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यहाँ \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) है। अतः \(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+3+2\sqrt{2}\sqrt{3}=5+2\sqrt{6}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में मध्य पद \(2ab\) का गुणांक 2 छूट गया है। परीक्षा टिप: दो करणी पदों के वर्ग में \(a^2+b^2+2ab\) का मध्य पद अवश्य लिखें। / Here, \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\). Therefore, \(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+3+2\sqrt{2}\sqrt{3}=5+2\sqrt{6}\). Hence, option A is correct. In option B, the coefficient 2 in the middle term \(2ab\) has been omitted. Exam tip: When squaring two surds, always include the middle term \(2ab\).
\(72=36\times2\) और \(36\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\)। अतः सही विकल्प \(6\sqrt{2}\) है। \(3\sqrt{2}\) लेने पर उसका वर्ग \(18\) होगा, \(72\) नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(72=36\times2\), and \(36\) is a perfect square, \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\). Therefore, \(6\sqrt{2}\) is correct. For example, \(3\sqrt{2}\) squares to \(18\), not \(72\). Exam tip: to simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
दिया है कि \(a=\sqrt{5}-2\)। अतः \(a+2=\sqrt{5}\) होगा। इसलिए \((a+2)^2=(\sqrt{5})^2=5\)। विकल्प 10 तब मिलता यदि \(\sqrt{5}\) का वर्ग गलत तरीके से 10 माना जाए। परीक्षा टिप: वर्गमूल का वर्ग लेते समय \((\sqrt{x})^2=x\) का नियम लगाएँ। / Given \(a=\sqrt{5}-2\), adding 2 gives \(a+2=\sqrt{5}\). Therefore, \((a+2)^2=(\sqrt{5})^2=5\). Option 10 would result from incorrectly evaluating the square of \(\sqrt{5}\). Exam tip: use the identity \((\sqrt{x})^2=x\).
\(18=9\times2\) होने से \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) तथा \(50=25\times2\) होने से \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) होता है। अतः \(\sqrt{18}+\sqrt{50}=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}\)। विकल्प \(7\sqrt{2}\) तब मिलता यदि गुणांकों का योग गलत किया जाता। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानकर उसे बाहर निकालें, फिर समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / Since \(18=9\times2\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\); and since \(50=25\times2\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{18}+\sqrt{50}=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}\). The option \(7\sqrt{2}\) would result from adding the coefficients incorrectly. Exam tip: first take out perfect-square factors from surds, then combine like surds.
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\)। अतः \(a+b=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\) होगा। \(2\sqrt{3}\) केवल \(b\) का सरल रूप है, योग नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को जोड़ने से पहले उन्हें समान सरल मूल रूप में लिखें। / \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\). Therefore, \(a+b=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\). \(2\sqrt{3}\) is only the simplified value of \(b\), not the sum. Exam tip: simplify surds to like radicals before adding them.
दिया है \(\sqrt{x}=9\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(x=9^2=81\) मिलता है, इसलिए सही विकल्प 81 है। 9 केवल \(\sqrt{x}\) का मान है, \(x\) का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले समीकरण में वर्ग करने के बाद मूल मान को जाँच लें। / Given \(\sqrt{x}=9\), squaring both sides gives \(x=9^2=81\). Hence, 81 is correct. The number 9 is the value of \(\sqrt{x}\), not of \(x\). Exam tip: After squaring a square-root equation, check the value in the original equation.
\(98=49\times2\) और \(8=4\times2\) हैं। इसलिए \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। अतः \(\sqrt{98}-\sqrt{8}=7\sqrt{2}-2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\), इसलिए विकल्प C सही है। \(4\sqrt{2}\) तब मिलता यदि गुणांकों का अंतर 4 होता। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर से पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर समान मूल पदों को घटाइए। / Since \(98=49\times2\) and \(8=4\times2\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{98}-\sqrt{8}=7\sqrt{2}-2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\), so option C is correct. \(4\sqrt{2}\) would result only if the coefficients differed by 4. Exam tip: first take perfect-square factors out of each surd, then subtract like surd terms.
