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यह एक समान्तर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक क्रमागत पद में 5 जोड़ा गया है। यहाँ पहला पद \(a=7\), समान अंतर \(d=5\) और \(n=15\) है। अतः \(a_n=a+(n-1)d\) से \(a_{15}=7+(15-1)\times5=7+70=77\)। इसलिए सही उत्तर 77 है। 75 तब मिलता यदि पदों की संख्या के बजाय 14 के स्थान पर गलती से अलग गणना की जाए। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र में हमेशा \((n-1)\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic sequence because 5 is added to each successive term. Here, the first term is \(a=7\), the common difference is \(d=5\), and \(n=15\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), \(a_{15}=7+(15-1)\times5=7+70=77\). Hence, 77 is correct. A common error is to use an incorrect count of gaps between the first and fifteenth terms. Exam tip: in the nth-term formula, use \((n-1)\), not \(n\).
यह एक समांतर क्रम है, क्योंकि प्रत्येक अगले पद में 9 की कमी हो रही है। यहाँ प्रथम पद \(a=120\) और सार्वांतर \(d=-9\) है। इसलिए \(a_{10}=a+(10-1)d=120+9(-9)=39\)। विकल्प 30 लेने पर पदों की संख्या या घटाव की संख्या गलत गिनी गई होगी। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद ज्ञात करते समय हमेशा \(n-1\) अंतरालों का उपयोग करें। / This is an arithmetic sequence because each successive term decreases by 9. Here, the first term is \(a=120\) and the common difference is \(d=-9\). Thus, \(a_{10}=a+(10-1)d=120+9(-9)=39\). Choosing 30 would result from counting the number of differences incorrectly. Exam tip: for the \(n\)th term, use \(n-1\) common differences.
यहाँ अनुक्रम का सामान्य पद दिया है: \(a_n=3n^2-2n\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=3(6)^2-2(6)=3\times36-12=108-12=96\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 96 है। 94 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब वर्ग या गुणा में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: पहले \(n^2\) ज्ञात करें, फिर गुणा और घटाव करें। / The general term is \(a_n=3n^2-2n\). Substituting \(n=6\), we get \(a_6=3(6)^2-2(6)=3\times36-12=108-12=96\). Hence, 96 is the correct option. An answer such as 94 may result from an error in squaring or multiplication. Exam tip: calculate \(n^2\) first, then perform multiplication and subtraction.
दिया है कि \(a_n=n^3+n\)। \(a_4\) ज्ञात करने के लिए \(n=4\) रखें: \(a_4=4^3+4=64+4=68\)। इसलिए सही उत्तर 68 है। 64 केवल \(4^3\) का मान है; उसमें \(+4\) जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले दिए गए सूत्र में सूचकांक का मान रखें, फिर गणना करें। / Given \(a_n=n^3+n\), substitute \(n=4\) to find the fourth term: \(a_4=4^3+4=64+4=68\). Therefore, 68 is correct. The value 64 is only \(4^3\); the additional \(+4\) must also be included. Exam tip: To find a particular term, substitute its index into the given formula before simplifying.
क्रमागत पदों का अंतर देखें: \(11-4=7\) और \(18-11=7\)। अतः यह समानांतर श्रेणी है, जिसमें प्रत्येक पद में 7 जोड़ा जाता है। इसलिए \(18+7=25\), और जाँच के लिए \(25+7=32\)। अतः सही उत्तर 25 है। 24 लेने पर अगला अंतर 8 हो जाएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: लुप्त पद वाले प्रश्न में पहले लगातार पदों के अंतर जाँचें। / Check the differences between consecutive terms: \(11-4=7\) and \(18-11=7\). Thus, this is an arithmetic sequence in which 7 is added each time. Therefore, \(18+7=25\), and the check is \(25+7=32\). Hence, the missing term is 25. If 24 were chosen, the next difference would become 8, so it would not fit the pattern. Exam tip: For missing-term questions, first check the differences between consecutive terms.
