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A. पर्वतीय वर्षा और वर्षाछाया प्रभाव/Orographic rainfall and rain-shadow effect
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी घाट नम हवाओं को ऊपर उठाते हैं और पीछे वर्षाछाया बनती है। परीक्षा में पश्चिमी घाट को मानसून अवरोध से जोड़ें। / The Western Ghats lift moist winds and create a rain-shadow behind them. For exams, link the Western Ghats with a monsoon barrier.
नम पवनें खासी पहाड़ियों से टकराकर ऊपर उठती हैं और भारी वर्षा कराती हैं। परीक्षा में मेघालय और ओरोग्राफिक वर्षा संबंध याद रखें। / Moist winds hit Khasi Hills rise upward and cause heavy rainfall. For exams remember the Meghalaya and orographic rainfall relation.
A. नम पवनों का पर्वतीय उत्थान/Mountain uplift of moist winds
Explanation
Simple Explanation
दोनों क्षेत्रों में नम पवनें पहाड़ियों से टकराकर ऊपर उठती हैं और वर्षा देती हैं। परीक्षा में ओरोग्राफिक वर्षा याद रखें। / In both regions moist winds strike hills and rise to give rainfall. For exams remember orographic rainfall.
A. नम मानसूनी हवाओं का पर्वतीय उत्थान/Orographic lifting of moist monsoon winds
Explanation
Simple Explanation
खासी पहाड़ियां नम मानसूनी हवाओं को ऊपर उठाकर भारी वर्षा कराती हैं। परीक्षा में चेरापूंजी और मासिनराम को इससे जोड़ें। / Khasi Hills lift moist monsoon winds and cause heavy rainfall. For exams, connect Cherrapunji and Mawsynram with this.
A. नम मानसूनी हवाओं का पर्वतीय उत्थान/Orographic lifting of moist monsoon winds
Explanation
Simple Explanation
खासी पहाड़ियां नम हवाओं को ऊपर उठाकर भारी वर्षा कराती हैं। परीक्षा में चेरापूंजी और मासिनराम को इससे जोड़ें। / Khasi Hills lift moist winds and cause heavy rainfall. For exams, connect Cherrapunji and Mawsynram with this process.
A. पर्वतीय वर्षा और वर्षाछाया/Orographic rainfall and rain shadow
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी घाट नम हवाओं को ऊपर उठाते हैं और पीछे वर्षाछाया बनती है। परीक्षा में पश्चिमी घाट को मानसूनी अवरोध मानें। / The Western Ghats lift moist winds and create rain shadow behind them. For exams, treat Western Ghats as a monsoon barrier.
A. विविध ऊंचाई और नमी से अलग-अलग आवास बनते हैं/Varied altitude and moisture create different habitats
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी घाट की ऊंचाई और वर्षा अनेक आवास बनाते हैं। परीक्षा में इन्हें जैव विविधता हॉटस्पॉट के रूप में याद रखें। / Altitude and rainfall in Western Ghats create many habitats. For exams, remember them as a biodiversity hotspot.
A. नम हवाओं का पर्वतीय उत्थान/Orographic lifting of moist winds
Explanation
Simple Explanation
खासी पहाड़ियां नम मानसूनी हवाओं को ऊपर उठाकर भारी वर्षा कराती हैं। परीक्षा में चेरापूंजी और मासिनराम को इससे जोड़ें। / Khasi Hills lift moist monsoon winds and cause heavy rainfall. For exams, connect Cherrapunji and Mawsynram with it.
A. नम मानसूनी हवाओं का पर्वतीय उत्थान/Orographic lifting of moist monsoon winds
Explanation
Simple Explanation
खासी पहाड़ियां नम मानसूनी हवाओं को ऊपर उठाती हैं जिससे भारी वर्षा होती है। परीक्षा में इसे पर्वतीय वर्षा से जोड़ें। / Khasi Hills lift moist monsoon winds, causing heavy rainfall. For exams, connect it with orographic rainfall.
