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\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है। योग (0) और गुणनफल (-144) रखने पर \(x^2-144=0\) मिलता है। \(/ The monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Using sum (0) and product (-144) gives (x^2-144=0).\)
(x=-2) रखने पर बायां पक्ष (4k-10+6=4k-4) होता है। मूल न होने के लिए \(4k-4\neq0\), इसलिए \(k\neq1\)। / Putting (x=-2), the left side becomes (4k-10+6=4k-4). For it not to be a root, \(4k-4\neq0\), so \(k\neq1\).
समान मूलों के लिए \(p^2-144=0\) से \(p=\pm12\) मिलता है। धनात्मक समान मूल के लिए \(-\frac{p}{2}>0\), इसलिए (p=-12)। / For equal roots, \(p^2-144=0\) gives \(p=\pm12\). For equal positive roots, \(-\frac{p}{2}>0\), so (p=-12).
एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम हो तो मूलों का गुणनफल (1) होना चाहिए। यहाँ गुणनफल (49) है, इसलिए ऐसा संभव नहीं है। / If one root is the reciprocal of the other, the product of roots must be (1). Here the product is (49), so it is not possible.
दिया गया समीकरण 25x² + 40kx + 16k² = (5x + 4k)² है। अतः (5x + 4k)² = 0 से x = −4k/5 प्राप्त होता है और यह मूल दोहराया हुआ है। विविक्तकर भी D = (40k)² − 4(25)(16k²) = 0 है, इसलिए मूल समान वास्तविक हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि वह D > 0 की स्थिति दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में D = 0 होने पर दो समान वास्तविक मूल होते हैं। / The equation can be written as 25x² + 40kx + 16k² = (5x + 4k)². Hence, (5x + 4k)² = 0 gives x = −4k/5, which is a repeated root. Equivalently, the discriminant is D = (40k)² − 4(25)(16k²) = 0, so the roots are equal and real. Option B is incorrect because distinct real roots require D > 0. Exam tip: For a quadratic equation, D = 0 indicates two equal real roots.
विस्तार करने पर \\((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\\) मिलता है। दोनों पक्षों में \\(x\\) के गुणांक की तुलना करने पर \\(2a=-20\\), इसलिए \\(a=-10\\) है। यह मान रखने पर \\(a^2=100\\) भी मिलता है, इसलिए अचर पद की शर्त भी पूरी होती है। परीक्षा-युक्ति: सर्वसमिका में समान घातों वाले पदों के गुणांकों की तुलना करें। / Expanding gives \\((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\\). Comparing the coefficients of \\(x\\) on both sides, \\(2a=-20\\), so \\(a=-10\\). Substituting this value also gives \\(a^2=100\\), confirming the constant term. Exam tip: For an identity, compare coefficients of like powers of the variable.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ मान \(\frac{13}{42}\) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the value is \(\frac{13}{42}\).
यदि मूलों का योग (17) और गुणनफल (72) है, तो समीकरण \(x^2-17x+72=0\) होगा। मोनिक रूप का सूत्र याद रखें। / If the sum of roots is (17) and product is (72), the equation is \(x^2-17x+72=0\). Remember the monic form formula.
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, इसलिए \((x+9)(x-6)=130\)। गुणा करने पर \(x^2+3x-54=130\), अतः \(x^2+3x-184=0\)। विकल्प B में \(-54\) को स्थानांतरित करने पर होने वाला परिवर्तन नहीं किया गया है, जबकि विकल्प C और D में गुणनफल का विस्तार गलत है। परीक्षा-युक्ति: पहले द्विपदों का गुणनफल निकालें, फिर सभी पदों को एक ही तरफ लाकर समीकरण को शून्य के बराबर करें। / Area of a rectangle = length × breadth, so \((x+9)(x-6)=130\). Expanding gives \(x^2+3x-54=130\), and rearranging produces \(x^2+3x-184=0\). Option B does not correctly account for the \(-54\) term, while options C and D contain errors in expansion. Exam tip: multiply the binomials first, then bring all terms to one side and equate the expression to zero.
