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द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(r^2-49\neq0\), इसलिए \(r\neq\pm7\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(r^2-49\neq0\), so \(r\neq\pm7\).
((3x-2)(2x+5)=6x-2+11x-10) और (4(x+1)=4x+4) है। सभी पद एक ओर लाने पर \(6x^2+7x-14=0\) मिलता है। / Here ((3x-2)(2x+5)=6x-2+11x-10) and (4(x+1)=4x+4). Bringing all terms to one side gives \(6x^2+7x-14=0\).
एक आयत की लंबाई \\(2x+1\\) और चौड़ाई \\(x-4\\) है। यदि उसका क्षेत्रफल \\(45\\) वर्ग इकाई है, तो इस स्थिति को दर्शाने वाला सही द्विघात समीकरण कौन-सा है?
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, इसलिए \\((2x+1)(x-4)=45\\)। बाईं ओर का विस्तार करने पर \\(2x^2-8x+x-4=2x^2-7x-4\\) मिलता है। अतः \\(2x^2-7x-4=45\\), यानी \\(2x^2-7x-49=0\\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में पहले गुणनफल का समीकरण बनाएँ और फिर सभी पदों को एक ही तरफ लाकर शून्य के बराबर करें। / The area of a rectangle is length × breadth, so \\((2x+1)(x-4)=45\\). Expanding the product gives \\(2x^2-8x+x-4=2x^2-7x-4\\). Therefore, \\(2x^2-7x-4=45\\), which simplifies to \\(2x^2-7x-49=0\\). Hence, option A is correct. Exam tip: For area-based questions, first form the product equation and then bring all terms to one side to make it equal to zero.
यहाँ \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=q\) है। (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) से (58=100-2q), इसलिए (q=21)। / Here \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=q\). Using (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta), (58=100-2q), so (q=21).
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और अलग-अलग मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k^2\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\)। अतः \(4(2k+1)>0\), जिससे \(k>- rac{1}{2}\) मिलता है। \(k=-\frac{1}{2}\) पर मूल समान हो जाते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) याद रखें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k^2\), so \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\). Therefore, \(4(2k+1)>0\), giving \(k>- rac{1}{2}\). At \(k=-\frac{1}{2}\), the roots are equal, so option B is not sufficient. Exam tip: use \(D>0\) for distinct real roots, \(D=0\) for equal roots, and \(D<0\) for non-real roots.
पूरे समीकरण को (6) से गुणा करने पर (3(x+1)2+2(x-3)2=60) मिलता है। सरल करने पर \(5x^2-6x-39=0\) सही रूप है। / Multiplying the whole equation by (6) gives (3(x+1)2+2(x-3)2=60). Simplifying gives the correct form \(5x^2-6x-39=0\).
दिया गया समीकरण \((x-a)^2-25=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((x-a)^2=25\), इसलिए मूल \(a+5\) और \(a-5\) हैं। बड़े और छोटे मूल का अंतर \((a+5)-(a-5)=10\) होगा। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग बनाकर मूलों का अंतर निकालना सबसे सरल तरीका है। / The equation can be rewritten as \((x-a)^2-25=0\). Thus, \((x-a)^2=25\), giving the roots \(a+5\) and \(a-5\). Therefore, the difference between the larger and smaller roots is \((a+5)-(a-5)=10\). In such questions, completing the square is the quickest method.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \\(D<0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(D=b^2-4ac=10^2-4(1)(k)=100-4k\\) है। इसलिए \\(100-4k<0\\), जिससे \\(k>25\\) प्राप्त होता है। \\(k=25\\) पर विविक्तकर शून्य होता है और एक समान वास्तविक मूल मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: “कोई वास्तविक मूल नहीं” के लिए हमेशा \\(D<0\\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \\(D<0\\). Here, \\(D=b^2-4ac=10^2-4(1)(k)=100-4k\\). Thus, \\(100-4k<0\\), which gives \\(k>25\\). When \\(k=25\\), the discriminant is zero and the equation has one repeated real root, so that option is not correct. Exam tip: For “no real roots,” apply the condition \\(D<0\\).
यहाँ \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=-27\) है। इसलिए (\alpha\beta+3\alpha+3\beta=-27+3(6)=-9)। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=-27\). Thus (\alpha\beta+3\alpha+3\beta=-27+3(6)=-9).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=-13\), इसलिए \(\alpha+\beta=13\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=13^2=169\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B नियतांक \(36\) से संबंधित है, मूलों के योग से नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल सीधे \(-\frac{b}{a}\) तथा \(\frac{c}{a}\) से ज्ञात करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=1\) and \(b=-13\), so \(\alpha+\beta=13\). Therefore, \((\alpha+\beta)^2=13^2=169\), making option A correct. Option B is the constant term, not the sum of the roots. Exam tip: Use Vieta’s formulas directly: the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\) and their product is \(\frac{c}{a}\).