D. वे नम मानसूनी हवाओं को ऊपर उठाते हैं/They lift moist monsoon winds
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी घाट अरब सागर शाखा की नम हवाओं को ऊपर उठाकर पर्वतीय वर्षा कराते हैं। परीक्षा में इसे ओरोग्राफिक वर्षा से जोड़ें। / The Western Ghats lift moist winds from the Arabian Sea branch and cause orographic rainfall. For exams, connect this with relief rainfall.
B. ऊंची और निरंतर पर्वत दीवार/High and continuous mountain wall
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी घाट ऊंची और निरंतर पर्वत दीवार बनाकर मानसूनी वर्षा को प्रभावित करते हैं। परीक्षा में इन्हें जैव विविधता हॉटस्पॉट से भी जोड़ें। / The Western Ghats form a high and continuous mountain wall that affects monsoon rainfall. For exams, also connect them with a biodiversity hotspot.
B. वे अरब सागर शाखा की नम हवाओं को ऊपर उठाते हैं/They lift moist winds of the Arabian Sea branch
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी घाट नम मानसूनी हवाओं को रोककर पर्वतीय वर्षा कराते हैं। परीक्षा में इसे ओरोग्राफिक वर्षा से जोड़ें। / The Western Ghats block moist monsoon winds and cause orographic rainfall. For exams, connect it with relief rainfall.
A. ऊंची और निरंतर पर्वत दीवार/High and continuous mountain wall
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी घाट ऊंची और निरंतर पर्वत दीवार बनाकर मानसूनी वर्षा को प्रभावित करते हैं। परीक्षा में इन्हें जैव विविधता हॉटस्पॉट से भी जोड़ें। / The Western Ghats form a high and continuous mountain wall that affects monsoon rainfall. For exams, also connect them with a biodiversity hotspot.
B. वे मानसूनी नम हवाओं को ऊपर उठने के लिए बाध्य करती हैं/They force moist monsoon winds to rise
Explanation
Simple Explanation
खासी पहाड़ियां नम मानसूनी हवाओं को रोककर अत्यधिक वर्षा कराती हैं। परीक्षा में चेरापूंजी और मासिनराम को इससे जोड़ें। / The Khasi Hills block moist monsoon winds and cause very high rainfall. For exams, connect Cherrapunji and Mawsynram with them.
B. अरब सागर शाखा की नम मानसूनी हवाओं के कारण/Because of moist monsoon winds from the Arabian Sea branch
Explanation
Simple Explanation
अरब सागर शाखा की नम हवाएं पश्चिमी घाट से टकराकर ऊपर उठती हैं और वर्षा कराती हैं। परीक्षा में इसे पर्वतीय वर्षा का उदाहरण समझें। / Moist winds of the Arabian Sea branch strike the Western Ghats, rise, and cause rainfall. For exams, understand this as orographic rainfall.
A. अरब सागर शाखा की नम हवाएं पर्वत से टकराती हैं/Moist winds of the Arabian Sea branch strike the mountains
Explanation
Simple Explanation
अरब सागर शाखा की नम मानसूनी हवाएं पश्चिमी घाट से टकराकर ऊपर उठती हैं और वर्षा कराती हैं। परीक्षा में इसे पर्वतीय वर्षा का सरल उदाहरण मानें। / Moist monsoon winds of the Arabian Sea branch strike the Western Ghats, rise, and cause rainfall. For exams, treat it as a simple example of orographic rainfall.
B. वे दक्षिण-पश्चिम मानसून की नम हवाओं को ऊपर उठाते हैं/They force moist south-west monsoon winds upward
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी घाट नम दक्षिण-पश्चिम मानसूनी हवाओं को रोककर पर्वतीय वर्षा कराते हैं। परीक्षा में इसे ओरोग्राफिक वर्षा से जोड़ें। / The Western Ghats block moist south-west monsoon winds and cause orographic rainfall. For exams, connect this with relief rainfall.
A. दक्षिण-पश्चिम मानसून को रोकने के कारण/Because they block the south-west monsoon
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी घाट दक्षिण-पश्चिम मानसून की नम हवाओं को रोकते हैं। परीक्षा में इसे पर्वतीय वर्षा का उदाहरण मानें। / The Western Ghats block moist winds of the south-west monsoon. For exams, treat it as an example of orographic rainfall.
