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समान मूलों के लिए \(p^2-36=0\) से \(p=\pm6\) मिलता है। ऋणात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{p}{2}<0\), इसलिए (p=6)। / For equal roots, \(p^2-36=0\) gives \(p=\pm6\). For equal negative roots, \(-\frac{p}{2}<0\), so (p=6).
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (16) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (16), so it is not possible.
यह समीकरण \(4x^2-4kx+k^2=(2x-k)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(2x-k=0\), इसलिए दोनों मूल \(x=\frac{k}{2}\) हैं और समान वास्तविक मूल हैं। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जाँचने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) देखें; यहाँ \(D=0\) है। इसलिए विकल्प B गलत है, क्योंकि मूल भिन्न नहीं हैं। / The equation can be written as \(4x^2-4kx+k^2=(2x-k)^2=0\). Hence \(2x-k=0\), giving the repeated root \(x=\frac{k}{2}\). Therefore, the roots are equal and real. Exam tip: use the discriminant \(D=b^2-4ac\); here \(D=0\), so the roots are equal. Thus option B is incorrect because the roots are not distinct.
विस्तार करने पर \\(x+a)^2=x^2+2ax+a^2\\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में \\(x\\) के गुणांक की तुलना करने पर \\(2a=10\\), अतः \\(a=5\\)। विकल्प B में \\(a=-5\\) लेने पर \\(x\\) का गुणांक \\(-10\\) हो जाएगा, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: सर्वसमिका में समान घात वाले पदों के गुणांकों की तुलना करें। / Expanding gives \\(x+a)^2=x^2+2ax+a^2\\). Comparing the coefficients of \\(x\\) on both sides, \\(2a=10\\), so \\(a=5\\). Option B is incorrect because \\(a=-5\\) would make the coefficient of \\(x\\) equal to \\(-10\\). Exam tip: In an identity, compare the coefficients of like powers of the variable.
विकल्प A में x² − 12x + 36 = (x − 6)² है। अतः इसका एक ही दोहराया हुआ मूल x = 6 है, जो धनात्मक है। विकल्प B के समान मूल −6 हैं, विकल्प C के मूल 6 और −6 अलग-अलग हैं, जबकि विकल्प D के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के लिए विविक्तकर शून्य और धनात्मक मूल के लिए मूल का मान धनात्मक होना चाहिए। / In option A, x² − 12x + 36 = (x − 6)², so the repeated root is x = 6, which is positive. Option B has equal roots of −6, option C has two distinct roots, 6 and −6, and option D has no real roots. Exam tip: equal roots require a discriminant of zero, and the repeated root must be positive.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ मान \(\frac{5}{6}\) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the value is \(\frac{5}{6}\).
यदि मूलों का योग (11) और गुणनफल (30) है, तो समीकरण \(x^2-11x+30=0\) होगा। मोनिक रूप का सूत्र याद रखें। / If the sum of roots is (11) and product is (30), the equation is \(x^2-11x+30=0\). Remember the monic form formula.
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, इसलिए ((x+5)(x-2)=84)। बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर \(x^2+3x-10=84\) मिलता है। 84 को बाएँ पक्ष में लाने पर \(x^2+3x-94=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में स्थिर पद घटाने में गलती है। परीक्षा-युक्ति: पहले द्विपदों का सही विस्तार करें और फिर समीकरण को शून्य के बराबर लिखें। / The area of a rectangle is length × breadth, so ((x+5)(x-2)=84). Expanding the product gives \(x^2+3x-10=84\). Bringing 84 to the left side results in \(x^2+3x-94=0\), so option A is correct. Option B incorrectly changes the constant term. Exam tip: expand the binomials carefully and then rearrange the equation into the standard form equal to zero.
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=5\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=6\) है। दोनों धनात्मक हैं। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=5\) and the product is \(\frac{c}{a}=6\). Both are positive.
