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एक मानचित्र में दूरी की मापनी दी गई है। यदि दो स्थान मानचित्र पर पाँच सेंटीमीटर दूर हैं और एक सेंटीमीटर दो किलोमीटर दर्शाता है तो वास्तविक दूरी कितनी होगी?
वास्तविक दूरी \(5 \times 2 = 10\) किलोमीटर होगी। परीक्षा में मानचित्र मापनी को सही इकाई के साथ लागू करें। / The actual distance is \(5 \times 2 = 10\) kilometres. In exams, apply the map scale with the correct unit.
C. किनारों और कोनों के पास/Near the edges and corners
Explanation
Simple Explanation
पहले किनारे और कोने नियंत्रित करने से बाद में बीच का भाग आसानी से भरा जाता है। परीक्षा में सीमा साफ रखें। / Controlling edges and corners first makes the centre easier to fill. Keep the boundary neat.
D. सीधे क्षैतिज या लंबवत स्ट्रोक/Straight horizontal or vertical strokes
Explanation
Simple Explanation
सीधे स्ट्रोक चौकोर आकृति की दिशा के अनुरूप होते हैं। परीक्षा में आकृति के अनुसार स्ट्रोक चुनें। / Straight strokes follow the structure of a square shape. Choose strokes according to the form.
C. गोल किनारी का उपयोग करते हुए दबाव घटाकर स्ट्रोक उठाना/Use the rounded edge and lift the stroke while reducing pressure
Explanation
Simple Explanation
फिलबर्ट की गोल किनारी और उठता हुआ स्ट्रोक मुलायम पंखुड़ी बनाते हैं। परीक्षा में ब्रश के प्राकृतिक आकार का लाभ लें। / The rounded filbert edge and lifting motion create a soft petal. Use the natural brush shape effectively in exams.
B. लाल क्योंकि वह गर्म और अग्रसर है/Red because it is warm and advancing
Explanation
Simple Explanation
समान अन्य गुणों पर गर्म लाल शीतल नीले से अधिक आगे लगता है। परीक्षा में नियंत्रित तुलना पर ध्यान दें। / With other properties equal warm red appears closer than cool blue. In exams focus on controlled comparison.
C. उच्च प्रकाश रूप से असंबद्ध लगेगा/The highlight will appear unrelated to the form
Explanation
Simple Explanation
उच्च प्रकाश को सतह की वक्रता के अनुरूप होना चाहिए। परीक्षा में रबर के आकार को नियंत्रित करें। / The highlight should follow the curvature of the surface. In an exam control the shape made with the eraser.
A. चारों भुजाओं की लंबाई समान रखना/Keeping all four sides equal in length
Explanation
Simple Explanation
वर्ग की पहचान उसकी चारों भुजाओं के समान होने और चारों कोणों के समकोण होने से होती है। इसलिए स्केच बनाते समय भुजाओं की लंबाई समान रखने के साथ कोनों को लगभग 90° दिखाना आवश्यक है। एक भुजा को वक्र बनाने पर आकृति वर्ग नहीं रहेगी। परीक्षा टिप: पहले हल्की रेखाओं से अनुपात जाँचें, फिर अंतिम रेखाएँ गहरी करें। / A square is identified by its four equal sides and four right angles. Therefore, while sketching it, the sides should be kept equal in length and the corners should appear close to 90°. If one side is curved, the figure is no longer a square. Exam tip: Draw light guide lines first to check proportion, then darken the final lines.
C. दृश्य गहराई चित्र तल पर संकुचित होती है/Visual depth is compressed on the picture plane
Explanation
Simple Explanation
परिप्रेक्ष्य दूरी को समान अनुपात में नहीं दिखाता। दूर जाते माप तेजी से छोटे दिखाई देते हैं। / Perspective does not show depth at equal visual intervals. Measurements appear progressively smaller with distance.
A. आकार-विरोध की शक्ति और अन्य कमजोर करने वाले संकेतों के संतुलन पर/On the balance between shape contrast and weakening visual cues
Explanation
Simple Explanation
अलग आकार उसे उभारता है लेकिन छोटा आकार और धुंधलापन प्रभाव घटा सकते हैं। अंतिम प्रमुखता संयुक्त संकेतों से तय होगी। / Its different shape emphasizes it but small size and blur may weaken the effect. Final emphasis depends on the combined cues.
चौकोर आकृति गोल आकृतियों से अलग होने के कारण प्रमुख बनती है। परीक्षा में आकृति विरोध देखें। / The square shape becomes prominent because it differs from the round shapes. Look for shape contrast in exams.
A. मूल अनुपात विकृत होगा/The original proportion will be distorted
Explanation
Simple Explanation
वर्ग को असमान दिशा में खींचने से उसकी लंबाई और चौड़ाई का संबंध बदल जाता है। परीक्षा में क्रॉप और स्ट्रेच में अंतर करें। / Stretching a square unevenly changes its width-to-height relationship. Distinguish cropping from stretching in exams.
B. छोटे भागों और बड़े संपूर्ण का संबंध/Relationship of small parts to the large whole
Explanation
Simple Explanation
छोटे वर्गों का आकार बड़े वर्ग के संदर्भ में पढ़ा जाता है। परीक्षा में भाग और संपूर्ण की तुलना करें। / The sizes of the smaller squares are judged in relation to the larger square. Compare parts with the whole in exams.
C. आकृति और दिशा की असममित जटिल वैकल्पिक लय/Asymmetrical complex alternating rhythm of shape and direction
Explanation
Simple Explanation
आकृति और दिशा का चार-चरणीय क्रम असमान होते हुए भी लौटता है। परीक्षा में complete unit देखें। / A four-stage sequence of shape and direction recurs despite being asymmetrical. Exam tip: observe the complete unit.
