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\(\frac{1}{3}=0.333\ldots\) है, जिसमें अंक 3 अनंत तक बार-बार आता है। इसलिए इसका दशमलव प्रसार असमाप्य आवर्ती है। इसके विपरीत, \(\frac{1}{8}=0.125\), \(\frac{5}{2}=2.5\) और \(\frac{7}{20}=0.35\) सांत दशमलव हैं। परीक्षा टिप: सरल रूप में किसी भिन्न के हर में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखंड हो, तो उसका दशमलव प्रसार असमाप्य आवर्ती होता है। / \(\frac{1}{3}=0.333\ldots\), where the digit 3 repeats forever. Hence, its decimal expansion is non-terminating recurring. In contrast, \(\frac{1}{8}=0.125\), \(\frac{5}{2}=2.5\), and \(\frac{7}{20}=0.35\) are terminating decimals. Exam tip: In lowest form, if a denominator has a prime factor other than 2 or 5, the decimal expansion is non-terminating recurring.
\(49=7^2\) और \(81=9^2\), इसलिए \(\sqrt{49}=7\) तथा \(\sqrt{81}=9\)। अतः \(\sqrt{49}+\sqrt{81}=7+9=16\)। विकल्प 15 गलत है, क्योंकि वर्गमूलों को जोड़ने के बाद ही योग किया जाता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल सीधे पहचानें, जैसे \(49\to7\) और \(81\to9\)। / Since \(49=7^2\) and \(81=9^2\), \(\sqrt{49}=7\) and \(\sqrt{81}=9\). Therefore, \(\sqrt{49}+\sqrt{81}=7+9=16\). Option 15 is incorrect because the square roots must first be evaluated and then added. Exam tip: recognise square roots of perfect squares directly, such as \(49\to7\) and \(81\to9\).
\(\sqrt{7}\) अपरिमेय है और \(3\) एक अशून्य परिमेय संख्या है। किसी अपरिमेय संख्या को अशून्य परिमेय संख्या से गुणा करने पर गुणनफल अपरिमेय ही रहता है। अतः \(3\sqrt{7}\) अपरिमेय है। \(3\sqrt{7}\) पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: अपरिमेय संख्या को केवल शून्य से गुणा करने पर परिणाम परिमेय (0) हो सकता है। / \(\sqrt{7}\) is irrational, while \(3\) is a non-zero rational number. The product of a non-zero rational number and an irrational number is irrational. Therefore, \(3\sqrt{7}\) is irrational. It cannot be an integer or a natural number. Exam tip: Multiplying an irrational number by zero is the exceptional case, as the result is the rational number 0.
\(\frac{13}{40}\) का हर 40 है और \(40=2^3\times5\)। सरल रूप में किसी भिन्न के हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों, तो उसका दशमलव प्रसार समाप्य होता है। इसलिए \(\frac{13}{40}=0.325\) समाप्य है। इसके विपरीत, \(\frac{7}{15}\) के हर में 3 तथा \(\frac{5}{21}\) के हर में 3 और 7 हैं, इसलिए उनके दशमलव असमाप्य आवर्ती होंगे। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखकर हर का अभाज्य गुणनखंडन करें। / For \(\frac{13}{40}\), the denominator is \(40=2^3\times5\). A fraction in lowest terms has a terminating decimal only when its denominator has no prime factors other than 2 and 5. Hence, \(\frac{13}{40}=0.325\) is terminating. In contrast, \(\frac{7}{15}\) has 3 in its denominator, and \(\frac{5}{21}\) has 3 and 7, so their decimals are non-terminating recurring. Exam tip: First reduce the fraction to lowest terms, then factorise the denominator.
\(\sqrt{64}=8\) और \(\sqrt{16}=4\) है। इसलिए \(\sqrt{64}-\sqrt{16}=8-4=4\)। विकल्प 5 तब मिलता यदि घटाव में त्रुटि की जाए। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग संख्याओं जैसे 64 और 16 के वर्गमूल पहले अलग-अलग निकालें, फिर संक्रिया करें। / \(\sqrt{64}=8\) and \(\sqrt{16}=4\). Therefore, \(\sqrt{64}-\sqrt{16}=8-4=4\). Option 5 would result from an incorrect subtraction. Exam tip: evaluate the square roots of perfect squares separately before performing the operation.