दिया है \(x=\sqrt{2}-1\)। अतः \(x(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)\)। यह \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) के रूप में है, इसलिए मान \((\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1\) होगा। विकल्प 2 तब मिलता यदि \(1^2\) घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों में संयुग्म पदों को पहचानकर वर्गों के अंतर का सूत्र लगाएँ। / Given \(x=\sqrt{2}-1\), we get \(x(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)\). This matches \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), so its value is \((\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1\). Option 2 would result from forgetting to subtract \(1^2\). Exam tip: identify conjugate factors and use the difference-of-squares identity.
\(45=9\times5\) और \(80=16\times5\) हैं। इसलिए \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) तथा \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)। अतः \(\sqrt{45}+\sqrt{80}=3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}\)। \(9\sqrt{5}\) जैसी राशि तब मिल सकती है जब वर्गमूलों को गलत तरीके से सरल किया जाए। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड, जैसे \(9\) या \(16\), पहले अलग करें। / Since \(45=9\times5\) and \(80=16\times5\), \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{45}+\sqrt{80}=3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}\). A result such as \(9\sqrt{5}\) can arise from simplifying the square roots incorrectly. Exam tip: first factor out perfect squares, such as \(9\) or \(16\), from under each radical.
\(\sqrt{2}\approx 1.414\), \(\frac{3}{2}=1.5\) और \(\sqrt{3}\approx 1.732\) हैं। ये तीनों संख्याएँ 1 से बड़ी हैं, इसलिए सबसे छोटी संख्या 1 है। \(\sqrt{2}\) निकटतम भ्रामक विकल्प हो सकता है, पर उसका मान भी 1 से अधिक है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाली संख्याओं की तुलना के लिए उनके लगभग दशमलव मान लिखें। / \(\sqrt{2}\approx 1.414\), \(\frac{3}{2}=1.5\), and \(\sqrt{3}\approx 1.732\). All three are greater than 1, so 1 is the smallest number. \(\sqrt{2}\) may seem like the closest distractor, but it is still greater than 1. Exam tip: use approximate decimal values to compare square roots quickly.
दिया है कि \(a=\sqrt{8}\)। अतः \(a^2=(\sqrt{8})^2=8\), क्योंकि किसी धनात्मक संख्या के मुख्य वर्गमूल का वर्ग वही संख्या होता है। विकल्प 4, \(\sqrt{8}\) का वर्ग नहीं है; 4 वास्तव में \(\sqrt{16}\) का मान है। परीक्षा टिप: \((\sqrt{x})^2=x\) का प्रयोग करते समय मूलांक \(x\) को सीधे लिखें। / Given \(a=\sqrt{8}\), we get \(a^2=(\sqrt{8})^2=8\). Squaring the principal square root of a positive number gives back the number itself. Option 4 is not the square of \(\sqrt{8}\); it is the value of \(\sqrt{16}\). Exam tip: use \((\sqrt{x})^2=x\) and write the radicand directly.
\(200=100\times2\) और \(100\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{200}=\sqrt{100}\times\sqrt{2}=10\sqrt{2}\)। विकल्प \(5\sqrt{2}\) का वर्ग \(50\) होता है, इसलिए वह \(\sqrt{200}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(200=100\times2\) and \(100\) is a perfect square, \(\sqrt{200}=\sqrt{100}\times\sqrt{2}=10\sqrt{2}\). The option \(5\sqrt{2}\) squares to \(50\), so it is not equal to \(\sqrt{200}\). Exam tip: To simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
यहाँ दोनों पद समान करणी हैं: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{5}\)। इसलिए उनके गुणांक जोड़े जाते हैं: \(1\sqrt{5}+1\sqrt{5}=2\sqrt{5}\)। अतः सही उत्तर \(2\sqrt{5}\) है। \(\sqrt{10}\) गलत है, क्योंकि \(\sqrt{5}+\sqrt{5}\) को \(\sqrt{5+5}\) नहीं लिखा जा सकता। परीक्षा टिप: केवल समान करणी वाले पदों के गुणांक जोड़े या घटाए जाते हैं। / Both terms are like surds: \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{5}\). Hence, add their coefficients: \(1\sqrt{5}+1\sqrt{5}=2\sqrt{5}\). Therefore, the correct answer is \(2\sqrt{5}\). \(\sqrt{10}\) is incorrect because \(\sqrt{5}+\sqrt{5}\) cannot be written as \(\sqrt{5+5}\). Exam tip: add or subtract only the coefficients of like surds.