C. रंग और आकार की परस्पर जुड़ी जटिल वैकल्पिक लय/Interlinked complex alternating rhythm of colour and shape
Explanation
Simple Explanation
रंग और आकार अलग क्रमों में बदलते हुए एक इकाई बनाते हैं। परीक्षा में पूरी repeating structure पहचानें। / Colour and shape change through linked sequences to form one unit. Exam tip: identify the complete repeating structure.
C. आकार और दिशा की जटिल आवर्ती लय/Complex repeating rhythm of shape and direction
Explanation
Simple Explanation
इस क्रम में वृत्त, वर्ग और त्रिभुज जैसे आकार भी बदलते हैं तथा ऊपर, दाएँ और नीचे जैसी दिशाएँ भी बदलती हैं। ये दोनों तत्व एक निश्चित तीन-इकाई क्रम में बार-बार दोहराए जाते हैं, इसलिए यह आकार और दिशा की जटिल आवर्ती लय है। केवल दिशात्मक लय कहना अधूरा होगा, क्योंकि यहाँ आकार भी लय बनाने में सक्रिय है। परीक्षा टिप: लय पहचानते समय देखें कि पुनरावृत्ति केवल एक तत्व में है या कई तत्वों के संयुक्त क्रम में। / In this sequence, both the shapes (circle, square and triangle) and the directions (up, right and down) change. Since these two elements repeat together in a fixed three-part unit, it forms a complex repeating rhythm of shape and direction. Calling it directional rhythm only would be incomplete because shape is also part of the repeated pattern. Exam tip: identify whether rhythm comes from one repeated element or from a combined sequence of elements.
C. रंग और आकार की संयुक्त वैकल्पिक लय/Combined alternating rhythm of colour and shape
Explanation
Simple Explanation
रंग और आकार दोनों निश्चित क्रम में बदलकर लौटते हैं। परीक्षा में पूरी repeating unit पहचानें। / Both colour and shape change and return in a fixed sequence. Exam tip: identify the complete repeating unit.
C. रंग और आकार की वैकल्पिक पुनरावृत्ति/Alternating repetition of colour and shape
Explanation
Simple Explanation
रंग और आकार दोनों निश्चित क्रम में बदलते हैं। परीक्षा में multi-element alternation पहचानें। / Both colour and shape alternate in a fixed sequence. Exam tip: identify multi-element alternation.
काले और सफेद खानों का बारी बारी दोहराव वैकल्पिक लय बनाता है। रंगों के निश्चित क्रम को पहचानें। / The alternate repetition of black and white squares creates alternating rhythm. Identify the fixed colour sequence.
तीन अलग आकृतियों का निश्चित समूह में दोहराव जटिल क्रमबद्ध लय बनाता है। पूरे समूह को दोहरती इकाई मानें। / The repetition of three different shapes in a fixed group creates complex organised rhythm. Treat the whole group as the repeating unit.
B. नियमित लय में विराम और प्रमुखता बनेगी/A break and emphasis will occur in regular rhythm
Explanation
Simple Explanation
अलग आकृति नियमित क्रम को तोड़कर ध्यान आकर्षित करती है। इससे लय में विराम और प्रमुखता दोनों बनते हैं। / A different shape breaks the regular sequence and attracts attention. It creates both interruption and emphasis.
C. तीन आकृतियों की वैकल्पिक लय/Three-shape alternating rhythm
Explanation
Simple Explanation
वृत्त, त्रिभुज और वर्ग एक निश्चित क्रम में बार-बार दोहराए जा रहे हैं। दो या अधिक दृश्य इकाइयों का निर्धारित क्रम में दोहराव वैकल्पिक लय बनाता है; यहाँ आवर्ती इकाई वृत्त–त्रिभुज–वर्ग है। प्रगतिशील लय में आकार, रंग या दूरी में क्रमिक परिवर्तन होता है, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दोहराई जाने वाली इकाई पहचानें, फिर देखें कि उसका क्रम स्थिर है या बदल रहा है। / The circle, triangle, and square repeat in a fixed order. Repetition of two or more visual units in a set sequence creates alternating rhythm; here, the repeating unit is circle–triangle–square. Progressive rhythm would show a gradual change in size, colour, or spacing, which is not present here. Exam tip: identify the repeating unit first, then check whether its order remains fixed or changes.
दो अलग तत्वों का लौटता बदलता क्रम वैकल्पिक लय बनाता है। परीक्षा में AB pattern देखें। / A recurring change between two elements creates alternating rhythm. Exam tip: observe the AB pattern.
अलग इकाइयों का निश्चित लौटता क्रम वैकल्पिक लय बनाता है। परीक्षा में repeating unit पहचानें। / A fixed returning sequence of different units creates alternating rhythm. Exam tip: identify the repeating unit.
काले और सफेद खानों का बारी बारी दोहराव वैकल्पिक लय बनाता है। दो रंगों के क्रम को देखें। / The alternate repetition of black and white squares creates alternating rhythm. Observe the sequence of two colours.
C. वैकल्पिक क्रम वाली लय/Alternating sequence rhythm
Explanation
Simple Explanation
तीन मापों का निश्चित लौटता क्रम वैकल्पिक लय बनाता है। परीक्षा में repeating sequence पहचानें। / A fixed returning sequence of three sizes creates alternating rhythm. Exam tip: identify the repeating sequence.
दो अलग तत्वों का बदलता क्रम वैकल्पिक लय बनाता है। परीक्षा में alternate sequence देखें। / A changing sequence of two different elements creates alternating rhythm. Exam tip: observe the alternate sequence.
वृत्त और वर्ग का बारी बारी क्रम वैकल्पिक लय है। परीक्षा में दो तत्वों के बदलते क्रम को पहचानें। / The alternating order of a circle and a square creates alternating rhythm. Exam tip: identify the changing sequence of two elements.
