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पूरे समीकरण को (5) से गुणा करने पर \(x^2+10x-35=0\) मिलता है। भिन्न हटाने के लिए पूरे समीकरण पर गुणा करें। / Multiplying the whole equation by (5) gives \(x^2+10x-35=0\). To remove fractions, multiply the whole equation.
किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में \(a\) और \(c\) के गुणनफल को \(ac\) कहते हैं। यहाँ \(a=4\) और \(c=3\) हैं, इसलिए \(ac=4\times3=12\)। विकल्प B (13) अक्सर गलत उत्तर बनता है यदि किसी ने \(b\) को \(ac\) समझ लिया हो; C (16) तब गलत होगा जब कोई \(a\) को \(4\) और \(c\) को \(4\) मान ले। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा स्पष्ट रूप से \(a, b, c\) की पहचान करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), \(ac\) is the product of coefficients \(a\) and \(c\). Here \(a=4\) and \(c=3\), so \(ac=4\times3=12\). Option B (13) is incorrect because 13 is the value of \(b\), not \(ac\); option C (16) would be wrong if someone mistakenly took both coefficients as 4. Exam tip: always identify \(a, b, c\) explicitly before computing any derived quantity.
इस द्विघात के स्थायी पद का गुणनफल 30 और मध्यांक (coefficient of x) 11 है। उन दो संख्याओं को खोजें जिनका गुणनफल 30 हो और योग 11 हो — वे 5 और 6 हैं क्योंकि \(5\cdot6=30\) और \(5+6=11\)। इसलिए गुणनखंड रूप \((x+5)(x+6)=0\) सही है। निकटतम विकर्षक \((x+3)(x+10)=0\) का गुणनफल सही है पर योग \(3+10=13\) होता है इसलिए वह अनुकूल नहीं है। परीक्षा युक्ति: हमेशा constant का गुणनफल और middle coefficient का योग तुरंत जाँचें। / For the quadratic, the constant term is 30 and the coefficient of x is 11. Find two numbers whose product is 30 and whose sum is 11 — these are 5 and 6 because \(5\cdot6=30\) and \(5+6=11\). Hence the correct factorization is \((x+5)(x+6)=0\). The closest distractor \((x+3)(x+10)=0\) has the correct product but a sum of \(3+10=13\), so it does not match the middle coefficient. Exam tip: to factor quickly, match the product (constant) and the sum (middle coefficient) before expanding.
\(49x^2=64\), इसलिए \(x^2=\frac{64}{49}\) और \(x=\pm\frac{8}{7}\) है। वर्गमूल लेते समय दोनों चिन्ह लें। / \(49x^2=64\), so \(x^2=\frac{64}{49}\) and \(x=\pm\frac{8}{7}\). Take both signs while taking square roots.
दिए हुए बहुपद को सामान्य फैक्टर निकालकर लिख सकते हैं: \(x^2-10x = x(x-10)\). शून्य गुणनफल नियम (zero-product property) के अनुसार यदि \(x(x-10)=0\) तो या तो \(x=0\) या \(x-10=0\) जिससे \(x=10\) होता है। अतः मूल \(0\) और \(10\) हैं। विकल्प B में सिर्फ दूसरे मूल का संकेत गलत चिह्न (−10) है; विकल्प C और D में गलती फैक्टराइज़ेशन या गणना की है। परीक्षा-सुझाव: सीधे सामान्य गुणनांक निकालें और हर फैक्टर को शून्य के बराबर रखकर जड़ें तुरंत पाते हैं। / Factor the polynomial: \(x^2-10x = x(x-10)\). By the zero-product property, \(x(x-10)=0\) implies \(x=0\) or \(x-10=0\), giving roots \(0\) and \(10\). Thus (0, 10) is correct. Option B wrongly takes the second root as −10 (sign error); options C and D reflect incorrect factorisation or arithmetic. Exam tip: factor first; then set each factor equal to zero to find the roots quickly and avoid sign mistakes.
एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 7 इकाई अधिक है और उसका क्षेत्रफल 120 वर्ग इकाई है। यदि चौड़ाई \(x\) इकाई है, तो \(x\) के लिए बनने वाला द्विघात समीकरण कौन-सा है?
चौड़ाई \(x\) इकाई है, इसलिए लंबाई \(x+7\) इकाई होगी। क्षेत्रफल के अनुसार \(x(x+7)=120\)। विस्तार करने पर \(x^2+7x=120\), अतः \(x^2+7x-120=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में 7 घटाया गया है, जबकि लंबाई चौड़ाई से 7 अधिक दी गई है। परीक्षा टिप: आयत के प्रश्नों में पहले लंबाई और चौड़ाई के व्यंजक लिखकर उनका गुणन क्षेत्रफल के बराबर रखें। / The breadth is \(x\) units, so the length is \(x+7\) units. Using area, \(x(x+7)=120\). On expanding, \(x^2+7x=120\), so \(x^2+7x-120=0\). Option B incorrectly subtracts 7, whereas the length is 7 more than the breadth. Exam tip: In rectangle word problems, first express both dimensions and set their product equal to the area.
यदि छोटे पूर्णांक को \(x\) माना जाए तो क्रमागत पूर्णांक \(x\) और \(x+1\) होंगे। उनकी वर्गों का योग: \(x^2+(x+1)^2=145\). इसका विस्तार करें: \(x^2+x^2+2x+1=145\) यानी \(2x^2+2x+1=145\). दोनों ओर से 145 घटाने पर \(2x^2+2x-144=0\) प्राप्त होता है, जो विकल्प A है. निकटतम विचलन विकल्प B इसलिए गलत है क्योंकि वह \(+1\) को भूलकर सीधे \(2x^2+2x=145\) मान लेता; इससे स्थिर पद गलत बचता है. परीक्षा-सुझाव: समीकरण को 2 से भाग देकर \(x^2+x-72=0\) बनाकर फैक्टर करें — \((x+9)(x-8)=0\) से धनात्मक हल \(x=8\) मिलेगा। / Take the smaller integer as \(x\); the two consecutive integers are \(x\) and \(x+1\). Their squares sum to \(x^2+(x+1)^2=145\). Expanding gives \(x^2+x^2+2x+1=145\) or \(2x^2+2x+1=145\). Subtracting 145 yields \(2x^2+2x-144=0\), which is option A. The closest distractor, B, is wrong because it ignores the \(+1\) from \((x+1)^2\) and thus miscalculates the constant term. Exam tip: divide the equation by 2 to get \(x^2+x-72=0\), factor to \((x+9)(x-8)=0\) and choose the positive root \(x=8\).
वाक्य का अर्थ है: "x-2 में से 9x घटाएँ और परिणाम 36 है", यानी \(x^2-9x=36\). सभी पद एक ओर लाने पर \(x^2-9x-36=0\) मिलता है, जो विकल्प A है. विकल्प B तब गलत है जब आपने घटाने को जोड़ने समझ लिया (9x का संकेत उल्टा किया गया)। विकल्प C में x-2 का गुणांक बदल गया है और विकल्प D में संख्याएँ (9 और 36) और पदों की भूमिका बदल दी गई है—दोनों मूल वाक्य का सही रूप नहीं दर्शाते। परीक्षा-टिप: शब्दों को चरणबद्ध रूप से अलजेब्रा में बदलें (पहले बराबरी लिखें, फिर सभी पद एक तरफ लेकर \(=0\) पर लाएँ)। / The sentence means "subtract 9x from x-2 and the result is 36", so it gives \(x^2-9x=36\). Moving all terms to one side yields \(x^2-9x-36=0\), which is option A. Option B is wrong because it has the wrong sign on the linear term (it treats subtraction as addition). Option C wrongly changes the coefficient of \(x^2\), and option D swaps the numeric roles of 9 and 36; neither matches the given statement. Exam tip: translate the sentence into an equation step by step, then bring all terms to one side to form a standard quadratic equal to zero.