धनात्मक संख्याओं के लिए \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। अतः \(\sqrt{27}\times\sqrt{3}=\sqrt{81}=9\)। \(27\) मूल के भीतर का गुणनफल है, उसका वर्गमूल नहीं। परीक्षा टिप: पहले मूलों को एक ही वर्गमूल में लिखकर पूर्ण वर्ग पहचानें। / For positive numbers, \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\). Therefore, \(\sqrt{27}\times\sqrt{3}=\sqrt{81}=9\). The number \(27\) is not the square root of \(81\). Exam tip: Combine the radicals first and then look for a perfect square.
\(b=\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt{6}\) और \(a=\sqrt{6}\) है। अतः \(b-a=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}\)। \(2\sqrt{6}\) केवल \(b\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को घटाने से पहले उन्हें समान मूलांक वाले सरल रूप में लिखें। / \(b=\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt{6}\), while \(a=\sqrt{6}\). Therefore, \(b-a=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}\). \(2\sqrt{6}\) is the value of \(b\), not the difference. Exam tip: simplify surds to the same radicand before subtracting them.
B. परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं/Rational numbers and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं का समुच्चय परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के संघ से बनता है: \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}\)। परिमेय संख्याएँ \(p/q\) के रूप में लिखी जा सकती हैं, जबकि अपरिमेय संख्याएँ ऐसी भिन्न के रूप में नहीं लिखी जा सकतीं। पूर्णांक, प्राकृतिक और पूर्ण संख्याएँ सभी परिमेय संख्याओं के ही उपसमुच्चय हैं, इसलिए वे अकेले वास्तविक संख्याओं का पूरा समुच्चय नहीं बनाते। परीक्षा टिप: \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) जैसे अपरिमेय उदाहरणों को याद रखें। / The set of real numbers is the union of rational and irrational numbers: \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}\). Rational numbers can be written in the form \(p/q\), whereas irrational numbers cannot be written in this form. Integers, natural numbers, and whole numbers are all subsets of rational numbers, so they do not alone cover all real numbers. Exam tip: remember irrational examples such as \(\sqrt{2}\) and \(\pi\).
धनात्मक संख्याओं के लिए \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{12}\times\sqrt{75}=\sqrt{12\times75}=\sqrt{900}=30\)। विकल्प 15 इसलिए गलत है क्योंकि \(\sqrt{900}\) का मान 30 होता है, 15 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों का गुणन करने से पहले संख्याओं को एक ही वर्गमूल के भीतर लिखकर पूर्ण वर्ग पहचानें। / For positive numbers, \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\). Hence, \(\sqrt{12}\times\sqrt{75}=\sqrt{12\times75}=\sqrt{900}=30\). Option 15 is incorrect because \(\sqrt{900}=30\), not 15. Exam tip: Combine surds under one square root and look for a perfect square.
दिया है \(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)। अतः \(x^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=3+2+2\sqrt{3}\sqrt{2}=5+2\sqrt{6}\)। इसलिए \(x^2-5=2\sqrt{6}\)। \(\sqrt{6}\) विकल्प में 2 का गुणनफल छूट गया है। परीक्षा टिप: \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\) में मध्य पद \(2ab\) अवश्य लिखें। / Given \(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\), \(x^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=3+2+2\sqrt{3}\sqrt{2}=5+2\sqrt{6}\). Therefore, \(x^2-5=2\sqrt{6}\). The option \(\sqrt{6}\) misses the factor 2 in the middle term. Exam tip: while using \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\), do not omit \(2ab\).
