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एकक गुणांक वाले द्विघात समीकरण \(x^2+px+q=0\) में मूलों का गुणनफल नियत पद (q) के बराबर होता है। दिए गए मूल (2) और (p) हैं, इसलिए \(q=2\times p=2p\)। अतिरिक्त रूप से, मूलों का योग (2+p=-p) से (p=-1) और (q=-2) मिलता है, जो इस संबंध की पुष्टि करता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+ax+b=0\) में मूलों का योग (-a) और गुणनफल (b) होता है। / For the monic quadratic equation \(x^2+px+q=0\), the product of the roots equals the constant term (q). Since the roots are (2) and (p), \(q=2\times p=2p\). Also, their sum gives (2+p=-p), so (p=-1) and (q=-2), confirming the relation. Exam tip: In \(x^2+ax+b=0\), the sum of roots is (-a) and their product is (b).
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के मूलों का योग \\( -b/a \\) और गुणनफल \\(c/a\\) होता है। यहाँ \\(a=1,b=-5,c=2\\) हैं, इसलिए \\(\\alpha+\\beta=5\\) और \\(\\alpha\\beta=2\\)। अतः \\(\\alpha+\\beta+2\\alpha\\beta=5+2(2)=9\\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों के अलग-अलग मान ज्ञात करने के बजाय सीधे योग और गुणनफल के सूत्र लगाएँ। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the sum of the roots is \\( -b/a \\) and their product is \\(c/a\\). Here, \\(a=1,b=-5,c=2\\), so \\(\\alpha+\\beta=5\\) and \\(\\alpha\\beta=2\\). Therefore, \\(\\alpha+\\beta+2\\alpha\\beta=5+2(2)=9\\). Exam tip: use the sum and product of roots directly instead of solving for the individual roots.
मूल \(x=-2\) होने पर इसे समीकरण में रखने पर \((-2)^2+(3k+1)(-2)+2k=0\) मिलता है। अतः \(4-6k-2+2k=0\), यानी \(2-4k=0\), जिससे \(k=\frac{1}{2}\) प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, \(k=-\frac{1}{2}\) रखने पर समीकरण का मान शून्य नहीं आता। परीक्षा-युक्ति: किसी दिए गए मूल के लिए उसे सीधे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें। / Since \(x=-2\) is a root, substitute it into the equation: \((-2)^2+(3k+1)(-2)+2k=0\). This gives \(4-6k-2+2k=0\), so \(2-4k=0\) and hence \(k=\frac{1}{2}\). The nearby distractor \(k=-\frac{1}{2}\) does not make the equation equal to zero. Exam tip: when a root is given, substitute it directly into the polynomial equation.
विस्तार करने पर बाईं ओर \(2x^2-6x+29\) और दाईं ओर \(x^2+2x+1\) है। घटाने पर \(x^2-8x+28=0\) मिलता है। / Expanding gives left side \(2x^2-6x+29\) and right side \(x^2+2x+1\). Subtracting gives \(x^2-8x+28=0\).
C. विरोधाभासी कथन (कोई हल नहीं)/Contradictory statement (no solution)
Explanation
Simple Explanation
\(a=2\) रखने पर \((2-2)x^2+(2^2-4)x+5=0\), अर्थात \(0x^2+0x+5=0\) या \(5=0\) प्राप्त होता है। यह कथन असत्य है और किसी भी \(x\) के लिए संतुष्ट नहीं होता, इसलिए यह विरोधाभासी कथन है। यह न तो रैखिक समीकरण है, क्योंकि \(x\) का गुणांक भी शून्य है, और न ही सदैव सत्य कथन। परीक्षा-युक्ति: किसी पैरामीटर का मान रखने के बाद सबसे पहले उच्चतम घात वाले पद और परिणामी स्थिर कथन की जाँच करें। / Substituting \(a=2\) gives \((2-2)x^2+(2^2-4)x+5=0\), or \(0x^2+0x+5=0\), which reduces to \(5=0\). This statement is false and is satisfied by no value of \(x\), so it is a contradictory statement. It is not linear because the coefficient of \(x\) is also zero, and it is not always true. Exam tip: After substituting a parameter value, check the highest non-zero power and whether the resulting constant statement is true or false.