मोनिक का अर्थ है कि चर का गुणांक 1 है। यदि मूल \(-5\) और \(4\) हैं तो बहुपद के गुणनखंड \((x+5)\) और \((x-4)\) होंगे। इन्हें गुणा करने पर \((x+5)(x-4)=x^2+x-20)\) मिलता है, इसलिए मोनिक द्विघात समीकरण \(x^2+x-20=0\) होगा। विकल्प B सबसे नज़दीकी भ्रम है — वहाँ मध्य पद का संकेत उल्टा है; वास्तविक मूलों का योग \(-5+4=-1\) है, इसलिए मध्य पद का गुणांक \(-\text{(योग)}=1\) होना चाहिए, न कि \(-1\)। परीक्षात्मक टिप: मोनिक द्विघात के लिए सीधे फॉर्मूला याद रखें: \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)। / Monic means the coefficient of \(x^2\) is 1. For roots \(-5\) and \(4\) the factors are \((x+5)\) and \((x-4)\). Multiplying gives \((x+5)(x-4)=x^2+x-20\), so the monic quadratic is \(x^2+x-20=0\). The closest distractor is B, which has the wrong sign on the middle term; since the sum of the roots is \(-1\), the middle coefficient must be \(-\text{(sum) }=1\), not \(-1\). Exam tip: For roots \(\alpha,\beta\) use \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) to write the monic equation quickly.
मूल (3) और (8) हों तो गुणनखंड ((x-3)) और ((x-8)) होंगे। इनका गुणन \(x^2-11x+24=0\) देता है। / If the roots are (3) and (8), the factors are ((x-3)) and ((x-8)). Their product gives \(x^2-11x+24=0\).
विवेचक को परिभाषित किया जाता है: \(D=b^2-4ac\). यहाँ \(a=4,\; b=1,\; c=6\)। अतः \(D=1^2-4\cdot4\cdot6=1-96=-95\)। क्योंकि \(D<0\), विवेचक ऋणात्मक है और समीकरण की वास्तविक जड़ें नहीं हैं (जड़ें समिश्र संख्याएँ होंगी)। निकटतम विचलक शून्य (B) इसलिए गलत है क्योंकि शून्य होने के लिए \(b^2=4ac\) होना आवश्यक है, पर यहाँ \(1\neq96\)। परीक्षा टिप: \(4ac\) का गुणन सावधानी से करें और गुणन चिह्न/लक्ष्यांक पर ध्यान रखें। / The discriminant is given by \(D=b^2-4ac\). Here \(a=4,\; b=1,\; c=6\). So \(D=1^2-4\cdot4\cdot6=1-96=-95\). Since \(D<0\), the discriminant is negative; the equation has no real roots (roots are complex). The closest distractor 'zero' is wrong because that would require \(b^2=4ac\), which is not true here. Exam tip: compute \(4ac\) carefully and watch signs to avoid arithmetic errors.
