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विवेचक की परिभाषा है \(D=b^2-4ac\)। विकल्प A में \(a=1,\;b=1,\;c=12\) इसलिए \(D=1^2-4\cdot1\cdot12=1-48=-47\)। विकल्प D (जो निकटतम विकल्प है) के लिए \(D=(-8)^2-4\cdot1\cdot30=64-120=-56\), अतः वह -47 नहीं है। परीक्षा-सुझाव: हर समीकरण में पहले \(a, b, c\) पहचानकर सीधे \(b^2-4ac\) की गणना करें और साइन पर विशेष ध्यान दें। / Discriminant is defined by \(D=b^2-4ac\). For option A, \(a=1,\;b=1,\;c=12\), so \(D=1^2-4\cdot1\cdot12=1-48=-47\), which matches. The closest distractor, option D, gives \(D=(-8)^2-4\cdot1\cdot30=64-120=-56\), not -47. Exam tip: always identify \(a,b,c\) first and compute \(b^2-4ac\) carefully, watching signs of b and c.
किसी द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac\) का धनात्मक होना आवश्यक है। यहाँ \(a=1,\;b=-20,\;c=k\) इसलिए
\(D=(-20)^2-4\cdot1\cdot k=400-4k\).
वास्तविक तथा भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) चाहिए, अतः \(400-4k>0\) से \(k<100\)।
यदि \(k=100\) तो मूल समान होंगे (दोहराव), और \(k>100\) पर मूल सम्मिश्र (complex) होंगे।
परीक्षा-सूत्र: डिस्क्रिमिनेंट निकालते समय सामान्य रूप से 4 से गुणा करके सरलता से लिखें — यहाँ \(D=4(100-k)\)। / For a quadratic to have real and distinct roots the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be positive. Here \(a=1,\;b=-20,\;c=k\), so
\(D=(-20)^2-4\cdot1\cdot k=400-4k\).
Real and distinct roots require \(D>0\), hence \(400-4k>0\) which gives \(k<100\).
If \(k=100\) the roots are equal, and if \(k>100\) the roots are complex. Exam tip: factor common multiples (\(D=4(100-k)\)) to check the sign quickly.
किसी समीकण \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का वर्गीय सम्बन्ध (Vieta) कहता है कि मूलों का योग = \(-b\) और गुणनफल = \(c\)। यहाँ समीकरण \(x^2 - s x + p = 0\) है, अतः दो मूलों का योग = \(s\) और गुणनफल = \(p\)। दिए गये मूल 8 और 9 हैं, तो \(s=8+9=17\) और \(p=8\times9=72\)। इसलिए \(s+p=17+72=89\)। निकटतम भ्रामक विकल्पों में से \(17\) केवल \(s\) (मूलों का योग) है और \(72\) केवल \(p\) (मूलों का गुणनफल) है, अतः वे गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: समीकरण को सामान्य रूप \(x^2+bx+c=0\) में देखें और Vieta के नियम याद रखें — योग = \(-b\), गुणनफल = \(c\)। / By Vieta’s relations for \(x^2+bx+c=0\), the sum of roots = \(-b\) and the product = \(c\). For \(x^2 - s x + p = 0\), the sum of the roots equals \(s\) and the product equals \(p\). With roots 8 and 9 we get \(s=8+9=17\) and \(p=8\times9=72\). Hence \(s+p=17+72=89\). Note that 17 is only the sum (s) and 72 is only the product (p), so they are incorrect as s+p. Exam tip: apply Vieta’s formulas directly instead of recomputing coefficients each time.
व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\frac{\frac{19}{6}}{\frac{10}{6}}=\frac{19}{10}\) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here it is \(\frac{\frac{19}{6}}{\frac{10}{6}}=\frac{19}{10}\).
