Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
मूल \\(-8\\) और \\(-8\\) हैं, इसलिए मूलों का योग \\(-16\\) होगा। समीकरण \\(x^2+bx+64=0\\) में मूलों का योग \\(-b\\) होता है। अतः \\(-b=-16\\), जिससे \\(b=16\\)। विकल्प B में मूलों के योग \\(-16\\) को सीधे \\(b\\) मान लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \\(x^2+px+q=0\\) में मूलों का योग हमेशा \\(-p\\) और गुणनफल \\(q\\) होता है। / The roots are \\(-8\\) and \\(-8\\), so their sum is \\(-16\\). For \\(x^2+bx+64=0\\), the sum of the roots is \\(-b\\). Therefore, \\(-b=-16\\), giving \\(b=16\\). Option B is the root sum, not the coefficient \\(b\\). Exam tip: In \\(x^2+px+q=0\\), the sum of roots is \\(-p\\) and their product is \\(q\\).
पूर्ण वर्ग त्रिपद का सूत्र \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\) है। यहाँ \(2a=10\), इसलिए \(a=5\) और स्थिर पद \(c=a^2=25\) होगा। अतः सही उत्तर 25 है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग लेकर स्थिर पद ज्ञात करें। / A perfect-square trinomial has the form \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\). Comparing coefficients, \(2a=10\), so \(a=5\) and the constant term is \(c=a^2=25\). Therefore, the correct answer is 25. Exam tip: square half the coefficient of \(x\) to obtain the required constant term.
समीकरण का गुणनखंडन \((3x-8)(x-2)=0\) है, इसलिए इसके मूल \(x=\frac{8}{3}\) और \(x=2\) हैं। अतः मूलों के अंतर का परिमाण \(\left|\frac{8}{3}-2\right|=\frac{2}{3}\) है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का अंतर पूछे जाने पर प्रायः उसके परिमाण को लिया जाता है, इसलिए बड़े मूल में से छोटे मूल को घटाएँ। / Factoring gives \((3x-8)(x-2)=0\), so the roots are \(x=\frac{8}{3}\) and \(x=2\). Therefore, their absolute difference is \(\left|\frac{8}{3}-2\right|=\frac{2}{3}\). Exam tip: when the difference between roots is asked, use the larger root minus the smaller root unless an order is explicitly specified.
द्विघात समीकरण में मूलों का गुणनफल स्थिर पद और \(x^2\) के गुणांक का अनुपात होता है। यहाँ मूलों का गुणनफल \(5m\) है। एक मूल \(5\) दिया गया है, इसलिए दूसरा मूल \(\frac{5m}{5}=m\) होगा। ध्यान रखें: दूसरे मूल के लिए गुणनफल को दिए गए मूल से भाग दिया जाता है। / For a quadratic equation, the product of the roots equals the constant term divided by the coefficient of \(x^2\). Here, the product of the roots is \(5m\). Since one root is \(5\), the other root is \(\frac{5m}{5}=m\). Exam tip: divide the product of the roots by the known root to obtain the other root.
यहाँ \(a=1\), \(b=-8\) और \(c=17\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4(1)(17)=64-68=-4\) है। चूँकि \(\Delta<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B तभी सही होता जब \(\Delta=0\) होता। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta<0\) पर वास्तविक मूल नहीं, \(\Delta=0\) पर समान मूल और \(\Delta>0\) पर भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-8\), and \(c=17\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4(1)(17)=64-68=-4\). Since \(\Delta<0\), the equation has no real roots, so option A is correct. Option B would be correct only if \(\Delta=0\). Exam tip: \(\Delta<0\) means no real roots, \(\Delta=0\) means equal real roots, and \(\Delta>0\) means distinct real roots.
(r+3r=16) से (r=4) मिलता है, इसलिए मूल (4) और (12) हैं। स्थिर पद मूलों का गुणनफल (48) होगा। / From (r+3r=16), we get (r=4), so the roots are (4) and (12). The constant term is the product of roots (48).
पहले प्रसार करने पर \((x+3)(x+6)=x^2+9x+18\) और \((x-2)(x+5)=x^2+3x-10\) मिलता है। अतः बायाँ पक्ष \(2x^2+12x+8\) है। दोनों पक्षों से 70 घटाने पर मानक रूप \(2x^2+12x-62=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में 70 घटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: सभी पदों को एक ही पक्ष में लाकर \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में लिखें। / Expanding gives \((x+3)(x+6)=x^2+9x+18\) and \((x-2)(x+5)=x^2+3x-10\). Therefore, the left side becomes \(2x^2+12x+8\). Subtracting 70 from both sides gives the standard form \(2x^2+12x-62=0\). Option B is incorrect because it does not move 70 to the left side. Exam tip: collect all terms on one side and write the equation as \(ax^2+bx+c=0\).