मूलों का योग \((-5)+(-5)=-10\) है। समीकरण \(x^2+bx+25=0\) में मूलों का योग \(-b\) होता है, इसलिए \(-b=-10\), अर्थात \(b=10\)। परीक्षा में \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) याद रखें। / The sum of the two roots is \((-5)+(-5)=-10\). For \(x^2+bx+25=0\), the sum of the roots is \(-b\). Hence, \(-b=-10\), giving \(b=10\). Exam tip: for \(x^2+bx+c=0\), remember that the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\).
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \(x^2+6x+c\) को \((x+3)^2\) के रूप में लिखा जाना चाहिए। विस्तार करने पर \((x+3)^2=x^2+6x+9\), इसलिए \(c=9\) है और समीकरण \((x+3)^2=0\) बन जाता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\) का पैटर्न पहचानें। / For the quadratic expression to be a perfect square, \(x^2+6x+c\) must equal \((x+3)^2\). Since \((x+3)^2=x^2+6x+9\), we get \(c=9\), and the equation becomes \((x+3)^2=0\). In the exam, identify the pattern \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\).
दिए गए समीकरण को \((3x-4)(x-2)=0\) के रूप में गुणनखंडित करने पर मूल \(x=\frac{4}{3}\) और \(x=2\) प्राप्त होते हैं। अतः मूलों का धनात्मक अंतर \(2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\) है। परीक्षा में पहले गुणनखंडन करके मूल ज्ञात करना, फिर बड़े मूल में से छोटे मूल को घटाना सबसे सरल तरीका है। / Factoring the equation as \((3x-4)(x-2)=0\) gives the roots \(x=\frac{4}{3}\) and \(x=2\). Therefore, their positive difference is \(2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\). In an exam, factoring first and subtracting the smaller root from the larger one is the quickest method.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ दोनों मूलों का गुणनफल \(2m\) है। एक मूल \(2\) दिया गया है, इसलिए दूसरा मूल \(\frac{2m}{2}=m\) होगा। जाँच के लिए मूलों का योग \(m+2\) है और \(2+m=m+2\), जो सही है। परीक्षा-युक्ति: जब एक मूल ज्ञात हो, तो दूसरे मूल के लिए गुणनफल या योग—जिससे गणना सरल हो—का प्रयोग करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, the product of the two roots is \(2m\). Since one root is \(2\), the other root is \(\frac{2m}{2}=m\). As a check, the sum of the roots is \(m+2\), and \(2+m=m+2\), so the result is consistent. Exam tip: When one root is known, use either the product or the sum of roots, whichever gives the quicker calculation.
A. इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं/It has no real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=6\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(6)=16-24=-8<0\) है। इसलिए इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके जटिल मूल \(2+\sqrt{2}i\) और \(2-�sqrt{2}i\) हैं। ध्यान रखें: \(D<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते, जबकि \(D=0\) होने पर दो समान वास्तविक मूल होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=6\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(6)=16-24=-8<0\). Hence, the equation has no real roots; its complex roots are \(2+\sqrt{2}i\) and \(2-�sqrt{2}i\). Remember: \(D<0\) means there are no real roots, whereas \(D=0\) gives two equal real roots.
मूलों का योग (-p) और गुणनफल (q) होता है। दिए मूल (p,q) हैं, इसलिए (p+q=-p) और (pq=q)। / The sum of roots is (-p) and the product is (q). Since the roots are (p,q), we get (p+q=-p) and (pq=q).
