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द्विघात होने के लिए \(m^2-9\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(m\neq3\) और \(m\neq-3\) दोनों जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(m^2-9\neq0\) is needed. Hence both \(m\neq3\) and \(m\neq-3\) are necessary.
((5x-2)(2x+3)=10x-2+11x-6) है और (7x) घटाने पर \(10x^2+4x-6=0\) मिलता है। पहले विस्तार करें फिर सभी पद एक ओर लाएं। / Here ((5x-2)(2x+3)=10x-2+11x-6) and subtracting (7x) gives \(10x^2+4x-6=0\). First expand and then bring all terms to one side.
एक समकोण त्रिभुज का आधार \(x\) सेमी और ऊँचाई \(x+2\) सेमी है। यदि उसका क्षेत्रफल \(24\text{ cm}^2\) है, तो \(x\) के लिए सही द्विघात समीकरण कौन-सा होगा?
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\) होता है। अतः \(\frac{1}{2}x(x+2)=24\)। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर \(x(x+2)=48\) मिलता है। विस्तार करने पर \(x^2+2x-48=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में 2 से गुणा करने का चरण छूट गया है। परीक्षा टिप: क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में सूत्र में \(\frac{1}{2}\) को ध्यान से शामिल करें। / The area of a right triangle is \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). Therefore, \(\frac{1}{2}x(x+2)=24\). Multiplying both sides by 2 gives \(x(x+2)=48\). On expanding, we get \(x^2+2x-48=0\), so option A is correct. Option B incorrectly misses the step of multiplying by 2. Exam tip: In area-based questions, carefully account for the \(\frac{1}{2}\) in the triangle-area formula.
\(x^2-36=0\) में (b=0), इसलिए मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=0\) है। (x) पद अनुपस्थित हो तो योग (0) हो सकता है। / In \(x^2-36=0\), (b=0), so the sum of roots is \(-\frac{b}{a}=0\). If the (x) term is absent, the sum can be (0).
यहाँ (a=7), (b=-5), (c=2) हैं, इसलिए \(b^2+ac=25+14=39\) है। \(b^2\) में ऋण चिन्ह वर्ग के कारण धनात्मक हो जाता है। / Here (a=7), (b=-5), (c=2), so \(b^2+ac=25+14=39\). In \(b^2\), the negative sign becomes positive after squaring.
किसी समीकरण का मूल रखने पर समीकरण सत्य होता है। \(x=4\) रखने पर \(4^2+4s-32=0\), अर्थात \(16+4s-32=0\) मिलता है। इसलिए \(4s=16\) और \(s=4\)। \(-4\) लेने पर समीकरण संतुष्ट नहीं होता। परीक्षा टिप: दिए गए मूल को सीधे समीकरण में रखकर अज्ञात गुणांक ज्ञात करें। / A root makes the equation equal to zero. Substituting \(x=4\) gives \(4^2+4s-32=0\), or \(16+4s-32=0\). Hence, \(4s=16\), so \(s=4\). The value \(-4\) does not satisfy the equation for \(x=4\). Exam tip: Substitute the given root directly into the equation to find an unknown coefficient.
\((3x+4)^2=9x^2+24x+16\) होता है। अतः \(9x^2+24x+16=7x+16\)। सभी पदों को बाईं ओर लाने पर \(9x^2+24x+16-7x-16=0\), अर्थात \(9x^2+17x=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(7x\) घटाने पर \(24x-7x=17x\) के बजाय गलत रूप से \(31x\) लिया गया है। परीक्षा टिप: मानक रूप में समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में लिखें और समान पदों को सावधानी से मिलाएँ। / \((3x+4)^2=9x^2+24x+16\). Therefore, \(9x^2+24x+16=7x+16\). Moving all terms to the left gives \(9x^2+24x+16-7x-16=0\), so \(9x^2+17x=0\). Option B incorrectly treats \(24x-7x\) as \(31x\). Exam tip: write every quadratic equation in the form \(ax^2+bx+c=0\) and combine like terms carefully.
\((x-9)^2=x^2-2\times9\times x+9^2=x^2-18x+81\)। इसलिए दिया गया समीकरण \((x-9)^2=0\) के बराबर है। \((x+9)^2\) में मध्य पद \(+18x\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\) पहचान का उपयोग करें। / \((x-9)^2=x^2-2\times9\times x+9^2=x^2-18x+81\). Hence, the given equation is equivalent to \((x-9)^2=0\). In contrast, \((x+9)^2\) has the middle term \(+18x\), so it is not correct. Exam tip: use the identity \(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\).