वियत के सूत्रों से \(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=18\)। अतः (\(\alpha-3\)\(\beta-3\)=\alpha\beta-3\(\alpha+\beta\)+9=18-3(9)+9=0)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि \(\alpha-3\)\(\beta-3\) में दोनों मूलों से 3 घटाने के बाद गुणन करना है; केवल मूलों के गुणनफल को बदलना पर्याप्त नहीं है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=18\). Therefore, (\(\alpha-3\)\(\beta-3\)=\alpha\beta-3\(\alpha+\beta\)+9=18-3(9)+9=0). Hence, option A is correct. Exam tip: expand the product carefully; subtracting 3 from each root introduces the middle term (-3\(\alpha+\beta\)), which is often missed.
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होता है। यहाँ (\left\(-\frac{6}{5}\right\)2-2\cdot\frac{1}{5}=\frac{26}{25})। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Here (\left\(-\frac{6}{5}\right\)2-2\cdot\frac{1}{5}=\frac{26}{25}).
मूलों का गुणनफल (24) है, इसलिए दूसरा मूल (6) होगा। योग (10) है और (-a=10), इसलिए (a=-10)। / The product of roots is (24), so the other root is (6). The sum is (10), and (-a=10), so (a=-10).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विवेचक \(\Delta=b^2-4ac\) होता है। विकल्प A में \(a=1, b=1, c=6\), इसलिए \(\Delta=1^2-4(1)(6)=1-24=-23\)। विकल्प B का विवेचक \(32\), विकल्प C का \(-15\) और विकल्प D का \(-19\) है। परीक्षा में पहले \(a,b,c\) पहचानकर \(b^2-4ac\) में पूरे \(4ac\) को घटाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac\). In option A, \(a=1, b=1, c=6\), so \(\Delta=1^2-4(1)(6)=1-24=-23\). The discriminants of options B, C and D are \(32\), \(-15\) and \(-19\), respectively. In an exam, identify \(a,b,c\) first and subtract the complete term \(4ac\) from \(b^2\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-12\) और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k>0\)। इससे \(k<36\) प्राप्त होता है। \(k=36\) पर दोनों मूल समान होंगे, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: “वास्तविक और भिन्न” मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the roots are real and distinct only when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is greater than zero. Here, \(a=1\), \(b=-12\), and \(c=k\), so \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k>0\). Therefore, \(k<36\). When \(k=36\), the roots are equal, so that option is not correct. Exam tip: For “real and distinct” roots, always apply \(D>0\).
द्विघात समीकरण \(x^2-sx+p=0\) में मूलों का योग \(s\) और मूलों का गुणनफल \(p\) होता है। इसलिए \(s=5+6=11\) तथा \(p=5\times6=30\)। अतः \(s+p=11+30=41\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2-(\text{मूलों का योग})x+(\text{मूलों का गुणनफल})\) के मानक रूप से सीधे तुलना करें। / For the quadratic equation \(x^2-sx+p=0\), the sum of the roots is \(s\), and their product is \(p\). Thus, \(s=5+6=11\) and \(p=5\times6=30\), so \(s+p=11+30=41\). Exam tip: Compare the equation with \(x^2-(\text{sum of roots})x+(\text{product of roots})\) to identify the parameters quickly.