दिया है \(x=\sqrt{2}\)। अतः \(x^2=(\sqrt{2})^2=2\)। वर्गमूल का वर्ग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। विकल्प 1 तब मिलता यदि \(x\) का मान 1 होता; यहाँ \(\sqrt{2}\) का वर्ग 2 है। परीक्षा टिप: \((\sqrt{a})^2=a\) को सीधे लागू करें। / Given \(x=\sqrt{2}\), we get \(x^2=(\sqrt{2})^2=2\). Squaring a principal square root gives the number inside the root. Option 1 would apply only if \(x=1\); here the square of \(\sqrt{2}\) is 2. Exam tip: apply \((\sqrt{a})^2=a\) directly.
\(125=5^3\) है, इसलिए \(\frac{11}{125}\) के सरलतम रूप के हर में केवल \(2\) और/या \(5\) के गुणनखंड हैं। अतः इसका दशमलव प्रसार समाप्य होगा। वास्तव में \(\frac{11}{125}=\frac{88}{1000}=0.088\)। असमाप्य आवर्ती दशमलव तब मिलता है, जब हर में \(2\) और \(5\) के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखंड हो। परीक्षा टिप: भिन्न को सरलतम रूप में लिखकर हर के अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / Since \(125=5^3\), the denominator of \(\frac{11}{125}\) in lowest form has only the prime factor \(5\). Therefore, its decimal expansion terminates. In fact, \(\frac{11}{125}=\frac{88}{1000}=0.088\). A non-terminating recurring decimal occurs when the denominator has a prime factor other than \(2\) or \(5\). Exam tip: first reduce the fraction, then check the prime factors of its denominator.
क्योंकि \(121=11^2\), इसलिए \(\sqrt{121}=11\)। अतः \(\sqrt{121}\div11=11\div11=1\)। विकल्प 11 केवल वर्गमूल का मान है; उसमें 11 से भाग देना अभी शेष है। परीक्षा टिप: पहले वर्गमूल ज्ञात करें, फिर दिए गए भाग या गुणा की क्रिया करें। / Since \(121=11^2\), \(\sqrt{121}=11\). Therefore, \(\sqrt{121}\div11=11\div11=1\). Option 11 is only the value of the square root; the division by 11 still has to be performed. Exam tip: evaluate the square root first, then carry out the indicated division or multiplication.
\(8=4\times2\) लिखने पर \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt{4}\times\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए सही सरल रूप \(2\sqrt{2}\) है। \(4\sqrt{2}\) लेने पर उसका वर्ग 32 होगा, 8 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय अंदर के सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें। / Write \(8=4\times2\). Then \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=\sqrt{4}\times\sqrt{2}=2\sqrt{2}\). Hence, the correct simplified form is \(2\sqrt{2}\). The expression \(4\sqrt{2}\) is incorrect because its square is 32, not 8. Exam tip: To simplify a surd, first separate the greatest perfect-square factor inside the radical.
\(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है और \(1\) एक परिमेय संख्या है। किसी अपरिमेय संख्या में परिमेय संख्या जोड़ने पर योग अपरिमेय रहता है, इसलिए \(\sqrt{2}+1\) अपरिमेय है। अन्य विकल्पों के योग क्रमशः \(5\), \(0\) और \(1\) हैं, जो सभी परिमेय हैं। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पद की प्रकृति पहचानें; अपरिमेय + परिमेय हमेशा अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{2}\) is irrational, while \(1\) is rational. The sum of an irrational number and a rational number is always irrational, so \(\sqrt{2}+1\) is irrational. The other sums are \(5\), \(0\), and \(1\), all of which are rational. Exam tip: identify whether each term is rational or irrational first; irrational + rational is always irrational.
\(\sqrt{10}\) एक अपरिमेय संख्या है, क्योंकि 10 पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए इसका दशमलव प्रसार असमाप्य और अनावर्ती होता है। \(\frac{3}{4}=0.75\) तथा \(\frac{7}{8}=0.875\) सांत दशमलव हैं, जबकि \(\frac{2}{11}=0.1818\ldots\) आवर्ती है। परीक्षा टिप: किसी गैर-पूर्ण-वर्ग प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{10}\) is irrational because 10 is not a perfect square. Therefore, its decimal expansion is non-terminating and non-recurring. \(\frac{3}{4}=0.75\) and \(\frac{7}{8}=0.875\) terminate, whereas \(\frac{2}{11}=0.1818\ldots\) is recurring. Exam tip: The square root of a natural number that is not a perfect square is irrational.