यह एक घटता हुआ क्रम है, जिसमें प्रत्येक अगला पद पिछले पद से 12 कम है: \(150-12=138\), \(138-12=126\)। इसलिए रिक्त स्थान में 138 आएगा। 136 लेने पर 150 से अंतर 14 हो जाएगा, इसलिए वह समान अंतर वाले क्रम के अनुकूल नहीं है। परीक्षा टिप: रिक्त पद वाले क्रम में लगातार ज्ञात पदों का अंतर जाँचकर नियम पहचानें। / This is a decreasing sequence in which each term is 12 less than the previous term: \(150-12=138\) and \(138-12=126\). Therefore, the missing value is 138. Choosing 136 would make the difference from 150 equal to 14, so it would not fit the common-difference pattern. Exam tip: In a missing-term sequence, compare consecutive known terms to identify the rule.
अंतर (5,8,11,14) हैं और वे (3) से बढ़ रहे हैं। अगला अंतर (17) होगा, इसलिए (44+17=61)। / The differences are (5,8,11,14), increasing by (3). The next difference is (17), so (44+17=61).
क्रमागत पदों के बीच अंतर क्रमशः
\(200-197=3\), \(197-191=6\), \(191-182=9\) और \(182-170=12\) हैं। घटाई जाने वाली संख्याएँ 3-3 से बढ़ रही हैं, इसलिए अगली संख्या 15 घटेगी। अतः अगला पद \(170-15=155\) होगा। 153 तब मिलता यदि अगला अंतर 17 मान लिया जाए, जो दिए गए पैटर्न के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले लगातार दो पदों का अंतर लिखकर उसके पैटर्न की जाँच करें। / The differences between consecutive terms are \(200-197=3\), \(197-191=6\), \(191-182=9\), and \(182-170=12\). The numbers being subtracted increase by 3 each time, so the next subtraction is 15. Therefore, the next term is \(170-15=155\). Option 153 would require the next difference to be 17, which does not follow the given pattern. Exam tip: For such sequences, first list the differences between consecutive terms and look for their pattern.
हर पद पिछले पद का (3) गुना है। (4,12,36,108,324,972,2916) में (7)वाँ पद (2916) है। / Each term is (3) times the previous term. In (4,12,36,108,324,972,2916), the (7)th term is (2916).
क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का \(\frac{1}{4}\) है, अर्थात पिछले पद को 4 से भाग दिया गया है: \(1024\div4=256\), \(256\div4=64\), और \(64\div4=16\)। इसलिए अगला पद \(16\div4=4\) होगा। 8 प्राप्त करने के लिए 16 को 2 से भाग देना पड़ेगा, जो दिए गए क्रम के नियम से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: लगातार पदों का अनुपात जाँचकर ज्यामितीय क्रम का नियम पहचानें। / Each term is one-fourth of the preceding term, so the previous term is divided by 4: \(1024\div4=256\), \(256\div4=64\), and \(64\div4=16\). Therefore, the next term is \(16\div4=4\). Getting 8 would require dividing 16 by 2, which does not follow the pattern. Exam tip: Check the ratio of consecutive terms to identify a geometric sequence rule.
दिए गए पद क्रमशः वर्ग संख्याएँ हैं: \(9=3^2\), \(16=4^2\), \(25=5^2\) आदि। अतः \(n\)वाँ पद \((n+2)^2\) होगा। इसलिए \(9\)वाँ पद \((9+2)^2=11^2=121\) है। \(144=12^2\) है, इसलिए वह अगला अर्थात \(10\)वाँ पद होगा। परीक्षा टिप: वर्गों के क्रम में आधार संख्याओं की गिनती करके पद संख्या से मिलान करें। / The given terms are consecutive square numbers: \(9=3^2\), \(16=4^2\), \(25=5^2\), and so on. Therefore, the \(n\)th term is \((n+2)^2\). Hence, the \(9\)th term is \((9+2)^2=11^2=121\). Although \(144=12^2\), it is the next, or \(10\)th, term. Exam tip: In a sequence of squares, track the base numbers and match them with the term position.
दिए गए पद क्रमशः \(3^3, 4^3, 5^3, 6^3, \ldots\) हैं। अतः \(n\)वाँ पद \((n+2)^3\) होगा। इसलिए (6)ठा पद \((6+2)^3=8^3=512\) है। \(343=7^3\) पाँचवाँ पद है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रम में पहले पदों को घन के रूप में लिखकर आधार संख्याओं का क्रम पहचानें। / The terms are \(3^3, 4^3, 5^3, 6^3, \ldots\). Hence, the \(n\)th term is \((n+2)^3\). Therefore, the (6)th term is \((6+2)^3=8^3=512\). Here, \(343=7^3\) is the fifth term, so it is a close but incorrect option. Exam tip: Rewrite the terms as cubes and identify the pattern in their bases.
