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2217 questions tagged with quadratic equations.
Which equation has discriminant (-11)?
A. \(x^2+x+3=0\)
\(x^2+x+3=0\) के लिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot3=-11\) है। विवेचक निकालते समय (4ac) पूरा घटाएं। / For \(x^2+x+3=0\), \(D=1^2-4\cdot1\cdot3=-11\). Subtract the full (4ac) while finding the discriminant.
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A. \(k<16\)
द्विघात समीकरण में वास्तविक और अलग-अलग मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से बड़ा होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-8, c=k\), इसलिए \(D=(-8)^2-4(1)(k)=64-4k\)। शर्त \(64-4k>0\) से \(k<16\) प्राप्त होता है। \(k=16\) पर दोनों मूल समान हो जाते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation to have real and distinct roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must be positive. Here, \(a=1, b=-8, c=k\), so \(D=(-8)^2-4(1)(k)=64-4k\). Thus, \(64-4k>0\), which gives \(k<16\). When \(k=16\), the roots are equal, so option B is incorrect. Exam tip: use \(D>0\) specifically for distinct real roots.
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If 4 and 5 are the roots of the equation \(x^2-sx+p=0\), what is the value of \(s+p\)?
A. 29
द्विघात समीकरण \(x^2-sx+p=0\) में मूलों का योग \(s\) और मूलों का गुणनफल \(p\) होता है। इसलिए \(s=4+5=9\) तथा \(p=4\times5=20\)। अतः \(s+p=9+20=29\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में मूलों के योग और गुणनफल के मानों की तुलना मानक रूप \(x^2-sx+p=0\) से करें। / For the quadratic equation \(x^2-sx+p=0\), the sum of the roots is \(s\), and their product is \(p\). Thus, \(s=4+5=9\) and \(p=4\times5=20\). Therefore, \(s+p=9+20=29\), so option A is correct. Exam tip: compare the equation directly with the standard form \(x^2-(\text{sum of roots})x+(\text{product of roots})=0\).
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What is the sum of reciprocals of the roots of \(3x^2-10x+7=0\)?
A. \( \frac{10}{7} \)
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\frac{\frac{10}{3}}{\frac{7}{3}}=\frac{10}{7}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here it is \(\frac{\frac{10}{3}}{\frac{7}{3}}=\frac{10}{7}\).
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What condition on \(k\) is necessary for the equation \(x^2+2kx+16=0\) to have real roots?
A. \(k\leq -4\) या \(k\geq 4\)\(k\leq -4\) or \(k\geq 4\)
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=2k, c=16\), इसलिए \(D=(2k)^2-4(1)(16)=4k^2-64\)। अतः \(4k^2-64\geq0\Rightarrow k^2\geq16\), जिससे \(k\leq-4\) या \(k\geq4\)। विकल्प B में \(k\) का मान \(-4\) और \(4\) के बीच होता है, जहाँ विविक्तकर ऋणात्मक है। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have real roots, its discriminant must satisfy \(D=b^2-4ac\geq0\). Here, \(a=1, b=2k, c=16\), so \(D=(2k)^2-4(1)(16)=4k^2-64\). Thus, \(4k^2-64\geq0\Rightarrow k^2\\geq16\), which gives \(k\leq-4\) or \(k\geq4\). In option B, \(k\) lies between \(-4\) and \(4\), making the discriminant negative. Exam tip: Whenever real roots are asked for, begin with the condition \(D\geq0\).
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A. \(k=\pm5\)
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2k\) और \(c=25\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(25)=4k^2-100\)। अतः \(4k^2-100=0\), जिससे \(k^2=25\) और \(k=\pm5\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। केवल \(k=5\) या \(k=-5\) लेना अधूरा होगा, क्योंकि दोनों मान संभव हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल दिखें तो सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2k\), and \(c=25\), so \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(25)=4k^2-100\). Setting \(D=0\) gives \(4k^2-100=0\), hence \(k^2=25\) and \(k=\pm5\). Therefore, option A is correct. Choosing only \(k=5\) or only \(k=-5\) is incomplete because both values are possible. Exam tip: For equal roots, immediately use \(D=0\).