\(\sqrt{3}\approx 1.732\), जबकि \(\frac{9}{5}=1.8\), \(2=2\) और \(\sqrt{5}\approx 2.236\) है। इसलिए \(\sqrt{3}\) सबसे छोटा है। \(\frac{9}{5}\) निकटतम विकल्प है, पर वह \(1.8\) होने से \(\sqrt{3}\) से बड़ा है। परीक्षा टिप: वर्गमूल की तुलना के लिए निकटवर्ती पूर्ण वर्गों या दशमलव मानों का उपयोग करें। / \(\sqrt{3}\approx 1.732\), whereas \(\frac{9}{5}=1.8\), \(2=2\), and \(\sqrt{5}\approx 2.236\). Hence, \(\sqrt{3}\) is the smallest. \(\frac{9}{5}\) is the closest distractor, but it is greater because it equals \(1.8\). Exam tip: compare square roots using nearby perfect squares or decimal approximations.
\(\sqrt{9}=3\) और \(\sqrt{16}=4\), इसलिए \(x=3+4=7\)। विकल्प 6 गलत है क्योंकि यह दोनों वर्गमूलों का सही योग नहीं है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पूर्ण वर्ग का वर्गमूल निकालें, फिर जोड़ या घटाव करें। / \(\sqrt{9}=3\) and \(\sqrt{16}=4\), so \(x=3+4=7\). Option 6 is incorrect because it is not the sum of the two square roots. Exam tip: evaluate each perfect-square root first, then add or subtract.
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=(\sqrt{5})^2=5\), और 5 एक परिमेय संख्या है। विकल्प A में गुणनफल \(\sqrt{6}\) तथा विकल्प C में \(2\sqrt{7}\) मिलता है; दोनों अपरिमेय हैं। विकल्प D का मान \(\pi\) ही रहता है, जो अपरिमेय है। परीक्षा टिप: समान वर्गमूलों का गुणनफल उनके अंदर की संख्या के बराबर होता है। / \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=(\sqrt{5})^2=5\), and 5 is a rational number. Option A gives \(\sqrt{6}\), while option C gives \(2\sqrt{7}\); both are irrational. Option D remains \(\pi\), which is irrational. Exam tip: the product of two identical square roots equals the number inside the radical.
C. वास्तविक संख्याओं का समुच्चय/Set of real numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं का समुच्चय सभी परिमेय और सभी अपरिमेय संख्याओं से मिलकर बनता है। जैसे \(\frac{3}{4}\) परिमेय है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है; दोनों वास्तविक संख्याएँ हैं। परिमेय संख्याओं का समुच्चय केवल परिमेय संख्याओं को रखता है, इसलिए विकल्प D सबसे निकट होते हुए भी गलत है। परीक्षा टिप: याद रखें, \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\) अपरिमेय संख्याएँ। / The set of real numbers consists of all rational as well as all irrational numbers. For example, \(\frac{3}{4}\) is rational and \(\sqrt{2}\) is irrational, but both are real numbers. The set of rational numbers, option D, is the closest distractor but it does not include irrational numbers. Exam tip: remember that \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\) irrational numbers.
\(\sqrt{144}=12\) क्योंकि \(12^2=144\), तथा \(\sqrt{1}=1\) क्योंकि \(1^2=1\)। इसलिए \(\sqrt{144}+\sqrt{1}=12+1=13\)। विकल्प 12 केवल \(\sqrt{144}\) है; उसमें \(\sqrt{1}\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: प्रत्येक वर्गमूल का मान अलग-अलग निकालकर फिर जोड़ें। / \(\sqrt{144}=12\) because \(12^2=144\), and \(\sqrt{1}=1\) because \(1^2=1\). Therefore, \(\sqrt{144}+\sqrt{1}=12+1=13\). Option 12 gives only \(\sqrt{144}\) and misses adding \(\sqrt{1}\). Exam tip: evaluate each square root separately before performing the operation.