क्रम 1, 4, 9, 16 के प्रथम अंतर 3, 5, 7 हैं और द्वितीय अंतर 2, 2 हैं। प्रथम अंतर स्थिर नहीं है, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं; अनुपात भी स्थिर नहीं है। परीक्षा में पहले अंतर जाँचें। / For 1, 4, 9, 16, the first differences are 3, 5, 7 and the second differences are 2, 2. Since neither first differences nor ratios are constant, it is neither AP nor GP. Exam tip: check first differences first.
नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद उससे पहले के दो पदों का योग है: 11 = 2 + 9, 20 = 9 + 11 और 31 = 11 + 20। इसलिए अगला पद 20 + 31 = 51 होगा। 52 सही नहीं है, क्योंकि वह पिछले दो पदों का योग नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रम में अगला पद निकालने से पहले दिए गए पदों से नियम की जाँच अवश्य करें। / By the given rule, each new term is the sum of the two preceding terms: 11 = 2 + 9, 20 = 9 + 11, and 31 = 11 + 20. Therefore, the next term is 20 + 31 = 51. Option 52 is incorrect because it is not the sum of the previous two terms. Exam tip: In a sequence question, first verify the rule using the given terms before finding the next term.
यह क्रम इस नियम का पालन करता है कि प्रत्येक नया पद उससे पहले के दो पदों का योग है: 6+10=16, 10+16=26 और 16+26=42। इसलिए अगला पद 26+42=68 होगा। 66 केवल 42 में 24 जोड़ने से मिलता है, पर वह क्रम के नियम का पालन नहीं करता। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले लगातार पदों के अंतर जाँचें; यहाँ अंतर भी पिछले पदों के बराबर हैं। / The sequence follows the rule that each new term is the sum of the two preceding terms: 6+10=16, 10+16=26, and 16+26=42. Therefore, the next term is 26+42=68. Although 66 can be obtained by adding 24 to 42, it does not follow the sequence rule. Exam tip: In such sequences, first check consecutive differences; here, the differences are also equal to the preceding terms.
इस क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है: 5, 20, 80, 320, 1280। अतः 1280 पाँचवाँ पद है। 4वाँ पद 320 है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखकर उनकी स्थिति गिनें। / Each term in the sequence is 4 times the preceding term: 5, 20, 80, 320, 1280. Therefore, 1280 is the 5th term. The 4th term is 320, so it is a close but incorrect option. Exam tip: write the successive terms and count their positions carefully.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 11 और सार्वांतर 8 है। अतः nवाँ पद \(a_n=11+(n-1)\times8\) होगा। \(11+(n-1)\times8=83\) रखने पर \(n-1=9\), इसलिए \(n=10\)। अतः 83, 10वाँ पद है। 9वाँ पद 75 होता है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले प्रथम पद और सार्वांतर पहचानें। / This is an arithmetic progression with first term 11 and common difference 8. Therefore, \(a_n=11+(n-1)\times8\). Putting \(a_n=83\), we get \(11+(n-1)\times8=83\), so \(n-1=9\) and \(n=10\). Hence, 83 is the 10th term. The 9th term is 75, so option B is not correct. Exam tip: To find the position of a term, first identify the first term and the common difference.
क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद से 9 कम है। इसलिए इसका nवाँ पद \(140-9(n-1)\) होगा। \(140-9(n-1)=77\) रखने पर \(9(n-1)=63\), अतः \(n=8\)। इसलिए 77 आठवाँ पद है। 9वाँ पद 68 होगा, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले समान अंतर पहचानें, फिर nवें पद का सूत्र बनाइए। / Each successive term is 9 less than the previous term. Hence, the nth term is \(140-9(n-1)\). Putting \(140-9(n-1)=77\) gives \(9(n-1)=63\), so \(n=8\). Therefore, 77 is the 8th term. The 9th term would be 68, so that option is incorrect. Exam tip: first identify the common difference, then form the nth-term expression to find a position.