मूलों की प्रकृति के लिए विवर्तक (discriminant) \(\Delta=b^2-4ac\) देखें। यहाँ \(a=1,\; b=14,\; c=49\) इसलिए \(\Delta=14^2-4\cdot1\cdot49=196-196=0\)। \(\Delta=0\) होने पर द्विघात समीकरण के दो समान (repeated) वास्तविक मूल होते हैं; यहाँ सामान्य सूत्र से गुणा करें तो मूल \(x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{14}{2}=-7\) (दोहरा मूल) आता है. नज़दीकी विचलन: विकल्प A गलत है क्योंकि \(\Delta\neq>0\) नहीं है, विकल्प C गलत है क्योंकि \(\Delta\) शून्य है (नकारात्मक नहीं), और D व्यर्थ है क्योंकि द्विघात का अधिकतम दो मूल होते हैं। परीक्षा-सुझाव: पहले हमेशा \(\Delta=b^2-4ac\) की गणना करें; यदि \(\Delta=0\) हो तो समान मूल तुरंत पहचान लें। / Compute the discriminant \(\Delta=b^2-4ac\). Here \(a=1,\; b=14,\; c=49\) so \(\Delta=14^2-4\cdot1\cdot49=196-196=0\). When \(\Delta=0\) a quadratic has two equal (repeated) real roots; using \(x=-\dfrac{b}{2a}\) gives \(x=-7\) as the repeated root. Why other options are wrong: A would require \(\Delta>0\), C would require \(\Delta<0\), and D is impossible for a quadratic (at most two roots). Exam tip: Always evaluate \(\Delta\) first — it directly tells you whether roots are distinct, equal, or complex.
(D=64>0), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। विवेचक का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है। / Since (D=64>0), there will be two distinct real roots. The sign of the discriminant tells the nature of roots.
विवेचक का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=25,\; b=-20,\; c=4\) इसलिए \(D=(-20)^2-4\cdot25\cdot4=400-400=0\)। \(D=0\) का अर्थ है कि समीकरण के दो वास्तविक और समान मूल हैं (दोहराये हुए मूल)। निकट का प्रतिद्वंद्वी विकल्प \(400\) इसीलिए गलत है क्योंकि वह केवल \(b^2\) है; विवेचक निकालने के लिए \(4ac\) घटाना आवश्यक है। विकल्प \(100\) आम गणना त्रुटि है (गलत तरीके से \(4ac\) की गणना करने पर आता है) और \(-20\) सही संकेत/मूल्यों के गलत उपयोग का परिणाम है। परीक्षा-सुझाव: तेज जांच के लिये देखें कि क्या त्रिघात एक पूर्ण वर्ग है — यहाँ \(25x^2-20x+4=(5x-2)^2\) होने से तुरंत पता चलता है कि \(D=0\)। / Use the discriminant formula \(D=b^2-4ac\). Here \(a=25,\; b=-20,\; c=4\), so \(D=(-20)^2-4\cdot25\cdot4=400-400=0\). \(D=0\) means the quadratic has two real and equal roots (a repeated root). The distractor 400 is incorrect because it is just \(b^2\) without subtracting \(4ac\). Option 100 arises from a common arithmetic mistake in computing \(4ac\), and \(-20\) comes from sign or substitution errors. Exam tip: check for a perfect square trinomial — here \(25x^2-20x+4=(5x-2)^2\), which immediately shows \(D=0\).
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में मान रखने पर \(-2x^2+9x-7=0\) मिलता है। गुणांक का चिन्ह कभी न छोड़ें। / Substituting in \(ax^2+bx+c=0\) gives \(-2x^2+9x-7=0\). Never ignore the sign of a coefficient.
पहले बाएँ भाग का विस्तार करें: \((x-6)^2 = x^2 - 12x + 36\). अब दाएँ भाग \(4x+5\) को बाएँ भाग में ले जाकर घटाएँ: \(x^2-12x+36-(4x+5)=x^2-16x+31\). इसलिए मानक रूप \(x^2-16x+31=0\) है। निकटभ्रामक विकल्प C (\(x^2-12x+41=0\)) में मध्यवर्ती पद का मान सही है पर स्थिर पद गलत है — यह तब होता है जब स्थिर पद की घटाकर-समीक्षा में अंक गलती हो। परीक्षा-सुझाव: सभी पदों को एक तरफ लाकर समान प्रकार के पद जोड़ें/घटाएँ और अंक पर विशेष ध्यान दें। / Expand the left side: \((x-6)^2 = x^2 - 12x + 36\). Move the right side \(4x+5\) to the left and combine like terms: \(x^2-12x+36-(4x+5)=x^2-16x+31\). Thus the standard form is \(x^2-16x+31=0\). The closest distractor C (\(x^2-12x+41=0\)) keeps the middle term but has an incorrect constant — a typical arithmetic slip when subtracting the constant. Exam tip: always bring all terms to one side and simplify carefully, checking signs and arithmetic.