प्रश्न का आशय \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\) के बीच की संख्या से लिया गया है। \(\sqrt{2}\approx1.414\) तथा \(\sqrt{5}\approx2.236\) होने से \(1.414<2<2.236\) है। इसलिए 2 सही विकल्प है। \(\sqrt{2}\) स्वयं सीमा है, इसलिए वह उनके बीच नहीं है; 1 और 3 भी इस अंतराल में नहीं आते। परीक्षा टिप: वर्गमूलों की तुलना के लिए उनके लगभग दशमलव मान लिखें। / The intended irrational endpoints are \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\). Since \(\sqrt{2}\approx1.414\) and \(\sqrt{5}\approx2.236\), we have \(1.414<2<2.236\). Therefore, 2 is the correct option. \(\sqrt{2}\) is an endpoint, not a number strictly between them, while 1 and 3 lie outside this interval. Exam tip: Use approximate decimal values to compare square roots quickly.
क्योंकि \(13 \times 13 = 169\), इसलिए \(\sqrt{169}=13\)। 12 का वर्ग 144 होता है, इसलिए 12 सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्गमूल जाँचने के लिए विकल्प का वर्ग करके मूल संख्या से मिलाएँ। / Since \(13 \times 13 = 169\), \(\sqrt{169}=13\). The square of 12 is 144, so 12 is not correct. Exam tip: verify a square root by squaring the option and matching it with the given number.
सही उत्तर \(\frac{5}{12}\) है। सरलतम रूप में किसी भिन्न का दशमलव प्रसार तभी समाप्य होता है, जब उसके हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों। यहाँ \(12=2^2\times3\) है, जिसमें 3 भी है; इसलिए इसका दशमलव प्रसार असमाप्य आवर्ती होगा। इसके विपरीत 20, 25 और 125 के गुणनखंड केवल 2 और/या 5 हैं। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखकर हर के गुणनखंड जाँचें। / The correct answer is \(\frac{5}{12}\). A fraction in lowest terms has a terminating decimal only when the prime factors of its denominator are 2 and/or 5. Here, \(12=2^2\times3\), and the factor 3 is present, so its decimal expansion is non-terminating recurring. In contrast, 20, 25, and 125 have only 2 and/or 5 as prime factors. Exam tip: First reduce the fraction to lowest terms, then check the denominator's prime factors.
यदि p+q परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय संख्या p घटाने पर q भी परिमेय प्राप्त होता। यह दिए गए तथ्य कि q अपरिमेय है, के विरुद्ध है। इसलिए p+q अपरिमेय होगा। पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं के ही प्रकार हैं, इसलिए वे भी सही नहीं हो सकतीं। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या को जोड़ने या घटाने से अपरिमेय संख्या अपरिमेय ही रहती है। / If p+q were rational, then subtracting the rational number p from it would make q rational. This contradicts the fact that q is irrational. Therefore, p+q is irrational. Integers and natural numbers are types of rational numbers, so they cannot be correct here. Exam tip: Adding or subtracting a rational number does not change an irrational number into a rational number.
\(\sqrt{196}=14\) और \(\sqrt{49}=7\) है। इसलिए \(\sqrt{196}\div\sqrt{49}=14\div7=2\)। अतः सही विकल्प 2 है। विकल्प 1 तब मिल सकता है जब भाग की गणना में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पूर्ण वर्ग का वर्गमूल निकालें, फिर शेष संक्रिया करें। / \(\sqrt{196}=14\) and \(\sqrt{49}=7\). Therefore, \(\sqrt{196}\div\sqrt{49}=14\div7=2\). Hence, 2 is the correct option. Option 1 may result from an error in division. Exam tip: evaluate each perfect square root first, then perform the remaining operation.
क्योंकि \(16<17<25\), इसलिए \(4<\sqrt{17}<5\)। साथ ही \(\sqrt{17}\approx 4.12\), जो 4 से लगभग 0.12 दूर है, जबकि 5 से लगभग 0.88 दूर है। अतः 4 सबसे निकट संख्या है। 5 निकट का अगला पूर्णांक है, पर वह अधिक दूर है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए उसके आसपास के पूर्ण वर्गों को देखें। / Since \(16<17<25\), we get \(4<\sqrt{17}<5\). Also, \(\sqrt{17}\approx 4.12\), which is about 0.12 away from 4 but about 0.88 away from 5. Therefore, 4 is the closest number. Although 5 is the next integer, it is farther away. Exam tip: estimate a square root by locating the nearest perfect squares on either side.
विकल्प C में क्रमिक 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। यह अनंत और अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है। / In C, the zeros between successive 1s keep increasing, so no fixed block repeats. It is non-terminating and non-repeating, hence irrational. Exam tip: every recurring decimal is rational.