पश्चिमी घाट दक्षिण-पश्चिम मानसून की अरब सागर शाखा से भारी वर्षा प्राप्त करते हैं। परीक्षा में इन्हें ओरोग्राफिक वर्षा से जोड़ें। / The Western Ghats receive heavy rainfall from the Arabian Sea branch of the south-west monsoon. For exams, connect them with orographic rainfall.
A. प्रकृति के तत्व जुड़े हुए हैं/Elements of nature are connected
Explanation
Simple Explanation
वन स्थानीय पर्यावरण और जल चक्र को प्रभावित कर सकते हैं। परीक्षा में वन को केवल लकड़ी नहीं मानें। / Forests can affect local environment and water cycle. Exam tip: do not see forests only as wood.
A. पवनाभिमुख वर्षा और पवनविमुख वर्षाछाया बनाती है/It creates windward rainfall and leeward rain shadow
Explanation
Simple Explanation
नम मानसूनी पवनें पश्चिमी घाटों से टकराकर ऊपर उठती हैं और वर्षा कराती हैं। परीक्षा में ओरोग्राफिक वर्षा याद रखें। / Moist monsoon winds strike Western Ghats rise upward and cause rainfall. For exams remember orographic rainfall.
A. नम मानसूनी पवनों का पहाड़ी ढाल से टकराकर ऊपर उठना/Moist monsoon winds rising after striking hill slopes
Explanation
Simple Explanation
मेघालय की पहाड़ियां नम पवनों को ऊपर उठाकर भारी वर्षा कराती हैं। परीक्षा में ओरोग्राफिक वर्षा शब्द याद रखें। / Meghalaya hills force moist winds upward and cause heavy rainfall. For exams remember the term orographic rainfall.
A. नम पवनों का पहाड़ी ढाल से टकराकर ऊपर उठना/Moist winds rising after striking hill slopes
Explanation
Simple Explanation
मेघालय की पहाड़ियां नम पवनों को ऊपर उठाकर भारी वर्षा कराती हैं। परीक्षा में खासी और ओरोग्राफिक वर्षा संबंध याद रखें। / Meghalaya hills force moist winds upward and cause heavy rainfall. For exams remember Khasi and orographic rainfall link.
A. नम पवनों का पहाड़ियों से टकराकर ऊपर उठना/Moist winds rising after striking hills
Explanation
Simple Explanation
खासी पहाड़ियां नम पवनों को ऊपर उठाकर अधिक वर्षा कराती हैं। परीक्षा में मेघालय और ओरोग्राफिक वर्षा को जोड़ें। / Khasi Hills force moist winds upward and cause heavy rainfall. For exams link Meghalaya with orographic rainfall.
C. नम पवनें घाट से टकराकर ऊपर उठती हैं फिर वर्षा होती है/Moist winds hit the Ghats rise upward then rainfall occurs
Explanation
Simple Explanation
अरब सागर शाखा की नम पवनें पश्चिमी घाट से टकराकर वर्षा देती हैं। परीक्षा में पवनाभिमुख ढाल याद रखें। / Moist winds of the Arabian Sea branch hit Western Ghats and cause rainfall. For exams remember windward slope.
A. नम मानसूनी पवनों का पहाड़ी ढाल से टकराकर ऊपर उठना/Moist monsoon winds rising after hitting hill slopes
Explanation
Simple Explanation
खासी पहाड़ियां नम पवनों को ऊपर उठाकर भारी वर्षा कराती हैं। परीक्षा में मेघालय और ओरोग्राफिक वर्षा जोड़ें। / Khasi Hills force moist winds upward and cause heavy rainfall. For exams link Meghalaya with orographic rainfall.
A. ओरोग्राफिक उत्थान और वर्षाछाया/Orographic uplift and rain shadow
Explanation
Simple Explanation
नम पवनें घाटों पर ऊपर उठती हैं और दूसरी ओर वर्षाछाया बनती है। परीक्षा में पश्चिमी घाट और मानसून संबंध याद रखें। / Moist winds rise over the Ghats and a rain shadow forms on the other side. For exams remember Western Ghats and monsoon link.