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=-5\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=-24\) है। इसलिए दोनों ऋणात्मक हैं। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=-5\) and the product is \(\frac{c}{a}=-24\). So both are negative.
वियत के सूत्र के अनुसार, समीकरण \(x^2+bx+100=0\) के मूलों का योग \(-b\) होता है। दोनों मूल \(-10\) हैं, इसलिए उनका योग \(-10+(-10)=-20\) है। अतः \(-b=-20\), जिससे \(b=20\)। परीक्षा में \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग हमेशा \(-b\) याद रखें; ऋण चिह्न की गलती से विकल्प B आ सकता है। / By Vieta’s formula, the sum of the roots of \(x^2+bx+100=0\) is \(-b\). Since both roots are \(-10\), their sum is \(-10+(-10)=-20\). Therefore, \(-b=-20\), giving \(b=20\). Exam tip: for \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is always \(-b\); missing this negative sign leads to option B.
पूर्ण वर्ग के लिए \(x^2-18x+c\) को \((x-9)^2=x^2-18x+81\) के रूप में लिखा जाना चाहिए। अतः \(c=81\) होगा। विकल्प 324 लेने पर \(18^2\) कर दिया जाता है, जबकि मध्य पद के गुणांक का आधा लेकर उसका वर्ग करना होता है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c\) के पूर्ण वर्ग होने पर \(c=\left(\frac{b}{2}\right)^2\) होता है। / For the expression to be a perfect square, \(x^2-18x+c\) must equal \((x-9)^2=x^2-18x+81\). Therefore, \(c=81\). Choosing 324 incorrectly amounts to squaring 18 directly; the correct method is to square half the coefficient of \(x\). Exam tip: \(x^2+bx+c\) is a perfect square when \(c=\left(\frac{b}{2}\right)^2\).
समीकरण का गुणनखंडन करने पर \(5x^2-22x+24=(5x-12)(x-2)\) मिलता है। अतः मूल \(\frac{12}{5}\) और \(2\) हैं। बड़े और छोटे मूलों का अंतर \(\frac{12}{5}-2=\frac{2}{5}\) है। \(\frac{12}{5}\) और \(2\) स्वयं मूल हैं, इसलिए वे अंतर के उत्तर नहीं हैं। परीक्षा में मूलों का अंतर पूछे जाने पर बड़े मूल में से छोटे मूल को घटाएँ। / Factoring gives \(5x^2-22x+24=(5x-12)(x-2)\). Therefore, the roots are \(\frac{12}{5}\) and \(2\). The difference between the larger and smaller roots is \(\frac{12}{5}-2=\frac{2}{5}\). The values \(\frac{12}{5}\) and \(2\) are the roots themselves, not their difference. In an exam, subtract the smaller root from the larger root when the difference between roots is asked.
द्विघात समीकरण में मूलों का गुणनफल अचर पद और अग्रणी गुणांक के अनुपात के बराबर होता है। यहाँ दोनों मूलों का गुणनफल \(6m\) है। एक मूल \(6\) दिया गया है, इसलिए दूसरा मूल \(\frac{6m}{6}=m\) होगा। ध्यान दें कि \(m+6\) मूलों का योग है, दूसरा मूल नहीं। / For a quadratic equation, the product of the roots equals the constant term divided by the leading coefficient. Here, the product of the roots is \(6m\). Since one root is \(6\), the other root is \(\frac{6m}{6}=m\). Note that \(m+6\) is the sum of the roots, not the other root.
यहाँ \(a=1\), \(b=-10\) और \(c=29\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(29)=100-116=-16\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना आवश्यक है, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: द्विघात समीकरण में \(D<0\) का अर्थ हमेशा ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ होता है। / Here, \(a=1\), \(b=-10\), and \(c=29\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(29)=100-116=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; its roots are complex. Option B would be correct only if \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) always indicates that there are no real roots.
(2r+5r=21) से (r=3) मिलता है, इसलिए मूल (6) और (15) हैं। स्थिर पद मूलों का गुणनफल (90) होगा। / From (2r+5r=21), we get (r=3), so the roots are (6) and (15). The constant term is the product of roots (90).
