 → x = -2 is not a root.
Therefore option D is correct. Exam tip: For testing a single candidate root, direct substitution is quicker and less error-prone than factoring.
मूलों का गुणनफल \(\frac{9}{p}=3\), इसलिए (p=3) है। गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{9}{p}=3\), so (p=3). Use \(\frac{c}{a}\) for the product of roots.
मूलों का योग \(-\frac{n}{3}=-4\), इसलिए (n=12) है। योग के सूत्र में ऋण चिन्ह न भूलें। / The sum of roots is \(-\frac{n}{3}=-4\), so (n=12). Do not forget the negative sign in the sum formula.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{-11}{5}\) है। (c) का चिन्ह सूत्र में सीधे आता है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{-11}{5}\). The sign of (c) is used directly in the formula.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{4}=\frac{7}{4}\) है। सूत्र में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{4}=\frac{7}{4}\). Pay attention to the sign of (b) in the formula.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-6) रखने पर \(x^2+6x+8=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-6) gives (x^2+6x+8=0).\)
मूलों का गुणनफल सीधे गुणा करके मिलता है:
(-3)×(-8)=24। दो नकारात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है इसलिए उत्तर 24 सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प -24 इसीलिए गलत है क्योंकि वह केवल चिह्न में त्रुटि दर्शाता है (नकारात्मक बनाना) — मान भली-भांति गुणा किया गया नहीं। विकल्प 11 और -11 भी गलत हैं क्योंकि वे गणना से मेल नहीं खाते। परीक्षा-सुझाव: द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए मूलों का गुणनफल \\c/a\\ होता है; संख्यात्मक मानों पर सीधे गुणा करके सत्यापित कर लें। / Compute the product directly: (-3)×(-8)=24. The product of two negative numbers is positive, so 24 is correct. The closest distractor -24 is wrong due to sign error (making the result negative). The options 11 and -11 are incorrect because they do not match the multiplication. Exam tip: For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the product of roots equals \(c/a\); for simple numeric roots just multiply them and check the sign rule for negatives.
मूलों का योग (-5+2=-3) है। विपरीत चिन्ह वाली संख्याओं में बड़े परिमाण का चिन्ह आता है। / The sum of roots is (-5+2=-3). For numbers with opposite signs, the sign of the larger magnitude is used.
क्वाड्रेटिक समीकरण के सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) में b वह गुणांक है जो x के साथ जुड़ा होता है। दिए गए समीकरण \(x^2-4\sqrt{2}x+8=0\) में x के साथ लगा गुणांक \(-4\sqrt{2}\) है, इसलिए b = \(-4\sqrt{2}\)। विकल्प B (\(4\sqrt{2}\)) निकट है पर उसका चिन्ह + है जो गलत है — गुणांक का चिन्ह अवश्य रखें। परीक्षा-सूत्र: पहले समीकरण को मानक रूप में लिखें और x वाले पद का पूरा गुणांक (संकेत सहित) ही b होता है। / In the standard quadratic form \(ax^2+bx+c=0\), b is the coefficient of x. In \(x^2-4\sqrt{2}x+8=0\) the coefficient of x is \(-4\sqrt{2}\), so b = -4\sqrt{2}. Option B (\(4\sqrt{2}\)) is the same magnitude but with the wrong sign — include the sign when identifying coefficients. Exam tip: always arrange the equation in standard form and read off a, b, c (with their signs).
\(\sqrt{x}\) में चर की भिन्न घात है, इसलिए यह सामान्य द्विघात रूप नहीं है। द्विघात रूप में केवल \(x^2\), (x) और स्थिर पद होते हैं। / The term \(\sqrt{x}\) has a fractional power of the variable, so it is not in usual quadratic form. Quadratic form has only \(x^2\), (x), and constant terms.