A. \(p\leq -7\) या \(p\geq 7\)/\(p\leq -7\) or \(p\geq 7\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए द्विघात का डिस्क्रिमिनेंट \(D\geq0\) होना आवश्यक है। यहाँ \(D=(2p)^2-4\cdot1\cdot49=4p^2-196=4(p^2-49)\). \(D\geq0\) से \(p^2-49\geq0\) अर्थात् \(p^2\geq49\) जो देता है \(p\leq-7\) या \(p\geq7\)। विकल्प B गलत है क्योंकि उस पर \(p^2<49\) होगा और \(D<0\) होगा; विकल्प C बहुत संकुचित है और विकल्प D भी गलत है क्योंकि \(p\neq7\) में कई मान ऐसे हैं जिनसे \(D<0\)। परीक्षा टिप: किसी भी पैरामीट्रिक द्विघात के लिए सबसे पहले \(D=(b^2-4ac)\) की शर्त \(\ge0\) पर निर्णय लें। / For real roots the discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here \(D=(2p)^2-4\cdot1\cdot49=4p^2-196=4(p^2-49)\). Requiring \(D\ge0\) gives \(p^2-49\ge0\) or \(p^2\ge49\), hence \(p\le-7\) or \(p\ge7\). Option B is incorrect because for \(-7<p<7\) we have \(p^2<49\) so \(D<0\); option C is just a special value and not the general condition; option D is too broad and includes values that do not give real roots. Exam tip: For parameter problems, compute \(D=b^2-4ac\) first and set \(D\ge0\) to find the range of the parameter.
समान मूल होने के लिए द्विघात समीकरण का डिस्क्रिमिनेंट \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1,\ b=-2m,\ c=64\)। अतः \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4\cdot1\cdot64=4m^2-256\)。 \(D=0\) से \(4m^2-256=0\Rightarrow m^2=64\Rightarrow m=\pm8\)। इसलिए सही उत्तर \(m=\pm8\) है। विकल्प \(m=\pm16\) गलत है क्योंकि उस मान पर \(D\neq0\) होगा (जैसे \(m=16\) पर \(D=4\cdot256-256\neq0\))। परीक्षा टिप: समान मूल के लिए सीधे \(D=b^2-4ac=0\) लागू करें और समीकलन को सरल करके हल करें। / For equal roots the discriminant must be zero: \(D=0\). In the given equation \(a=1,\ b=-2m,\ c=64\). So \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4\cdot1\cdot64=4m^2-256\). Setting \(D=0\) gives \(4m^2-256=0\Rightarrow m^2=64\Rightarrow m=\pm8\). Thus \(m=\pm8\) is correct. The option \(m=\pm16\) is incorrect because it yields a nonzero discriminant (roots are not equal). Exam tip: always compute \(b^2-4ac\) first for equal/distinct roots and solve the resulting equation for the parameter.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-15) रखने पर \(x^2+15x+56=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-15) gives (x^2+15x+56=0).\)
\(x=-6\) को समीकरण \(2x^2+px-18=0\) में रखें: \(2(-6)^2 + p(-6) - 18 = 0\). यह बनता है \(72 - 6p - 18 = 0\) अर्थात् \(54 - 6p = 0\). इसलिए \(p = \dfrac{54}{6} = 9\). विकल्प \(-9\) आम गलत जवाब है जब संकेत की गलती हो (गलत तरीके से \(+6p\) ले लिया जाए)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी दिये गए मूल को सीधे समीकरण में प्रतिस्थापित करके क्रमवार रूप से सादगी करें और संकेतों (positive/negative) पर विशेष ध्यान दें। / Substitute \(x=-6\) into \(2x^2+px-18=0\): \(2(-6)^2 + p(-6) -18 = 0\). This gives \(72 - 6p - 18 = 0\) → \(54 - 6p = 0\), so \(p = 54/6 = 9\). The choice \(-9\) typically arises from a sign error (treating \(p(-6)\) as \(+6p\)). Exam tip: always substitute the root and simplify step-by-step, checking signs carefully.
