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यहाँ \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) है। अतः \(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+3+2\sqrt{2}\sqrt{3}=5+2\sqrt{6}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में मध्य पद \(2ab\) का गुणांक 2 छूट गया है। परीक्षा टिप: दो करणी पदों के वर्ग में \(a^2+b^2+2ab\) का मध्य पद अवश्य लिखें। / Here, \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\). Therefore, \(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+3+2\sqrt{2}\sqrt{3}=5+2\sqrt{6}\). Hence, option A is correct. In option B, the coefficient 2 in the middle term \(2ab\) has been omitted. Exam tip: When squaring two surds, always include the middle term \(2ab\).
\(72=36\times2\) और \(36\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\)। अतः सही विकल्प \(6\sqrt{2}\) है। \(3\sqrt{2}\) लेने पर उसका वर्ग \(18\) होगा, \(72\) नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(72=36\times2\), and \(36\) is a perfect square, \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\). Therefore, \(6\sqrt{2}\) is correct. For example, \(3\sqrt{2}\) squares to \(18\), not \(72\). Exam tip: to simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
दिया है कि \(a=\sqrt{5}-2\)। अतः \(a+2=\sqrt{5}\) होगा। इसलिए \((a+2)^2=(\sqrt{5})^2=5\)। विकल्प 10 तब मिलता यदि \(\sqrt{5}\) का वर्ग गलत तरीके से 10 माना जाए। परीक्षा टिप: वर्गमूल का वर्ग लेते समय \((\sqrt{x})^2=x\) का नियम लगाएँ। / Given \(a=\sqrt{5}-2\), adding 2 gives \(a+2=\sqrt{5}\). Therefore, \((a+2)^2=(\sqrt{5})^2=5\). Option 10 would result from incorrectly evaluating the square of \(\sqrt{5}\). Exam tip: use the identity \((\sqrt{x})^2=x\).
\(\sqrt{14}\) अपरिमेय है, क्योंकि 14 पूर्ण वर्ग नहीं है। किसी पूर्णांक का वर्गमूल तभी परिमेय होता है जब वह पूर्णांक पूर्ण वर्ग हो। \(\frac{17}{19}\) परिमेय है, \(0.090909\ldots\) आवर्ती दशमलव है इसलिए परिमेय है, और \(-8\) पूर्णांक होने के कारण परिमेय है। परीक्षा टिप: अनंत आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं, जबकि अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{14}\) is irrational because 14 is not a perfect square. The square root of an integer is rational only when that integer is a perfect square. \(\frac{17}{19}\) is rational, \(0.090909\ldots\) is a recurring decimal and hence rational, and \(-8\) is an integer, so it is rational. Exam tip: Recurring decimals are always rational, whereas the square root of a non-perfect square is irrational.
\(18=9\times2\) होने से \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) तथा \(50=25\times2\) होने से \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) होता है। अतः \(\sqrt{18}+\sqrt{50}=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}\)। विकल्प \(7\sqrt{2}\) तब मिलता यदि गुणांकों का योग गलत किया जाता। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानकर उसे बाहर निकालें, फिर समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / Since \(18=9\times2\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\); and since \(50=25\times2\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{18}+\sqrt{50}=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}\). The option \(7\sqrt{2}\) would result from adding the coefficients incorrectly. Exam tip: first take out perfect-square factors from surds, then combine like surds.
यहाँ \(x=\sqrt{7}\) है, इसलिए \(\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)। अतः \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{7}=\frac{8\sqrt{7}}{7}\)। शून्येतर परिमेय संख्या \(\frac{8}{7}\) और अपरिमेय संख्या \(\sqrt{7}\) का गुणनफल अपरिमेय होता है, इसलिए सही उत्तर अपरिमेय है। यह पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर यदि पूर्ण वर्ग न हो, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है। / Here \(x=\sqrt{7}\), so \(\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}\). Hence, \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{7}=\frac{8\sqrt{7}}{7}\). The product of a non-zero rational number, \(\frac{8}{7}\), and the irrational number \(\sqrt{7}\) is irrational. Therefore, the expression is not an integer or a natural number. Exam tip: the square root of a non-perfect square is irrational.
विकल्प C में दशमलव के बाद 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव प्रसार है, अतः यह अपरिमेय संख्या है। विकल्प A और B अनंत आवर्ती दशमलव हैं, इसलिए परिमेय हैं; विकल्प D सांत दशमलव है, इसलिए भी परिमेय है। परीक्षा टिप: सांत या आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं। / In option C, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats. Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating; therefore, it is irrational. Options A and B are non-terminating recurring decimals, so they are rational, while option D is a terminating decimal and is also rational. Exam tip: Every terminating or recurring decimal represents a rational number.