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Which monic quadratic equation has sum of roots (-9) and product (20)?
A. \(x^2+9x+20=0\)
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-9) रखने पर \(x^2+9x+20=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-9) gives (x^2+9x+20=0).\)
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If (x=-4) is a root of the equation \(2x^2+px-12=0\), what is the value of (p)?
A. 5
किसी मूल का मान समीकरण में रखने पर समीकरण सत्य होना चाहिए। इसलिए (x=-4) रखने पर (2(-4)2+p(-4)-12=0), अर्थात (32-4p-12=0) मिलता है। इससे (20-4p=0) और (p=5) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिह्न की त्रुटि के कारण (p=-5) आता है। परीक्षा-युक्ति: दिए गए मूल को सीधे मूल समीकरण में रखकर अज्ञात पैरामीटर ज्ञात करें। / A given root must make the equation equal to zero. Substituting (x=-4) gives (2(-4)2+p(-4)-12=0), or (32-4p-12=0). Thus (20-4p=0), so (p=5). Option B results from a sign error and gives (p=-5). Exam tip: Substitute the given root directly into the quadratic equation to find the unknown parameter.
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Write \(\frac{x^2+1}{3}-\frac{x-2}{2}=5\) in standard form with integer coefficients.
A. \(2x^2-3x-22=0\)
पूरे समीकरण को (6) से गुणा करने पर \(2x^2+2-3x+6=30\) मिलता है। इसलिए मानक रूप \(2x^2-3x-22=0\) है। / Multiplying the whole equation by (6) gives \(2x^2+2-3x+6=30\). Therefore the standard form is \(2x^2-3x-22=0\).
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What is the standard form of the equation \\(2x-3\\)2+(x+5)2=34?
A. \\(5x^2-2x=0\\)
पहले वर्गों का विस्तार करें: \\( (2x-3)^2=4x^2-12x+9 \\) और \\( (x+5)^2=x^2+10x+25 \\)। अतः \\(5x^2-2x+34=34\\), इसलिए दोनों पक्षों से 34 घटाने पर \\(5x^2-2x=0\\) प्राप्त होता है। यही \\(ax^2+bx+c=0\\) के रूप में मानक रूप है, जहाँ \\(c=0\\)। परीक्षा-युक्ति: विस्तार के बाद सभी पदों को एक ही पक्ष में लाकर शून्य के बराबर करें। / Expand the squares: \\( (2x-3)^2=4x^2-12x+9 \\) and \\( (x+5)^2=x^2+10x+25 \\). This gives \\(5x^2-2x+34=34\\); subtracting 34 from both sides yields \\(5x^2-2x=0\\). This matches the standard quadratic form \\(ax^2+bx+c=0\\), with \\(c=0\\). Exam tip: after expansion, bring all terms to one side and equate the result to zero.
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If (\(n^2-16\)x-2-3x+7=0) is a quadratic equation, what is the correct condition on (n)?
C. \(n\neq \pm4\)
द्विघात होने के लिए \(n^2-16\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(n\neq4\) और \(n\neq-4\) दोनों जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(n^2-16\neq0\) is needed. Hence both \(n\neq4\) and \(n\neq-4\) are necessary.
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What is the standard quadratic form of ((6x+1)(x-4)=5x)?
A. \(6x^2-28x-4=0\)
((6x+1)(x-4)=6x-2-23x-4) है और (5x) घटाने पर \(6x^2-28x-4=0\) मिलता है। पहले विस्तार करें फिर सभी पद एक ओर लाएं। / Here ((6x+1)(x-4)=6x-2-23x-4), and subtracting (5x) gives \(6x^2-28x-4=0\). First expand and then bring all terms to one side.
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A. 6
दिया गया समीकरण \((x-a)^2-9=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((x-a)^2=9\), इसलिए मूल \(x=a+3\) और \(x=a-3\) हैं। बड़े और छोटे मूल का अंतर \((a+3)-(a-3)=6\) है। विकल्प D केवल एक मूल को दर्शाता है, जबकि विकल्प C सामान्यतः मूलों के अंतर के बराबर नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग बनाकर मूलों का अंतर निकालना सबसे सरल तरीका है। / The equation can be rewritten as \((x-a)^2-9=0\). Thus, \((x-a)^2=9\), giving the roots \(x=a+3\) and \(x=a-3\). The difference between the larger and smaller roots is \((a+3)-(a-3)=6\). Option D represents only one root, while option C is not generally the difference between the roots. Exam tip: For this form, complete the square and identify the two roots directly.