D. जब कठोर आकृतियाँ लयबद्ध संरचना या मंच का अर्थ समर्थन करें/When rigid forms support rhythmic structure or the meaning of the stage
Explanation
Simple Explanation
भिन्न रूप साझा विषयगत भूमिका से सामंजस्य बना सकते हैं। परीक्षा में meaning-based harmony पहचानें। / Different forms can create harmony through a shared thematic role. Exam tip: identify meaning-based harmony.
C. आकार प्रकृति का विरोध/Contrast in the nature of shapes
Explanation
Simple Explanation
जैविक और ज्यामितीय आकारों का अंतर पत्ती को विशिष्ट बनाता है। परीक्षा में आकार विरोध को केवल बड़े छोटे अंतर तक सीमित न रखें। / The difference between organic and geometric shapes makes the leaf distinctive. Exam tip: do not limit shape contrast only to large-small differences.
A. गहरा मान छोटे आकार का दृश्य भार बढ़ाता है/Dark value increases the visual weight of the small shape
Explanation
Simple Explanation
गहरा मान छोटे आकार को अधिक भारी महसूस करा सकता है। परीक्षा में दृश्य भार को आकार और मान से जोड़ें। / A dark value can make a small shape feel heavier. In exams connect visual weight with size and value.
A. दृश्य भार के सापेक्ष वितरण पर/Relative distribution of visual weight
Explanation
Simple Explanation
आकार मान और आकृति मिलकर दृश्य भार तय करते हैं। परीक्षा में संतुलन को केवल आकार से न आंकें। / Size value and shape together determine visual weight. In exams do not judge balance by size alone.
C. मान और आकृति विरोधाभास/Value and shape contrast
Explanation
Simple Explanation
सफेद वृत्त काले चौकोर से रंग मान और आकृति में अलग है। परीक्षा में संयुक्त विरोधाभास पहचानें। / The white circle differs from the black square in value and shape. In exams identify combined contrast.
अलग आकृति होने से चौकोर रूप विरोधाभास बनाकर ध्यान खींचेगा। परीक्षा में भिन्न आकृति पहचानें। / Because it is different the square creates contrast and attracts attention. In exams identify the different shape.
C. bright colour attention और visual weight बढ़ाता है/Bright colour increases attention and visual weight
Explanation
Simple Explanation
Bright colour छोटा होने पर भी attention खींच सकता है। परीक्षा में visual weight में colour intensity जरूर देखें। / Bright colour can attract attention even when small. Exam tip: include colour intensity in visual weight.
A. shape अधिक active और dynamic लग सकता है/The shape can look more active and dynamic
Explanation
Simple Explanation
Rotation stable square को more dynamic बना सकता है। परीक्षा में orientation से mood change याद रखें। / Rotation can make a stable square more dynamic. Exam tip: remember mood change through orientation.
A. स्थिरता, संतुलन और मजबूती/Stability, balance, and firmness
Explanation
Simple Explanation
Square regular और balanced दिखता है इसलिए स्थिरता देता है। परीक्षा में square को stability से जोड़ें। / Square looks regular and balanced, so it gives stability. Exam tip: connect square with stability.
A. अलग अलग आकारों की पहचान और तुलना/Identification and comparison of different shapes
Explanation
Simple Explanation
अलग आकार साथ रखने से उनके रूप और अंतर स्पष्ट होते हैं। परीक्षा में shapes को पहचानकर तुलना करना सीखें। / Placing different shapes together makes their forms and differences clear. Exam tip: learn to identify and compare shapes.
वर्ग में चार बराबर भुजाएँ और चार कोने होते हैं। परीक्षा में square को equal sides से याद रखें। / A square has four equal sides and four corners. Exam tip: remember square through equal sides.
A. क्योंकि समीकरण में प्रकाश की गति का वर्ग आता है/Because the square of the speed of light is used in the equation
Explanation
Simple Explanation
(c) प्रकाश की गति है और समीकरण में \(c^2\) लिखा जाता है। परीक्षा में प्रतीकों का सही अर्थ याद रखें। / (c) is the speed of light and the equation uses \(c^2\). In exams remember the correct meaning of symbols.
\(36=6^2\) है और ऋण मध्य पद \(-2\cdot6\cdot x=-12x\) होगा। परीक्षा में शर्त के अनुसार चिह्न चुनें। / Since \(36=6^2\), the negative middle term is \(-2\cdot6\cdot x=-12x\). Exam tip: choose the sign according to the condition.
\(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), इसलिए A पूर्ण वर्ग है। B का स्थिर पद \(25\) होना चाहिए था। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / \(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), so A is a perfect square. In B, the constant term would need to be \(25\). Exam tip: match the middle term with \(2ab\).
\(9p^2=(3p)^2\) और \(4q^2=(2q)^2\) हैं तथा मध्य पद \(2(3p)(2q)=12pq\) है। इसलिए A, \((3p+2q)^2\) है। B में मध्य पद 10pq है। परीक्षा टिप: \(a^2+2ab+b^2\) से मिलान करें। / Here \(9p^2=(3p)^2\) and \(4q^2=(2q)^2\), while the middle term is \(2(3p)(2q)=12pq\). Thus A is \((3p+2q)^2\). Option B has 10pq instead. Exam tip: compare with \(a^2+2ab+b^2\).
\(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\), इसलिए यह हर वास्तविक \(a\) के लिए पूर्ण वर्ग है। विकल्प B में मध्य पद \(2ax\) के बजाय \(ax\) है। परीक्षा टिप: \((x+a)^2\) में मध्य पद हमेशा \(2ax\) होता है। / \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\), so it is a perfect square for every real \(a\). In option B, the middle term is \(ax\), not \(2ax\). Exam tip: the middle term of \((x+a)^2\) is always \(2ax\).