विकल्प A में फलन का मान \((-\tfrac{7}{5})/(-\tfrac{7}{5})=1\) है। 1 एक पूर्णांक है और किसी पूर्णांक को शून्य के अलावा किसी पूर्णांक से भाग करने पर मिलने वाला अनुपात परिमेय होता है (\(\frac{p}{q}\), \(q\neq0\)). विकल्प B में \(\sqrt{21}\) परिपूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। विकल्प C में अपरिमेय \(\sqrt{31}\) को 5 से भाग करने पर भी परिणाम अपरिमेय रहता है (अपरिमेय÷गैर-शून्य परिमेय = अपरिमेय)। विकल्प D में \(\pi\) अपरिमेय है, इसलिए \(\pi+1\) और फिर उसका आधा भी अपरिमेय रहेगा। परीक्षा युक्ति: पहले सरल करें — यदि कोई विकल्प स्पष्ट रूप से 1 या किसी पूर्णांक/भिन्न के रूप में आता है तो उसे परिमेय मानें; अपरिमेयता पहचानने के लिए परिपूर्ण वर्ग और ज्ञात अपरिमेय स्थिरांक (जैसे \(\pi\)) देखें। / Option A simplifies to \((-7/5)/(-7/5)=1\). The number 1 is an integer and can be written as a ratio of integers (\(p/q\), \(q\neq0\)), so it is rational. Option B, \(\sqrt{21}\), is not a perfect square and therefore irrational. Option C is \(\sqrt{31}/5\); dividing a nonzero irrational by a nonzero rational gives an irrational number, so C is irrational. Option D contains \(\pi\), which is irrational, so \((\pi+1)/2\) remains irrational. Exam tip: simplify expressions first — identical nonzero numerator and denominator give 1 (rational); check for perfect squares and known irrational constants to identify irrational options quickly.
क्योंकि \(147=49\times 3=7^2\times 3\), इसलिए \(\sqrt{147}=\sqrt{7^2\times3}=7\sqrt{3}\)। विकल्प \(3\sqrt{7}\) के लिए वर्गमूल के भीतर \(9\times7=63\) होना चाहिए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(147=49\times 3=7^2\times 3\), \(\sqrt{147}=\sqrt{7^2\times3}=7\sqrt{3}\). The option \(3\sqrt{7}\) would correspond to \(\sqrt{9\times7}=\sqrt{63}\), so it is not correct. Exam tip: identify the greatest perfect-square factor before simplifying a surd.
दिया है कि \(\sqrt{x}=12\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(x=12^2=144\) मिलता है। अतः \(x-44=144-44=100\)। विकल्प 144, \(x\) का मान है, जबकि प्रश्न में \(x-44\) पूछा गया है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले समीकरण में पहले वर्ग करके चर का मान ज्ञात करें, फिर मांगी गई व्यंजक का मान निकालें। / Given \(\sqrt{x}=12\), squaring both sides gives \(x=12^2=144\). Therefore, \(x-44=144-44=100\). The value 144 is the value of \(x\), not of the required expression \(x-44\). Exam tip: First square a square-root equation to find the variable, then substitute it into the expression asked.
अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिनके दशमलव विस्तार अनंत व गैर-आवर्ती होते हैं। किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है (उदा. \(\sqrt{4}=2\)) जबकि गैर-पूर्ण-वर्ग का वर्गमूल अपरिमेय होता है। विकल्प A में \(\sqrt{6},\ \sqrt{10},\ \sqrt{15}\) किसी भी पूर्ण वर्ग के मूल नहीं हैं, इसलिए सभी अपरिमेय हैं। निकट भ्रमित करने वाला विकल्प B गलत है क्योंकि \(\sqrt{4}=2\) परिमेय है। विकल्प C में \(\tfrac{1}{2}\) परिमेय है और विकल्प D में \(0\) परिमेय है। परीक्षा युक्ति: किसी भी वर्गमूल को देखते समय पहले जाँचें कि संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं — यदि है तो वह परिमेय होगी। / Irrational numbers have non-terminating, non-repeating decimal expansions. The square root of a perfect square is rational (for example \(\sqrt{4}=2\)), while the square root of a non-perfect square is irrational. In option A, \(\sqrt{6},\ \sqrt{10},\ \sqrt{15}\) are not square roots of perfect squares, so all three are irrational. The closest distractor B is wrong because \(\sqrt{4}=2\) is rational. Options C and D are also incorrect since \(\tfrac{1}{2}\) and \(0\) are rational. Exam tip: when checking square roots, first test if the radicand is a perfect square — if it is, the root is rational.