D. नम पवनों का पहाड़ियों से टकराकर ऊपर उठना/Moist winds rising after striking hills
Explanation
Simple Explanation
मेघालय की पहाड़ियां नम पवनों को ऊपर उठाकर भारी वर्षा कराती हैं। परीक्षा में खासी पहाड़ियों और वर्षा को साथ याद रखें। / Meghalaya hills force moist winds upward and cause heavy rainfall. For exams remember Khasi hills and rainfall together.
A. अरब सागर शाखा की नम पवनों का ऊपर उठना/Uplift of moist Arabian Sea branch winds
Explanation
Simple Explanation
नम मानसूनी पवनें घाटों से टकराकर ऊपर उठती हैं और वर्षा देती हैं। परीक्षा में ओरोग्राफिक वर्षा याद रखें। / Moist monsoon winds strike the Ghats rise upward and give rainfall. For exams remember orographic rainfall.
A. नम मानसूनी पवनों का पहाड़ियों से टकराना/Moist monsoon winds striking the hills
Explanation
Simple Explanation
मेघालय की पहाड़ियां नम पवनों को रोककर अत्यधिक वर्षा करा सकती हैं। परीक्षा में खासी पहाड़ियों और वर्षा क्षेत्र याद रखें। / Meghalaya hills can block moist winds and cause heavy rainfall. For exams remember Khasi Hills and rainfall areas.
A. अरब सागर शाखा की दक्षिण पश्चिम मानसूनी पवनें/Arabian Sea branch of southwest monsoon winds
Explanation
Simple Explanation
अरब सागर शाखा पश्चिमी घाट से टकराकर पवनाभिमुख ढाल पर वर्षा देती है। परीक्षा में मानसून और पश्चिमी घाट संबंध याद रखें। / Arabian Sea branch strikes the Western Ghats and gives rain on the windward slope. For exams remember monsoon and Western Ghats link.
गारो खासी और जयंतिया मेघालय पठार की पहाड़ियां हैं जहां अधिक वर्षा वाले क्षेत्र मिलते हैं। परीक्षा में पूर्वोत्तर भारत याद रखें। / Garo Khasi and Jaintia are hills of Meghalaya Plateau where high rainfall areas occur. For exams remember Northeast India.
A. रेतीले और शुष्क स्थलरूप प्रमुख होते हैं/Sandy and dry landforms dominate
Explanation
Simple Explanation
कम वर्षा के कारण थार में शुष्कता और रेतीले स्थलरूप मिलते हैं। परीक्षा में मरुस्थलीय दशाएं याद रखें। / Due to low rainfall dry and sandy landforms are found in Thar. For exams remember desert conditions.
नम पवनें पर्वत से टकराकर ऊपर उठती हैं और वर्षा करती हैं। परीक्षा में पश्चिमी घाट और मानसून जोड़ें। / Moist winds rise after striking mountains and cause rainfall. For exams link Western Ghats with monsoon.
A. नम मानसूनी पवनों का पर्वत से टकराकर ऊपर उठना/Moist monsoon winds rising after striking mountains
Explanation
Simple Explanation
अरब सागर शाखा की पवनें पश्चिमी घाटों से टकराकर वर्षा कराती हैं। परीक्षा में पवनाभिमुख ढाल याद रखें। / Winds of the Arabian Sea branch strike the Western Ghats and cause rainfall. For exams remember windward slope.
A. अरब सागर शाखा की नम पवनें पर्वत से टकराकर ऊपर उठती हैं/Moist winds of Arabian Sea branch rise after hitting the mountains
Explanation
Simple Explanation
पर्वत से टकराकर उठती नम पवनों से ओरोग्राफिक वर्षा होती है। परीक्षा में पवनाभिमुख ढाल याद रखें। / Moist winds rising after hitting mountains cause orographic rainfall. For exams remember windward slope.