क्रम के लगातार पदों का अंतर \(15-6=9\), \(24-15=9\) और \(33-24=9\) है, इसलिए यह समानांतर श्रेणी है। इसका \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1+(n-1)d=6+(n-1)\times9=9n-3\) होगा। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर 15 मिलता है, इसलिए वह पहले पद से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: पहले अंतर ज्ञात करें, फिर \(a_n=a_1+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / The differences between consecutive terms are \(15-6=9\), \(24-15=9\), and \(33-24=9\), so this is an arithmetic progression. Its nth term is \(a_n=a_1+(n-1)d=6+(n-1)\times9=9n-3\). In option B, substituting \(n=1\) gives 15, so it does not match the first term. Exam tip: first find the common difference, then use \(a_n=a_1+(n-1)d\).
यह एक समांतर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक क्रमागत पद का अंतर \(8\) है। यहाँ पहला पद \(a_1=13\) है, इसलिए \(a_n=a_1+(n-1)d=13+(n-1)\times 8=8n+5\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर पहला पद \(21\) मिलता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: नियम में पहले \(n=1\) रखकर पहला पद अवश्य जाँचें। / This is an arithmetic sequence because the difference between consecutive terms is \(8\). Here \(a_1=13\), so \(a_n=a_1+(n-1)d=13+(n-1)\times 8=8n+5\). Hence, option A is correct. In option B, putting \(n=1\) gives the first term as \(21\), so it is incorrect. Exam tip: always check a proposed nth-term rule by substituting \(n=1\).
पहले चार पदों के लिए n=1,2,3,4 रखें। तब a_1=7(1)-4=3, a_2=7(2)-4=10, a_3=17 और a_4=24 मिलते हैं। इसलिए सही क्रम (3, 10, 17, 24) है। विकल्प B में -4 घटाना भूल गए हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए सामान्यतः n=1 से मान रखना शुरू करें। / For the first four terms, substitute n=1,2,3,4. This gives a_1=7(1)-4=3, a_2=7(2)-4=10, a_3=17, and a_4=24. Hence, the correct sequence is (3, 10, 17, 24). Option B ignores the subtraction of 4. Exam tip: for a sequence defined by a_n, usually begin with n=1 for the first term.
पाँचवाँ पद पाने के लिए नियम में \(n=5\) रखें: \(a_5=2(5)^2+5(5)=2\times25+25=50+25=75\)। इसलिए सही उत्तर 75 है। 70 तब मिल सकता है जब \(2\times25\) का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: पहले घात हल करें, फिर गुणा और अंत में जोड़ करें। / To find the fifth term, substitute \(n=5\) in the rule: \(a_5=2(5)^2+5(5)=2\times25+25=50+25=75\). Therefore, 75 is correct. A value such as 70 may result from calculating \(2\times25\) incorrectly. Exam tip: evaluate powers first, then multiplication, and finally addition.
\(a_n=5n-1\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-1]-(5n-1)=5\), जो स्थिर है। अतः यह समांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में दो क्रमागत पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=5n-1\), \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-1]-(5n-1)=5\), a constant difference; hence it is an arithmetic progression. In \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: compare consecutive terms’ differences.
यहाँ a_n=6n-2 है। n=1,2,3,4 रखने पर क्रमशः 6(1)2=6, 6(2)2=24, 6(3)2=54 और 6(4)2=96 प्राप्त होते हैं। इसलिए सही क्रम (6, 24, 54, 96) है। विकल्प C में केवल n-2 के मान हैं; उनमें 6 से गुणा नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले चार प्राकृतिक संख्याएँ रखकर पद निकालें। / Here, a_n=6n-2. Substituting n=1,2,3,4 gives 6(1)2=6, 6(2)2=24, 6(3)2=54, and 6(4)2=96. Therefore, the correct sequence is (6, 24, 54, 96). Option C gives only the values of n-2; it does not multiply them by 6. Exam tip: For a sequence rule, substitute the first few natural-number values of n to obtain its terms.