\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) में \(a=4p\) और \(b=3q\) लेने पर मध्य पद \(-2(4p)(3q)=-24pq\) मिलता है। अतः A, \((4p-3q)^2\) है। परीक्षा में पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल जाँचें। / Using \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), take \(a=4p\) and \(b=3q\). The middle term is \(-2(4p)(3q)=-24pq\), so A is \((4p-3q)^2\). Exam tip: verify the middle term after checking the square terms.
पूर्ण वर्ग त्रिपद \((x+p)^2=x^2+2px+p^2\) होता है। यहाँ \(b=2p\) और \(c=p^2\), इसलिए \(b^2=4p^2=4c\)। विकल्प \(b^2=c\) में 4 का गुणक छूट जाता है। परीक्षा टिप: मध्य पद के गुणांक का वर्ग लेकर \(4c\) से मिलाएँ। / A perfect square has the form \((x+p)^2=x^2+2px+p^2\). Thus \(b=2p\) and \(c=p^2\), giving \(b^2=4c\). Option \(b^2=c\) misses the factor 4. Exam tip: square the middle coefficient and compare it with \(4c\).
(x-2+4x+7=x-2+4x+4+3=(x+2)2+3) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग बनाने के लिए (4) जोड़कर संतुलन करें। / Here (x-2+4x+7=x-2+4x+4+3=(x+2)2+3). Exam tip: add (4) to make a square and balance it.
\(x^2+10x+25\) में \(x^2\) और \(25=5^2\) हैं तथा मध्य पद \(2\times x\times5=10x\) है। इसलिए यह \((x+5)^2\) है। परीक्षा में मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / In \(x^2+10x+25\), the last term is \(5^2\) and the middle term is \(2\times x\times5=10x\). Hence it equals \((x+5)^2\). In exams, verify the middle term using \(2ab\).
\(9=3^2\) है और ऋण मध्य पद \(-2\cdot3\cdot x=-6x\) होगा। परीक्षा में मध्य पद के चिह्न को शर्त से मिलाएं। / Since \(9=3^2\), the negative middle term is \(-2\cdot3\cdot x=-6x\). Exam tip: match the sign of the middle term with the condition.
\(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), इसलिए विकल्प A पूर्ण वर्ग है। विकल्प B सबसे निकट है, पर उसका स्थिर पद \(8\) है; \((x+3)^2\) बनाने के लिए यह \(9\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: \(x^2+bx+c\) के पूर्ण वर्ग होने के लिए जाँचें कि \(c=(b/2)^2\) है। / \(x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=(x+3)^2\), so option A is a perfect square. Option B is the closest distractor, but its constant term is \(8\); it must be \(9\) to form \((x+3)^2\). Exam tip: for \(x^2+bx+c\) to be a perfect square, check whether \(c=(b/2)^2\).
भुजाएं (2x) और (5) हैं इसलिए मध्य पद \(-2\cdot2x\cdot5=-20x\) है। परीक्षा में (p<0) देखकर ऋण मान चुनें। / The parts are (2x) and (5), so the middle term is \(-2\cdot2x\cdot5=-20x\). Exam tip: choose the negative value using (p<0).
\(16=4^2\) है इसलिए मध्य पद \(2\cdot4\cdot x=8x\) होगा। परीक्षा में धन (p) के लिए धन मध्य पद लें। / Since \(16=4^2\), the middle term is \(2\cdot4\cdot x=8x\). Exam tip: take the positive middle term for positive (p).
\(9x^2+12x+4=(3x)^2+2(3x)(2)+2^2=(3x+2)^2\), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। विकल्प B में अंतिम पद \(2\) है, जबकि \(2^2=4\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / \(9x^2+12x+4=(3x)^2+2(3x)(2)+2^2=(3x+2)^2\), so it is a perfect square. In option B, the constant should be \(4\), not \(2\). Exam tip: match the middle term with \(2ab\).
(-18) का आधा (-9) है और ((-9)2=81) है। परीक्षा में वर्ग लेते समय चिह्न से मान धन हो जाता है। / Half of (-18) is (-9), and ((-9)2=81). Exam tip: the square becomes positive even with a negative sign.
पूर्ण वर्ग के लिए \(x^2+bx+c=(x+b/2)^2\) होना चाहिए। अतः स्थिर पद \(b^2/4\) होगा, इसलिए \(b^2=4c\)। परीक्षा में इसे विवर्तक \(b^2-4c=0\) से भी पहचानें। / For a perfect square, \(x^2+bx+c=(x+b/2)^2\). Thus the constant term must be \(b^2/4\), giving \(b^2=4c\). Exam tip: equivalently, check whether the discriminant \(b^2-4c\) is zero.
(25x-2=(5x)2) और \(36=6^2\), इसलिए मध्य पद \(2\cdot5x\cdot6=60x\) है। परीक्षा में दोनों वर्गमूलों का दुगुना गुणन करें। / (25x-2=(5x)2) and \(36=6^2\), so the middle term is \(2\cdot5x\cdot6=60x\). In exams, multiply twice the two square roots.
(x-2-12x+36=(x-6)2) और (20=36-16) है। परीक्षा में मध्य गुणांक का आधा लेकर उसका वर्ग बनाएं। / (x-2-12x+36=(x-6)2) and (20=36-16). In exams take half of the middle coefficient and form its square.
\(49=7^2\) है इसलिए मध्य पद \(2\cdot x\cdot7=14x\) होगा। परीक्षा में धनात्मक पूर्ण वर्ग के लिए धनात्मक मध्य गुणांक लें। / \(49=7^2\), so the middle term is \(2\cdot x\cdot7=14x\). In exams, take the positive middle coefficient for a positive perfect square.