विकल्प A में \(x^2+7x=x(x+7)\) है। इसलिए इसके मूल \(x=0\) और \(x=-7\) हैं; दूसरा मूल ऋणात्मक है। विकल्प B के मूल \(0\) और \(7\) हैं, इसलिए वह ऋणात्मक मूल की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: यदि समीकरण \(x^2+bx=0\) के रूप में हो, तो मूल \(0\) और \(-b\) होते हैं। / In option A, \(x^2+7x=x(x+7)\). Hence, the roots are \(x=0\) and \(x=-7\), so the second root is negative. Option B has roots \(0\) and \(7\), and therefore does not satisfy the condition. Exam tip: For an equation of the form \(x^2+bx=0\), the roots are \(0\) and \(-b\).
द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) और मूलों का गुणनफल \(c\) होता है। यहाँ मूलों का योग \(-3+8=5\) है, इसलिए \(-b=5\), अर्थात \(b=-5\)। मूलों का गुणनफल \((-3)\times 8=-24\) है, इसलिए \(c=-24\)। अतः \(b+c=-5-24=-29\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c=0\) के लिए सीधे \(b=-(\text{मूलों का योग})\) और \(c=\text{मूलों का गुणनफल}\) का उपयोग करें। / For the monic quadratic equation \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\). Here, the sum is \(-3+8=5\), so \(-b=5\), giving \(b=-5\). The product is \((-3)(8)=-24\), so \(c=-24\). Therefore, \(b+c=-5-24=-29\). Exam tip: For \(x^2+bx+c=0\), use \(b=-(\text{sum of roots})\) and \(c=\text{product of roots}\).
मूलों का योग (3) और गुणनफल (-10) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=27+90=117)। / The sum of roots is (3) and the product is (-10). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=27+90=117).
गुणनफल (4) और योग \(-\frac{k}{3}\) है। (4=-2\left\(-\frac{k}{3}\right\)) से (k=6) मिलता है। / The product is (4) and the sum is \(-\frac{k}{3}\). From (4=-2\left\(-\frac{k}{3}\right\)), we get (k=6).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है। योग (0) और गुणनफल (-81) रखने पर \(x^2-81=0\) मिलता है। \(/ The monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Using sum (0) and product (-81) gives (x^2-81=0).\)
(x=-1) रखने पर बायां पक्ष (k-3+2=k-1) होता है। मूल न होने के लिए \(k-1\neq0\), इसलिए \(k\neq1\)। / Putting (x=-1), the left side becomes (k-3+2=k-1). For it not to be a root, \(k-1\neq0\), so \(k\neq1\).
समान मूलों के लिए \(p^2-64=0\) से \(p=\pm8\) मिलता है। धनात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{p}{2}>0\), इसलिए (p=-8)। / For equal roots, \(p^2-64=0\) gives \(p=\pm8\). For equal positive roots, \(-\frac{p}{2}>0\), so (p=-8).
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (25) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (25), so it is not possible.
यह समीकरण \((3x+2k)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(3x+2k=0\), जिससे दोनों मूल \(x=-\frac{2k}{3}\) प्राप्त होते हैं और समान हैं। इसी प्रकार विविक्तकर \(D=(12k)^2-4(9)(4k^2)=0\) है, इसलिए मूल दो समान वास्तविक होंगे। परीक्षा में विविक्तकर \(D=0\) होने पर ‘दो समान वास्तविक मूल’ चुनें। / The equation can be rewritten as \((3x+2k)^2=0\). Thus \(3x+2k=0\), giving the repeated root \(x=-\frac{2k}{3}\). Equivalently, the discriminant is \(D=(12k)^2-4(9)(4k^2)=0\), so the roots are equal and real. Exam tip: for a quadratic equation, \(D=0\) indicates two equal real roots.
विस्तार करने पर \\(x+a\\)2 = x-2 + 2ax + a-2 मिलता है। x के गुणांकों की तुलना करने पर \\(2a=-12\\), इसलिए \\(a=-6\\)। यद्यपि स्थिर पद से \\(a^2=36\\) और a के लिए 6 या -6 दोनों संभव दिखते हैं, x के गुणांक की तुलना केवल -6 को सही ठहराती है। परीक्षा-युक्ति: सर्वसमिका में समान घात वाले पदों के गुणांकों की तुलना करें। / Expanding gives \\(x+a\\)2 = x-2 + 2ax + a-2\. Comparing the coefficients of x, \\(2a=-12\\), so \\(a=-6\\). The constant term gives \\(a^2=36\\), which alone allows both 6 and -6; the coefficient of x identifies -6 uniquely. Exam tip: For an identity, compare coefficients of like powers of the variable.