A. वे अरब सागर शाखा की पवनों को ऊपर उठाकर वर्षा कराते हैं/They force Arabian Sea branch winds upward and cause rainfall
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी घाट पवनाभिमुख ढाल पर ओरोग्राफिक वर्षा कराते हैं। परीक्षा में पश्चिमी घाट और मानसून संबंध याद रखें। / Western Ghats cause orographic rainfall on the windward slope. For exams remember the Western Ghats monsoon link.
A. मानसूनी पवनें पर्वत से टकराकर ऊपर उठती हैं/Monsoon winds rise after striking the mountains
Explanation
Simple Explanation
अरब सागर शाखा की पवनें पश्चिमी घाट से टकराती हैं और वर्षा करती हैं। परीक्षा में ओरोग्राफिक वर्षा याद रखें। / Winds of the Arabian Sea branch strike the Western Ghats and cause rain. For exams remember orographic rainfall.
C. वे दक्षिण पश्चिम मानसून की पवनों को रोकते हैं/They intercept the southwest monsoon winds
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी घाट अरब सागर शाखा की मानसूनी पवनों को रोकते हैं। परीक्षा में पवनाभिमुख ढाल याद रखें। / The Western Ghats intercept the Arabian Sea branch of monsoon winds. For exams remember windward slope.
थार मरुस्थल कम वर्षा वाला शुष्क क्षेत्र है। परीक्षा में राजस्थान और शुष्कता याद रखें। / The Thar Desert is a dry region with low rainfall. For exams remember Rajasthan and dryness.
((x-a)(x-b)(x-c)) फैलाने पर पहला रूप मिलता है। शून्यकों और गुणनखंडों का संबंध याद रखें। / Expanding ((x-a)(x-b)(x-c)) gives the first form. Remember the link between zeroes and factors.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक आते हैं। / HCF takes the smaller exponents of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
महत्तम समापवर्तक \(2^4\times 3^2\) होगा। पुनरावृत्ति सहित कुल अभाज्य गुणनखंड (4+2=6) हैं। / The HCF is \(2^4\times 3^2\). Counting repetition, the total number of prime factors is (4+2=6).
Step 3
Exam Tip
पहले महत्तम समापवर्तक बनाइए, फिर घातांकों का योग लीजिए। / First form the HCF, then add its exponents.
सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प, (3) की घात (0,1,2) के (3) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(3 \times 3 \times 2=18\)। / (2) has (3) choices (1,2,3), (3) has (3) choices (0,1,2), and (5) has (2) choices (0,1). Total (18).
Step 3
Exam Tip
सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात (0) न लें। / While counting even factors, do not take exponent (0) for (2).
पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। / The bases of the first number are (2,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। / The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
समान गुणनखंडों में वही आधार लें जो दोनों में हों। / For common factors, choose bases present in both numbers.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (7) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। / For (2), choices are (0,2,4), giving (3) choices; for (3), choices are (0,2), giving (2); for (7), only (0), giving (1). Total (6).
Step 3
Exam Tip
सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें। / Count even exponent choices separately.
(3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (3) must have the exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात के (0) से (4) तक (5) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 3=15\)। / The exponent of (2) has (5) choices from (0) to (4), and the exponent of (3) has (3) choices (1,2,3). Total \(5 \times 3=15\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले गुणनखंडों में घात की सीमा बदलकर गिनें। / In conditional factor counting, adjust exponent limits.
सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2) के (2) विकल्प, (3) की घात (0,1) के (2) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। / The exponent of (2) has (2) choices (1,2), while (3) has (2) choices and (5) has (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात शून्य न लें। / While counting even factors, do not take exponent (0) for (2).
पहली संख्या के आधार (2,3,5) हैं। / The bases of the first number are (2,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या के आधार (2,3,7) हैं, इसलिए समान अभाज्य (2) और (3) हैं। / The bases of the second number are (2,3,7), so the common primes are (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
समान गुणनखंडों में केवल दोनों में मौजूद आधार चुनें। / For common factors, choose only bases present in both numbers.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए घात (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। / For (2), choices are (0,2,4), so (3); for (3), choices are (0,2), so (2); for (5), only (0), so (1). Total \(3 \times 2 \times 1=6\).
Step 3
Exam Tip
सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें। / Count even exponent choices separately.