वर्ग की भुजा \(x\) होने पर उसका क्षेत्रफल \(x^2\) होगा। प्रश्न के अनुसार क्षेत्रफल \(10x\) से 21 अधिक है, अर्थात \(x^2=10x+21\)। सभी पदों को एक ओर लाने पर \(x^2-10x-21=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(10x\) का चिन्ह गलत है। परीक्षा टिप: “से अधिक” को दिए गए व्यंजक में जोड़कर लिखें। / If the side of the square is \(x\), its area is \(x^2\). The statement says that the area is 21 more than \(10x\), so \(x^2=10x+21\). Moving all terms to one side gives \(x^2-10x-21=0\). In option B, the sign of the \(10x\) term is incorrect. Exam tip: Translate “more than” by adding to the stated quantity.
द्विघात समीकरण \(x^2+vx+28=0\) में मूलों का योग \(-v\) होता है। दिए गए मूलों का योग \(-4+(-7)=-11\) है। अतः \(-v=-11\), इसलिए \(v=11\)। विकल्प \(-11\) मूलों का योग है, न कि \(v\) का मान। परीक्षा टिप: \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b/a\) होता है। / For the quadratic equation \(x^2+vx+28=0\), the sum of the roots is \(-v\). The given roots have sum \(-4+(-7)=-11\). Hence, \(-v=-11\), so \(v=11\). Option \(-11\) is the sum of the roots, not the value of \(v\). Exam tip: For \(ax^2+bx+c=0\), the sum of roots is \(-b/a\).
8 और 9 का योग \(8+9=17\) तथा गुणनफल \(8\times9=72\) है। इसलिए \(x^2-17x+72=(x-8)(x-9)\) होगा। 6 और 12 का गुणनफल 72 है, लेकिन उनका योग केवल 18 है, इसलिए वह सही जोड़ी नहीं है। परीक्षा टिप: \(x^2+bx+c\) के गुणनखंड के लिए ऐसी दो संख्याएँ चुनें जिनका योग \(b\) और गुणनफल \(c\) हो। / The numbers 8 and 9 have sum \(8+9=17\) and product \(8\times9=72\). Hence, \(x^2-17x+72=(x-8)(x-9)\). Although 6 and 12 have product 72, their sum is 18, so they do not work. Exam tip: For \(x^2+bx+c\), look for two numbers whose sum is \(b\) and whose product is \(c\).
हर पद को (8) से भाग देने पर \(x^2-4x+3=0\) मिलता है। समान अशून्य गुणनखंड से भाग देने पर मूल नहीं बदलते। / Dividing every term by (8) gives \(x^2-4x+3=0\). Dividing by a common nonzero factor does not change the roots.
\(2x^2+7x=0\) में \(x^2\) पद है और स्थिर पद अनुपस्थित है। स्थिर पद न होने पर भी समीकरण द्विघात हो सकता है। / In \(2x^2+7x=0\), the \(x^2\) term is present and the constant term is absent. An equation can be quadratic even without a constant term.
समान मूलों के लिए \(k^2=324\) और समान मूल \(-\frac{k}{2}\) होगा। ऋणात्मक मूल के लिए (k=18) सही है। / For equal roots, \(k^2=324\), and the equal root is \(-\frac{k}{2}\). For a negative root, (k=18) is correct.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (324-4k=0) और (k=81)। समान मूल की शर्त में विवेचक शून्य रखें। / For equal roots, (D=0), so (324-4k=0) and (k=81). For equal roots, set the discriminant to zero.
\(x=7\) रखने पर बायाँ पक्ष \(7^2-15\times7+56=49-105+56=0\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 0 है और \(7\) इस द्विघात समीकरण का एक मूल है। \(7\) स्वयं \(x\) का मान है, बाएँ पक्ष का मान नहीं। परीक्षा टिप: किसी मान के मूल होने की जाँच के लिए उसे समीकरण के बाएँ पक्ष में रखकर देखें; परिणाम 0 होना चाहिए। / Substituting \(x=7\), the left-hand side becomes \(7^2-15\times7+56=49-105+56=0\). Hence, the correct answer is 0, and \(7\) is a root of the quadratic equation. Note that 7 is the value substituted for \(x\), not the value of the left-hand side. Exam tip: To verify a root, substitute it into the left-hand side; the result must be 0.