यहाँ
\(a_n=2^n+n\) है और पहला पद \(n=1\) से लिया जाता है। इसलिए \(a_1=2^1+1=3\), \(a_2=2^2+2=6\), \(a_3=2^3+3=11\) और \(a_4=2^4+4=20\) मिलते हैं। अतः सही क्रम \((3, 6, 11, 20)\) है। विकल्प C में तीसरा पद 12 दिया है, जबकि \(2^3+3=11\) होता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में पहले घात का मान निकालें, फिर उसमें \(n\) जोड़ें। / Here, \(a_n=2^n+n\), and the first term is obtained by taking \(n=1\). Thus, \(a_1=2^1+1=3\), \(a_2=2^2+2=6\), \(a_3=2^3+3=11\), and \(a_4=2^4+4=20\). Therefore, the correct sequence is \((3, 6, 11, 20)\). Option C is close, but its third term is incorrect because \(2^3+3=11\), not 12. Exam tip: evaluate the power first and then add \(n\).
दोनों क्रमों का समान अंतर (6) है, इसलिए पदों का अंतर हमेशा (3) रहेगा। (10)वें पदों में भी यही अंतर है। / Both sequences have common difference (6), so the term difference always remains (3). The (10)th terms also differ by (3).
दोनों क्रमों का अंतर (7) है और पहले पदों का अंतर (9) है। इसलिए (8)वें पदों का अंतर भी (9) होगा। / Both sequences have difference (7), and their first terms differ by (9). So their (8)th terms also differ by (9).
यह एक समान्तर क्रम है, जिसमें पहला पद 7 और सार्वांतर 7 है। पहले 8 पद 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 और 56 हैं। इनका योग 252 है, इसलिए विकल्प C सही है। 246 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब किसी पद को जोड़ने में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: समान्तर क्रम के लिए सीधे सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) का भी प्रयोग कर सकते हैं। / This is an arithmetic sequence with first term 7 and common difference 7. Its first 8 terms are 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, and 56, whose sum is 252. Therefore, option C is correct. A value such as 246 can result from an error while adding a term. Exam tip: You can also use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) for an arithmetic sequence.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 96 और सार्वांतर
-8 है। पहले 6 पद हैं: 96, 88, 80, 72, 64 और 56। अतः इनका योग 456 है। 464 जैसे विकल्प में घटते हुए प्रत्येक पद को सही प्रकार से जोड़ने में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: समांतर श्रेणी के लिए सीधे सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) भी प्रयोग कर सकते हैं। / This is an arithmetic progression with first term 96 and common difference \(-8\). Its first 6 terms are 96, 88, 80, 72, 64, and 56, whose sum is 456. A value such as 464 results from an error while adding the decreasing terms. Exam tip: Use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) to find the sum of an arithmetic progression quickly.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद \(a=6\) तथा सार्वांतर \(d=13-6=7\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(76=6+(n-1)\times 7\) से \(70=7(n-1)\), इसलिए \(n=11\)। अतः 76, 11वाँ पद है। 10वाँ पद \(69\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले \(a\) और \(d\) पहचानकर \(a_n\) का सूत्र लगाएँ। / This is an arithmetic progression with first term \(a=6\) and common difference \(d=13-6=7\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(76=6+(n-1)\times 7\), so \(70=7(n-1)\) and hence \(n=11\). Therefore, 76 is the 11th term. The 10th term is \(69\), so it is not correct. Exam tip: To find the position of a term in an AP, first identify \(a\) and \(d\), then use the \(n\)th-term formula.
यह एक समांतर क्रम है, जिसमें प्रथम पद 9 और सार्वांतर 5 है। अतः सातवाँ पद 39 तथा आठवाँ पद 44 होगा। इसलिए \(a_7+a_8=39+44=83\), इसलिए विकल्प A सही है। 85 जैसे विकल्प में पदों के बीच का अंतर या पद संख्या गलत लेने की संभावना होती है। परीक्षा टिप: समांतर क्रम में \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करके किसी भी पद का मान निकालें। / This is an arithmetic sequence with first term 9 and common difference 5. Thus, the seventh term is 39 and the eighth term is 44. Therefore, \(a_7+a_8=39+44=83\), so option A is correct. A value such as 85 can result from using an incorrect term number or common difference. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) to find any term of an arithmetic sequence.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसका सार्वांतर है। तीसरा पद 38 है और आठवाँ पद 83 है। अतः \(a_8-a_3=83-38=45\)। विकल्प 40 लेने पर पदों के बीच के पाँच अंतरालों को सही सार्वांतर 9 से गुणा नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: दो पदों का अंतर निकालने के लिए पद-संख्या का अंतर लेकर उसे सार्वांतर से गुणा करें। / This is an arithmetic progression with common difference 9. The third term is 38 and the eighth term is 83. Therefore, \(a_8-a_3=83-38=45\). Option 40 is incorrect because there are five gaps between the 3rd and 8th terms, each of size 9. Exam tip: For an AP, use \(a_m-a_n=(m-n)d\) to find the difference between two terms quickly.