विस्तार करने पर \((x+1)(x+2)=x^2+3x+2\) और \((x+3)(x+4)=x^2+7x+12\) मिलता है। अतः बायाँ पक्ष \(2x^2+10x+14\) है। 50 को बाईं ओर लाने पर \(2x^2+10x+14-50=0\), अर्थात् \(2x^2+10x-36=0\) प्राप्त होता है। विकल्प C गलत है, क्योंकि पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर स्थिर पद \(-18\) होगा, \(-36\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: मानक रूप के लिए सभी पदों को एक तरफ लाकर समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में लिखें। / Expanding gives \((x+1)(x+2)=x^2+3x+2\) and \((x+3)(x+4)=x^2+7x+12\). Thus, the left side becomes \(2x^2+10x+14\). Bringing 50 to the left gives \(2x^2+10x+14-50=0\), or \(2x^2+10x-36=0\). Option C is incorrect because dividing the entire equation by 2 would give a constant term of \(-18\), not \(-36\). Exam tip: Write a quadratic equation in standard form as \(ax^2+bx+c=0\).
पहले विकल्प में (t=2) रखने पर \(x^2\) का गुणांक (0) हो जाता है। तब समीकरण रैखिक बन जाता है। / In the first option, putting (t=2) makes the coefficient of \(x^2\) equal to (0). Then the equation becomes linear.
विएटा के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\)। इसलिए \((\alpha-1)(\beta-1)=\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1=15-8+1=8\)। अतः सही उत्तर 8 है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में मूल ज्ञात करने के बजाय सीधे मूलों के योग और गुणनफल का उपयोग करना अधिक तेज़ और सुरक्षित होता है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\). Therefore, \((\alpha-1)(\beta-1)=\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1=15-8+1=8\). Hence, 8 is correct. In such questions, using the sum and product of the roots directly is faster and safer than solving for the roots individually.
यदि मूल \(\alpha,\beta\) हैं, तो (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta)। यहाँ (\left\(-\frac{7}{2}\right\)2-2\cdot\frac{3}{2}=\frac{37}{4})। / If the roots are \(\alpha,\beta\), then (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Here (\left\(-\frac{7}{2}\right\)2-2\cdot\frac{3}{2}=\frac{37}{4}).
मूलों का गुणनफल (12) है, इसलिए दूसरा मूल (4) होगा। योग (7) है और (-a=7), इसलिए (a=-7)। / The product of roots is (12), so the other root is (4). The sum is (7), and (-a=7), so (a=-7).
\(x^2+x+4=0\) के लिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot4=-15\) है। विवेचक निकालते समय (4ac) पूरा घटाएं। / For \(x^2+x+4=0\), \(D=1^2-4\cdot1\cdot4=-15\). Subtract the full (4ac) while finding the discriminant.
द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से बड़ा होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-6\), \(c=k\), इसलिए \(D=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\)। अतः \(36-4k>0\), जिससे \(k<9\) प्राप्त होता है। \(k=9\) पर दोनों मूल समान हो जाते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation to have real and distinct roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must be positive. Here, \(a=1\), \(b=-6\), and \(c=k\), so \(D=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\). Thus, \(36-4k>0\), which gives \(k<9\). At \(k=9\), the roots are equal, so option B is not correct. Exam tip: for two distinct real roots, always require \(D>0\).
विएटा के प्रमेय के अनुसार, मूलों का योग \(s\) के बराबर होता है और मूलों का गुणनफल \(p\) के बराबर होता है। अतः \(s=2+3=5\) तथा \(p=2\times3=6\)। इसलिए \(s+p=5+6=11\), अतः विकल्प A सही है। परीक्षा में \(x^2-sx+p\) के लिए मूलों का योग \(s\) और गुणनफल \(p\) सीधे पहचानें। / By Vieta’s relations, the sum of the roots equals \(s\), while their product equals \(p\). Thus, \(s=2+3=5\) and \(p=2\times3=6\). Therefore, \(s+p=5+6=11\), so option A is correct. Exam tip: for \(x^2-sx+p\), identify the sum of roots as \(s\) and the product as \(p\).
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{5}{3}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here it is \(\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{5}{3}\).