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\)। अतः \(a+b=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\) होगा। \(2\sqrt{3}\) केवल \(b\) का सरल रूप है, योग नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को जोड़ने से पहले उन्हें समान सरल मूल रूप में लिखें। / \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\). Therefore, \(a+b=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\). \(2\sqrt{3}\) is only the simplified value of \(b\), not the sum. Exam tip: simplify surds to like radicals before adding them.
दिया है \(\sqrt{x}=9\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(x=9^2=81\) मिलता है, इसलिए सही विकल्प 81 है। 9 केवल \(\sqrt{x}\) का मान है, \(x\) का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले समीकरण में वर्ग करने के बाद मूल मान को जाँच लें। / Given \(\sqrt{x}=9\), squaring both sides gives \(x=9^2=81\). Hence, 81 is correct. The number 9 is the value of \(\sqrt{x}\), not of \(x\). Exam tip: After squaring a square-root equation, check the value in the original equation.
\(98=49\times2\) और \(8=4\times2\) हैं। इसलिए \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। अतः \(\sqrt{98}-\sqrt{8}=7\sqrt{2}-2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\), इसलिए विकल्प C सही है। \(4\sqrt{2}\) तब मिलता यदि गुणांकों का अंतर 4 होता। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर से पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर समान मूल पदों को घटाइए। / Since \(98=49\times2\) and \(8=4\times2\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{98}-\sqrt{8}=7\sqrt{2}-2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\), so option C is correct. \(4\sqrt{2}\) would result only if the coefficients differed by 4. Exam tip: first take perfect-square factors out of each surd, then subtract like surd terms.
दिया है \(x=\sqrt{2}-1\)। अतः \(x(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)\)। यह \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) के रूप में है, इसलिए मान \((\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1\) होगा। विकल्प 2 तब मिलता यदि \(1^2\) घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों में संयुग्म पदों को पहचानकर वर्गों के अंतर का सूत्र लगाएँ। / Given \(x=\sqrt{2}-1\), we get \(x(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)\). This matches \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), so its value is \((\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1\). Option 2 would result from forgetting to subtract \(1^2\). Exam tip: identify conjugate factors and use the difference-of-squares identity.
\(\frac{2}{7}\) दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में है और \(-4=\frac{-4}{1}\) लिखा जा सकता है; इसलिए विकल्प B की दोनों संख्याएँ परिमेय हैं। विकल्प D में \(\sqrt{49}=7\) परिमेय है, लेकिन \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: पूर्णांक को हमेशा हर 1 वाली भिन्न के रूप में लिखकर उसकी परिमेयता जाँचें। / \(\frac{2}{7}\) is a ratio of integers, and \(-4\) can be written as \(\frac{-4}{1}\); therefore, both numbers in option B are rational. In option D, \(\sqrt{49}=7\) is rational, but \(\sqrt{2}\) is irrational. Exam tip: Write an integer with denominator 1 to check whether it is rational.
\(45=9\times5\) और \(80=16\times5\) हैं। इसलिए \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) तथा \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)। अतः \(\sqrt{45}+\sqrt{80}=3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}\)। \(9\sqrt{5}\) जैसी राशि तब मिल सकती है जब वर्गमूलों को गलत तरीके से सरल किया जाए। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड, जैसे \(9\) या \(16\), पहले अलग करें। / Since \(45=9\times5\) and \(80=16\times5\), \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{45}+\sqrt{80}=3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}\). A result such as \(9\sqrt{5}\) can arise from simplifying the square roots incorrectly. Exam tip: first factor out perfect squares, such as \(9\) or \(16\), from under each radical.
दिया है कि \(x=\sqrt{11}\)। अतः \(x^2=(\sqrt{11})^2=11\)। इसलिए \(x^2+5=11+5=16\), इसलिए सही विकल्प B है। \(121\) तब मिलता यदि 11 का वर्ग किया जाता, जबकि यहाँ \(\sqrt{11}\) का वर्ग करना है। परीक्षा टिप: वर्गमूल का वर्ग लेने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। / Given \(x=\sqrt{11}\), we get \(x^2=(\sqrt{11})^2=11\). Therefore, \(x^2+5=11+5=16\), so option B is correct. \(121\) would result from squaring 11 itself, but here \(\sqrt{11}\) is being squared. Exam tip: squaring a square root gives the original non-negative number.