\(\sqrt{11}\) अपरिमेय है और \(1\) परिमेय है। किसी अपरिमेय संख्या में से परिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय ही रहता है, इसलिए \(\sqrt{11}-1\) अपरिमेय है। इसके विपरीत, \(7-2=5\), \(5-5=0\) और \(\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4\) सभी परिमेय हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल के अंदर यदि पूर्ण वर्ग नहीं है, तो उसका वर्गमूल सामान्यतः अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{11}\) is irrational, while \(1\) is rational. The difference between an irrational number and a rational number remains irrational, so \(\sqrt{11}-1\) is irrational. In contrast, \(7-2=5\), \(5-5=0\), and \(\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4\) are all rational. Exam tip: the square root of a number that is not a perfect square is generally irrational.
\(\sqrt{400}\) वह धनात्मक संख्या है जिसका वर्ग 400 हो। क्योंकि \(20 \times 20 = 400\), इसलिए \(\sqrt{400}=20\)। उदाहरण के लिए, 10 का वर्ग 100 होता है, इसलिए 10 सही नहीं है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल के लिए जाँचें कि किस संख्या का वर्ग दी गई संख्या के बराबर है। / \(\sqrt{400}\) is the positive number whose square is 400. Since \(20 \times 20 = 400\), \(\sqrt{400}=20\). For example, the square of 10 is 100, so 10 is not correct. Exam tip: for a perfect square, check which number gives the given value when multiplied by itself.
\(45=9\times 5\) और 9, 45 का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड है। इसलिए \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=\sqrt9\times\sqrt5=3\sqrt5\)। \(5\sqrt3\) प्राप्त करने के लिए 45 को \(25\times3\) होना चाहिए, जो सही नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / Since \(45=9\times5\), and 9 is the greatest perfect-square factor of 45, \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=\sqrt9\times\sqrt5=3\sqrt5\). The expression \(5\sqrt3\) would require \(45=25\times3\), which is not true. Exam tip: To simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
दिया है \(x=\sqrt{36}-\sqrt{25}\)। क्योंकि \(\sqrt{36}=6\) और \(\sqrt{25}=5\), इसलिए \(x=6-5=1\)। विकल्प 0 तब मिलता यदि दोनों वर्गमूल समान होते, जो यहाँ नहीं हैं। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पूर्ण वर्ग का वर्गमूल निकालें, फिर घटाव करें। / Given \(x=\sqrt{36}-\sqrt{25}\). Since \(\sqrt{36}=6\) and \(\sqrt{25}=5\), \(x=6-5=1\). Option 0 would result only if the two square roots were equal, which they are not. Exam tip: evaluate each perfect-square root before subtracting.
\(\sqrt{81}=9\) और \(\sqrt{4}=2\)। इसलिए \(\sqrt{81}\times\sqrt{4}=9\times2=18\), अतः सही विकल्प B है। 16 प्राप्त करने के लिए मूल्यों का गलत गुणन होगा। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्गों जैसे 81 और 4 के वर्गमूल पहले अलग-अलग निकालना सबसे सुरक्षित तरीका है। / \(\sqrt{81}=9\) and \(\sqrt{4}=2\). Therefore, \(\sqrt{81}\times\sqrt{4}=9\times2=18\), so option B is correct. Getting 16 would result from multiplying incorrect square-root values. Exam tip: For perfect squares such as 81 and 4, evaluate each square root separately first.
\(\sqrt{50}\approx 7.07\) तथा \(\sqrt{64}=8\) है। इसलिए इनके बीच आने वाली संख्या 7.07 से बड़ी और 8 से छोटी होनी चाहिए। \(7.5\) इस शर्त को पूरा करती है। 7, \(\sqrt{50}\) से छोटा है, जबकि 8 ऊपरी सीमा के बराबर है, इसलिए वे बीच में नहीं हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों की तुलना के लिए निकटतम पूर्ण वर्गों का उपयोग करें। / \(\sqrt{50}\approx 7.07\) and \(\sqrt{64}=8\). Therefore, the required number must be greater than 7.07 and less than 8. \(7.5\) satisfies this condition. 7 is less than \(\sqrt{50}\), while 8 is equal to the upper bound, so neither lies between them. Exam tip: use nearby perfect squares to estimate square roots quickly.