A. \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)/\(k\leq -3\) or \(k\geq 3\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2k\) और \(c=9\) हैं, इसलिए \(D=(2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\)। अतः \(4k^2-36\geq 0\), यानी \(k^2\geq 9\), जिससे \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)। विकल्प B में \(D<0\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq 0\) जाँचें। / A quadratic equation has real roots only when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is non-negative. Here, \(a=1\), \(b=2k\), and \(c=9\), so \(D=(2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\). Thus \(4k^2-36\geq 0\), which gives \(k^2\geq 9\), and hence \(k\leq -3\) or \(k\geq 3\). In option B, \(D<0\), so the roots are not real. Exam tip: For real roots, always check the condition \(D\geq 0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2k\) और \(c=16\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(16)=4k^2-64\)। अतः \(4k^2-64=0\), जिससे \(k^2=16\) और \(k=\pm4\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है; केवल \(k=4\) या केवल \(k=-4\) लेना अधूरा उत्तर होगा। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरणों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2k\), and \(c=16\), so \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(16)=4k^2-64\). Thus, \(4k^2-64=0\), giving \(k^2=16\) and hence \(k=\pm4\). Therefore, option A is correct; choosing only \(k=4\) or only \(k=-4\) gives an incomplete answer. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, immediately use \(D=0\).
यदि मूल और हैं, तो मोनिक द्विघात समीकरण का मानक रूप \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=10\), इसलिए समीकरण \(x^2-7x+10=0\) है। विकल्प B में मूलों का योग \(-7\) होगा, जबकि विकल्प C में योग और गुणनफल के स्थान आपस में बदल गए हैं। परीक्षा-युक्ति: मोनिक समीकरण में \(x\) का गुणांक मूलों के योग का ऋणात्मक और अचर पद मूलों का गुणनफल होता है। / If the roots are \(\alpha\) and \(\beta\), the standard form of a monic quadratic equation is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\). Here, \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=10\), so the equation is \(x^2-7x+10=0\). In option B, the sum of the roots would be \(-7\), while option C interchanges the sum and product. Exam tip: in a monic quadratic, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of the roots, and the constant term is their product.
किसी मूल का मान समीकरण को संतुष्ट करता है। इसलिए \\(x=-2\\) रखने पर \\(3(-2)^2+p(-2)+10=0\\), अर्थात \\(12-2p+10=0\\)। इससे \\(22-2p=0\\) और \\(p=11\\) प्राप्त होता है। परीक्षा में मूल दिया हो तो उसे सीधे समीकरण में रखकर अज्ञात पैरामीटर ज्ञात करें। / The value of a root must satisfy the equation. Substituting \\(x=-2\\) gives \\(3(-2)^2+p(-2)+10=0\\), so \\(12-2p+10=0\\), or \\(22-2p=0\\). Hence, \\(p=11\\). In such questions, substitute the given root directly and simplify carefully, especially the sign of the middle term.
पूरे समीकरण को (6) से गुणा करने पर \(3x^2-9+2x-2=24\) मिलता है। इसलिए \(3x^2+2x-35=0\) नहीं बल्कि सही रूप \(3x^2+2x-35=0\) होगा। / Multiplying the whole equation by (6) gives \(3x^2-9+2x-2=24\). Thus the standard form is \(3x^2+2x-35=0\).
विस्तार करने पर (x-2)2=x-2-4x+4 और (2x+1)2=4x-2+4x+1 मिलता है। अतः \(5x^2+5=25\), और 25 को बाईं ओर लाने पर \(5x^2-20=0\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प D सही है। परीक्षा-युक्ति: मानक रूप में सभी पदों को एक तरफ लाकर स्थिर पद सहित समीकरण को शून्य के बराबर लिखें। / Expanding gives \((x-2)^2=x^2-4x+4\) and \((2x+1)^2=4x^2+4x+1\). Therefore, \(5x^2+5=25\); moving 25 to the left gives \(5x^2-20=0\). Hence, option D is correct. Exam tip: To obtain standard form, bring all terms to one side and set the resulting expression equal to zero.