(x=-3) रखने पर (18-3r-9=0) मिलता है, इसलिए (r=3) है। मूल दिया हो तो उसे समीकरण में रखें। / Putting (x=-3) gives (18-3r-9=0), so (r=3). If a root is given, substitute it into the equation.
\(x=5\) प्रतिस्थापित करने पर \(5^2-6\cdot5+5=25-30+5=0\) मिलता है। किसी बहुपद का दिया गया मान उस बहुपद में रखने पर मान शून्य आए तो वह मूल होता है; इसलिए \(x=5\) इस समीकरण का मूल है। विकल्प C गलत है क्योंकि यह द्विघात \(x^2-6x+5\) को \((x-1)(x-5)\) के रूप में गुणा करके लिखा जा सकता है, अतः दोनों \(x=1\) और \(x=5\) मूल हैं। परीक्षात्मक टिप: मूल जाँचने का तेज तरीका है मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करना; वैकल्पिक रूप से समीकरण को गुणनखंडों में विभाजित करके दोनों मूल खोजें। / Substitute \(x=5\): \(5^2-6\cdot5+5=25-30+5=0\). Since substitution yields zero, \(x=5\) is a root. Option C is incorrect because the quadratic factors as \((x-1)(x-5)=0\), so both \(x=1\) and \(x=5\) are roots. Exam tip: Verify a proposed root by direct substitution or factor the quadratic to find all roots.
समीकरण को उच्चस्तरीय घातानुक्रम के अनुरूप व्यवस्थित करने पर यह \(x^2-7x+12=0\) बनता है। यहाँ \(x\) का गुणांक (माध्यमिक पद का गुणांक) \(b=-7\) है। विकल्प C (7) भ्रामक है क्योंकि वह धनात्मक गुणांक दर्शाता है जबकि वास्तविक पद \(-7x\) है। परीक्षा-टिप: हमेशा बहुपद को घटते हुए घात के क्रम (शुरू में \(x^2\), फिर \(x\), अंत में स्थिर पद) में लिखें ताकि गुणांक स्पष्ट हों। / Rewriting the polynomial in descending powers gives \(x^2-7x+12=0\). The coefficient of \(x\) is therefore \(b=-7\). Option C (7) is a common mistake — it ignores the negative sign of the \(x\)-term. Exam tip: arrange terms in order of descending powers (\(x^2, x,\) constant) to read off coefficients directly.
यहाँ गुणांक हैं: \(a=6,\; b=-13,\; c=5\)। अब \(2a+b-c=2\times6+(-13)-5=12-13-5=-6\)। विकल्प B (4) गलत है क्योंकि वहाँ संभवतः \(c\) का चिह्न उल्टा लिया गया हो: यदि गलत तरीके से \(+5\) को जोड़ दिया जाए तो परिणाम 4 आ जाता है। परीक्षा सुझाव: पहले स्पष्ट रूप से \(a,b,c\) के मान लिखें और संकेतों (signs) का ध्यान रखें। / The coefficients are \(a=6,\; b=-13,\; c=5\). So \(2a+b-c=2\times6+(-13)-5=12-13-5=-6\). Option B (4) is a common mistake if the sign of \(c\) is handled incorrectly (adding instead of subtracting). Exam tip: always write down the values of \(a,b,c\) first and track plus/minus signs carefully when substituting.
द्विघात समीकरण के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(5-p\neq0\), अर्थात \(p\neq5\)। / For a quadratic equation, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Thus \(5-p\neq0\), so \(p\neq5\).