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The equation \(x^2+4x+k=0\) has no real roots. What is the correct condition on \(k\)?
A. \(k>4\)
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से कम होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=4, c=k\), इसलिए \(D=4^2-4(1)(k)=16-4k\)। अतः \(16-4k<0\), जिससे \(k>4\) प्राप्त होता है। \(k=4\) पर विविक्तकर शून्य होता है और एक दोहराया हुआ वास्तविक मूल मिलता है, इसलिए वह सही विकल्प नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative. Here, \(a=1, b=4, c=k\), so \(D=4^2-4(1)(k)=16-4k\). Thus, \(16-4k<0\), which gives \(k>4\). At \(k=4\), the discriminant is zero and the equation has one repeated real root, so that option is incorrect. Exam tip: for ‘no real roots,’ always use the condition \(D<0\).
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If \(\alpha,\beta\) are roots of \(x^2+3x-18=0\), what is \(\alpha\beta-\alpha-\beta\)?
A. (-15)
यहाँ \(\alpha+\beta=-3\) और \(\alpha\beta=-18\) है। इसलिए (\alpha\beta-\alpha-\beta=-18-(-3)=-15)। / Here \(\alpha+\beta=-3\) and \(\alpha\beta=-18\). Thus (\alpha\beta-\alpha-\beta=-18-(-3)=-15).
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A. 4
वियत के सूत्र के अनुसार, \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=2\), इसलिए \(\alpha+\beta=-2\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=(-2)^2=4\)। ध्यान रखें कि मूलों के योग का वर्ग लेते समय ऋणात्मक चिह्न समाप्त हो जाता है; इसलिए 8 या 16 सही नहीं हैं। / By Vieta’s formula, the sum of the roots of \(ax^2+bx+c=0\) is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=1\) and \(b=2\), so \(\alpha+\beta=-2\). Therefore, \((\alpha+\beta)^2=(-2)^2=4\). Exam tip: square the complete sum, including its sign; the negative sign disappears only after squaring.
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A. \(x^2+4x-57=0\)
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\) होता है। इसलिए \(\frac{1}{2}(x+1)(x+3)=30\), अर्थात \((x+1)(x+3)=60\)। विस्तार करने पर \(x^2+4x+3=60\), अतः \(x^2+4x-57=0\) प्राप्त होता है। विकल्प D में \(\frac{1}{2}\) का प्रभाव सही रूप से नहीं लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: त्रिभुज के क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में पहले \(\frac{1}{2}\) अवश्य शामिल करें, फिर कोष्ठक खोलें। / The area of a right triangle is \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). Hence, \(\frac{1}{2}(x+1)(x+3)=30\), giving \((x+1)(x+3)=60\). Expanding, \(x^2+4x+3=60\), so the quadratic equation is \(x^2+4x-57=0\). Option D results from mishandling the factor \(\frac{1}{2}\). Exam tip: For triangle-area problems, include the factor \(\frac{1}{2}\) before expanding the algebraic expression.
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Which equation will have a negative product of roots?
A. \(2x^2+3x-5=0\)
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) है। पहले विकल्प में \(\frac{-5}{2}<0\), इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। / The product of roots is \(\frac{c}{a}\). In the first option, \(\frac{-5}{2}<0\), so the product is negative.
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A. 0
वियत के सूत्रों से \\(\\alpha+\\beta=10\\) और \\(\\alpha\\beta=21\\)। अतः \\((\\alpha-3)(\\beta-3)=\\alpha\\beta-3(\\alpha+\\beta)+9=21-3(10)+9=0\\)। विकल्प 21 केवल \\(\\alpha\\beta\\) का मान है, पूरी अभिव्यक्ति का नहीं। परीक्षा-युक्ति: ऐसी अभिव्यक्तियों में पहले मूलों का योग और गुणनफल निकालकर विस्तार करें। / By Vieta’s formulas, \\(\\alpha+\\beta=10\\) and \\(\\alpha\\beta=21\\)। Therefore, \\((\\alpha-3)(\\beta-3)=\\alpha\\beta-3(\\alpha+\\beta)+9=21-3(10)+9=0\\)। Option 21 is only the product \\(\\alpha\\beta\\), not the value of the complete expression. Exam tip: For expressions involving the roots, first use the sum and product of roots, then expand systematically.