\(\sqrt{2}\approx 1.414\), \(\frac{3}{2}=1.5\) और \(\sqrt{3}\approx 1.732\) हैं। ये तीनों संख्याएँ 1 से बड़ी हैं, इसलिए सबसे छोटी संख्या 1 है। \(\sqrt{2}\) निकटतम भ्रामक विकल्प हो सकता है, पर उसका मान भी 1 से अधिक है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाली संख्याओं की तुलना के लिए उनके लगभग दशमलव मान लिखें। / \(\sqrt{2}\approx 1.414\), \(\frac{3}{2}=1.5\), and \(\sqrt{3}\approx 1.732\). All three are greater than 1, so 1 is the smallest number. \(\sqrt{2}\) may seem like the closest distractor, but it is still greater than 1. Exam tip: use approximate decimal values to compare square roots quickly.
दिया है कि \(a=\sqrt{8}\)। अतः \(a^2=(\sqrt{8})^2=8\), क्योंकि किसी धनात्मक संख्या के मुख्य वर्गमूल का वर्ग वही संख्या होता है। विकल्प 4, \(\sqrt{8}\) का वर्ग नहीं है; 4 वास्तव में \(\sqrt{16}\) का मान है। परीक्षा टिप: \((\sqrt{x})^2=x\) का प्रयोग करते समय मूलांक \(x\) को सीधे लिखें। / Given \(a=\sqrt{8}\), we get \(a^2=(\sqrt{8})^2=8\). Squaring the principal square root of a positive number gives back the number itself. Option 4 is not the square of \(\sqrt{8}\); it is the value of \(\sqrt{16}\). Exam tip: use \((\sqrt{x})^2=x\) and write the radicand directly.
\(200=100\times2\) और \(100\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{200}=\sqrt{100}\times\sqrt{2}=10\sqrt{2}\)। विकल्प \(5\sqrt{2}\) का वर्ग \(50\) होता है, इसलिए वह \(\sqrt{200}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(200=100\times2\) and \(100\) is a perfect square, \(\sqrt{200}=\sqrt{100}\times\sqrt{2}=10\sqrt{2}\). The option \(5\sqrt{2}\) squares to \(50\), so it is not equal to \(\sqrt{200}\). Exam tip: To simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
यहाँ दोनों पद समान करणी हैं: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{5}\)। इसलिए उनके गुणांक जोड़े जाते हैं: \(1\sqrt{5}+1\sqrt{5}=2\sqrt{5}\)। अतः सही उत्तर \(2\sqrt{5}\) है। \(\sqrt{10}\) गलत है, क्योंकि \(\sqrt{5}+\sqrt{5}\) को \(\sqrt{5+5}\) नहीं लिखा जा सकता। परीक्षा टिप: केवल समान करणी वाले पदों के गुणांक जोड़े या घटाए जाते हैं। / Both terms are like surds: \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{5}\). Hence, add their coefficients: \(1\sqrt{5}+1\sqrt{5}=2\sqrt{5}\). Therefore, the correct answer is \(2\sqrt{5}\). \(\sqrt{10}\) is incorrect because \(\sqrt{5}+\sqrt{5}\) cannot be written as \(\sqrt{5+5}\). Exam tip: add or subtract only the coefficients of like surds.
\(\frac{9}{32}\) के हर में \(32=2^5\) है। सरलतम रूप में किसी परिमेय संख्या का दशमलव तभी समाप्त होता है जब उसके हर के अभाज्य गुणनखंड केवल \(2\) और/या \(5\) हों। इसलिए \(\frac{9}{32}=0.28125\) समाप्त होने वाला दशमलव है। \(\frac{5}{18}\) के हर में \(3\), \(\frac{11}{27}\) के हर में \(3\), और \(\frac{7}{21}=\frac{1}{3}\) में भी \(3\) आता है, इसलिए वे असांत आवर्ती दशमलव हैं। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखकर हर का गुणनखंडन करें। / For \(\frac{9}{32}\), the denominator is \(32=2^5\). In lowest form, a rational number has a terminating decimal only when its denominator has prime factors \(2\) and/or \(5\) only. Hence, \(\frac{9}{32}=0.28125\) terminates. The denominators of \(\frac{5}{18}\) and \(\frac{11}{27}\) contain the factor \(3\), and \(\frac{7}{21}=\frac{1}{3}\) also has a factor \(3\) in its reduced denominator, so they are non-terminating recurring decimals. Exam tip: Reduce the fraction first, then factorise its denominator.