\(32=16\times2\) होने से \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\)। इसी प्रकार \(8=4\times2\), इसलिए \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। अतः \(4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\), इसलिए विकल्प B सही है। \(4\sqrt{2}\) केवल \(\sqrt{32}\) का मान है, योग का नहीं। परीक्षा टिप: करणी वाले पदों को जोड़ने से पहले उन्हें समान करणी, जैसे \(\sqrt{2}\), के रूप में सरल करें। / Since \(32=16\times2\), \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\). Similarly, \(8=4\times2\), so \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\), making option B correct. \(4\sqrt{2}\) is only the value of \(\sqrt{32}\), not their sum. Exam tip: simplify surds into like radical terms, such as \(\sqrt{2}\), before adding them.
दिया है \(a=\sqrt{10}\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(a^2=(\sqrt{10})^2=10\) मिलता है। अतः \(\frac{a^2}{2}=\frac{10}{2}=5\)। विकल्प \(10\) केवल \(a^2\) का मान है; उसे 2 से भाग देना अभी शेष है। परीक्षा में वर्गमूल का वर्ग लेते समय \((\sqrt{x})^2=x\) का नियम याद रखें। / Given \(a=\sqrt{10}\), squaring gives \(a^2=(\sqrt{10})^2=10\). Therefore, \(\frac{a^2}{2}=\frac{10}{2}=5\). The value \(10\) is only \(a^2\); it still needs to be divided by 2. Exam tip: remember that \((\sqrt{x})^2=x\).
\(108=36\times3\) और \(36\) एक पूर्ण वर्ग है। अतः \(\sqrt{108}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{36}\sqrt{3}=6\sqrt{3}\)। विकल्प \(3\sqrt{6}\) सही नहीं है, क्योंकि उसका वर्ग \(54\) होता है, \(108\) नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(108=36\times3\), and \(36\) is a perfect square, \(\sqrt{108}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{36}\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). The option \(3\sqrt{6}\) is not correct because its square is \(54\), not \(108\). Exam tip: To simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
दिया है \(x=\sqrt{2}\)। अतः \(3x-x=(3-1)x=2x=2\sqrt{2}\)। विकल्प \(\sqrt{2}\) केवल \(x\) का मान है, जबकि यहाँ \(2x\) निकालना है। परीक्षा टिप: समान चर वाले पदों में केवल उनके गुणांकों को जोड़ें या घटाएँ। / Given \(x=\sqrt{2}\), \(3x-x=(3-1)x=2x=2\sqrt{2}\). The option \(\sqrt{2}\) is only the value of \(x\), whereas the expression asks for \(2x\). Exam tip: when adding or subtracting like terms, add or subtract only their coefficients.
\(63=9\times7\) और \(28=4\times7\) हैं। इसलिए \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\) तथा \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\)। अतः \(\sqrt{63}-\sqrt{28}=3\sqrt{7}-2\sqrt{7}=\sqrt{7}\)। \(2\sqrt{7}\) केवल \(\sqrt{28}\) का सरलीकृत रूप है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को घटाने से पहले उन्हें समान वर्गमूल वाले पदों में सरल करें। / Since \(63=9\times7\) and \(28=4\times7\), \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\) and \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\). Therefore, \(\sqrt{63}-\sqrt{28}=3\sqrt{7}-2\sqrt{7}=\sqrt{7}\). \(2\sqrt{7}\) is only the simplified form of \(\sqrt{28}\), not the difference. Exam tip: simplify surds into like terms before subtracting them.
दिया है \(x=\sqrt{15}\)। अतः \(x^2=(\sqrt{15})^2=15\)। इसलिए \(x^2+10=15+10=25\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 20 तब मिलता यदि 10 जोड़ने के बजाय 5 जोड़ा जाता। परीक्षा टिप: वर्गमूल का वर्ग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। / Given \(x=\sqrt{15}\), we get \(x^2=(\sqrt{15})^2=15\). Therefore, \(x^2+10=15+10=25\), so option C is correct. Option 20 would result from adding 5 instead of 10. Exam tip: squaring a square root gives the original non-negative number.