पूरे समीकरण को (20) से गुणा करने पर \(16x^2-12+5x-10=60\) मिलता है। इसलिए \(16x^2+5x-82=0\) नहीं बल्कि \(16x^2+5x-82=0\) मिलेगा। / Multiplying the whole equation by (20) gives \(16x^2-12+5x-10=60\). Therefore the standard form is \(16x^2+5x-82=0\).
पहला कदम वर्गों को विस्तृत करना है: \(3(x+1)^2=3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3\) और \(2(x-4)^2=2(x^2-8x+16)=2x^2-16x+32\)। जोड़ने पर मिलता है \(5x^2-10x+35=74\)। अब दोनों पक्षों को एक तरफ लाकर सरल करने पर \(5x^2-10x+35-74=0\) अर्थात् \(5x^2-10x-39=0\)। विकल्प B (\(+10x\)) सबसे नज़दीकी भ्रांतिदायक है — वहाँ परिचर का संकेत उल्टा है। परीक्षा टिप: पहले वर्गों को सही से फैलाएँ, समान पद मिलाएँ और फिर दायाँ पक्ष बाएँ ले आएँ; अंतिम स्थिर पद के लिए अंकगणित दोबारा जाँचें (यहाँ \(3+32-74=-39\))। / Expand the squares first: \(3(x+1)^2=3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3\) and \(2(x-4)^2=2(x^2-8x+16)=2x^2-16x+32\). Adding gives \(5x^2-10x+35=74\). Bring 74 to the left and simplify: \(5x^2-10x+35-74=0\), so \(5x^2-10x-39=0\). Option B is the closest distractor because it has the wrong sign on the linear term (+10x instead of -10x). Exam tip: expand carefully, combine like terms, then move the constant from the RHS to the LHS and re-check the arithmetic for the constant term (here \(3+32-74=-39\)).
द्विघात होने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) नहीं होना चाहिए। यहाँ \(t^2-64\neq0\), इसलिए \(t\neq\pm8\)। / For the equation to be quadratic, the coefficient of \(x^2\) must not be (0). Here \(t^2-64\neq0\), so \(t\neq\pm8\).
((4x-3)(x+5)=4x-2+17x-15) और (2(3x-1)=6x-2) है। सभी पद एक ओर लाने पर \(4x^2+11x-13=0\) मिलता है। / Here ((4x-3)(x+5)=4x-2+17x-15) and (2(3x-1)=6x-2). Bringing all terms to one side gives \(4x^2+11x-13=0\).
मूलों का योग (-p) होता है, इसलिए ((p+1)+(q-1)=p+q=-p)। (p+q=5) से (p=-5) आता है, इसलिए शर्तों से विकल्पों में (6) सही बैठता है। / The sum of roots is (-p), so ((p+1)+(q-1)=p+q=-p). Using (p+q=5), the option consistent with the conditions is (6).
मूलों का योग (2k+3) और गुणनफल \(k^2+3k\) है। ये (k) और (k+3) नहीं बल्कि (k) तथा (k+3) जैसे नहीं बनते, जाँच से (k=3) पर मूल (3) और (6) नहीं इसलिए सही विकल्प नहीं है। / The sum is (2k+3) and the product is \(k^2+3k\). Direct checking with the options shows (k=3) gives the required equation pattern.
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), इसलिए मान \(\frac{37}{6}\) है। / We use \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). Here \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), so the value is \(\frac{37}{6}\).
हर हटाने पर (2(x+2)2+2(x-1)2=5(x-1)(x+2)) मिलता है। सरल करने पर \(x^2+x-20=0\) सही रूप है। / After clearing denominators, (2(x+2)2+2(x-1)2=5(x-1)(x+2)). Simplifying gives the correct form \(x^2+x-20=0\).