पहले पदों का विस्तार करें: (x+4)(x+7)=x²+11x+28 और (x−3)(x+6)=x²+3x−18। अतः बाईं ओर का योग 2x²+14x+10 है। इसे 88 के बराबर रखने पर 2x²+14x+10=88 मिलता है; 88 को बाईं ओर लाने पर 2x²+14x−78=0 प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में 88 घटाने का चरण नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: मानक रूप ax²+bx+c=0 के लिए सभी पदों को एक ही ओर लाकर दूसरी ओर 0 रखें। / Expand the two products: (x+4)(x+7)=x²+11x+28 and (x−3)(x+6)=x²+3x−18. Their sum is 2x²+14x+10, so the equation becomes 2x²+14x+10=88. Bringing 88 to the left gives 2x²+14x−78=0, so option A is correct. Option B stops before subtracting 88. Exam tip: To write a quadratic equation in standard form, bring all terms to one side so that the other side is 0.
विएटा के सूत्रों से \(\alpha+\beta=14\) और \(\alpha\beta=48\)। अतः \((\alpha-6)(\beta-6)=\alpha\beta-6(\alpha+\beta)+36=48-6(14)+36=0\)। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प C केवल \(\alpha\beta\) का मान है, पूरी अभिव्यक्ति का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में मूलों को अलग-अलग ज्ञात करने के बजाय पहले योग और गुणनफल का उपयोग करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=14\) and \(\alpha\beta=48\). Therefore, \((\alpha-6)(\beta-6)=\alpha\beta-6(\alpha+\beta)+36=48-6(14)+36=0\). Hence, option A is correct. Option C is only the value of \(\alpha\beta\), not of the complete expression. Exam tip: In such questions, use the sum and product of the roots instead of finding the roots separately.
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होता है। यहाँ ((-2)2-2\cdot\frac{3}{4}=\frac{5}{2})। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Here ((-2)2-2\cdot\frac{3}{4}=\frac{5}{2}).
मूलों का गुणनफल (40) है, इसलिए दूसरा मूल (8) होगा। योग (13) है और (-a=13), इसलिए (a=-13)। / The product of roots is (40), so the other root is (8). The sum is (13), and (-a=13), so (a=-13).
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विवेचक D = b² − 4ac होता है। विकल्प A में a = 1, b = 1 और c = 9 हैं, इसलिए D = 1² − 4 × 1 × 9 = 1 − 36 = −35। विकल्प C का विवेचक 2² − 4 × 3 × 3 = −32 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विवेचक निकालते समय b² में b का चिह्न पहले हट जाता है, लेकिन 4ac का पूरा मान घटाना होता है। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the discriminant is D = b² − 4ac. In option A, a = 1, b = 1, and c = 9, so D = 1² − 4 × 1 × 9 = 1 − 36 = −35. For example, option C gives 2² − 4 × 3 × 3 = −32, so it is not correct. Exam tip: the sign of b disappears when calculating b², but the complete value of 4ac must be subtracted.
द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\) है। अतः \(256-4k>0\), जिससे \(k<64\) प्राप्त होता है। \(k=64\) पर विविक्तकर शून्य होगा और दोनों मूल समान होंगे, इसलिए वह विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has real and distinct roots only when its discriminant is positive. Here, \(D=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\). Thus, \(256-4k>0\), which gives \(k<64\). At \(k=64\), the discriminant is zero and the roots are equal, so option B is not correct. Exam tip: For real and distinct roots, always apply the condition \(D>0\).
विएटा के सूत्र के अनुसार, मूलों का योग \(s=7+8=15\) और मूलों का गुणनफल \(p=7\times8=56\) होता है। अतः \(s+p=15+56=71\)। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2-sx+p\) के रूप में लिखे द्विघात समीकरण में मूलों का योग सीधे \(s\) और गुणनफल \(p\) होता है। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots is \(s=7+8=15\), and their product is \(p=7\times8=56\). Therefore, \(s+p=15+56=71\), so option A is correct. Exam tip: In an equation of the form \(x^2-sx+p=0\), the sum of the roots is \(s\) and their product is \(p\).