13 पूर्ण वर्ग नहीं है। किसी ऐसी प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल, जो पूर्ण वर्ग न हो, अपरिमेय होता है। अतः \(x=\sqrt{13}\) अपरिमेय संख्या है। \(\sqrt{16}=4\) जैसे पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, लेकिन \(\sqrt{13}\) नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह पहले जाँचें। / 13 is not a perfect square. The square root of a natural number that is not a perfect square is irrational. Therefore, \(x=\sqrt{13}\) is an irrational number. In contrast, the square root of a perfect square, such as \(\sqrt{16}=4\), is an integer. Exam tip: first check whether the number under the square root is a perfect square.
धनात्मक संख्याओं के लिए \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। अतः \(\sqrt{27}\times\sqrt{3}=\sqrt{81}=9\)। \(27\) मूल के भीतर का गुणनफल है, उसका वर्गमूल नहीं। परीक्षा टिप: पहले मूलों को एक ही वर्गमूल में लिखकर पूर्ण वर्ग पहचानें। / For positive numbers, \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\). Therefore, \(\sqrt{27}\times\sqrt{3}=\sqrt{81}=9\). The number \(27\) is not the square root of \(81\). Exam tip: Combine the radicals first and then look for a perfect square.
\(b=\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt{6}\) और \(a=\sqrt{6}\) है। अतः \(b-a=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}\)। \(2\sqrt{6}\) केवल \(b\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को घटाने से पहले उन्हें समान मूलांक वाले सरल रूप में लिखें। / \(b=\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt{6}\), while \(a=\sqrt{6}\). Therefore, \(b-a=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}\). \(2\sqrt{6}\) is the value of \(b\), not the difference. Exam tip: simplify surds to the same radicand before subtracting them.
B. परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं/Rational numbers and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं का समुच्चय परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के संघ से बनता है: \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}\)। परिमेय संख्याएँ \(p/q\) के रूप में लिखी जा सकती हैं, जबकि अपरिमेय संख्याएँ ऐसी भिन्न के रूप में नहीं लिखी जा सकतीं। पूर्णांक, प्राकृतिक और पूर्ण संख्याएँ सभी परिमेय संख्याओं के ही उपसमुच्चय हैं, इसलिए वे अकेले वास्तविक संख्याओं का पूरा समुच्चय नहीं बनाते। परीक्षा टिप: \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) जैसे अपरिमेय उदाहरणों को याद रखें। / The set of real numbers is the union of rational and irrational numbers: \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}\). Rational numbers can be written in the form \(p/q\), whereas irrational numbers cannot be written in this form. Integers, natural numbers, and whole numbers are all subsets of rational numbers, so they do not alone cover all real numbers. Exam tip: remember irrational examples such as \(\sqrt{2}\) and \(\pi\).
धनात्मक संख्याओं के लिए \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{12}\times\sqrt{75}=\sqrt{12\times75}=\sqrt{900}=30\)। विकल्प 15 इसलिए गलत है क्योंकि \(\sqrt{900}\) का मान 30 होता है, 15 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों का गुणन करने से पहले संख्याओं को एक ही वर्गमूल के भीतर लिखकर पूर्ण वर्ग पहचानें। / For positive numbers, \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\). Hence, \(\sqrt{12}\times\sqrt{75}=\sqrt{12\times75}=\sqrt{900}=30\). Option 15 is incorrect because \(\sqrt{900}=30\), not 15. Exam tip: Combine surds under one square root and look for a perfect square.
दिया है \(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)। अतः \(x^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=3+2+2\sqrt{3}\sqrt{2}=5+2\sqrt{6}\)। इसलिए \(x^2-5=2\sqrt{6}\)। \(\sqrt{6}\) विकल्प में 2 का गुणनफल छूट गया है। परीक्षा टिप: \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\) में मध्य पद \(2ab\) अवश्य लिखें। / Given \(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\), \(x^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=3+2+2\sqrt{3}\sqrt{2}=5+2\sqrt{6}\). Therefore, \(x^2-5=2\sqrt{6}\). The option \(\sqrt{6}\) misses the factor 2 in the middle term. Exam tip: while using \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\), do not omit \(2ab\).