(3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात के (0) से (5) तक (6) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2) के (2) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 2=12\)। / The exponent of (2) has (6) choices from (0) to (5), and the exponent of (3) has (2) choices (1,2). Total \(6 \times 2=12\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले प्रश्न में घातों की सीमा सावधानी से बदलें। / In condition-based questions, adjust exponent limits carefully.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए घात (0,2) के (2) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(2 \times 2 \times 1=4\)। / For (2), choices are (0,2), so (2) choices; for (3), choices are (0,2), so (2) choices; for (5), only (0), so (1) choice. Total \(2 \times 2 \times 1=4\).
Step 3
Exam Tip
सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें। / Count even exponent choices separately.
(3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होगी। / A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात के (0,1,2) यानी (3) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 3=9\)। / The exponent of (2) has (3) choices (0,1,2), and exponent of (3) has (3) choices (1,2,3). Total \(3 \times 3=9\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले गुणनखंडों में घातों की सीमा ध्यान से बदलें। / For conditional factors, adjust exponent choices carefully.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक अभाज्य के लिए घात (0) या (2) हो सकती है, यानी (2) विकल्प। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। / For each prime, the exponent can be (0) or (2), giving (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
सम घातों की संख्या अलग-अलग गिनकर गुणा करें। / Count even exponent choices separately and multiply.
(3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात के (5) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं; कुल \(5 \times 3=15\)। दिए विकल्पों में (15) सही है। / The exponent of (2) has (5) choices, and exponent of (3) has (1,2,3), so (3) choices; total \(5 \times 3=15\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले गुणनखंडों में संबंधित अभाज्य की घात सीमा बदलती है। / For conditional factor counts, adjust the exponent choices.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / For a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए घातें (0,2) यानी 2 विकल्प, (3) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प, और (5) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प हैं। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\) नहीं, ध्यान दें \(2^3\) में सम घात (0,2) ही हैं, इसलिए सही संख्या 8 है। / For \(2^3\), even choices are (0,2); for \(3^2\), (0,2); for \(5^2\), (0,2). Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में केवल सम घात गिनें। / Count only even exponent choices for square factors.
(2) और (3) से विभाज्य न होने के लिए (2) और (3) की घात (0) होनी चाहिए। / To be divisible by neither (2) nor (3), powers of (2) and (3) must both be (0).
Step 2
Why this answer is correct
(5) की घात (0,1,2) हो सकती है, इसलिए (3) गुणनखंड बनेंगे। / Power of (5) can be (0,1,2), giving (3) factors.
Step 3
Exam Tip
न तो इससे न उससे जैसे प्रश्नों में दोनों अभाज्यों की घात शून्य रखें। / For neither-nor conditions, set both restricted prime powers to zero.
\(9=3^2\), इसलिए (3) की घात कम से कम (2) होनी चाहिए। (5) से विभाज्य नहीं होने के लिए (5) की घात (0) होगी। / Since \(9=3^2\), power of (3) must be at least (2). Not divisible by (5) means power of (5) must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (0) से (3) तक (4) तरीके, (3) की घात (2,3,4) यानी (3) तरीके, और (5) की (1) तरीका। कुल \(4\times3\times1=12\)। / Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (1) for (5). Total (=12).
Step 3
Exam Tip
दो शर्तों को अलग-अलग घातों में बदलें। / Convert each condition into exponent restrictions.
(5) से विभाज्य गुणनखंड में (5) की घात कम से कम (1) होगी। / A factor divisible by (5) must have power of (5) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए (4) तरीके, (3) के लिए (3) तरीके, और (5) के लिए (1,2,3,4) यानी (4) तरीके। कुल \(4\times3\times4=48\)। / Choices are (4) for (2), (3) for (3), and (4) for (5). Total \(=4\times3\times4=48\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले अभाज्य की शून्य घात को शामिल न करें। / Do not include zero power for the required prime.