\(\sqrt{49}=7\) है, और 7 एक वास्तविक संख्या है; इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A, B और D में ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल हैं, जो वास्तविक संख्या पद्धति में परिभाषित नहीं होते। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वास्तविक वर्गमूल तभी होता है जब उसके वर्गमूल के भीतर की संख्या शून्य या धनात्मक हो। / \(\sqrt{49}=7\), and 7 is a real number, so option C is correct. Options A, B, and D contain square roots of negative numbers, which are not defined in the real number system. Exam tip: A square root is real only when the number inside the radical is zero or positive.
\(300=100\times3=10^2\times3\) है। अतः \(\sqrt{300}=\sqrt{10^2\times3}=10\sqrt{3}\)। \(5\sqrt{3}\) में वर्ग करने पर \(75\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(300=100\times3=10^2\times3\), \(\sqrt{300}=\sqrt{10^2\times3}=10\sqrt{3}\). The close distractor \(5\sqrt{3}\) squares to \(75\), not \(300\). Exam tip: to simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। अतः \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), इसलिए सही विकल्प B है। \(2\sqrt{2}\) केवल \(\sqrt{8}\) का सरल रूप है, इसमें \(\sqrt{2}\) को जोड़ना बाकी है। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजकर करणी को सरल करें। / \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(a=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\), so option B is correct. \(2\sqrt{2}\) is only the simplified form of \(\sqrt{8}\); the remaining \(\sqrt{2}\) must still be added. Exam tip: simplify surds by identifying perfect-square factors inside the radical.
परिमेय संख्या वे हैं जिन्हें भिन्न, पूर्णांक, समाप्त होने वाला दशमलव या आवर्ती दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। विकल्प A में \(0.125\) एक समाप्त दशमलव है (\(\tfrac{1}{8}\)), \(-4\) एक पूर्णांक है और \(\sqrt{169}=13\) एक पूर्णांक है; इसलिए सभी परिमेय हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प D में \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए D गलत है। परीक्षा-सुझाव: किसी वर्गमूल को देख कर जाँचें कि वह पूर्ण वर्ग का मूल है या नहीं — यदि नहीं तो वह अपरिमेय होता है। / Rational numbers can be written as fractions, integers, terminating decimals or repeating decimals. In option A, \(0.125\) is a terminating decimal (\(\tfrac{1}{8}\)), \(-4\) is an integer, and \(\sqrt{169}=13\) is an integer — so all are rational. A common distractor is D: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) is irrational, so D is not all rational. Exam tip: check whether a square root is of a perfect square and whether decimals terminate or repeat to decide rationality quickly.
\(175=25\times7=5^2\times7\)। अतः \(\sqrt{175}=\sqrt{5^2\times7}=5\sqrt{7}\)। \(7\sqrt{5}\) सही नहीं है, क्योंकि उसका वर्ग \(245\) होता है, \(175\) नहीं। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करते समय संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानें। / \(175=25\times7=5^2\times7\). Therefore, \(\sqrt{175}=\sqrt{5^2\times7}=5\sqrt{7}\). \(7\sqrt{5}\) is not correct because its square is \(245\), not \(175\). In exams, identify the greatest perfect-square factor before simplifying a surd.
दिया है कि \(\sqrt{x}=15\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(x=15^2=225\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 225 है। 30, 15 का दोगुना है, लेकिन वर्गमूल हटाने के लिए दोगुना नहीं बल्कि दोनों पक्षों का वर्ग किया जाता है। परीक्षा टिप: \(\sqrt{x}=a\) होने पर सीधे \(x=a^2\) लिखें। / Given \(\sqrt{x}=15\), square both sides to get \(x=15^2=225\). Therefore, 225 is correct. The value 30 is obtained by doubling 15, but removing a square root requires squaring both sides, not doubling. Exam tip: if \(\sqrt{x}=a\), write \(x=a^2\).