\(81=9^2\) और \(-18x=-2\cdot x\cdot9\) है। परीक्षा में ऋण मध्य पद से घटाव वाला वर्ग पहचानें। / \(81=9^2\) and \(-18x=-2\cdot x\cdot9\). In exams, identify the subtraction square from the negative middle term.
\(x^2+px+16\) को \((x\pm4)^2\) होना चाहिए। विस्तार करने पर \((x+4)^2=x^2+8x+16\) और \((x-4)^2=x^2-8x+16\) मिलता है, अतः \(p=\pm8\)। परीक्षा टिप: स्थिर पद का वर्गमूल लेकर मध्य पद जाँचें। / The expression must be \((x\pm4)^2\). Expanding gives \((x+4)^2=x^2+8x+16\) and \((x-4)^2=x^2-8x+16\), so \(p=\pm8\). Exam tip: take the square root of the constant term and check the middle term.
A. इसका विवर्तक \(b^2-4ac\) शून्य होता है/Its discriminant \(b^2-4ac\) is zero
Explanation
Simple Explanation
यदि व्यंजक \((px+q)^2\) है, तो \(a=p^2,\ b=2pq,\ c=q^2\)। इसलिए \(b^2-4ac=(2pq)^2-4p^2q^2=0\)। धनात्मक विवर्तक दो भिन्न जड़ें देता है, पूर्ण वर्ग नहीं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग की जाँच के लिए विवर्तक देखें। / For \((px+q)^2\), we have \(a=p^2,\ b=2pq\), and \(c=q^2\). Thus \(b^2-4ac=(2pq)^2-4p^2q^2=0\). A positive discriminant gives distinct real roots, not a repeated root. Exam tip: test a perfect-square quadratic using its discriminant.
पूर्ण वर्ग त्रिपद का विवर्तक शून्य होता है, इसलिए \(b^2=4ac\)। तब \(c=\frac{b^2}{4a}\) रखकर व्यंजक \(a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\) बनता है। वास्तविक रैखिक व्यंजक के वर्ग के लिए \(a>0\) चाहिए। परीक्षा में विवर्तक के साथ \(a\) का चिह्न भी जाँचें। / A perfect-square trinomial has zero discriminant, so \(b^2=4ac\). Substituting \(c=\frac{b^2}{4a}\) gives \(a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\). For this to be a square of a real linear expression, \(a\) must be positive. Exam tip: check the sign of \(a\) along with the discriminant.
\(16=4^2\) है और ऋणात्मक मध्य पद \(-2\cdot x\cdot4=-8x\) होगा। परीक्षा में दिए गए चिन्ह के अनुसार गुणांक चुनें। / \(16=4^2\), and the negative middle term is \(-2\cdot x\cdot4=-8x\). In exams, choose the coefficient according to the given sign.
\(x^2-8x\) के लिए पूर्ण वर्ग स्थिर पद (16) चाहिए, इसलिए (16-10=6) जोड़ें। परीक्षा में वर्तमान स्थिर पद घटाएँ। / For \(x^2-8x\), the perfect square constant should be (16), so add (16-10=6). In exams, subtract the current constant.
\(x^2+6x\) को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए (9) चाहिए और (5) पहले है, इसलिए (4) जोड़ना होगा। परीक्षा में आधे मध्य गुणांक का वर्ग लें। / To make \(x^2+6x\) a perfect square, (9) is needed, and (5) is already present, so add (4). In exams, square half the middle coefficient.
\(x^2+8x+18\) में पूर्ण वर्ग के लिए स्थिर पद (16) चाहिए था। परीक्षा में आधे मध्य गुणांक का वर्ग जाँचें। / For \(x^2+8x+18\), the constant should be (16) for a perfect square. In exams, check the square of half the middle coefficient.
\(49x^2=(7x)^2\) और \(81y^2=(9y)^2\) हैं। अतः \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) से विकल्प A सही है। वर्ग करने वाले विकल्पों में मध्य पद आ जाता है। परीक्षा में पहले दोनों पदों के पूर्ण वर्ग जाँचें। / Here, \(49x^2=(7x)^2\) and \(81y^2=(9y)^2\). Using \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) gives option A. Squared options produce a middle term. Exam tip: first check whether both terms are perfect squares.
वर्ग रूप \(a^2-2ab+b^2\) में होता है। यहाँ \(a=2x\), \(b=3y\) लेने पर मध्य पद \(-2ab=-12xy\) मिलता है, इसलिए A \((2x-3y)^2\) है। B में अंतिम पद \(9y^2\) होना चाहिए। परीक्षा में मध्य पद का गुणांक जाँचें। / A binomial square has the form \(a^2-2ab+b^2\). With \(a=2x\) and \(b=3y\), the middle term is \(-2ab=-12xy\), so A is \((2x-3y)^2\). In B, the last term should be \(9y^2\), not \(6y^2\). Exam tip: verify all three terms.
(9x-2=(3x)2) और \(16=4^2\), इसलिए मध्य गुणांक \(2\cdot3\cdot4=24\) है। परीक्षा में ऋण चिन्ह अलग और गुणांक अलग देखें। / (9x-2=(3x)2) and \(16=4^2\), so the middle coefficient is \(2\cdot3\cdot4=24\). In exams, view the negative sign and coefficient separately.
(-14) का आधा (-7) है और ((-7)2=49) है। परीक्षा में चिह्न चाहे ऋण हो, वर्ग धनात्मक होता है। / Half of (-14) is (-7), and ((-7)2=49). In exams, even if the sign is negative, the square is positive.