पूर्ण घन गुणनखंड में हर अभाज्य घात (3) की गुणज होनी चाहिए। / A cube factor must have exponents that are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात केवल (0), (3) की घात (0) या (3), और (5) की घात केवल (0) हो सकती है। कुल \(1\times2\times1=2\)। / For (2), only (0); for (3), (0) or (3); for (5), only (0). Total (=2).
Step 3
Exam Tip
घन गुणनखंडों में (0) भी (3) की गुणज माना जाता है। / Remember that (0) is also a multiple of (3).
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य घात सम होनी चाहिए। / A square factor must have even exponents for every prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (3) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (5) की घात केवल (0) यानी (1) तरीका। कुल \(2\times2\times1=4\)। / For (2), choices are (0,2); for (3), choices are (0,2); for (5), only (0). Total \(=2\times2\times1=4\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग गुणनखंड गिनते समय केवल सम घातें लें। / Count only even exponent choices for square factors.
सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / An even factor must contain at least one (2).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2) यानी (2) तरीके; (3,5,7) प्रत्येक के लिए (2) तरीके। कुल \(2\times2\times2\times2=16\)। / Power of (2) has (2) choices, (1) or (2); each of (3,5,7) has (2) choices. Total (=16).
Step 3
Exam Tip
सम गुणनखंड गिनते समय \(2^0\) वाला मामला छोड़ दें। / For even factors, exclude the case \(2^0\).
\(10=2\times5\), इसलिए गुणनखंड में (2) और (5) दोनों कम से कम एक बार होने चाहिए। / Since \(10=2\times5\), the factor must contain at least one (2) and one (5).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके; (5) की घात (1,2) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times3\times2=18\)। / Powers of (2): (1,2,3) give (3) choices; powers of (3): (0,1,2) give (3) choices; powers of (5): (1,2) give (2) choices. Total (=18).
Step 3
Exam Tip
किसी संख्या से विभाज्यता में उसके अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात देखें। / For divisibility, check the required minimum prime powers.
विषम गुणनखंड में (2) का कोई गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / An odd factor must not contain the prime (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (2) की घात केवल (0) होगी; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके और (5) की घात (0,1) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times2=6\)। / Power of (2) is only (0); power of (3) has (3) choices and power of (5) has (2) choices. Total \(=3\times2=6\).
Step 3
Exam Tip
विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को हटा दें। / When counting odd factors, ignore the power choices of (2) except zero.
(2) से विभाज्य गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (2) must contain \(2^1\) at least.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) के लिए (3) तरीके; (5) और (7) के लिए (2-2) तरीके। कुल \(3\times3\times2\times2=36\)। / Powers of (2) can be (1,2,3), giving (3) choices; powers of (3) give (3) choices; (5) and (7) give (2) choices each. Total \(=3\times3\times2\times2=36\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले गुणनखंडों में उस अभाज्य की घात की सीमा ध्यान से बदलें। / For conditional factors, adjust only the restricted prime exponent.
किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड \(p^a q^b r^c\) हों, तो कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)(c+1)) होते हैं। / For prime factorisation \(p^a q^b r^c\), total factors are ((a+1)(b+1)(c+1)).
Step 2
Why this answer is correct
यहां घातें (3,2,1) हैं, इसलिए संख्या ((3+1)(2+1)(1+1)=24) होगी। / Here the powers are (3,2,1), so factors (=(4)(3)(2)=24).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में घातों में (1) जोड़ना न भूलें। / In exams, always add (1) to each exponent before multiplying.
दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। / For counting with repetition, add the exponents.
Step 2
Why this answer is correct
(6+4+3+2=15)। / (6+4+3+2=15).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग आधारों की संख्या और दोहराव सहित संख्या में अंतर याद रखें। / Remember the difference between the number of distinct bases and the count with repetition.
दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। / To count with repetition, add the exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^9\) से 9, \(3^7\) से 7, \(5^6\) से 6 और \(17^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। / \(2^9\) gives 9, \(3^7\) gives 7, \(5^6\) gives 6, and \(17^2\) gives 2 factors.
Step 3
Exam Tip
कुल (9+7+6+2=24), इसलिए उत्तर 24 है। / Total (9+7+6+2=24), so the answer is 24.