पूर्णांक गुणांकों के लिए हर पद से हर भिन्न का हर भाजक हटाना चाहिए। यहाँ हर श्रेणी का भाजक 5 है, इसलिए पूरे समीकरण को 5 से गुणा करने पर मिल जाता है: \(5\times\frac{2}{5}x^2=2x^2,\;5\times\frac{1}{5}x=1x,\;5\times(-2)=-10\)। अतः समतुल्य रूप \(2x^2+x-10=0\) होगा। निकटतम भ्रामक विकल्पों में \(2x^2+x-2=0\) गलत है क्योंकि वहाँ नियत पद \(-2\) को 5 से गुणा नहीं किया गया; \(5x^2+x-2=0\) और \(2x^2+5x-10=0\) भी गलत गुणन-वितरण के परिणाम हैं। परीक्षा टिप: भिन्नों से मुक्ति के लिए पूरे समीकरण को लघुत्तम समुच्चयक भाजक (यहाँ 5) से गुणा करें और फिर समान अनुपात के लिए सामान्य गुणक निकालें। / To get integer coefficients, eliminate denominators by multiplying every term by the common denominator. Here the common denominator is 5. Multiplying the whole equation by 5 gives: \(5\cdot\frac{2}{5}x^2=2x^2,\;5\cdot\frac{1}{5}x=1x,\;5\cdot(-2)=-10\). So the equivalent equation is \(2x^2+x-10=0\). Closest distractors fail because they omit multiplying the constant (\(2x^2+x-2=0\)) or misapply multiplication to only some terms (\(5x^2+x-2=0\), \(2x^2+5x-10=0\)). Exam tip: always multiply every term (including the constant and both sides) by the common denominator, then simplify by any common factor if possible.
पूरे समीकरण को (4) से गुणा करने पर \(x^2-4x+12=0\) मिलता है। भिन्न हटाने के लिए पूरे समीकरण पर गुणा करें। / Multiplying the whole equation by (4) gives \(x^2-4x+12=0\). To remove fractions, multiply the whole equation.
\(5x^2+20=0\) में (x) पद अनुपस्थित है, इसलिए (b=0) और (c=20>0) है। अनुपस्थित पद का गुणांक (0) मानें। / In \(5x^2+20=0\), the (x) term is absent, so (b=0) and (c=20>0). Treat a missing term coefficient as (0).
दी गई सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) से यहाँ \(a=3\) और \(c=8\)। इसलिए \(ac=3\times8=24\)। विकल्प B (30) इसीलिए गलत है क्योंकि वह संभवतः \(a\times b\) (\(3 imes10\)) के साथ भ्रमित करना है; विकल्प C (18) तब गलत होगा जब कोई \(c=6\) समझ ले। परीक्षा सुझाव: हमेशा पहले समीकरण को सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) में लिख कर सीधे \(a, b, c\) पहचानें। / For the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we have \(a=3\) and \(c=8\) here, so \(ac=3\times8=24\). Option B (30) is incorrect and likely arises from confusing \(ac\) with \(a\times b\) (\(3 imes10\)); option C (18) would be wrong if one mistakenly read \(c\) as 6. Exam tip: always write the equation in standard form and read off \(a, b, c\) before performing calculations.
घटक निकालने का तरीका: दो ऐसी संख्याएँ चुनें जिनका गुणनफल 20 और योग 9 हो। 4 और 5 ये शर्तें पूरी करते हैं क्योंकि \(4\cdot5=20\) और \(4+5=9\)। इसलिए गुणनखंड रूप \((x+4)(x+5)=0\) है। विकल्प B में संख्याएँ -4 और -5 का योग \(-9\) होगा इसलिए वह गलत है। विकल्प C और D के योग क्रमशः 12 और 21 हैं, इसलिए वे भी उपयुक्त नहीं हैं। परीक्षा-टिप: स्थिर पद के सभी कारकों की सूची बनाकर बीच के गुणांक से मिलान करें — यह सबसे तेज़ तरीका है। / Method: find two numbers whose product is 20 and sum is 9. The pair 4 and 5 satisfy \(4\cdot5=20\) and \(4+5=9\), so the factorization is \((x+4)(x+5)=0\). Option B would use -4 and -5 giving sum \(-9\), so it is incorrect. Options C and D sum to 12 and 21 respectively, so they do not match the middle coefficient. Exam tip: list factor pairs of the constant term (20 = 1·20, 2·10, 4·5) and pick the pair whose sum equals the coefficient of \(x\).