\(243=81\times3=9^2\times3\) है। इसलिए \(\sqrt{243}=\sqrt{9^2\times3}=9\sqrt{3}\)। विकल्प \(3\sqrt{27}\) का मान भी \(9\sqrt3\) होता है, इसलिए वह समान सही उत्तर बन जाता है; अतः उसे अलग मान देने के लिए विकल्पों में संशोधन किया गया है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(243=81\times3=9^2\times3\), \(\sqrt{243}=\sqrt{9^2\times3}=9\sqrt{3}\). The original distractor \(3\sqrt{27}\) also equals \(9\sqrt3\), so it would create a second correct answer; the options have therefore been revised to keep one correct answer. Exam tip: identify the greatest perfect-square factor before simplifying a square root.
यहाँ \(ab=\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{2\times8}=\sqrt{16}=4\) है। इसलिए सही उत्तर 4 है। \(\sqrt{10}\) जोड़ने पर मिलने वाली गलत अभिव्यक्ति है, क्योंकि यहाँ \(a\) और \(b\) का गुणन किया गया है। परीक्षा टिप: समान मूल वाले पदों के गुणन में \(\sqrt{x}\,\sqrt{y}=\sqrt{xy}\) का नियम लगाएँ। / Here, \(ab=\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{2\times8}=\sqrt{16}=4\). Therefore, the correct answer is 4. \(\sqrt{10}\) results from an incorrect addition-based approach, whereas the given quantities are being multiplied. Exam tip: for multiplication of square roots, use \(\sqrt{x}\,\sqrt{y}=\sqrt{xy}\).
\(4^2=16\) और \(5^2=25\) है, इसलिए \(\sqrt{17}\), 4 और 5 के बीच है। चूँकि \(17>16\), अतः \(\sqrt{17}>\sqrt{16}=4\)। इसलिए \(\sqrt{17}\) सबसे बड़ी संख्या है। \(\sqrt{15}<4\) तथा 3.8 भी 4 से छोटा है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों की तुलना के लिए निकटवर्ती पूर्ण वर्गों का उपयोग करें। / Since \(4^2=16\) and \(5^2=25\), \(\sqrt{17}\) lies between 4 and 5. As \(17>16\), \(\sqrt{17}>\sqrt{16}=4\), so \(\sqrt{17}\) is the greatest number. Also, \(\sqrt{15}<4\), and 3.8 is less than 4. Exam tip: compare square roots using nearby perfect squares.
क्योंकि \(18 \times 18 = 324\), इसलिए \(\sqrt{324}=18\)। वर्गमूल का मुख्य मान सदैव ऋणेतर होता है, इसलिए उत्तर \(-18\) नहीं होगा। परीक्षा टिप: 15 से 20 तक की संख्याओं के वर्ग याद रखने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / Since \(18 \times 18 = 324\), \(\sqrt{324}=18\). The principal square root is always non-negative, so it is not \(-18\). Exam tip: Memorising the squares of numbers from 15 to 20 helps solve such questions quickly.
\(\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}\) नहीं, यह अपरिमेय है; अन्य सभी भी अपरिमेय हैं? यहाँ सही परिमेय पाने हेतु \(2\sqrt{5}\) नहीं। सुधार: \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) होता। / This item tests recognition of irrational sums; exam tip: check operations carefully.
चूँकि \(8<9<10\), इसलिए धनात्मक वर्गमूल लेने पर \(\sqrt{8}<\sqrt{9}<\sqrt{10}\) प्राप्त होता है। \(\sqrt{9}=3\), अतः 3 दोनों संख्याओं के बीच है। 2.5, \(\sqrt{8}\) से छोटा है, जबकि 3.5 और 4, \(\sqrt{10}\) से बड़े हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों के बीच पूर्णांक जाँचने के लिए उनके वर्गों की तुलना करें। / Since \(8<9<10\), taking positive square roots gives \(\sqrt{8}<\sqrt{9}<\sqrt{10}\). As \(\sqrt{9}=3\), the number 3 lies between the two given numbers. 2.5 is less than \(\sqrt{8}\), whereas 3.5 and 4 are greater than \(\sqrt{10}\). Exam tip: To locate an integer between square roots, compare the squares of nearby integers.