\((x-4)(x+9)=x^2+9x-4x-36=x^2+5x-36\)। अब दोनों पक्षों को एक ओर लाने के लिए \(5x\) घटाएँ: \(x^2+5x-36-5x=0\), अर्थात \(x^2-36=0\)। विकल्प B में केवल गुणनफल का प्रसार है; उसमें दाएँ पक्ष का \(5x\) शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: मानक रूप पाने के लिए सभी पदों को एक ही पक्ष में लाकर दूसरे पक्ष को \(0\) करें। / Expanding gives \((x-4)(x+9)=x^2+9x-4x-36=x^2+5x-36\). Now subtract \(5x\) from both sides: \(x^2+5x-36-5x=0\), so \(x^2-36=0\). Option B is only the expanded left-hand side and does not account for the \(5x\) on the right. Exam tip: To write a quadratic in standard form, bring all terms to one side and make the other side \(0\).
पहला चरण: \((x+4)^2 = x^2+8x+16\) और \(-3(x+4) = -3x-12\)। इन्हें और -10 को जोड़ने पर: \(x^2+8x+16-3x-12-10 = x^2+(8x-3x)+(16-12-10) = x^2+5x-6\)। इसलिए सही समीकरण \(x^2+5x-6=0\) है। नज़दीकी भ्रम (विकल्प C): \(x^2+5x+6=0\) में स्थिर पद का साइन गलत है — यह 16-12-10 के योग का गलत परिणाम है. परीक्षा टिप: पहले ब्रोकेट खोलकर समान पद \(x^2, x और स्थिर\) अलग-अलग जोड़ें, ताकि साइन की गलती न हो। / Expand terms: \((x+4)^2 = x^2+8x+16\) and \(-3(x+4) = -3x-12\). Adding these and \(-10\) gives \(x^2+8x+16-3x-12-10 = x^2+(8x-3x)+(16-12-10) = x^2+5x-6\). Thus the quadratic is \(x^2+5x-6=0\). Closest distractor (option C) has the constant term sign reversed — a typical error from mishandling the constant terms. Exam tip: always expand brackets first and then combine like terms separately to avoid sign mistakes.
दोनों मूल 8 और 8 होने पर मूलों का योग \(8+8=16\) होगा। किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b/a\) होता है। यहाँ \(a=1, b=u\) इसलिए \(-u=16\) और \(u=-16\)। वैकल्पिक तरीका: समान मूल होने पर विविक्तांक (discriminant) शून्य होगा, यानी \(u^2-4\cdot1\cdot64=0\) से \(u^2=256\), पर दिया गया मूल 8 होने के कारण संकेत अनुरूप \(u=-16\) लेना आवश्यक है। परीक्षा टिप: हमेशा या तो मूलों का योग-गुणनफल या \((x-\text{root})^2\) का विस्तार इस्तेमाल कर के तुरंत जाँच करें। / If both roots are 8, their sum is \(8+8=16\). For \(ax^2+bx+c=0\) the sum of roots equals \(-b/a\). Here \(a=1, b=u\), so \(-u=16\) implying \(u=-16\). Alternatively, discriminant zero gives \(u^2-4\cdot1\cdot64=0\Rightarrow u=\pm16\), and matching the given root value yields \(u=-16\). Exam tip: substitute the root or expand \((x-8)^2\) to check your value quickly.
इसको गुणनखंडित करें: \(x^2-3x-40=(x-8)(x+5)\)। अतः मूल \(x=8\) और \(x=-5\) हैं। जाँच के लिए मूलों का योग और गुणनफल देखें: योग \(8+(-5)=3\) जो कि \(-\tfrac{b}{a}=-\tfrac{-3}{1}=3\) से मेल खाता है, और गुणनफल \(8\times(-5)=-40\) जो कि \(\tfrac{c}{a}=-40\) से मिलता है। नज़दीकी विचलित विकल्प \(5,-8\) का गुणनफल सही है पर योग \(5+(-8)=-3\) गलत है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-टिप: किसी द्विघात के मूल जल्दी जांचने के लिए हमेशा "योग = -b/a" और "गुणनफल = c/a" का प्रयोग करें। / Factor the quadratic: \(x^2-3x-40=(x-8)(x+5)\). Thus the roots are \(x=8\) and \(x=-5\). Verify by sum and product: sum \(8+(-5)=3\) equals \(-b/a=-(-3)/1=3\), and product \(8\times(-5)=-40\) equals \(c/a=-40\). The closest distractor \((5,-8)\) has the correct product but wrong sum (\(-3\) instead of \(+3\)), so it is incorrect. Exam tip: use sum = \(-b/a\) and product = \(c/a\) to check root choices quickly.