\((4x-1)(x+3)\) को फैलाने पर \(4x^2+12x-x-3\) मिलता है। समान पद जोड़ने पर यह \(4x^2+11x-3\) बनता है, इसलिए मानक रूप \(4x^2+11x-3=0\) है। विकल्प B में मध्य पद का चिह्न गलत है (यह +11x होना चाहिए, −11x नहीं)। विकल्प C और D भी गुणन या संकेत में त्रुटि दर्शाते हैं। परिक्षा-सूचना: हर बार बहुपदों को गुणा करने के बाद समान पदों को संयोजित करें और कटौती/योग ध्यान से कर लें। / Expanding \((4x-1)(x+3)\) gives \(4x^2+12x-x-3\). Combining like terms yields \(4x^2+11x-3\), so the standard form is \(4x^2+11x-3=0\). Option B has the wrong sign for the middle term (should be +11x). Options C and D result from incorrect multiplication or sign errors. Exam tip: multiply each term carefully and then combine like terms to avoid sign mistakes.
\(x=-4\) को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: \((-4)^2 + t(-4) - 8 = 0\) जिससे \(16 - 4t - 8 = 0\) बनता है। अत: \(8 - 4t = 0\) और \(t = 2\)। समीपवर्ती भ्रामक विकल्प \(-2\) आमतौर पर संकेत भूलकर या \(t(-4)\) को \(+4t\) लिखने से आता है — ध्यान रखें कि गुणा करते समय संकेत सही रखें। परीक्षा-सुझाव: किसी दिए गए मूल के लिए सीधे प्रतिस्थापन करें और द्विघात पदों में स्क्वायर और संकेतों की जाँच सावधानी से करें। / Substitute \(x=-4\) into the equation: \((-4)^2 + t(-4) - 8 = 0\), which gives \(16 - 4t - 8 = 0\). Thus \(8 - 4t = 0\) and \(t = 2\). The common wrong choice \(-2\) typically arises from a sign error (writing \(+4t\) instead of \(-4t\)). Exam tip: directly substitute the root and carefully handle squares and signs when simplifying.
((2x-1)2=4x-2-4x+1) है और सभी पद एक ओर लाने पर \(4x^2-7x-4=0\) मिलता है। वर्ग सूत्र और चिन्ह दोनों ध्यान से लगाएं। / Here ((2x-1)2=4x-2-4x+1), and bringing all terms to one side gives \(4x^2-7x-4=0\). Apply the square identity and signs carefully.
सामान्य पूर्ण वर्ग पहचान है \((x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\)। यहाँ मध्य पद 12 होने से \(2a=12\) हो जाता है और इसलिए \(a=6\)। साथ में \(a^2=36\) भी मिलता है, अतः \(x^2+12x+36=(x+6)^2\)। विकल्प B, यानी \((x-6)^2\), का विस्तार करने पर \(x^2-12x+36\) मिलता है — मध्य पद का संकेत उल्टा है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी त्रिपद को पूर्ण वर्ग होने के लिए मध्य पद का मान आधे का दुगना और स्थायी पद उसी आधे के वर्ग के बराबर होना चाहिए। / Use the identity \((x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\). Here the middle coefficient 12 gives \(2a=12\) so \(a=6\), and \(a^2=36\), hence \(x^2+12x+36=(x+6)^2\). Option B, \((x-6)^2\), expands to \(x^2-12x+36\) so its middle term has the opposite sign and is incorrect. Exam tip: half the middle coefficient and square it — if that equals the constant term and signs match, it's a perfect square trinomial.