विकल्प A में फलन का मान \((-\tfrac{7}{5})/(-\tfrac{7}{5})=1\) है। 1 एक पूर्णांक है और किसी पूर्णांक को शून्य के अलावा किसी पूर्णांक से भाग करने पर मिलने वाला अनुपात परिमेय होता है (\(\frac{p}{q}\), \(q\neq0\)). विकल्प B में \(\sqrt{21}\) परिपूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। विकल्प C में अपरिमेय \(\sqrt{31}\) को 5 से भाग करने पर भी परिणाम अपरिमेय रहता है (अपरिमेय÷गैर-शून्य परिमेय = अपरिमेय)। विकल्प D में \(\pi\) अपरिमेय है, इसलिए \(\pi+1\) और फिर उसका आधा भी अपरिमेय रहेगा। परीक्षा युक्ति: पहले सरल करें — यदि कोई विकल्प स्पष्ट रूप से 1 या किसी पूर्णांक/भिन्न के रूप में आता है तो उसे परिमेय मानें; अपरिमेयता पहचानने के लिए परिपूर्ण वर्ग और ज्ञात अपरिमेय स्थिरांक (जैसे \(\pi\)) देखें। / Option A simplifies to \((-7/5)/(-7/5)=1\). The number 1 is an integer and can be written as a ratio of integers (\(p/q\), \(q\neq0\)), so it is rational. Option B, \(\sqrt{21}\), is not a perfect square and therefore irrational. Option C is \(\sqrt{31}/5\); dividing a nonzero irrational by a nonzero rational gives an irrational number, so C is irrational. Option D contains \(\pi\), which is irrational, so \((\pi+1)/2\) remains irrational. Exam tip: simplify expressions first — identical nonzero numerator and denominator give 1 (rational); check for perfect squares and known irrational constants to identify irrational options quickly.
क्योंकि \(147=49\times 3=7^2\times 3\), इसलिए \(\sqrt{147}=\sqrt{7^2\times3}=7\sqrt{3}\)। विकल्प \(3\sqrt{7}\) के लिए वर्गमूल के भीतर \(9\times7=63\) होना चाहिए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(147=49\times 3=7^2\times 3\), \(\sqrt{147}=\sqrt{7^2\times3}=7\sqrt{3}\). The option \(3\sqrt{7}\) would correspond to \(\sqrt{9\times7}=\sqrt{63}\), so it is not correct. Exam tip: identify the greatest perfect-square factor before simplifying a surd.
दिया है कि \(\sqrt{x}=12\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(x=12^2=144\) मिलता है। अतः \(x-44=144-44=100\)। विकल्प 144, \(x\) का मान है, जबकि प्रश्न में \(x-44\) पूछा गया है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले समीकरण में पहले वर्ग करके चर का मान ज्ञात करें, फिर मांगी गई व्यंजक का मान निकालें। / Given \(\sqrt{x}=12\), squaring both sides gives \(x=12^2=144\). Therefore, \(x-44=144-44=100\). The value 144 is the value of \(x\), not of the required expression \(x-44\). Exam tip: First square a square-root equation to find the variable, then substitute it into the expression asked.
अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिनके दशमलव विस्तार अनंत व गैर-आवर्ती होते हैं। किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है (उदा. \(\sqrt{4}=2\)) जबकि गैर-पूर्ण-वर्ग का वर्गमूल अपरिमेय होता है। विकल्प A में \(\sqrt{6},\ \sqrt{10},\ \sqrt{15}\) किसी भी पूर्ण वर्ग के मूल नहीं हैं, इसलिए सभी अपरिमेय हैं। निकट भ्रमित करने वाला विकल्प B गलत है क्योंकि \(\sqrt{4}=2\) परिमेय है। विकल्प C में \(\tfrac{1}{2}\) परिमेय है और विकल्प D में \(0\) परिमेय है। परीक्षा युक्ति: किसी भी वर्गमूल को देखते समय पहले जाँचें कि संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं — यदि है तो वह परिमेय होगी। / Irrational numbers have non-terminating, non-repeating decimal expansions. The square root of a perfect square is rational (for example \(\sqrt{4}=2\)), while the square root of a non-perfect square is irrational. In option A, \(\sqrt{6},\ \sqrt{10},\ \sqrt{15}\) are not square roots of perfect squares, so all three are irrational. The closest distractor B is wrong because \(\sqrt{4}=2\) is rational. Options C and D are also incorrect since \(\tfrac{1}{2}\) and \(0\) are rational. Exam tip: when checking square roots, first test if the radicand is a perfect square — if it is, the root is rational.
\(32=16\times2\) होने से \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\)। इसी प्रकार \(8=4\times2\), इसलिए \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। अतः \(4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\), इसलिए विकल्प B सही है। \(4\sqrt{2}\) केवल \(\sqrt{32}\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: करणी वाले पदों को जोड़ने से पहले उन्हें समान करणी, जैसे \(\sqrt{2}\), के रूप में सरल करें। / Since \(32=16\times2\), \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\). Similarly, \(8=4\times2\), so \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\), making option B correct. \(4\sqrt{2}\) is only the value of \(\sqrt{32}\), not their sum. Exam tip: simplify surds into like radical terms, such as \(\sqrt{2}\), before adding them.