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If the roots of \\(x^2+px+q=0\\) are 1 and \\(p\\), which relation for \\(q\\) is correct?
A. \\(q=p\\)
द्विघात समीकरण \\(x^2+px+q=0\\) में मूलों का गुणनफल स्थिर पद \\(q\\) के बराबर होता है। यहाँ मूल 1 और \\(p\\) हैं, इसलिए \\(q=1\cdot p=p\\)। मूलों का योग भी \\(-p\\) होना चाहिए, जिससे \\(1+p=-p\\) और \\(p=-\\frac{1}{2}\\) प्राप्त होता है; तब भी \\(q=p\\) ही रहता है। परीक्षा-युक्ति: \\(x^2+bx+c=0\\) के लिए मूलों का गुणनफल हमेशा \\(c\\) होता है। / For the quadratic equation \\(x^2+px+q=0\\), the product of the roots equals the constant term \\(q\\). Since the roots are 1 and \\(p\\), \\(q=1\cdot p=p\\). The sum condition also gives \\(1+p=-p\\), so \\(p=-\\frac{1}{2}\\); nevertheless, the required relation remains \\(q=p\\). Exam tip: In \\(x^2+bx+c=0\\), the product of the roots is always \\(c\\).
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A. 5
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-4, c=1\) हैं, इसलिए \(\alpha+\beta=4\) तथा \(\alpha\beta=1\)। अतः \(\alpha+\beta+\alpha\beta=4+1=5\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल निकालने के लिए मूलों को हल करने की आवश्यकता नहीं होती। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\) and their product is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=1, b=-4, c=1\), so \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=1\). Therefore, \(\alpha+\beta+\alpha\beta=4+1=5\). Exam tip: Use the sum and product of roots directly instead of solving the quadratic equation.
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If \(x=1\) is a root of the quadratic equation \(x^2+(2k-1)x+k=0\), what is the value of \(k\)?
A. 0
किसी मूल को समीकरण में रखने पर समीकरण का बायाँ पक्ष शून्य होना चाहिए। इसलिए \(x=1\) रखने पर \(1+(2k-1)+k=0\), अर्थात \(3k=0\)। अतः \(k=0\)। ध्यान रखें कि दिए गए मूल का मान सीधे समीकरण में प्रतिस्थापित करना सबसे सुरक्षित विधि है। / A root must make the left-hand side of the equation equal to zero. Substituting \(x=1\) gives \(1+(2k-1)+k=0\), so \(3k=0\) and hence \(k=0\). The values \(\pm\frac{1}{3}\) result from incorrect simplification. Exam tip: substitute the given root carefully and collect the parameter terms before solving.
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What is the standard form of ((x-1)2+(x-2)2=(x-3)2)?
B. \(x^2-2x-4=0\)
विस्तार करने पर बाईं ओर \(2x^2-6x+5\) और दाईं ओर \(x^2-6x+9\) है। घटाने पर \(x^2-4=0\) नहीं बल्कि \(x^2-4=0\) मिलता है। / Expanding gives left side \(2x^2-6x+5\) and right side \(x^2-6x+9\). Subtracting gives \(x^2-4=0\).
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C. विरोधाभासी कथनContradictory statement
जब \\(a=-1\\) रखा जाता है, तब \\(a+1=0\\) और \\(a^2-1=1-1=0\\) हो जाते हैं। इसलिए समीकरण \\(0x^2+0x+2=0\\), अर्थात् \\(2=0\\), बनता है। यह असत्य और विरोधाभासी कथन है, इसलिए इसका कोई हल नहीं है। इसे रैखिक समीकरण नहीं कहा जाएगा, क्योंकि \\(x\\) का गुणांक भी शून्य है। परीक्षा में पैरामीटर वाले समीकरण में पहले \\(x^2\\), \\(x\\) और अचर पद के गुणांकों को अलग-अलग जाँचें। / Substituting \\(a=-1\\) gives \\(a+1=0\\) and \\(a^2-1=1-1=0\\). Hence the equation becomes \\(0x^2+0x+2=0\\), or \\(2=0\\). This is a false, contradictory statement and has no solution. It is not a linear equation because the coefficient of \\(x\\) is also zero. In parameter-based equations, first check the coefficients of \\(x^2\\), \\(x\\), and the constant term separately.