मूलों का गुणनफल \(\frac{12}{q}=4\), इसलिए (q=3) है। गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{12}{q}=4\), so (q=3). Use \(\frac{c}{a}\) for the product of roots.
मूलों का योग \(-\frac{m}{4}=-6\), इसलिए (m=24) है। योग के सूत्र में ऋण चिन्ह न भूलें। / The sum of roots is \(-\frac{m}{4}=-6\), so (m=24). Do not forget the negative sign in the sum formula.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{-14}{6}=-\frac{7}{3}\) है। उत्तर को सरल रूप में लिखें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{-14}{6}=-\frac{7}{3}\). Write the answer in simplified form.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{5}=\frac{9}{5}\) है। सूत्र में (b) का चिन्ह ध्यान से रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{5}=\frac{9}{5}\). Pay attention to the sign of (b) in the formula.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-8) रखने पर \(x^2+8x+15=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-8) gives (x^2+8x+15=0).\)
मूलों का गुणनफल सीधे दोनों मूलों का गुणा है: \\((-4)(-9)=36\\)। दोनों ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है, इसलिए सही उत्तर 36 है। सबसे नज़दीकी विचलन \\(-36\\) इसीलिए गलत है क्योंकि संकेत का उल्टा लिया गया है; \\(13\\) और \\(-13\\) मूलों के योग \\((-4)+(-9)=-13\\) से संबंधित भ्रम पैदा करते हैं। परीक्षा सुझाव: तेज जाँच के लिए पहले संकेत (positive/negative) पर ध्यान दें — दो नकारात्मक होने पर गुणनफल धनात्मक होगा। / The product of the roots is simply their multiplication: \\((-4)(-9)=36\\). The product of two negative numbers is positive, so 36 is correct. The closest distractor \\(-36\\) is wrong due to an incorrect sign; \\(13\\) and \\(-13\\) confuse product with the sum (the sum is \\(-13\\)). Exam tip: check signs first — if both roots are negative, the product is positive.
मूलों का योग (-6+1=-5) है। विपरीत चिन्ह वाली संख्याओं में बड़े परिमाण का चिन्ह आता है। / The sum of roots is (-6+1=-5). For numbers with opposite signs, the sign of the larger magnitude is used.
सामान्य रूप \(ax^2+bx+c=0\) में \(b\) वह गुणांक है जो \(x\) के साथ लगा होता है। दिए गए समीकरण में \(x\) के साथ लगा गुणांक \(6\sqrt{5}\) है, इसलिए \(b=6\sqrt{5}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें केवल चिन्ह उल्टा है; विकल्प C सही नहीं क्योंकि \(45\) यहाँ स्थिर पद \(c\) है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(1\) गुणांक \(a\) के बराबर है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी द्विघात समीकरण को पहले मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में पहचानें और फिर सीधे पदों के गुणांक पढ़ें। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), \(b\) is the coefficient of \(x\). In the given equation the coefficient of \(x\) is \(6\sqrt{5}\), so \(b=6\sqrt{5}\). Option B is incorrect because it has the wrong sign; option C is the constant term \(c\); option D equals the coefficient \(a\). Exam tip: always write the quadratic in standard form and read off the coefficients for \(a, b, c\).
\(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है, जो बहुपद रूप नहीं है। सामान्य द्विघात समीकरण में चर की ऋणात्मक घात नहीं होती। / \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), which is not polynomial form. A usual quadratic equation does not have a negative power of the variable.
हर पद के भाजकों में 4 और 2 आते हैं; इनके LCM = 4 है। दोनों तरफ़ 4 से गुणा करने पर: \(\frac{3}{4}x^2\times4=3x^2,\; -\frac{1}{2}x\times4=-2x,\; 2\times4=8\)। इसलिए समतुल्य समीकण \(3x^2-2x+8=0\) बनता है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसने स्थिर पद को सही ढंग से 4 से गुणा नहीं किया (2 की जगह 8 होना चाहिए)। परीक्षा टिप: भिन्नांक हटाने के लिए पहले हर पद के हर भाजक का LCM निकालकर दोनों ओर उससे गुणा करें; किसी एक पद को अलग से बदलें नहीं। / Denominators 4 and 2 have LCM = 4, so multiply the entire equation by 4: \(\frac{3}{4}x^2\times4=3x^2,\; -\frac{1}{2}x\times4=-2x,\; 2\times4=8\). Thus the integer-coefficient form is \(3x^2-2x+8=0\). Option B is incorrect because the constant term was not multiplied correctly (it should become 8). Exam tip: to remove fractional coefficients, multiply the whole equation by the LCM of all denominators — do not change individual terms differently.