\(16x^2=81\), इसलिए \(x^2=\frac{81}{16}\) और \(x=\pm\frac{9}{4}\) है। वर्गमूल लेते समय दोनों चिन्ह लें। / \(16x^2=81\), so \(x^2=\frac{81}{16}\) and \(x=\pm\frac{9}{4}\). Take both signs while taking square roots.
समीकरण को सामान्य तरीके से गुणनखंडित करें: \(x^2+9x=x(x+9)\). शून्य गुणनफल का सिद्धांत कहता है कि यदि \(ab=0\) हो तो \(a=0\) या \(b=0\)। यहाँ \(x=0\) या \(x+9=0\Rightarrow x=-9\)। अतः मूल \(0\) और \(-9\) हैं। विकल्प B सबसे समकक्ष भ्रांतिदायक है क्योंकि वहाँ केवल संकेत गलत है (\(+9\) के बजाय \(-9\) होना चाहिए)। विकल्प C और D में संख्याएँ पूरी तरह असंगत हैं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा बहुपद को गुणनखंड करके शून्य-गुणनफल (zero-product) विधि लागू करें — यह तेज और सुरक्षित तरीका है। / Factor the polynomial: \(x^2+9x=x(x+9)\). By the zero-product property, if \(ab=0\) then \(a=0\) or \(b=0\). So \(x=0\) or \(x+9=0\Rightarrow x=-9\). Therefore the roots are 0 and -9. Option B is the closest distractor but wrong due to the sign of 9; options C and D use incorrect numbers. Exam tip: factorise first and apply the zero-product rule to find roots quickly and reliably.
लंबाई को चौड़ाई से 6 अधिक दिया गया है, अतः लंबाई = \(x+6\)। क्षेत्रफल = चौड़ाई × लंबाई = \(x(x+6)=72\)। बाएँ पक्ष को 0 पर लाकर सरल करने पर \(x^2+6x-72=0\) मिलता है, जो विकल्प A है। निकटतम भ्रामक उत्तर B में मध्यवर्ती पद का संकेत उल्टा है (\(+6x\) के बजाय \(-6x\)) इसलिए वह गलत है; C और D में पदों के गुणांक/स्थानों में स्पष्ट त्रुटियाँ हैं। परीक्षा टिप: शब्द-प्रश्न में सीधे लंबाई और चौड़ाई को प्रतीकात्मक रूप में लिखें और क्षेत्रफल का समीकरण बनाकर 0 पर लाएँ। / Length = breadth + 6, so length = \(x+6\). Area = breadth × length = \(x(x+6)=72\). Rearranging gives \(x^2+6x-72=0\), so option A is correct. The closest distractor B has the sign of the linear term wrong (\(-6x\) instead of \(+6x\)); C and D have incorrect coefficients/term placement. Exam tip: assign variables to dimensions, form the area equation, then bring all terms to one side to obtain a standard quadratic for solving.
छोटा पूर्णांक \(x\) और अगला \(x+1\) होगा। इसलिए \(x^2+(x+1)^2=85\)। विस्तार करने पर \(x^2+x^2+2x+1=85\) जो कि \(2x^2+2x+1-85=0\) या सरल करके \(2x^2+2x-84=0\) बनता है। विकल्प B केवल नियतांक में एक गलती है (\(-85\) होना चाहिए था \(-84\)) — यह इसलिए गलत है। विकल्प C में \(x^2\) का गुणन भूल गया गया है (दो बार होना चाहिए), और D में रैखिक पद का संकेत गलत है। परिक्षा टिप: हमेशा पहले बहुव्यंजक को फैलाकर शेष-समान को शून्य की ओर लाएँ और स्थिर पदों को जोड़ें। / If the smaller integer is \(x\), the next is \(x+1\). So set up \(x^2+(x+1)^2=85\). Expanding gives \(x^2+x^2+2x+1=85\), i.e. \(2x^2+2x+1-85=0\), which simplifies to \(2x^2+2x-84=0\). Option B is close but has the constant wrong (\(-85\) instead of \(-84\)). Option C misses the doubled \(x^2\) term; option D has the wrong sign on the linear term. Exam tip: expand carefully, bring all terms to one side and combine like terms before comparing options.