दिया है \(a=\sqrt{10}\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(a^2=(\sqrt{10})^2=10\) मिलता है। अतः \(\frac{a^2}{2}=\frac{10}{2}=5\)। विकल्प \(10\) केवल \(a^2\) का मान है; उसे 2 से भाग देना अभी शेष है। परीक्षा में वर्गमूल का वर्ग लेते समय \((\sqrt{x})^2=x\) का नियम याद रखें। / Given \(a=\sqrt{10}\), squaring gives \(a^2=(\sqrt{10})^2=10\). Therefore, \(\frac{a^2}{2}=\frac{10}{2}=5\). The value \(10\) is only \(a^2\); it still needs to be divided by 2. Exam tip: remember that \((\sqrt{x})^2=x\).
\(108=36\times3\) और \(36\) एक पूर्ण वर्ग है। अतः \(\sqrt{108}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{36}\sqrt{3}=6\sqrt{3}\)। विकल्प \(3\sqrt{6}\) सही नहीं है, क्योंकि उसका वर्ग \(54\) होता है, \(108\) नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(108=36\times3\), and \(36\) is a perfect square, \(\sqrt{108}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{36}\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). The option \(3\sqrt{6}\) is not correct because its square is \(54\), not \(108\). Exam tip: To simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
दिया है \(x=\sqrt{2}\)। अतः \(3x-x=(3-1)x=2x=2\sqrt{2}\)। विकल्प \(\sqrt{2}\) केवल \(x\) का मान है, जबकि यहाँ \(2x\) निकालना है। परीक्षा टिप: समान चर वाले पदों में केवल उनके गुणांकों को जोड़ें या घटाएँ। / Given \(x=\sqrt{2}\), \(3x-x=(3-1)x=2x=2\sqrt{2}\). The option \(\sqrt{2}\) is only the value of \(x\), whereas the expression asks for \(2x\). Exam tip: when adding or subtracting like terms, add or subtract only their coefficients.
0.6666\ldots में अंक 6 अनंत तक एक निश्चित क्रम में बार-बार आता है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। 0.121221222\ldots और 0.1010010001\ldots में अंकों के समूहों की लंबाई बदलती रहती है, जबकि 0.123456789\ldots में अंक क्रमशः बढ़ते जाते हैं; इनमें कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव में एक अंक या अंकों का निश्चित समूह लगातार दोहराया जाता है। / In 0.6666\ldots, the digit 6 repeats forever in a fixed pattern, so it is a recurring decimal. In 0.121221222\ldots and 0.1010010001\ldots, the lengths of the digit groups keep changing, while in 0.123456789\ldots the digits keep increasing; none has a fixed repeating block. Exam tip: in a recurring decimal, a digit or a fixed group of digits repeats indefinitely.
\(63=9\times7\) और \(28=4\times7\) हैं। इसलिए \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\) तथा \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\)। अतः \(\sqrt{63}-\sqrt{28}=3\sqrt{7}-2\sqrt{7}=\sqrt{7}\)। \(2\sqrt{7}\) केवल \(\sqrt{28}\) का सरलीकृत रूप है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को घटाने से पहले उन्हें समान वर्गमूल वाले पदों में सरल करें। / Since \(63=9\times7\) and \(28=4\times7\), \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\) and \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\). Therefore, \(\sqrt{63}-\sqrt{28}=3\sqrt{7}-2\sqrt{7}=\sqrt{7}\). \(2\sqrt{7}\) is only the simplified form of \(\sqrt{28}\), not the difference. Exam tip: simplify surds into like terms before subtracting them.
दिया है \(x=\sqrt{15}\)। अतः \(x^2=(\sqrt{15})^2=15\)। इसलिए \(x^2+10=15+10=25\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 20 तब मिलता यदि 10 जोड़ने के बजाय 5 जोड़ा जाता। परीक्षा टिप: वर्गमूल का वर्ग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। / Given \(x=\sqrt{15}\), we get \(x^2=(\sqrt{15})^2=15\). Therefore, \(x^2+10=15+10=25\), so option C is correct. Option 20 would result from adding 5 instead of 10. Exam tip: squaring a square root gives the original non-negative number.
\(\sqrt{49}=7\) है, और 7 एक वास्तविक संख्या है; इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A, B और D में ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल हैं, जो वास्तविक संख्या पद्धति में परिभाषित नहीं होते। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वास्तविक वर्गमूल तभी होता है जब उसके वर्गमूल के भीतर की संख्या शून्य या धनात्मक हो। / \(\sqrt{49}=7\), and 7 is a real number, so option C is correct. Options A, B, and D contain square roots of negative numbers, which are not defined in the real number system. Exam tip: A square root is real only when the number inside the radical is zero or positive.