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Which of the following quadratic equations has one root \(x=0\) and the other root positive?
A. \(x^2-6x=0\)
विकल्प A में \(x^2-6x=x(x-6)\), इसलिए इसके मूल \(x=0\) और \(x=6\) हैं। दूसरा मूल \(6\) धनात्मक है। विकल्प B के मूल \(0\) और \(-6\) हैं, इसलिए दूसरा मूल ऋणात्मक है; विकल्प C के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और विकल्प D में \(0\) मूल नहीं है। परीक्षा में जाँचने का त्वरित तरीका है कि समीकरण में \(x=0\) रखने पर स्थिर पद शून्य होना चाहिए। / In option A, \(x^2-6x=x(x-6)\), so the roots are \(x=0\) and \(x=6\). Since \(6\) is positive, this option is correct. Option B has roots \(0\) and \(-6\), so its other root is negative; option C has no real roots, and option D does not have zero as a root. A quick exam check is that an equation with \(x=0\) as a root must have a zero constant term.
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If the roots of \\(x^2+bx+c=0\\) are \\(-2\\) and \\(7\\), what is the value of \\(b+c\\)?
A. -19
द्विघात समीकरण \\(x^2+bx+c=0\\) में मूलों का योग \\(-b\\) और मूलों का गुणनफल \\(c\\) होता है। यहाँ मूलों का योग \\(-2+7=5\\) है, इसलिए \\(-b=5\\), अर्थात \\(b=-5\\)। मूलों का गुणनफल \\((-2)\\times7=-14\\) है, इसलिए \\(c=-14\\)। अतः \\(b+c=-5-14=-19\\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र को क्रमशः \\(-b/a\\) और \\(c/a\\) के रूप में याद रखें। / For the monic quadratic equation \\(x^2+bx+c=0\\), the sum of the roots is \\(-b\\) and their product is \\(c\\). Here, the sum is \\(-2+7=5\\), so \\(-b=5\\), giving \\(b=-5\\). The product is \\((-2)\\times7=-14\\), so \\(c=-14\\). Therefore, \\(b+c=-5-14=-19\\). Exam tip: For \\(ax^2+bx+c=0\\), use the root sum \\(-b/a\\) and root product \\(c/a\\).
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What is the sum of cubes of the roots of \(x^2-2x-3=0\)?
A. (26)
मूलों का योग (2) और गुणनफल (-3) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=8+18=26)। / The sum of roots is (2) and the product is (-3). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=8+18=26).
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If in \(2x^2+kx+18=0\), the product of roots is (-3) times the sum of roots, what is (k)?
A. (6)
गुणनफल (9) और योग \(-\frac{k}{2}\) है। (9=-3\left\(-\frac{k}{2}\right\)) से (k=6) मिलता है। / The product is (9) and the sum is \(-\frac{k}{2}\). From (9=-3\left\(-\frac{k}{2}\right\)), we get (k=6).
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Which quadratic equation has sum of roots (0) and product (-49)?
A. \(x^2-49=0\)
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है। योग (0) और गुणनफल (-49) रखने पर \(x^2-49=0\) मिलता है। \(/ The monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Using sum (0) and product (-49) gives (x^2-49=0).\)
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If (x=1) is not a root of \(kx^2-5x+2=0\), what condition must (k) satisfy?
A. \(k\neq3\)
(x=1) रखने पर बायां पक्ष (k-5+2=k-3) होता है। मूल न होने के लिए \(k-3\neq0\), इसलिए \(k\neq3\)। / Putting (x=1), the left side becomes (k-5+2=k-3). For it not to be a root, \(k-3\neq0\), so \(k\neq3\).
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