वाक्य से समीकरण बनता है: \(x^2 = 5x + 24\). सभी पद एक तरफ लाने पर \(x^2-5x-24=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में मध्यम पद का चिन्ह गलत है (\(+5x\) के स्थान पर \(-5x\) होना चाहिए)। विकल्प C में 5 और 24 को गलत पदों पर रखा गया है (24 को गुणक के रूप में x के साथ नहीं रखना चाहिए)। विकल्प D में \(x^2\) का गुणांक गलत है। परीक्षा-सुझाव: 'is ... more than' को "RHS में जोड़कर" लिखें और फिर सभी पद एक ओर लाकर शून्य पर बराबर रखें। / From the statement we get \(x^2 = 5x + 24\). Bringing all terms to one side gives \(x^2-5x-24=0\), so option A is correct. Option B has the wrong sign on the middle term. Option C incorrectly places 24 as the coefficient of x. Option D wrongly multiplies \(x^2\) by 5. Exam tip: Translate "is ... more than" as equality with addition on the right, then move all terms to one side to form the quadratic.
मोनिक द्विघात का सामान्य रूप \(x^2 - (\text{sum of roots})x + (\text{product of roots}) = 0\) होता है। यहाँ मूल \(-4\) और \(3\) हैं, तो योग \(-4 + 3 = -1\) और गुणनफल \(-4 \times 3 = -12\) होगा। इसलिए समीकरण \(x^2 -(-1)x + (-12) = x^2 + x - 12 = 0\) बनता है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(x^2 - x - 12 = 0\) है — यह केवल मध्य पद का संकेत उल्टा है (योग को गलत मानना), इसलिए गलत है। परीक्षा संकेत: सीधे गुणनखंड \((x - r_1)(x - r_2)\) बनाकर गुणा करें या वीएटा के नियम \(\text{sum} = -\tfrac{b}{a},\ \text{product} = \tfrac{c}{a}\) का उपयोग करें। / For a monic quadratic with roots r1 and r2 the polynomial is \(x^2 - (r1+r2)x + r1r2 = 0\). With roots \(-4\) and \(3\), the sum is \(-1\) and the product is \(-12\). Substituting gives \(x^2 -(-1)x + (-12) = x^2 + x - 12 = 0\), so option A is correct. The closest distractor \(x^2 - x - 12 = 0\) only differs by the sign of the middle term (it assumes sum = 1 instead of -1), hence it is wrong. Exam tip: either form \((x - r_1)(x - r_2)\) and expand, or use Vieta’s relations \(\text{sum} = -b/a\) and \(\text{product} = c/a\) to check coefficients quickly.
मूल (2) और (7) हों तो गुणनखंड ((x-2)) और ((x-7)) होंगे। इनका गुणन \(x^2-9x+14=0\) देता है। / If the roots are (2) and (7), the factors are ((x-2)) and ((x-7)). Their product gives \(x^2-9x+14=0\).
विवेचक की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। यहाँ \(a=3,\; b=2,\; c=7\)। इसलिए \(D=2^2-4\cdot3\cdot7=4-84=-80\)। मान नकारात्मक है, अतः विवेचक ऋणात्मक है और समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते (दो जटिल-सहयोगी मूल होंगे)। विकल्प B (शून्य) गलत है क्योंकि \(D=0\) होता तो सममूल (equal real roots) मिलते; विकल्प A (धनात्मक) गलत है क्योंकि धनात्मक विवेचक से दो अलग वास्तविक मूल मिलते। परीक्षा टिप: \(b^2\) और \(4ac\) अलग‑अलگ लिखकर घटाना करें ताकि हस्तक्षेप और चिन्हों की गलती न हो। / The discriminant is defined by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=3,\; b=2,\; c=7\). So \(D=2^2-4\cdot3\cdot7=4-84=-80\). The value is negative, so the discriminant is negative and the quadratic has no real roots (two complex conjugate roots). Option B (zero) is wrong because \(D=0\) would give equal real roots; option A (positive) is wrong because a positive discriminant yields two distinct real roots. Exam tip: compute \(b^2\) and \(4ac\) separately to avoid sign or multiplication errors.