त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\) होता है। इसलिए \(\frac{1}{2}(x+3)(x+7)=55\), अर्थात् \((x+3)(x+7)=110\)। विस्तार करने पर \(x^2+10x+21=110\), जिससे \(x^2+10x-89=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में क्षेत्रफल के सूत्र का \(\frac{1}{2}\) वाला गुणक सही ढंग से नहीं हटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: त्रिभुज के क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में पहले दोनों पक्षों को 2 से गुणा करके फिर विस्तार करें। / The area of a triangle is \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). Hence, \(\frac{1}{2}(x+3)(x+7)=55\), so \((x+3)(x+7)=110\). Expanding gives \(x^2+10x+21=110\), and therefore \(x^2+10x-89=0\). Option B results from mishandling the factor \(\frac{1}{2}\) in the area formula. Exam tip: In triangle-area problems, first multiply both sides by 2 and then expand the product.
वियत के सूत्रों के अनुसार, \(\alpha+\beta=12\) और \(\alpha\beta=35\)। अतः \((\alpha-5)(\beta-5)=\alpha\beta-5(\alpha+\beta)+25=35-5(12)+25=0\)। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: मूलों से बने व्यंजक में पहले \(\alpha+\beta\) और \(\alpha\beta\) का उपयोग करें; मूलों को अलग-अलग ज्ञात करना आवश्यक नहीं होता। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=12\) and \(\alpha\beta=35\). Therefore, \((\alpha-5)(\beta-5)=\alpha\beta-5(\alpha+\beta)+25=35-5(12)+25=0\). Hence, option A is correct. Exam tip: For expressions involving the roots, first use the sum and product of roots; finding the roots individually is not necessary.
मूलों का योग (4+p) है और समीकरण में योग (-p) होता है। इसलिए (4+p=-p), जिससे (p=-2) मिलता है। / The sum of roots is (4+p), and in the equation the sum is (-p). Thus (4+p=-p), giving (p=-2).
वियत के सूत्र के अनुसार, \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1,b=-7,c=3\), इसलिए \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=3\)। अतः \(\alpha+\beta+3\alpha\beta=7+3(3)=16\)। विकल्प 7 केवल मूलों का योग और विकल्प 3 केवल उनका गुणनफल दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूल ज्ञात करने के बजाय सीधे वियत के सूत्रों का प्रयोग करें। / By Vieta’s formulas, for \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\) and their product is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=1,b=-7,c=3\), so \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=3\). Therefore, \(\alpha+\beta+3\alpha\beta=7+3(3)=16\). Option 7 is only the sum of the roots, while option 3 is only their product. Exam tip: Use Vieta’s formulas directly instead of solving for the roots.
क्योंकि \(x=-1\) समीकरण का मूल है, इसलिए इसे समीकरण में रखने पर \((-1)^2+(4k-1)(-1)+3k=0\) मिलता है। अतः \(1-4k+1+3k=0\), यानी \(2-k=0\), इसलिए \(k=2\)। परीक्षा-युक्ति: दिए गए मूल को सीधे समीकरण में रखकर प्राप्त रैखिक समीकरण हल करें। / Since \(x=-1\) is a root, substitute it into the equation: \((-1)^2+(4k-1)(-1)+3k=0\). This gives \(1-4k+1+3k=0\), or \(2-k=0\), so \(k=2\). Exam tip: When a root is given, substitute it directly into the polynomial to form an equation in the parameter.
विस्तार करने पर बाईं ओर \(2x^2+2x+25\) और दाईं ओर \(x^2-2x+1\) है। घटाने पर \(x^2+4x+24=0\) मिलता है। / Expanding gives left side \(2x^2+2x+25\) and right side \(x^2-2x+1\). Subtracting gives \(x^2+4x+24=0\).
\(a=-2\) रखने पर \(a+2=0\) और \(a^2-4=4-4=0\) मिलते हैं। अतः दिया गया कथन \(0x^2+0x+7=0\), अर्थात् \(7=0\), बन जाता है। यह असत्य और असंभव होने के कारण विरोधाभासी कथन है। ध्यान रखें: जब चर वाले सभी पदों के गुणांक शून्य हो जाएँ, तो बचे हुए स्थिर कथन की जाँच करें। / Substituting \(a=-2\) gives \(a+2=0\) and \(a^2-4=4-4=0\). Therefore, the expression becomes \(0x^2+0x+7=0\), or \(7=0\). Since this statement is impossible, it is contradictory. Exam tip: when the coefficients of all variable terms become zero, classify the remaining constant statement rather than calling it linear or quadratic.