\(300=100\times3=10^2\times3\) है। अतः \(\sqrt{300}=\sqrt{10^2\times3}=10\sqrt{3}\)। \(5\sqrt{3}\) में वर्ग करने पर \(75\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(300=100\times3=10^2\times3\), \(\sqrt{300}=\sqrt{10^2\times3}=10\sqrt{3}\). The close distractor \(5\sqrt{3}\) squares to \(75\), not \(300\). Exam tip: to simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। अतः \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), इसलिए सही विकल्प B है। \(2\sqrt{2}\) केवल \(\sqrt{8}\) का सरल रूप है, इसमें \(\sqrt{2}\) को जोड़ना बाकी है। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजकर करणी को सरल करें। / \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), so option B is correct. \(2\sqrt{2}\) is only the simplified form of \(\sqrt{8}\); the remaining \(\sqrt{2}\) must still be added. Exam tip: simplify surds by identifying perfect-square factors inside the radical.
परिमेय संख्या वे हैं जिन्हें भिन्न, पूर्णांक, समाप्त होने वाला दशमलव या आवर्ती दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। विकल्प A में \(0.125\) एक समाप्त दशमलव है (\(\tfrac{1}{8}\)), \(-4\) एक पूर्णांक है और \(\sqrt{169}=13\) एक पूर्णांक है; इसलिए सभी परिमेय हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प D में \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए D गलत है। परीक्षा-सुझाव: किसी वर्गमूल को देख कर जाँचें कि वह पूर्ण वर्ग का मूल है या नहीं — यदि नहीं तो वह अपरिमेय होता है। / Rational numbers can be written as fractions, integers, terminating decimals or repeating decimals. In option A, \(0.125\) is a terminating decimal (\(\tfrac{1}{8}\)), \(-4\) is an integer, and \(\sqrt{169}=13\) is an integer — so all are rational. A common distractor is D: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) is irrational, so D is not all rational. Exam tip: check whether a square root is of a perfect square and whether decimals terminate or repeat to decide rationality quickly.
\(175=25\times7=5^2\times7\)। अतः \(\sqrt{175}=\sqrt{5^2\times7}=5\sqrt{7}\)। \(7\sqrt{5}\) सही नहीं है, क्योंकि उसका वर्ग \(245\) होता है, \(175\) नहीं। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करते समय संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / \(175=25\times7=5^2\times7\). Therefore, \(\sqrt{175}=\sqrt{5^2\times7}=5\sqrt{7}\). \(7\sqrt{5}\) is not correct because its square is \(245\), not \(175\). In exams, identify the greatest perfect-square factor before simplifying a surd.
दिया है कि \(\sqrt{x}=15\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(x=15^2=225\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 225 है। 30, 15 का दोगुना है, लेकिन वर्गमूल हटाने के लिए दोगुना नहीं बल्कि दोनों पक्षों का वर्ग किया जाता है। परीक्षा टिप: \(\sqrt{x}=a\) होने पर सीधे \(x=a^2\) लिखें। / Given \(\sqrt{x}=15\), square both sides to get \(x=15^2=225\). Therefore, 225 is correct. The value 30 is obtained by doubling 15, but removing a square root requires squaring both sides, not doubling. Exam tip: if \(\sqrt{x}=a\), write \(x=a^2\).
\(\sqrt{81}=9\) है और 9 को \(\frac{9}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। \(\sqrt{21}\) और \(\sqrt{11}\) पूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए वे अपरिमेय हैं; \(\pi\) भी अपरिमेय है। परीक्षा टिप: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल हमेशा पूर्णांक, अर्थात परिमेय संख्या, होता है। / \(\sqrt{81}=9\), and 9 can be written as \(\frac{9}{1}\); therefore, it is a rational number. \(\sqrt{21}\) and \(\sqrt{11}\) are not square roots of perfect squares, so they are irrational; \(\pi\) is also irrational. Exam tip: The square root of a perfect square is always an integer and hence rational.