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\frac{\frac{13}{4}}{\frac{9}{4}}=\frac{13}{9}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here it is \(\frac{\frac{13}{4}}{\frac{9}{4}}=\frac{13}{9}\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विभेदक \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=25\), इसलिए \(D=(2p)^2-4(1)(25)=4p^2-100\)। अतः \(4p^2-100\geq 0\), जिससे \(p^2\geq 25\) और \(p\leq -5\) या \(p\geq 5\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता उलटी है और \(p=\pm5\) जैसे दोहरे वास्तविक मूलों को भी बाहर कर दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) लगाएँ, केवल \(D>0\) नहीं। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq 0\). Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=25\), so \(D=(2p)^2-4(1)(25)=4p^2-100\). Thus, \(4p^2-100\geq 0\), which gives \(p^2\geq 25\), and hence \(p\leq -5\) or \(p\geq 5\). Option B reverses the required inequality and also excludes the double real roots occurring at \(p=\pm5\). Exam tip: For real roots, use \(D\geq0\), not only \(D>0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2m\) और \(c=36\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(1)(36)=4m^2-144\)। अतः \(4m^2-144=0\), जिससे \(m^2=36\) और \(m=\pm6\) प्राप्त होता है। केवल \(m=6\) या केवल \(m=-6\) लिखना अधूरा है। परीक्षा-सुझाव: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2m\), and \(c=36\), so \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(1)(36)=4m^2-144\). Setting \(D=0\) gives \(4m^2-144=0\), hence \(m^2=36\) and \(m=\pm6\). Choosing only \(m=6\) or only \(m=-6\) omits one valid possibility. Exam tip: whenever the roots are equal, set the discriminant equal to zero.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-11) रखने पर \(x^2+11x+30=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-11) gives (x^2+11x+30=0).\)
किसी मूल का मान समीकरण में रखने पर समीकरण संतुष्ट होना चाहिए। \(x=-3\) रखने पर \(4(-3)^2+p(-3)-9=0\), अर्थात् \(36-3p-9=0\)। इसलिए \(27-3p=0\), जिससे \(p=9\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: दिए गए मूल को सीधे समीकरण में रखकर अज्ञात स्थिरांक ज्ञात करें। / A root must satisfy the equation. Substituting \(x=-3\) gives \(4(-3)^2+p(-3)-9=0\), so \(36-3p-9=0\). Hence, \(27-3p=0\) and \(p=9\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Substitute the given root directly into the equation and solve for the unknown parameter.
पूरे समीकरण को (10) से गुणा करने पर \(4x^2-2+5x+15=70\) मिलता है। इसलिए \(4x^2+5x-57=0\) नहीं बल्कि \(4x^2+5x-57=0\) मिलेगा। / Multiplying the whole equation by (10) gives \(4x^2-2+5x+15=70\). Therefore the standard form is \(4x^2+5x-57=0\).
पहले वर्गों का विस्तार करें: \((x+2)^2=x^2+4x+4\) और \(2(x-3)^2=2x^2-12x+18\)। अतः \(3x^2-8x+22=35\), जिससे सभी पद एक ओर लाने पर \(3x^2-8x-13=0\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि मानक रूप में दाहिनी ओर शून्य होना चाहिए और स्थिर पद का चिन्ह बदल जाता है। / Expand the squares: \((x+2)^2=x^2+4x+4\) and \(2(x-3)^2=2x^2-12x+18\). Thus, \(3x^2-8x+22=35\), and moving 35 to the left gives \(3x^2-8x-13=0\). Therefore, option A is correct. Exam tip: when converting to standard form, keep all terms on one side and make the other side zero; the constant becomes \(22-35=-13\).
द्विघात होने के लिए \(k^2-25\neq0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\neq5\) और \(k\neq-5\) दोनों शर्तें जरूरी हैं। / For the equation to be quadratic, \(k^2-25\neq0\) is required. So both \(k\neq5\) and \(k\neq-5\) are necessary.
((2x+5)(3x-4)=6x-2+7x-20) और (4(x-1)=4x-4) है। सभी पद एक ओर लाने पर \(6x^2+3x-16=0\) नहीं बल्कि सही रूप \(6x^2+3x-16=0\) मिलता है। / Here ((2x+5)(3x-4)=6x-2+7x-20) and (4(x-1)=4x-4). Bringing all terms to one side gives \(6x^2+3x-16=0\).
विस्तार करने पर \((x-2)(x+3)=x^2+x-6\) और \((2x-1)(x-4)=2x^2-9x+4\) मिलता है। अब समान घात वाले पदों को जोड़ने पर \(x^2+2x^2=3x^2\), \(x-9x=-8x\) और \(-6+4=-2\) प्राप्त होते हैं। इसलिए मानक रूप \(3x^2-8x-2=0\) है। विकल्प B में मध्य पद का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण को मानक रूप में लिखते समय पहले कोष्ठक खोलें और फिर \(x^2\), \(x\) तथा अचर पदों को अलग-अलग मिलाएँ। / Expanding the two products gives \((x-2)(x+3)=x^2+x-6\) and \((2x-1)(x-4)=2x^2-9x+4\). Combining like terms, \(x^2+2x^2=3x^2\), \(x-9x=-8x\), and \(-6+4=-2\). Hence the standard form is \(3x^2-8x-2=0\). Option B has the wrong sign for the linear term. Exam tip: expand each bracket carefully, then combine the quadratic, linear, and constant terms separately.