\(242=121\times 2=11^2\times 2\) है। अतः \(\sqrt{242}=\sqrt{11^2\times 2}=11\sqrt{2}\)। इसलिए सही विकल्प \(11\sqrt{2}\) है। \(22\sqrt{2}\) लेने पर उसका वर्ग \(968\) होगा, जो \(242\) नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखण्ड खोजें। / Since \(242=121\times 2=11^2\times 2\), \(\sqrt{242}=\sqrt{11^2\times 2}=11\sqrt{2}\). Hence, \(11\sqrt{2}\) is correct. Squaring \(22\sqrt{2}\) gives \(968\), not \(242\). Exam tip: To simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{100}=10\) है, और 10 एक वास्तविक संख्या है। किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्याओं में परिभाषित नहीं होता; इसलिए \(\sqrt{-36}\), \(\sqrt{-49}\) और \(\sqrt{-64}\) वास्तविक संख्याएँ नहीं हैं। परीक्षा टिप: वास्तविक वर्गमूल के लिए मूल के भीतर की संख्या शून्य या धनात्मक होनी चाहिए। / \(\sqrt{100}=10\), and 10 is a real number. The square root of a negative number is not defined within the real number system; therefore, \(\sqrt{-36}\), \(\sqrt{-49}\), and \(\sqrt{-64}\) are not real numbers. Exam tip: for a square root to be real, the number inside the root must be zero or positive.
\(48=16\times3\), इसलिए \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\)। इसी प्रकार \(75=25\times3\), अतः \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)। इसलिए \(4\sqrt{3}+5\sqrt{3}=9\sqrt{3}\), इसलिए विकल्प B सही है। \(\sqrt{48}\) और \(\sqrt{75}\) को सीधे जोड़कर \(\sqrt{123}\) लिखना गलत है, क्योंकि वर्गमूलों के लिए ऐसा योग नियम लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: प्रत्येक संख्या में सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को पहचानकर वर्गमूल सरल करें। / Since \(48=16\times3\), \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\). Likewise, \(75=25\times3\), so \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\). Hence, \(4\sqrt{3}+5\sqrt{3}=9\sqrt{3}\), making option B correct. Writing \(\sqrt{48}+\sqrt{75}\) as \(\sqrt{123}\) is incorrect because square roots cannot be added in that way. Exam tip: factor each radicand using its greatest perfect-square factor before simplifying.
यहाँ \(x=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) है। अतः \(x^2=(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2=7+5+2\sqrt{7}\sqrt{5}=12+2\sqrt{35}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में द्विपद के वर्ग का \(2ab\) पद अधूरा लिया गया है। परीक्षा टिप: वर्ग करते समय बीच वाला पद हमेशा \(2ab\) लिखें। / Here, \(x=\sqrt{7}+\sqrt{5}\). Therefore, \(x^2=(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2=7+5+2\sqrt{7}\sqrt{5}=12+2\sqrt{35}\). Hence, option A is correct. In option B, the middle term \(2ab\) has been taken incompletely. Exam tip: while squaring a binomial, always include the middle term \(2ab\).
वर्गमूलों के भाग के नियम से \(\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{180}{5}}=\sqrt{36}=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 है। 5 से भाग देने पर 180 का मान 36 बनता है, 25 नहीं; अतः 5 वाला विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) का प्रयोग केवल धनात्मक \(b\) के लिए करें। / Using the quotient rule for square roots, \(\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{180}{5}}=\sqrt{36}=6\). Therefore, 6 is correct. Dividing 180 by 5 gives 36, not 25, so option 5 is not correct. Exam tip: use \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) when \(b\) is positive.
\(18=9\times2\) और \(8=4\times2\) लिखने पर \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) मिलता है। इसलिए \(a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\)। \(2\sqrt{2}\) एक निकट का विकल्प हो सकता है, लेकिन वह केवल \(\sqrt{8}\) का सरल रूप है, दोनों मूलों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर समान मूल वाले पदों को घटाइए। / Write \(18=9\times2\) and \(8=4\times2\). Then \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Hence, \(a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\). \(2\sqrt{2}\) is a close distractor because it is only the simplified form of \(\sqrt{8}\), not the difference of the two surds. Exam tip: first extract perfect-square factors from radicals, then combine like surds.