विकल्प A में \(x^2+16x+64=(x+8)^2\), इसलिए \((x+8)^2=0\) से दोनों मूल \(x=-8\) प्राप्त होते हैं। अतः मूल बराबर भी हैं और ऋणात्मक भी। विकल्प B में \((x-8)^2=0\) होने के कारण दोनों मूल बराबर लेकिन धनात्मक हैं। परीक्षा-युक्ति: बराबर मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) जाँचें और मूल का चिह्न देखें। / For option A, \(x^2+16x+64=(x+8)^2\). Thus, \((x+8)^2=0\) gives both roots as \(x=-8\), so they are equal and negative. In option B, \((x-8)^2=0\), giving equal but positive roots. Exam tip: For equal roots, first check that the discriminant is zero, then determine the sign of the root.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ मान \(\frac{7}{12}\) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the value is \(\frac{7}{12}\).
यदि मूलों का योग (13) और गुणनफल (40) है, तो समीकरण \(x^2-13x+40=0\) होगा। मोनिक रूप का सूत्र याद रखें। / If the sum of roots is (13) and product is (40), the equation is \(x^2-13x+40=0\). Remember the monic form formula.
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, इसलिए \((x+7)(x-3)=90\)। बाईं ओर विस्तार करने पर \(x^2+4x-21=90\), अतः \(x^2+4x-111=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में गुणनफल से प्राप्त \(-21\) को घटाने की गलती हुई है। परीक्षा में पहले द्विपदों का सही विस्तार करें और फिर सभी पदों को एक तरफ लाकर शून्य के बराबर रखें। / The area of a rectangle is length × breadth, so \((x+7)(x-3)=90\). Expanding the left side gives \(x^2+4x-21=90\), hence \(x^2+4x-111=0\). Option B results from incorrectly omitting the \(-21\) obtained during multiplication. In an exam, expand the binomials first and then bring all terms to one side to form the equation equal to zero.
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=-7\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=12\) है। इसलिए योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक है। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=-7\) and the product is \(\frac{c}{a}=12\). So the sum is negative and the product is positive.
मूलों का योग \((-7)+(-7)=-14\) है। मानक रूप \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) होता है, इसलिए \(-b=-14\), अतः \(b=14\)। विकल्प B मूलों का योग है, जबकि पूछा गया मान गुणांक \(b\) का है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-\frac{\text{x का गुणांक}}{\text{x}^2 का गुणांक}\) से निकालें। / The sum of the roots is \((-7)+(-7)=-14\). For a quadratic equation \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\). Thus, \(-b=-14\), giving \(b=14\). Option B is the sum of the roots, not the value of the coefficient \(b\). Exam tip: Use the relation \(\text{sum of roots}=-\frac{\text{coefficient of }x}{\text{coefficient of }x^2}\).
पूर्ण वर्ग बनने के लिए बहुपद को \(x^2-14x+c=(x-7)^2\) के रूप में लिखा जाना चाहिए। विस्तार करने पर \((x-7)^2=x^2-14x+49\), इसलिए \(c=49\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c\) के पूर्ण वर्ग होने पर \(c=\left(\frac{b}{2}\right)^2\) होता है; यहाँ \(b=-14\) है। / For the quadratic to be a perfect square, its left-hand polynomial must be expressible as \(x^2-14x+c=(x-7)^2\). Since \((x-7)^2=x^2-14x+49\), we get \(c=49\). Exam tip: for \(x^2+bx+c\) to be a perfect square, \(c=\left(\frac{b}{2}\right)^2\); here, \(b=-14\).