\(242=121\times 2=11^2\times 2\) है। अतः \(\sqrt{242}=\sqrt{11^2\times 2}=11\sqrt{2}\)। इसलिए सही विकल्प \(11\sqrt{2}\) है। \(22\sqrt{2}\) लेने पर उसका वर्ग \(968\) होगा, जो \(242\) नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखण्ड खोजें। / Since \(242=121\times 2=11^2\times 2\), \(\sqrt{242}=\sqrt{11^2\times 2}=11\sqrt{2}\). Hence, \(11\sqrt{2}\) is correct. Squaring \(22\sqrt{2}\) gives \(968\), not \(242\). Exam tip: To simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
दिया है कि \(x=\sqrt{3}\)। अतः \(x^2=(\sqrt{3})^2=3\)। इसलिए \(x^2+x^2=3+3=6\), इसलिए सही उत्तर 6 है। विकल्प 9, \(3^2\) निकालने पर मिलता है, लेकिन यहाँ \(x^2\) का मान 3 है। परीक्षा टिप: वर्गमूल का वर्ग लेने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। / Given \(x=\sqrt{3}\), we get \(x^2=(\sqrt{3})^2=3\). Therefore, \(x^2+x^2=3+3=6\), so 6 is correct. Option 9 would result from calculating \(3^2\), but the value of \(x^2\) is 3. Exam tip: squaring a square root gives the original non-negative number.
\(\sqrt{100}=10\) है, और 10 एक वास्तविक संख्या है। किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्याओं में परिभाषित नहीं होता; इसलिए \(\sqrt{-36}\), \(\sqrt{-49}\) और \(\sqrt{-64}\) वास्तविक संख्याएँ नहीं हैं। परीक्षा टिप: वास्तविक वर्गमूल के लिए मूल के भीतर की संख्या शून्य या धनात्मक होनी चाहिए। / \(\sqrt{100}=10\), and 10 is a real number. The square root of a negative number is not defined within the real number system; therefore, \(\sqrt{-36}\), \(\sqrt{-49}\), and \(\sqrt{-64}\) are not real numbers. Exam tip: for a square root to be real, the number inside the root must be zero or positive.
\(48=16\times3\), इसलिए \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\)। इसी प्रकार \(75=25\times3\), अतः \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)। इसलिए \(4\sqrt{3}+5\sqrt{3}=9\sqrt{3}\), इसलिए विकल्प B सही है। \(\sqrt{48}\) और \(\sqrt{75}\) को सीधे जोड़कर \(\sqrt{123}\) लिखना गलत है, क्योंकि वर्गमूलों के लिए ऐसा योग नियम लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: प्रत्येक संख्या में सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को पहचानकर वर्गमूल सरल करें। / Since \(48=16\times3\), \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\). Likewise, \(75=25\times3\), so \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\). Hence, \(4\sqrt{3}+5\sqrt{3}=9\sqrt{3}\), making option B correct. Writing \(\sqrt{48}+\sqrt{75}\) as \(\sqrt{123}\) is incorrect because square roots cannot be added in that way. Exam tip: factor each radicand using its greatest perfect-square factor before simplifying.
यहाँ \(x=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) है। अतः \(x^2=(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2=7+5+2\sqrt{7}\sqrt{5}=12+2\sqrt{35}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में द्विपद के वर्ग का \(2ab\) पद अधूरा लिया गया है। परीक्षा टिप: वर्ग करते समय बीच वाला पद हमेशा \(2ab\) लिखें। / Here, \(x=\sqrt{7}+\sqrt{5}\). Therefore, \(x^2=(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2=7+5+2\sqrt{7}\sqrt{5}=12+2\sqrt{35}\). Hence, option A is correct. In option B, the middle term \(2ab\) has been taken incompletely. Exam tip: while squaring a binomial, always include the middle term \(2ab\).
वर्गमूलों के भाग के नियम से \(\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{180}{5}}=\sqrt{36}=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 है। 5 से भाग देने पर 180 का मान 36 बनता है, 25 नहीं; अतः 5 वाला विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) का प्रयोग केवल धनात्मक \(b\) के लिए करें। / Using the quotient rule for square roots, \(\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{180}{5}}=\sqrt{36}=6\). Therefore, 6 is correct. Dividing 180 by 5 gives 36, not 25, so option 5 is not correct. Exam tip: use \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) when \(b\) is positive.
\(18=9\times2\) और \(8=4\times2\) लिखने पर \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) मिलता है। इसलिए \(a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\)। \(2\sqrt{2}\) एक निकट का विकल्प हो सकता है, लेकिन वह केवल \(\sqrt{8}\) का सरल रूप है, दोनों मूलों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर समान मूल वाले पदों को घटाइए। / Write \(18=9\times2\) and \(8=4\times2\). Then \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Hence, \(a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\). \(2\sqrt{2}\) is a close distractor because it is only the simplified form of \(\sqrt{8}\), not the difference of the two surds. Exam tip: first extract perfect-square factors from radicals, then combine like surds.