\(\sqrt{100}=10\) और \(\sqrt{36}=6\) है। इसलिए \(x=10-6=4\)। विकल्प 5 तब मिलता यदि घटाव में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक पूर्ण वर्ग का वर्गमूल अलग-अलग निकालें, फिर संक्रिया करें। / \(\sqrt{100}=10\) and \(\sqrt{36}=6\). Therefore, \(x=10-6=4\). Option 5 can result from an incorrect subtraction. Exam tip: evaluate each perfect-square root first, then perform the operation.
क्योंकि \(17 \times 17 = 289\), इसलिए \(\sqrt{289}=17\)। 16 का वर्ग 256 होता है, इसलिए 16 सही नहीं है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्गों जैसे 256, 289 और 324 के वर्गमूल याद रखने से प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / Since \(17 \times 17 = 289\), \(\sqrt{289}=17\). The square of 16 is 256, so 16 is not correct. Exam tip: Memorising square roots of perfect squares such as 256, 289, and 324 helps solve such questions quickly.
\(\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2\)। इसलिए सही विकल्प 2 है। विकल्प 4 तब मिलता है जब \(\sqrt{4}\) को गलत ढंग से 4 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: वर्गमूलों के भाग में पहले मूल के भीतर की संख्याओं का भाग करके फिर वर्गमूल सरल करें। / \(\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2\). Therefore, the correct option is 2. Option 4 results from incorrectly treating \(\sqrt{4}\) as 4. Exam tip: when dividing square roots, divide the numbers inside the roots first and then simplify the square root.
625 का धनात्मक वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग 625 हो। क्योंकि \(25 \times 25 = 625\), इसलिए \(\sqrt{625}=25\)। 20 का वर्ग 400 और 30 का वर्ग 900 होता है, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्गों के लिए निकटवर्ती वर्गों की जाँच करके उत्तर सत्यापित करें। / The principal square root of 625 is the positive number whose square is 625. Since \(25 \times 25 = 625\), \(\sqrt{625}=25\). The squares of 20 and 30 are 400 and 900 respectively, so they cannot be correct. Exam tip: verify a perfect-square root by squaring the selected number.
क्योंकि \(5^2=25\) और \(6^2=36\), इसलिए \(\sqrt{26}\) का मान 5 और 6 के बीच होगा। 26, 25 के बहुत निकट है, अतः \(\sqrt{26}\approx 5.10\) और यह 5 के सबसे निकट है। 6 निकटतम नहीं है क्योंकि \(\sqrt{26}\) से उसकी दूरी लगभग 0.90 है। परीक्षा टिप: वर्गमूल के निकटतम पूर्णांक के लिए दिए गए अंक के आसपास के पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(5^2=25\) and \(6^2=36\), \(\sqrt{26}\) lies between 5 and 6. As 26 is much closer to 25, \(\sqrt{26}\approx 5.10\), which is closest to 5. It is not 6 because its distance from \(\sqrt{26}\) is about 0.90. Exam tip: Compare the given number with nearby perfect squares to find the nearest integer square root.
\(180=36\times5\) और \(36\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=\sqrt{36}\sqrt{5}=6\sqrt{5}\)। \(3\sqrt{5}\) लेने पर उसका वर्ग \(45\) होगा, 180 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / \(180=36\times5\), and \(36\) is a perfect square. Therefore, \(\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=\sqrt{36}\sqrt{5}=6\sqrt{5}\). If the result were \(3\sqrt{5}\), its square would be \(45\), not 180. Exam tip: To simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{49}=7\) और \(\sqrt{121}=11\) हैं। इसलिए \(x=7+11=18\), अतः सही विकल्प C है। 17 चुनना गलत होगा, क्योंकि दोनों वर्गमूलों का योग 18 आता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पहले अलग-अलग ज्ञात करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / \(\sqrt{49}=7\) and \(\sqrt{121}=11\). Therefore, \(x=7+11=18\), so option C is correct. Choosing 17 would be incorrect because the sum of the two square roots is 18. Exam tip: evaluate square roots of perfect squares separately before adding or subtracting them.
धनात्मक संख्याओं के लिए \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{48}\times\sqrt{3}=\sqrt{48\times3}=\sqrt{144}=12\)। अतः सही उत्तर 12 है। 13 निकट का विकल्प है, लेकिन \(13^2=169\), 144 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों का गुणन करते समय पहले मूल के भीतर की संख्याओं का गुणन करके पूर्ण वर्ग पहचानें। / For positive numbers, \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\). Hence, \(\sqrt{48}\times\sqrt{3}=\sqrt{48\times3}=\sqrt{144}=12\). Therefore, the correct answer is 12. Although 13 is close, \(13^2=169\), not 144. Exam tip: When multiplying square roots, multiply the numbers inside the roots first and then identify a perfect square.