द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। यहाँ मूलों का योग \((-4)+9=5\) है, इसलिए \(-b=5\) से \(b=-5\)। मूलों का गुणनफल \((-4)(9)=-36\) है, इसलिए \(c=-36\)। अतः \(b+c=-5-36=-41\)। परीक्षा-टिप: \(x^2+bx+c=0\) में मूलों के योग और गुणनफल को क्रमशः \(-b\) और \(c\) से मिलाएँ। / For the monic quadratic \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\). Here, the sum is \((-4)+9=5\), so \(-b=5\) and \(b=-5\). The product is \((-4)(9)=-36\), giving \(c=-36\)। Therefore, \(b+c=-5-36=-41\). Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), match the sum and product of the roots with \(-b\) and \(c\), respectively.
मूलों का योग (5) और गुणनफल (-14) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=125+210=335)। / The sum of roots is (5) and the product is (-14). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=125+210=335).
गुणनफल (7) और योग \(-\frac{k}{4}\) है। (7=-2\left\(-\frac{k}{4}\right\)) से (k=14) मिलता है। / The product is (7) and the sum is \(-\frac{k}{4}\). From (7=-2\left\(-\frac{k}{4}\right\)), we get (k=14).
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है। योग (0) और गुणनफल (-121) रखने पर \(x^2-121=0\) मिलता है। \(/ The monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Using sum (0) and product (-121) gives (x^2-121=0).\)
(x=2) रखने पर बायां पक्ष (4k-14+3=4k-11) होता है। मूल न होने के लिए \(4k-11\neq0\), इसलिए \(k\neq\frac{11}{4}\)। / Putting (x=2), the left side becomes (4k-14+3=4k-11). For it not to be a root, \(4k-11\neq0\), so \(k\neq\frac{11}{4}\).
समान मूलों के लिए \(p^2-100=0\) से \(p=\pm10\) मिलता है। धनात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{p}{2}>0\), इसलिए (p=-10)। / For equal roots, \(p^2-100=0\) gives \(p=\pm10\). For equal positive roots, \(-\frac{p}{2}>0\), so (p=-10).
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (36) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (36), so it is not possible.
यह समीकरण \((4x-3k)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(4x-3k=0\), जिससे दोनों मूल \(x=\frac{3k}{4}\) प्राप्त होते हैं और समान हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना भी समान वास्तविक मूल की पुष्टि करता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D=0\) हो तो मूल समान वास्तविक होते हैं। / The equation can be written as \((4x-3k)^2=0\). Hence \(4x-3k=0\), giving the repeated root \(x=\frac{3k}{4}\). Equivalently, the discriminant is \(D=b^2-4ac=0\), which confirms that the roots are equal and real. Exam tip: for a quadratic equation, \(D=0\) indicates two equal real roots.
विस्तार करने पर \\(x+a\\)2=x-2+2ax+a-2"). अब \\(x\\) के गुणांक की तुलना करने पर \\(2a=18\\), अतः \\(a=9\\)। साथ ही, \\(a^2=81\\) भी संतुष्ट होता है। \\(-9\\) से स्थिर पद तो 81 मिलता है, लेकिन \\(x\\) का गुणांक \\(-18\\) हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: सर्वसमिका में समान घात वाले पदों के गुणांकों की तुलना करें। / Expanding gives \\(x+a\\)2=x-2+2ax+a-2"). Comparing the coefficients of \\(x\\), we get \\(2a=18\\), so \\(a=9\\). This also satisfies the constant-term condition \\(a^2=81\\). Although \\(-9\\) gives the same constant term, it makes the coefficient of \\(x\\) equal to \\(-18\\), so it is incorrect. Exam tip: For an identity, compare coefficients of like powers on both sides.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ मान \(\frac{11}{30}\) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the value is \(\frac{11}{30}\).
यदि मूलों का योग (15) और गुणनफल (54) है, तो समीकरण \(x^2-15x+54=0\) होगा। मोनिक रूप का सूत्र याद रखें। / If the sum of roots is (15) and product is (54), the equation is \(x^2-15x+54=0\). Remember the monic form formula.
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, इसलिए \((x+8)(x-5)=104\)। गुणा करने पर \(x^2+3x-40=104\) मिलता है। सभी पदों को एक ओर लाने पर \(x^2+3x-144=0\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(-40\) को दूसरी ओर ले जाकर \(-144\) बनाने की प्रक्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-टिप: क्षेत्रफल वाले प्रश्नों में पहले लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल लिखकर उसे दिए गए क्षेत्रफल के बराबर रखें। / Area of a rectangle = length × breadth, so \((x+8)(x-5)=104\). On expanding, we get \(x^2+3x-40=104\). Bringing all terms to one side gives \(x^2+3x-144=0\), so option A is correct. Option B results from failing to transfer the \(-40\) term correctly while simplifying. Exam tip: For area-based word problems, first write length × breadth = given area, then rearrange the equation into standard quadratic form.
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=6\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=-16\) है। इसलिए योग धनात्मक और गुणनफल ऋणात्मक है। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=6\) and the product is \(\frac{c}{a}=-16\). So the sum is positive and the product is negative.