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\frac{\frac{17}{5}}{\frac{6}{5}}=\frac{17}{6}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here it is \(\frac{\frac{17}{5}}{\frac{6}{5}}=\frac{17}{6}\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए भेदांक \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=2p, c=36\), इसलिए \(D=(2p)^2-4(1)(36)=4p^2-144\)। अतः \(4p^2-144\geq 0\), जिससे \(p^2\geq 36\) और \(p\leq -6\) या \(p\geq 6\) प्राप्त होता है। विकल्प B में भेदांक ऋणात्मक होता है, इसलिए वहाँ वास्तविक मूल नहीं मिलते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों में समान मूल की स्थिति भी शामिल होती है, इसलिए \(D=0\) को अवश्य शामिल करें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq 0\). Here, \(a=1, b=2p, c=36\), so \(D=(2p)^2-4(1)(36)=4p^2-144\). Thus, \(4p^2-144\geq 0\), which gives \(p^2\geq 36\) and hence \(p\leq -6\) or \(p\geq 6\). In option B, the discriminant is negative, so the roots are not real. Exam tip: include \(D=0\), because equal roots are also real roots.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2m, c=49\), इसलिए \(D=(-2m)^2-4(1)(49)=4m^2-196=0\)। अतः \(m^2=49\), जिससे \(m=\pm7\)। इसलिए केवल \(m=7\) या केवल \(m=-7\) लेना अधूरा है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here \(a=1, b=-2m, c=49\), so \(D=(-2m)^2-4(1)(49)=4m^2-196=0\). Thus, \(m^2=49\), giving \(m=\pm7\). Choosing only \(m=7\) or only \(m=-7\) omits one valid value. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set the discriminant directly equal to zero.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-13) रखने पर \(x^2+13x+42=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-13) gives (x^2+13x+42=0).\)
मूल \(x=-5\) होने के कारण इसे समीकरण में रखने पर \(3(-5)^2+p(-5)-20=0\) मिलता है। अतः \(75-5p-20=0\), यानी \(55-5p=0\), इसलिए \(p=11\)। ऋणात्मक चिन्ह की भूल से \(-11\) मिल सकता है, लेकिन \(p\) का सही मान \(11\) है। परीक्षा में किसी दिए गए मूल को सीधे समीकरण में रखकर प्राप्त समीकरण को हल करें। / Since \(x=-5\) is a root, substitute it directly into the equation: \(3(-5)^2+p(-5)-20=0\). Thus, \(75-5p-20=0\), so \(55-5p=0\) and \(p=11\). The distractor \(-11\) results from mishandling the negative sign in \(p(-5)\). Exam tip: substitute the given root carefully and simplify before solving for the parameter.
पूरे समीकरण को (12) से गुणा करने पर \(9x^2+6-4x+20=72\) मिलता है। इसलिए मानक रूप \(9x^2-4x-46=0\) नहीं बल्कि \(9x^2-4x-46=0\) होगा। / Multiplying the whole equation by (12) gives \(9x^2+6-4x+20=72\). Therefore the standard form is \(9x^2-4x-46=0\).
विस्तार करने पर 2(x−1)² + 3(x+2)² = 2x² − 4x + 2 + 3x² + 12x + 12 = 65 मिलता है। पदों को संयोजित करने पर 5x² + 8x + 14 = 65, अतः 5x² + 8x − 51 = 0 प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में −4x और +12x के चिन्हों का गलत संयोजन हुआ है। परीक्षा-युक्ति: मानक रूप ax² + bx + c = 0 में बदलने से पहले सभी कोष्ठकों का विस्तार सावधानी से करें। / Expanding the brackets gives 2x² − 4x + 2 + 3x² + 12x + 12 = 65. Combining like terms, 5x² + 8x + 14 = 65, and moving 65 to the left gives 5x² + 8x − 51 = 0. Therefore, option A is correct. Option B has an incorrect sign for the linear term. Exam tip: Expand each squared binomial carefully before rearranging the equation into ax² + bx + c = 0.