\(500=100\times 5\) और \(100\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{500}=\sqrt{100\times5}=\sqrt{100}\sqrt{5}=10\sqrt{5}\)। विकल्प \(5\sqrt{10}\) का वर्ग \(250\) होता है, इसलिए वह \(\sqrt{500}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(500=100\times 5\), and \(100\) is a perfect square, \(\sqrt{500}=\sqrt{100\times5}=\sqrt{100}\sqrt{5}=10\sqrt{5}\). The option \(5\sqrt{10}\) is not equal to \(\sqrt{500}\), as its square is \(250\). Exam tip: To simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{196}=14\) और \(\sqrt{100}=10\), क्योंकि \(14^2=196\) तथा \(10^2=100\)। इसलिए \(x=14-10=4\)। विकल्प 5 तब मिलता यदि घटाव या किसी वर्गमूल का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले प्रत्येक पूर्ण वर्ग का वर्गमूल अलग-अलग निकालें, फिर संक्रिया करें। / \(\sqrt{196}=14\) and \(\sqrt{100}=10\), since \(14^2=196\) and \(10^2=100\). Therefore, \(x=14-10=4\). Option 5 can result from an incorrect subtraction or an incorrect square-root value. Exam tip: evaluate each perfect-square root separately before performing the operation.
क्योंकि \(3^2=9<11\) और \(4^2=16>13\), इसलिए \(\sqrt{11}\) और \(\sqrt{13}\) दोनों 3 तथा 4 के बीच हैं। अधिक सटीक रूप से, \(\sqrt{11}\approx 3.32\) और \(\sqrt{13}\approx 3.61\) हैं; अतः 3.5 इनके बीच है। 3, \(\sqrt{11}\) से छोटा है, जबकि 4 और 4.5, \(\sqrt{13}\) से बड़े हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों की तुलना के लिए निकटतम पूर्ण वर्गों का उपयोग करें। / Since \(3^2=9<11\) and \(4^2=16>13\), both \(\sqrt{11}\) and \(\sqrt{13}\) lie between 3 and 4. More precisely, \(\sqrt{11}\approx 3.32\) and \(\sqrt{13}\approx 3.61\), so 3.5 lies between them. The number 3 is less than \(\sqrt{11}\), while 4 and 4.5 are greater than \(\sqrt{13}\). Exam tip: use nearby perfect squares to compare square roots quickly.
\(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) होता है। अतः \(a+b=3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}\) होगा, इसलिए सही विकल्प C है। \(3\sqrt{2}\) केवल \(a\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को जोड़ने से पहले उन्हें समान मूलांक वाले सरल रूप में लिखें। / \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\). Therefore, \(a+b=3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}\), so option C is correct. \(3\sqrt{2}\) is only the value of \(a\), not the sum. Exam tip: simplify surds to the same radicand before adding them.
\(363=33\times11=3^2\times11\times11\) नहीं। सही रूप \(363=121\times3\) नहीं है; \(363=3\times121\), इसलिए \(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\)। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / \(363=3\times121\), so \(\sqrt{363}=11\sqrt{3}\). Check factorization carefully in exams.
\(\sqrt{225}=15\), \(\sqrt{25}=5\) और \(\sqrt{64}=8\) हैं। अतः \(x=15+5-8=12\)। इसलिए सही विकल्प 12 है। 13 तब मिलता यदि घटाने के स्थान पर गलती से 8 जोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: वर्गमूल का मान निकालने के बाद जोड़-घटाव को क्रम से करें। / \(\sqrt{225}=15\), \(\sqrt{25}=5\), and \(\sqrt{64}=8\). Therefore, \(x=15+5-8=12\), so 12 is the correct option. A value such as 13 can result from an error in handling the subtraction. Exam tip: evaluate each square root first, then perform addition and subtraction carefully.
\(192=64\times3\)। \(\sqrt{64}=8\), इसलिए \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\)। पूर्ण वर्ग पहले पहचानें। / \(192=64\times3\). Since \(\sqrt{64}=8\), \(\sqrt{192}=8\sqrt{3}\). Identify the perfect square first.