मूलों का योग (3+p) है और समीकरण में योग (-p) होता है। इसलिए (3+p=-p), जिससे \(p=-\frac{3}{2}\) मिलता है। / The sum of roots is (3+p), and in the equation the sum is (-p). Thus (3+p=-p), giving \(p=-\frac{3}{2}\).
दिया गया समीकरण \((x-a)^2-16=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((x-a)^2=16\), इसलिए मूल \(x=a+4\) और \(x=a-4\) हैं। मूलों का अंतर \((a+4)-(a-4)=8\) है। विकल्प 4 केवल प्रत्येक मूल की \(a\) से दूरी दर्शाता है, मूलों के बीच का अंतर नहीं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग बनाकर मूल निकालना उपयोगी रहता है। / The equation can be rewritten as \((x-a)^2-16=0\). Thus, \((x-a)^2=16\), giving the roots \(x=a+4\) and \(x=a-4\). Their difference is \((a+4)-(a-4)=8\). The value 4 represents the distance of each root from \(a\), not the distance between the two roots. In the exam, completing the square is a quick method for such questions.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से कम होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=8, c=k\), इसलिए \(D=8^2-4(1)(k)=64-4k\)। \(64-4k<0\) से \(k>16\) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(k=16\) पर विविक्तकर शून्य होता है और एक वास्तविक, दोहराया हुआ मूल मिलता है। / A quadratic equation has no real roots only when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative. Here, \(a=1, b=8, c=k\), so \(D=8^2-4(1)(k)=64-4k\). Thus, \(64-4k<0\), which gives \(k>16\). Note that \(k=16\) makes the discriminant zero and produces one repeated real root, so it is not correct.
यहाँ \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=-21\) है। इसलिए (\alpha\beta+2\alpha+2\beta=-21+2(4)=-13)। / Here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-21\). Thus (\alpha\beta+2\alpha+2\beta=-21+2(4)=-13).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=-9\), इसलिए \(\alpha+\beta=9\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=9^2=81\)। विकल्प 14 मूलों के गुणनफल \(\alpha\beta\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=1\) and \(b=-9\), so \(\alpha+\beta=9\). Therefore, \((\alpha+eta)^2=9^2=81\). The value 14 is the product \(\alpha\beta\), not the sum of the roots. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-b/a\), while their product is \(c/a\).
त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\) होता है। अतः \(\frac{1}{2}(x+2)(x+6)=40\), इसलिए \((x+2)(x+6)=80\)। विस्तार करने पर \(x^2+8x+12=80\), अर्थात् \(x^2+8x-68=0\)। विकल्प B में क्षेत्रफल के सूत्र का \(\frac{1}{2}\) कारक ठीक से नहीं हटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में पहले सूत्र लिखें, फिर कोष्ठकों का विस्तार करें। / The area of a triangle is \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). Therefore, \(\frac{1}{2}(x+2)(x+6)=40\), giving \((x+2)(x+6)=80\). Expanding, \(x^2+8x+12=80\), so the required equation is \(x^2+8x-68=0\). Option B incorrectly uses 40 instead of 80 after removing the \(\frac{1}{2}\) factor. Exam tip: write the area formula first, then expand and collect all terms on one side.
वियत के सूत्रों से \alpha+\beta=9 और \alpha\beta=20 । अतः \(\alpha-4\)\(\beta-4\)=\alpha\beta-4\(\alpha+\beta\)+16=20-4(9)+16=0 । इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B या D चुनने पर विस्तार में -4\(\alpha+\beta\) पद की उपेक्षा हो जाती है। परीक्षा-युक्ति: \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग -b/a और गुणनफल c/a याद रखें। / By Vieta’s formulas, \alpha+\beta=9 and \alpha\beta=20 . Therefore, \(\alpha-4\)\(\beta-4\)=\alpha\beta-4\(\alpha+\beta\)+16=20-4(9)+16=0 . Hence, option A is correct. Choosing 4 or -16 usually results from omitting the middle term -4\(\alpha+\beta\) during expansion. Exam tip: for \(ax^2+bx+c=0\) , the sum of roots is -b/a and their product is c/a .