\(9a^2-24ab+16b^2=(3a-4b)^2\), क्योंकि \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\) में \(x=3a\) और \(y=4b\) रखने पर मध्य पद \(-2\times 3a\times 4b=-24ab\) मिलता है। विकल्प D में पहले और अंतिम पद तो \((3a)^2\) तथा \((4b)^2\) हैं, लेकिन उसका मध्य पद \(-16ab\) है; इसलिए वह पूर्ण वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर \(\pm2xy\) से मध्य पद अवश्य मिलाएँ। / \(9a^2-24ab+16b^2=(3a-4b)^2\), using \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\) with \(x=3a\) and \(y=4b\). The middle term is \(-2\times3a\times4b=-24ab\). In option D, the first and last terms are \((3a)^2\) and \((4b)^2\), but its middle term is \(-16ab\), so it is not a perfect square. Exam tip: take square roots of the first and last terms and check whether the middle term equals \(\pm2xy\).
यदि \(x^2+px+q=(x+a)^2\), तो विस्तार करने पर \(x^2+2ax+a^2\) मिलता है। अतः \(p=2a\) और \(q=a^2\), इसलिए \(p^2=4q\)। परीक्षा में मध्य पद का वर्ग, स्थिर पद के चार गुने से मिलाएँ। / If \(x^2+px+q=(x+a)^2\), expanding gives \(x^2+2ax+a^2\). Thus \(p=2a\) and \(q=a^2\), so \(p^2=4q\). Exam tip: compare the square of the middle coefficient with four times the constant term.
\(9x^2-24x+16=(3x-4)^2\), क्योंकि मध्य पद \(2\times3x\times(-4)=-24x\) है। विकल्प B में स्थिर पद 16 के स्थान पर 15 है। परीक्षा टिप: प्रथम और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर मध्य पद जाँचें। / \(9x^2-24x+16=(3x-4)^2\) because the middle term is \(2\times3x\times(-4)=-24x\). In option B, the constant should be 16, not 15. Exam tip: use square roots of the first and last terms to verify the middle term.
\(9a^2=(3a)^2\) और \(16b^2=(4b)^2\) हैं। बीच का पद \(-24ab=-2(3a)(4b)\) है, इसलिए व्यंजक \((3a-4b)^2\) है। विकल्प B में अंतिम पद \(16b^2\) होना चाहिए। परीक्षा में पहले और अंतिम पद के वर्गमूल जाँचें। / Here, \(9a^2=(3a)^2\) and \(16b^2=(4b)^2\). The middle term is \(-24ab=-2(3a)(4b)\), so the expression equals \((3a-4b)^2\). In option B, the last term should be \(16b^2\). Exam tip: check the square roots of the first and last terms first.
विकल्प A में \(9p^2=(3p)^2\) और \(16q^2=(4q)^2\) हैं। इनके बीच का पद \(-24pq=-2(3p)(4q)\) है। अतः \(9p^2-24pq+16q^2=(3p-4q)^2\), इसलिए यह पूर्ण वर्ग है। विकल्प B में मध्य पद \(-20pq\), अपेक्षित \(-24pq\) नहीं है। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर जाँचें कि मध्य पद \(\pm2ab\) है या नहीं। / In option A, \(9p^2=(3p)^2\) and \(16q^2=(4q)^2\). Its middle term is \(-24pq=-2(3p)(4q)\). Hence, \(9p^2-24pq+16q^2=(3p-4q)^2\), so it is a perfect square. In option B, the middle term is \(-20pq\), not the required \(-24pq\). Exam tip: take the square roots of the first and last terms, then check whether the middle term is \(\pm2ab\).
यहाँ \(a=1, b=10, c=25\) हैं और \(b^2=100=4ac\), इसलिए \(x^2+10x+25=(x+5)^2\) पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में मध्य पद का आधा लेकर उसका वर्ग जाँचें। / Here \(a=1, b=10, c=25\), and \(b^2=100=4ac\); hence \(x^2+10x+25=(x+5)^2\), a perfect square. Exam tip: halve the middle-term coefficient and square it.
पूर्ण वर्ग \((px+q)^2\) को फैलाने पर \(p^2x^2+2pqx+q^2\) मिलता है। अतः \(a=p^2,\ b=2pq,\ c=q^2\), इसलिए \(b^2=4ac\)। परीक्षा में मध्य पद का वर्ग जाँचें। / Expanding \((px+q)^2\) gives \(p^2x^2+2pqx+q^2\). Thus \(a=p^2\), \(b=2pq\), and \(c=q^2\), so \(b^2=4ac\). Exam tip: square the middle coefficient and compare it with \(4ac\).
\(9x^2-4=(3x)^2-2^2\), इसलिए यह वर्गों का अंतर है और \((3x-2)(3x+2)\) बनेगा। A और D पूर्ण वर्ग त्रिपद हैं। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों के वर्ग पहचानें। / \(9x^2-4=(3x)^2-2^2\), so it is a difference of squares and factors as \((3x-2)(3x+2)\). A and D are perfect-square trinomials. Exam tip: first check whether both terms are squares.
विकल्प A में \(9x^2=(3x)^2\) तथा \(16y^2=(4y)^2\) हैं। इन वर्गों का आवश्यक मध्य पद \(-2(3x)(4y)=-24xy\) है। अतः \(9x^2-24xy+16y^2=(3x-4y)^2\), इसलिए यह द्विपद का पूर्ण वर्ग है। विकल्प B में अंतिम पद \(16y^2\) के स्थान पर \(12y^2\) है, इसलिए वह पूर्ण वर्ग नहीं बनता। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर जाँचें कि मध्य पद \(\pm2ab\) के बराबर है या नहीं। / In option A, \(9x^2=(3x)^2\) and \(16y^2=(4y)^2\). The required middle term for these squares is \(-2(3x)(4y)=-24xy\). Hence, \(9x^2-24xy+16y^2=(3x-4y)^2\), so it is the perfect square of a binomial. In option B, the last term is \(12y^2\), not \(16y^2\), so it cannot form this perfect square. Exam tip: take the square roots of the first and last terms, then check whether the middle term equals \(\pm2ab\).