समांतर श्रेणी में लगातार पदों का अंतर समान होता है। इसलिए \(b-a=c-b\), जिसे व्यवस्थित करने पर \(2b=a+c\) मिलता है। \(b^2=ac\) गुणोत्तर श्रेणी की शर्त है। परीक्षा टिप: बीच के पद का दोगुना जाँचें। / In an arithmetic progression, consecutive differences are equal. Thus, \(b-a=c-b\), which rearranges to \(2b=a+c\). The relation \(b^2=ac\) is associated with three consecutive terms of a geometric progression. Exam tip: double the middle term.
यह एक समान्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रथम पद 14 और सार्वांतर 8 है। 11वें पद तक पहुँचने के लिए 8 को 10 बार जोड़ा जाता है: \(a_{11}=14+(11-1)\times 8=14+80=94\)। इसलिए सही उत्तर 94 है। 98 प्राप्त करने में 8 को 11 बार जोड़ दिया जाएगा, जो 11वें पद के लिए गलत है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए हमेशा \(a_n=a_1+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic sequence with first term 14 and common difference 8. To reach the 11th term, 8 is added 10 times: \(a_{11}=14+(11-1)\times 8=14+80=94\). Hence, 94 is correct. Getting 98 would mean adding 8 eleven times, which is incorrect for the 11th term. Exam tip: use \(a_n=a_1+(n-1)d\) for the nth term.
विकल्प A में क्रमागत पदों के अंतर हैं: 3-7=-4, -1-3=-4 और -5-(-1)=-4। अंतर स्थिर है, इसलिए यह समांतर श्रेणी है। ऋणात्मक पद होने से समांतर श्रेणी होना नहीं बदलता। परीक्षा में हमेशा क्रमागत अंतर जाँचें। / In option A, the successive differences are 3-7=-4, -1-3=-4 and -5-(-1)=-4. Since the difference is constant, it is an arithmetic progression. Negative terms do not prevent a sequence from being an AP. Exam tip: compare consecutive differences.
दिया गया पुनरावर्ती नियम है: पिछले पद को 3 से गुणा करके 2 जोड़ना। अतः 107 के बाद का पद \(3\times107+2=321+2=323\) होगा। 321 केवल \(3\times107\) है; उसमें 2 जोड़ना बाकी है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में अंतिम दिए गए पद पर नियम को क्रम से लागू करें। / The recursive rule is to multiply the previous term by 3 and then add 2. Therefore, the term after 107 is \(3\times107+2=321+2=323\). Option 321 is only \(3\times107\); the required addition of 2 has not been made. Exam tip: Apply every step of the stated rule to the last given term in order.
दिया गया नियम है: पिछले पद को 2 से भाग दें, फिर 1 घटाएँ। अतः अगले पद के लिए \(14.25\div2-1=7.125-1=6.125\)। इसलिए सही उत्तर 6.125 है। 7.125 केवल 2 से भाग देने पर मिलता है; उसमें 1 घटाना अभी शेष है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में संक्रियाओं का क्रम ध्यान से लागू करें—पहले भाग, फिर घटाव। / The rule is to divide the preceding term by 2 and then subtract 1. Therefore, \(14.25\div2-1=7.125-1=6.125\). Hence, 6.125 is the correct next term. 7.125 is obtained only after division; the subtraction of 1 is still required. Exam tip: Apply the operations in the stated order—divide first, then subtract.