वर्ग की भुजा x होने पर उसका क्षेत्रफल \(x^2\) होता है। प्रश्न कहता है कि यह क्षेत्रफल भुजा के 8 गुणे से 15 अधिक है, यानी \(x^2=8x+15\)। इसे बाएँ पर ला कर शून्य के बराबर किया जाए तो \(x^2-8x-15=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। निकटवर्ती भ्रामक उत्तर C केवल संख्याएँ बदल देता है (8 और 15 का स्थान बदलना) इसलिए गलत है; B का संकेत चिह्न (+) दोनों पदों के लिए गलत संकेत दर्शाता। परीक्षा-सुझाव: समीकरण बनाते समय पहले हमेशा वास्तविक परिमाण (यहाँ क्षेत्रफल = \(x^2\)) लिखें और फिर दिए हुए वाक्य को बराबरी के रूप में आके पर रखें। / For a square with side x the area is \(x^2\). The statement says the area is 15 more than 8 times the side, so \(x^2=8x+15\). Bringing all terms to one side gives \(x^2-8x-15=0\), so option A is correct. Distractors fail for clear reasons: C swaps the coefficients (places 15 with 8) and thus misrepresents the given relation; B has wrong signs (+) so it does not match the sentence. Exam tip: Always translate the English sentence into a mathematical equality (area = ...) before rearranging to standard quadratic form.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=s\), इसलिए मूलों का योग \(-s\) होगा। दिए गए मूलों का योग \(-3)+(-6)=-9\)। अतः \(-s=-9\) से \(s=9\)। निकटतम भ्रामक विकल्पों में \(-9\) तब गलत होगा जब कोई संकेत भूल जाए (मूलों का योग = \(s\) मान ले), \(18\) गुणनफल से भ्रामक मिलान है (यह \(c\) के बराबर है) और \(-6\) किसी एक मूल को सीधे \(s\) मान लेने की गलती है। परीक्षा सुझाव: हमेशा पहले \(a,b,c\) पहचानें और नियम "योग = -b/a, गुणनफल = c/a" याद रखें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the sum of roots = \(-b/a\) and product = \(c/a\). Here \(a=1\) and \(b=s\), so the sum of roots is \(-s\). The given roots sum to \(-3)+(-6)=-9\), therefore \(-s=-9\) which gives \(s=9\). Common wrong answers: \(-9\) arises from forgetting the negative sign, \(18\) confuses sum with product (since product = 18), and \(-6\) mistakes a single root for the coefficient. Exam tip: identify \(a,b,c\) first and apply "sum = -b/a, product = c/a."
दो संख्याएँ m और n वही होंगी जिनका गुणन m·n = 42 और जोड़ m+n = 13 हो। 6 और 7 परखने पर 6·7 = 42 तथा 6+7 = 13 मिलता है, इसलिए गुणनखंड \\(x-6)(x-7)\\ से विस्तारित करके \\x-2-13x+42\\ प्राप्त होता है। अन्य विकल्पों के गुणन 42 जरूर हैं (जैसे 3 और 14) पर उनका जोड़ 13 नहीं होता (3+14 = 17), अतः वे सही जोड़ नहीं देते। परीक्षा-टिप: किसी दिए गए स्थिर पद के सभी गुणन-जोड़ी लिखकर उनके योग चेक करें — सबसे जल्दी सही जोड़ी मिल जाएगी। / We need two integers m and n such that m·n = 42 and m + n = 13. Checking 6 and 7 gives 6·7 = 42 and 6+7 = 13, so the quadratic factors as (x-6)(x-7), which expands to x-2 - 13x + 42. A close distractor is 3 and 14: their product is 42 but 3+14 = 17, not 13, so they do not produce the correct middle term. Exam tip: list factor pairs of the constant term and check which pair sums to the coefficient of x (taking sign into account).
हर पद को (6) से भाग देने पर \(x^2-3x+2=0\) मिलता है। समान अशून्य गुणनखंड से भाग देने पर मूल नहीं बदलते। / Dividing every term by (6) gives \(x^2-3x+2=0\). Dividing by a common nonzero factor does not change the roots.
\(3x^2-27=0\) में \(x^2\) पद है और (x) पद अनुपस्थित है। (x) पद न होने पर भी समीकरण द्विघात हो सकता है। / In \(3x^2-27=0\), the \(x^2\) term is present and the (x) term is absent. An equation can be quadratic even without the (x) term.