मान लें \(x^2+bx+c=(x+a)^2\)। तब \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\), इसलिए \(b=2a\) और \(c=a^2\)। अतः \(b^2=4a^2=4c\)। परीक्षा में मध्य पद के गुणांक का वर्ग लेकर उसे \(4c\) से मिलाएँ। / Let \(x^2+bx+c=(x+a)^2\). Since \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\), we get \(b=2a\) and \(c=a^2\). Hence \(b^2=4a^2=4c\). In exams, square the middle coefficient and compare it with \(4c\).
(x-2+6x+9=(x+3)2), इसलिए (11=9+2) है। परीक्षा में आवश्यक वर्ग जोड़कर शेष अलग रखें। / (x-2+6x+9=(x+3)2), so (11=9+2). In exams form the needed square and keep the remainder separate.
\(81=9^2\), इसलिए ऋणात्मक मध्य पद \(-2\cdot x\cdot9=-18x\) होगा। परीक्षा में दिए गए चिन्ह को न भूलें। / \(81=9^2\), so the negative middle term is \(-2\cdot x\cdot9=-18x\). In exams do not forget the given sign.
\(9x^2+12x+4=(3x)^2+2(3x)(2)+2^2=(3x+2)^2\), इसलिए विकल्प A पूर्ण वर्ग है। विकल्प D भी पूर्ण वर्ग है, पर वह \((3x-2)^2\) का विस्तार है और उसका मध्य पद ऋणात्मक होता है। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(2ab\) से मिलाएँ। / \(9x^2+12x+4=(3x)^2+2(3x)(2)+2^2=(3x+2)^2\), so A is a perfect-square trinomial. D is also a square form, but it has a negative middle term: \((3x-2)^2\). Exam tip: compare the middle term with \(2ab\).
पूर्ण वर्ग त्रिपद का रूप \(a^2\pm2ab+b^2\) होता है। यहाँ \(9p^2=(3p)^2\) और \(16q^2=(4q)^2\) हैं तथा \(-2(3p)(4q)=-24pq\) है। अतः \(9p^2-24pq+16q^2=(3p-4q)^2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में अंतिम पद \(16q^2\) के स्थान पर \(15q^2\) है, इसलिए वह पूर्ण वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर मध्य पद को \(\pm2ab\) से जाँचें। / A perfect-square trinomial has the form \(a^2\pm2ab+b^2\). Here, \(9p^2=(3p)^2\) and \(16q^2=(4q)^2\), while \(-2(3p)(4q)=-24pq\). Therefore, \(9p^2-24pq+16q^2=(3p-4q)^2\), so option A is correct. In option B, the last term is \(15q^2\) instead of \(16q^2\), so it is not a perfect square. Exam tip: take the square roots of the first and last terms, then check whether the middle term equals \(\pm2ab\).
\(9a^2=(3a)^2\) और \(16b^2=(4b)^2\) हैं। बीच का पद \(-2\times3a\times4b=-24ab\) है, इसलिए यह \((3a-4b)^2\) है। परीक्षा में मध्य पद का गुणांक अवश्य मिलाइए। / Here, \(9a^2=(3a)^2\) and \(16b^2=(4b)^2\). The middle term is \(-2\times3a\times4b=-24ab\), so the expression is \((3a-4b)^2\). Exam tip: always verify the middle coefficient.
(9x-2=(3x)2), \(25=5^2\), इसलिए मध्य पद \(-2\cdot3x\cdot5=-30x\) है। परीक्षा में दिए गए चिन्ह का पालन करें। / (9x-2=(3x)2), \(25=5^2\), so the middle term is \(-2\cdot3x\cdot5=-30x\). In exams follow the given sign.
(4x-2=(2x)2) और \(12x=2\cdot2x\cdot3\), इसलिए (k=9) है। परीक्षा में (2ab) से दूसरा भाग पहचानें। / (4x-2=(2x)2) and \(12x=2\cdot2x\cdot3\), so (k=9). In exams identify the second part using (2ab).
\(-14x=-2\cdot x\cdot7\), इसलिए \(c=7^2=49\) है। परीक्षा में मध्य गुणांक का आधा लेकर उसका वर्ग करें। / \(-14x=-2\cdot x\cdot7\), so \(c=7^2=49\). In exams take half of the middle coefficient and square it.
\(16=4^2\) और पूर्ण वर्ग में मध्य पद \(2\cdot x\cdot4=8x\) होगा। परीक्षा में स्थिर पद की जड़ को दोगुना करें। / \(16=4^2\), and in a perfect square the middle term is \(2\cdot x\cdot4=8x\). In exams double the root of the constant term.
मध्य पद \(-10a=-2\cdot a\cdot5\) है इसलिए चिन्ह ऋणात्मक होगा। परीक्षा में मध्य पद का चिन्ह निर्णायक होता है। / The middle term \(-10a=-2\cdot a\cdot5\), so the sign is negative. In exams the sign of the middle term is decisive.
\(9=3^2\) और \(6x=2\cdot x\cdot3\) है। परीक्षा में अंतिम पद का वर्गमूल लेकर मध्य पद मिलाएं। / \(9=3^2\) and \(6x=2\cdot x\cdot3\). In exams take the square root of the last term and match the middle term.
यह \(x^2-2\cdot x\cdot1+1^2\) के रूप में है। परीक्षा में ((a-b)2) में मध्य पद ऋणात्मक होता है। / It is in the form \(x^2-2\cdot x\cdot1+1^2\). Exam tip: in ((a-b)2), the middle term is negative.