क्रम के क्रमागत अंतरों को देखें: \(14-8=6\), \(26-14=12\), \(44-26=18\) और \(68-44=24\)। ये अंतर हर बार \(6\) बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर \(30\) होगा। अतः अगला पद \(68+30=98\) है। विकल्प 96 लेने पर अंतर केवल 28 होगा, जो इस पैटर्न के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / Look at the differences between consecutive terms: \(14-8=6\), \(26-14=12\), \(44-26=18\), and \(68-44=24\). The differences increase by \(6\) each time, so the next difference is \(30\). Therefore, the next term is \(68+30=98\). Choosing 96 would give a difference of only 28, which does not follow the pattern. Exam tip: For such sequences, first list the consecutive differences and check their pattern.
क्रमागत पदों के बीच घटाव क्रमशः 12, 24, 36 और 48 है। ये घटाव 12 के गुणज हैं और हर बार 12 बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला घटाव 60 होगा। अतः अगला पद \(180-60=120\) है। 132 प्राप्त करने के लिए 48 घटाना पड़ेगा, जो पिछले घटाव की पुनरावृत्ति होगी। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले क्रमागत अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / The successive subtractions are 12, 24, 36, and 48. These are increasing by 12 each time, so the next subtraction must be 60. Therefore, the next term is \(180-60=120\). Option 132 would result from subtracting 48 again, which repeats the previous subtraction. In exams, list the consecutive differences first to identify the pattern quickly.
यहाँ क्रमशः (2,3,4) से गुणा किया गया है। अगला गुणक (5) होगा, इसलिए \(96\times5=480\)। / The terms are multiplied by (2,3,4) successively. The next multiplier is (5), so \(96\times5=480\).
पहले क्रम का तीसरा पद \(150\) और दूसरे क्रम का तीसरा पद \(200\) है। अतः उनका अनुपात \(150:200\) है। दोनों पदों को \(50\) से भाग देने पर \(3:4\) मिलता है। \(4:3\) लेने पर अनुपात का क्रम उलट जाएगा। परीक्षा टिप: अनुपात में हमेशा प्रश्न में दिए गए क्रम के अनुसार पहला और दूसरा पद लिखें। / The third term of the first sequence is \(150\), and that of the second sequence is \(200\). Hence, their ratio is \(150:200\). Dividing both terms by \(50\) gives \(3:4\). \(4:3\) would reverse the required order of the ratio. Exam tip: write ratios in the same first-to-second order as given in the question.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=10\) और सार्वांतर \(d=8\) है। \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) होता है। अतः \(130=\frac{n}{2}[20+8(n-1)]\), जिससे \(n=5\) प्राप्त होता है। वास्तव में, पहले पाँच पदों \(10,18,26,34,42\) का योग \(130\) है। \(6\) पदों का योग \(180\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या पूछे जाने पर योग के सूत्र में \(S_n\) का मान रखकर \(n\) ज्ञात करें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=10\) and common difference \(d=8\). The sum of \(n\) terms is \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). So, \(130=\frac{n}{2}[20+8(n-1)]\), which gives \(n=5\). Indeed, the first five terms \(10,18,26,34,42\) add up to \(130\). The sum of six terms would be \(180\), so it is not correct. Exam tip: when the number of terms is unknown, substitute the given sum in the AP sum formula and solve for \(n\).
इस क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में 9 जोड़कर बनता है: 12, 21, 30, 39, 48, 57, 66, 75। इसलिए 75 से ठीक पहले का पद 66 है। 69 सही नहीं है, क्योंकि 66 के बाद 9 जोड़ने पर 75 मिलता है, 69 के बाद नहीं। परीक्षा टिप: क्रम में अंतर पहचानकर पिछला पद पाने के लिए सामान्य अंतर घटाएँ। / Each term in this sequence is obtained by adding 9 to the previous term: 12, 21, 30, 39, 48, 57, 66, 75. Therefore, the term immediately before 75 is 66. Option 69 is not correct because adding 9 to 66 gives 75, whereas adding 9 to 69 does not. Exam tip: identify the common difference and subtract it to find the previous term.