दिया गया समीकरण \((x-a)^2-36=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((x-a)^2=36\), इसलिए मूल \(x=a+6\) और \(x=a-6\) हैं। बड़े और छोटे मूल का अंतर \((a+6)-(a-6)=12\) है। विकल्प \(a+6\) केवल एक मूल दर्शाता है, अंतर नहीं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें। / The equation can be rewritten as \((x-a)^2-36=0\). Thus, \((x-a)^2=36\), giving the roots \(x=a+6\) and \(x=a-6\). Their difference is \((a+6)-(a-6)=12\). The expression \(a+6\) represents only one root, not the difference. Exam tip: First rewrite such equations in perfect-square form.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर �D<0� होना चाहिए। यहाँ �D=122-4(1)(k)=144-4k� है। अतः �144-4k<0� से �k>36� प्राप्त होता है। ध्यान दें कि �k=36� पर विविक्तकर शून्य होता है और एक समान वास्तविक मूल मिलता है, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies �D<0�. Here, �D=122-4(1)(k)=144-4k�. Thus, �144-4k<0�, which gives �k>36�. Note that when �k=36�, the discriminant is zero and the equation has one repeated real root, so that option is not correct. Exam tip: for a monic quadratic �x-2+bx+c=0�, no real roots means �b-2-4c<0�.
यहाँ \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=-30\) है। इसलिए (\alpha\beta+4\alpha+4\beta=-30+4(7)=-2)। / Here \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=-30\). Thus (\alpha\beta+4\alpha+4\beta=-30+4(7)=-2).
विएटा के सूत्र के अनुसार, समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=-15\) हैं, इसलिए \(\alpha+\beta=-\frac{-15}{1}=15\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=15^2=225\)। विकल्प 44 मूलों के गुणनफल \(\alpha\beta\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल सीधे विएटा के सूत्र से पहचानें। / By Vieta’s formula, the sum of the roots of \(ax^2+bx+c=0\) is \(-\frac{b}{a}\). Here, \(a=1\) and \(b=-15\), so \(\alpha+\beta=-\frac{-15}{1}=15\). Therefore, \((\alpha+\beta)^2=15^2=225\). The value 44 is the product \(\alpha\beta\), not the sum of the roots. Exam tip: Identify the sum and product of roots directly using Vieta’s formulas.
त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times\text{आधार}\times\text{ऊँचाई}\) होता है। इसलिए \(\frac{1}{2}(x+4)(x+8)=72\), अर्थात \((x+4)(x+8)=144\)। विस्तार करने पर \(x^2+12x+32=144\), इसलिए \(x^2+12x-112=0\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(144\) के स्थान पर \(72\) घटाया गया है, जो \(\frac{1}{2}\) का सही समायोजन नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: क्षेत्रफल वाले त्रिभुज प्रश्नों में \(\frac{1}{2}\) अवश्य लगाएँ। / The area of a triangle is \(\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{height}\). Hence, \(\frac{1}{2}(x+4)(x+8)=72\), so \((x+4)(x+8)=144\). Expanding gives \(x^2+12x+32=144\), and therefore \(x^2+12x-112=0\). Option B incorrectly subtracts \(72\) instead of \(144\), failing to account for the factor \(\frac{1}{2}\). Exam tip: In triangle-area problems, do not forget the factor \(\frac{1}{2}\).
वियत के सूत्र से \(\alpha+\beta=16\) और \(\alpha\beta=63\)। अतः \((\alpha-7)(\beta-7)=\alpha\beta-7(\alpha+\beta)+49=63-7(16)+49=0\)। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूल ज्ञात किए बिना मूलों के योग और गुणनफल का उपयोग करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=16\) and \(\alpha\beta=63\). Therefore, \((\alpha-7)(\beta-7)=\alpha\beta-7(\alpha+\beta)+49=63-7(16)+49=0\). Hence, option A is correct. Exam tip: Use the sum and product of the roots directly instead of finding the roots separately.
मूलों का योग (5+p) है और समीकरण में योग (-p) होता है। इसलिए (5+p=-p), जिससे \(p=-\frac{5}{2}\) मिलता है। / The sum of roots is (5+p), and in the equation the sum is (-p). Thus (5+p=-p), giving \(p=-\frac{5}{2}\).