\(36=6^2\) है इसलिए मध्य पद \(2\cdot6\cdot x=12x\) होगा। परीक्षा में अंतिम पद की वर्गमूल को दोगुना करें। / Since \(36=6^2\), the middle term will be \(2\cdot6\cdot x=12x\). Exam tip: double the square root of the constant term.
यदि किसी त्रिपद में पहला और अंतिम पद दो पदों के वर्ग हों तथा मध्य पद उनके वर्गमूलों के गुणनफल का ऋणात्मक दोगुना हो, तो वह त्रिपद किस रूप में गुणनखंडित होता है?
ऐसा त्रिपद \(a^2-2ab+b^2\) के रूप में होता है, जो \((a-b)^2\) का प्रसार है। \((a+b)^2\) में मध्य पद \(+2ab\) होता है। परीक्षा में मध्य पद का चिह्न देखकर वर्ग पहचानें। / Such a trinomial has the form \(a^2-2ab+b^2\), which expands from \((a-b)^2\). In \((a+b)^2\), the middle term is \(+2ab\). Exam tip: use the sign of the middle term to identify the square.
\(x^2+2x+5\) में पहले \(x^2+2x\) का पूर्ण वर्ग बनाते हैं। \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), इसलिए \(x^2+2x+5=x^2+2x+1+4=(x+1)^2+4\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प C को फैलाने पर मध्य पद \(-2x\) मिलता है, जो दिए गए व्यंजक से नहीं मिलता। परीक्षा टिप: \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\) पहचान का प्रयोग करें। / First complete the square for \(x^2+2x\). Since \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), we get \(x^2+2x+5=x^2+2x+1+4=(x+1)^2+4\). Therefore, option A is correct. Expanding option C gives a middle term of \(-2x\), so it cannot match the given expression. Exam tip: use the identity \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\).
\(x^2-4y^2=x^2-(2y)^2\) है, इसलिए यह \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) के रूप में गुणनखंडित होता है: \((x-2y)(x+2y)\)। A और C पूर्ण वर्ग हैं, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: दोनों पदों के वर्ग और बीच में ऋण चिह्न देखें। / \(x^2-4y^2=x^2-(2y)^2\), so it fits \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) and factorises as \((x-2y)(x+2y)\). A and C are perfect-square trinomials, not differences. Exam tip: check for two squares separated by a minus sign.
\(4a^2-12ab+9b^2=(2a-3b)^2\), इसलिए यह वास्तव में एक द्विपद का वर्ग है, न कि दो वर्गों का अंतर। प्रश्न में दिया कोई भी विकल्प \(A^2-B^2\) के रूप में नहीं है; अतः प्रश्न दोषपूर्ण है। परीक्षा टिप: अंतर-वर्ग में मध्य पद नहीं होता, जैसे \(u^2-v^2\)। / None of the options is a difference of squares. Option B equals \((2a-3b)^2\), which is a square of a binomial, not \(A^2-B^2\). Hence the item is defective. Exam tip: a basic difference of squares has no middle term, as in \(u^2-v^2\).
\(49=7^2\) और पूर्ण वर्ग के लिए मध्य पद \(2\cdot7x=14x\) चाहिए। परीक्षा में अंतिम पद का वर्गमूल लें। / \(49=7^2\), and a perfect square needs middle term \(2\cdot7x=14x\). Exam tip: take the square root of the last term.
पूर्ण वर्ग त्रिपद में मध्य पद का गुणांक \(2ab\) और स्थिर पद \(b^2\) होता है। \(x^2+10x+21\) में \(2\times5=10\), पर \(5^2=25\), 21 नहीं। परीक्षा में स्थिर पद का वर्गमूल लेकर मध्य पद जाँचें। / In a perfect-square trinomial, the middle coefficient is \(2ab\) and the constant is \(b^2\). For \(x^2+10x+21\), \(2\times5=10\), but \(5^2=25\), not 21. Exam tip: check the constant term against the middle term.
पूर्ण वर्ग त्रिपद का रूप \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\) होता है। विकल्प A में \(36=6^2\) और मध्य पद \(12x=2\times 6\times x\) है। अतः \(x^2+12x+36=(x+6)^2\)। विकल्प D में स्थिर पद \(36\) है, पर \(6^2\) के लिए मध्य पद \(12x\) होना चाहिए, \(6x\) नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर पद का वर्गमूल लेकर उसके दोगुने को मध्य पद के गुणांक से मिलाइए। / A perfect-square trinomial has the form \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\). In option A, \(36=6^2\) and the middle term is \(12x=2\times 6\times x\). Therefore, \(x^2+12x+36=(x+6)^2\). Option D has the constant term \(36\), but a square ending in \(6^2\) must have middle term \(12x\), not \(6x\). Exam tip: take the square root of the constant term and compare twice that value with the coefficient of the middle term.
\(x^2+10x+25\) में \(x^2=x^2\), \(25=5^2\) तथा मध्य पद \(10x=2\times x\times5\) है। अतः यह पहचान \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) के अनुसार \((x+5)^2\) है। विकल्प B में मध्य पद तो \(10x\) है, लेकिन अंतिम पद \(25\) के स्थान पर \(20\) है, इसलिए वह पूर्ण वर्ग त्रिपद नहीं है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग जाँचने के लिए अंतिम पद के वर्गमूल का दोगुना लेकर उसे \(x\) के गुणांक से मिलाएँ। / In \(x^2+10x+25\), we have \(x^2=x^2\), \(25=5^2\), and the middle term \(10x=2\times x\times5\). Therefore, using \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), it becomes \((x+5)^2\). In option B, the middle term is \(10x\), but the constant term is \(20\) instead of \(25\), so it is not a perfect-square trinomial. Exam tip: for a perfect square, compare the middle coefficient with twice the square root of the constant term.