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(2)(10)=81-80=1\) है। मूलों के अंतर का परिमाण \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\) होता है, इसलिए अंतर \(\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}\) है। सीधे गुणनखंड करने पर \((2x-5)(x-2)=0\), अतः मूल \(\frac{5}{2}\) और \(2\) मिलते हैं; उनका अंतर भी \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के अंतर के लिए \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\) का सूत्र जल्दी और सुरक्षित रहता है। / Here, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(2)(10)=81-80=1\). The difference between the roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\), so it equals \(\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}\). Alternatively, \(2x^2-9x+10=(2x-5)(x-2)\), giving roots \(\frac{5}{2}\) and \(2\), whose difference is \(\frac{1}{2}\). Exam tip: use \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\) when only the difference between roots is required.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ मूलों का गुणनफल \(4m\) है। एक मूल \(4\) दिया गया है, इसलिए दूसरा मूल \(\frac{4m}{4}=m\) होगा। ध्यान रखें कि \(m+4\) मूलों का योग है, दूसरा मूल नहीं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, the product of the roots is \(4m\). Since one root is \(4\), the other root is \(\frac{4m}{4}=m\). Remember that \(m+4\) is the sum of the roots, not the other root.
A. इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं/It has no real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ द्विघात समीकरण के गुणांक \(a=1\), \(b=-6\) और \(c=11\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(11)=36-44=-8\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। याद रखें: \(D=0\) पर समान वास्तविक मूल और \(D>0\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। / For this quadratic equation, \(a=1\), \(b=-6\), and \(c=11\). Its discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(11)=36-44=-8\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Exam tip: \(D=0\) gives equal real roots, while \(D>0\) gives two distinct real roots.
(r+2r=9) से (r=3) मिलता है, इसलिए मूल (3) और (6) हैं। स्थिर पद मूलों का गुणनफल (18) होगा। / From (r+2r=9), we get (r=3), so the roots are (3) and (6). The constant term will be the product of roots (18).
पहले (x+2)(x+5)=x-2+7x+10) और (x-1)(x+4)=x-2+3x-4) का विस्तार करें। अतः बाईं ओर 2x-2+10x+6) प्राप्त होता है। 60 को बाईं ओर लाने पर 2x-2+10x+6-60=0), अर्थात् 2x-2+10x-54=0) मिलता है। विकल्प B में 60 घटाया नहीं गया है, जबकि विकल्प C में पूरे समीकरण को सही रूप से सरल नहीं किया गया। परीक्षा टिप: मानक रूप में सभी पद एक ही तरफ रखकर दूसरी तरफ 0 अवश्य लिखें। / Expand the two products: (x+2)(x+5)=x-2+7x+10) and (x-1)(x+4)=x-2+3x-4). Their sum is 2x-2+10x+6). Bringing 60 to the left gives 2x-2+10x+6-60=0), which simplifies to 2x-2+10x-54=0). Option B stops before subtracting 60, while option C does not represent the correctly simplified equation. Exam tip: In standard form, collect all terms on one side and write zero on the other side.
वियत के सूत्रों के अनुसार, \(\alpha+\beta=-\frac{7}{1}=-7\) और \(\alpha\beta=\frac{10}{1}=10\)। अतः \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=10+2(-7)+4=0\)। विकल्प B केवल \(\alpha\beta\) का मान है, पूरी अभिव्यक्ति का नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों वाली ऐसी अभिव्यक्तियों में पहले \(\alpha+\beta\) और \(\alpha\beta\) निकालें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=-\frac{7}{1}=-7\) and \(\alpha\beta=\frac{10}{1}=10\). Therefore, \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=10+2(-7)+4=0\). Option B is only the value of \(\alpha\beta\), not of the complete expression. Exam tip: For expressions involving roots, first find the sum and product of the roots using Vieta’s formulas.
यदि मूल \(\alpha,\beta\) हैं, तो (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta)। यहाँ (\left\(-\frac{8}{3}\right\)2-2\cdot\frac{4}{3}=\frac{40}{9})। / If the roots are \(\alpha,\beta\), then (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Here (\left\(-\frac{8}{3}\right\)2-2\cdot\frac{4}{3}=\frac{40}{9}).
मूलों का गुणनफल (18) है, इसलिए दूसरा मूल (9) होगा। योग (11) है और (-a=11), इसलिए (a=-11)। / The product of roots is (18), so the other root is (9). The sum is (11), and (-a=11), so (a=-11).