वियत के सूत्र के अनुसार, \(x^2-8x+5=0\) में मूलों का योग \(\alpha+\beta=8\) और मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=5\) है। अतः \(\alpha+\beta+4\alpha\beta=8+4(5)=28\)। विकल्प 13 में गुणनफल को केवल 5 जोड़ा गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। / By Vieta’s formulas for \(x^2-8x+5=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=8\) and their product is \(\alpha\beta=5\). Therefore, \(\alpha+\beta+4\alpha\beta=8+4(5)=28\). Option 13 results from adding the product only once, so it is incorrect. Exam tip: for \(ax^2+bx+c=0\), the sum of roots is \(-b/a\) and the product is \(c/a\).
क्योंकि \(x=-2\) समीकरण का मूल है, इसलिए इसे समीकरण में रखने पर \((-2)^2+(5k-2)(-2)+4k=0\) मिलता है। अतः \(4-10k+4+4k=0\), यानी \(8-6k=0\), जिससे \(k=\frac{4}{3}\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प D है। परीक्षा-युक्ति: दिए गए मूल को सीधे द्विघात समीकरण में प्रतिस्थापित करके पैरामीटर का मान निकालें। / Since \(x=-2\) is a root, substituting it into the equation gives \((-2)^2+(5k-2)(-2)+4k=0\). Therefore, \(4-10k+4+4k=0\), so \(8-6k=0\) and \(k=\frac{4}{3}\). Hence, option D is correct. Exam tip: When a root is given, substitute it directly into the quadratic equation and solve for the parameter.
विस्तार करने पर बाईं ओर \(2x^2-2x+61\) और दाईं ओर \(x^2+4x+4\) है। घटाने पर \(x^2-6x+57=0\) नहीं बल्कि \(x^2-6x+57=0\) मिलता है। / Expanding gives left side \(2x^2-2x+61\) and right side \(x^2+4x+4\). Subtracting gives \(x^2-6x+57=0\).
a = 3 रखने पर a − 3 = 0 और a² − 9 = 9 − 9 = 0 हो जाता है। अतः समीकरण 11 = 0 प्राप्त होता है, जो असत्य और विरोधाभासी कथन है। इसका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: गुणांक शून्य होने पर पहले जाँचें कि बचा हुआ कथन सत्य है या असत्य; असत्य स्थिर कथन का कोई हल नहीं होता। / Substituting a = 3 gives a − 3 = 0 and a² − 9 = 9 − 9 = 0. Therefore, the equation reduces to 11 = 0, which is a false and contradictory statement, so it has no solution. Exam tip: When the coefficients of the variable terms become zero, check whether the remaining constant statement is true or false; a false statement has no solution.
द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। यहाँ मूलों का योग \(-5+11=6\) है, इसलिए \(-b=6\), अर्थात \(b=-6\)। मूलों का गुणनफल \((-5)(11)=-55\) है, इसलिए \(c=-55\)। अतः \(b+c=-6-55=-61\)। परीक्षा-युक्ति: monic quadratic में मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) सीधे पहचानें। / For the quadratic equation \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\). Here, the sum is \(-5+11=6\), so \(-b=6\), giving \(b=-6\). Their product is \((-5)(11)=-55\), so \(c=-55\). Therefore, \(b+c=-6-55=-61\). Exam tip: In a monic quadratic, use the root relations sum \(=-b\) and product \(=c\) directly.
मूलों का योग (6) और गुणनफल (-16) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=216+288=504)। / The sum of roots is (6) and the product is (-16). (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)=216+288=504).
गुणनफल (9) और योग \(-\frac{k}{5}\) है। (9=-3\left\(-\frac{k}{5}\right\)) से (k=15) मिलता है। / The product is (9) and the sum is \(-\frac{k}{5}\). From (9=-3\left\(-\frac{k}{5}\right\)), we get (k=15).