इस क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद का आधा है: 384, 192, 96, 48, 24, 12। इसलिए 12 से ठीक पहले 24 आता है। 36 गलत है, क्योंकि 36 का आधा 18 होता है, 12 नहीं। परीक्षा टिप: क्रम में अगले या पिछले पद को जाँचने के लिए समान गुणन या भाग का नियम पहचानें। / In this sequence, each term is half of the preceding term: 384, 192, 96, 48, 24, 12. Therefore, 24 comes immediately before 12. Option 36 is incorrect because half of 36 is 18, not 12. Exam tip: identify the common multiplication or division rule to find nearby terms in a sequence.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=17\) और सार्वांतर \(d=23-17=6\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=17+(n-1)\times6=6n+11\) होगा। विकल्प \(6n+17\) में \(n=1\) रखने पर 23 मिलता है, जबकि पहला पद 17 है। परीक्षा टिप: पहले पद और सार्वांतर से \(a_n=a+(n-1)d\) सूत्र लगाएँ। / This is an arithmetic progression with first term \(a=17\) and common difference \(d=23-17=6\). Therefore, \(a_n=a+(n-1)d=17+(n-1)\times6=6n+11\). In \(6n+17\), substituting \(n=1\) gives 23, not the first term 17. Exam tip: identify the first term and common difference before applying \(a_n=a+(n-1)d\).
यह एक समानांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a_1=108\) और सार्वांतर \(d=99-108=-9\) है। इसलिए \(a_n=a_1+(n-1)d=108+(n-1)(-9)=117-9n\)। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर 99 मिलता है, इसलिए वह प्रथम पद से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के नियम में \(n=1\) रखकर प्रथम पद अवश्य जाँचें। / This is an arithmetic progression with first term \(a_1=108\) and common difference \(d=99-108=-9\). Thus, \(a_n=a_1+(n-1)d=108+(n-1)(-9)=117-9n\). In option B, putting \(n=1\) gives 99, so it does not match the first term. Exam tip: always test an nth-term rule by substituting \(n=1\).
क्रम (8,13,21,34,55,89) बनेगा। इसलिए \(a_6=89\), अतः दिए गए विकल्पों में सही मान नहीं है। / The sequence becomes (8,13,21,34,55,89). Therefore \(a_6=89\), so the correct value is not in the options.
इस क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है, इसलिए यह एक गुणोत्तर क्रम है। इसका nवाँ पद \(a_n=6\times4^{n-1}\) होगा। \(6\times4^{n-1}=1536\) से \(4^{n-1}=256=4^4\), अतः \(n-1=4\) और \(n=5\)। विकल्प 4 पर पद 384 होता है, 1536 नहीं। परीक्षा टिप: गुणोत्तर क्रम में पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n=a r^{n-1}\) का प्रयोग करें। / Each term is 4 times the preceding term, so this is a geometric sequence. Its nth term is \(a_n=6\times4^{n-1}\). From \(6\times4^{n-1}=1536\), we get \(4^{n-1}=256=4^4\). Thus, \(n-1=4\) and \(n=5\). At position 4, the term is 384, not 1536. Exam tip: use \(a_n=a r^{n-1}\) to find the position of a term in a geometric sequence.
दिया है कि \(a_n=4n^2-3n+2\)। अतः \(a_5=4(5)^2-3(5)+2=100-15+2=87\) तथा \(a_2=4(2)^2-3(2)+2=16-6+2=12\)। इसलिए \(a_5-a_2=87-12=75\)। लेकिन दिए गए विकल्पों में 75 नहीं है; अतः मूल प्रश्न या विकल्पों में त्रुटि है और कोई भी विकल्प सही नहीं है। परीक्षा में प्रत्येक पद का मान अलग-अलग निकालकर फिर घटाव करें। / Given \(a_n=4n^2-3n+2\), \(a_5=4(5)^2-3(5)+2=100-15+2=87\) and \(a_2=4(2)^2-3(2)+2=16-6+2=12\). Hence, \(a_5-a_2=87-12=75\). However, 75 is not among the given options, so the original question or its options contain an error and no option is correct. In an exam, calculate each term separately before subtracting.
दिया गया नियम है: अगले पद = पिछले पद का 2 गुना + 1। अतः 31 के बाद का पद \(2\times 31+1=62+1=63\) होगा। 62 केवल 31 का दोगुना है, उसमें 1 जोड़ना शेष है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती क्रम में हमेशा अंतिम दिए गए पद पर पूरा नियम लागू करें। / The rule is: next term = 2 × previous term + 1. Therefore, the term after 31 is \(2\times 31+1=62+1=63\). Option 62 is only twice 31; it misses the addition of 1. Exam tip: In a recursive sequence, apply the complete rule to the last given term.
