A. \(m^2\) (2) से विभाज्य है और (2) अभाज्य है/\(m^2\) is divisible by (2) and (2) is prime
Step 1
Concept
From \(m^2=2n^2\), \(m^2\) is even. If a square is even, the number is also even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(m^2\) (2) से विभाज्य है और (2) अभाज्य है / \(m^2\) is divisible by (2) and (2) is prime. From \(m^2=2n^2\), \(m^2\) is even. If a square is even, the number is also even.
Step 3
Exam Tip
\(m^2=2n^2\) से \(m^2\) सम है। वर्ग सम हो तो संख्या भी सम होती है।
B. \(a^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (a) (3) से विभाज्य है/\(a^2\) is divisible by (3), so (a) is divisible by (3)
Step 1
Concept
(3) is prime. If (3) divides a square, it also divides the original number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(a^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (a) (3) से विभाज्य है / \(a^2\) is divisible by (3), so (a) is divisible by (3). (3) is prime. If (3) divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
(3) अभाज्य है। यदि (3) किसी वर्ग को विभाजित करे तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करता है।
A. (\gcd(m,n)=1) और (\gcd(m,n)\ge2) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(m,n)=1) and (\gcd(m,n)\ge2) cannot both hold
Step 1
Concept
Coprime means the highest common factor is (1). Both even means it is at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(m,n)=1) और (\gcd(m,n)\ge2) साथ नहीं हो सकते / (\gcd(m,n)=1) and (\gcd(m,n)\ge2) cannot both hold. Coprime means the highest common factor is (1). Both even means it is at least (2).
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों सम होने से वह कम से कम (2) होगा।
B. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge3) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge3) cannot both hold
Step 1
Concept
If both have common factor (3), they cannot remain coprime. This makes the rational assumption false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge3) साथ नहीं हो सकते / (\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge3) cannot both hold. If both have common factor (3), they cannot remain coprime. This makes the rational assumption false.
Step 3
Exam Tip
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) होने से वे सहभाज्य नहीं रह सकते। यही परिमेय मान्यता को गलत करता है।
D. \(m^2=2n^2\) से सीधे (m=2n)/From \(m^2=2n^2\), directly (m=2n)
Step 1
Concept
The square relation does not directly give (m=2n). The correct conclusion first is only that (m) is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(m^2=2n^2\) से सीधे (m=2n) / From \(m^2=2n^2\), directly (m=2n). The square relation does not directly give (m=2n). The correct conclusion first is only that (m) is even.
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे (m=2n) नहीं मिलता। सही निष्कर्ष पहले केवल (m) का सम होना है।
D. \(a^2=3b^2\) से सीधे (a=3b)/From \(a^2=3b^2\), directly (a=3b)
Step 1
Concept
From \(a^2=3b^2\), (a=3b) cannot be directly concluded. First (a) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(a^2=3b^2\) से सीधे (a=3b) / From \(a^2=3b^2\), directly (a=3b). From \(a^2=3b^2\), (a=3b) cannot be directly concluded. First (a) is proved divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(a^2=3b^2\) से सीधे (a=3b) नहीं निकाला जा सकता। पहले (a) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है।
A. \(m^2\) विषम होना चाहिए पर \(2n^2\) सम है/\(m^2\) should be odd but \(2n^2\) is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. But the equation shows \(m^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(m^2\) विषम होना चाहिए पर \(2n^2\) सम है / \(m^2\) should be odd but \(2n^2\) is even. The square of an odd number is odd. But the equation shows \(m^2\) is even.
Step 3
Exam Tip
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। पर समीकरण \(m^2\) को सम दिखाता है।
A. \(a^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बताता है/\(a^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Step 1
Concept
If (a) has no factor (3), then \(a^2\) also has none. But \(a^2=3b^2\) makes \(a^2\) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बताता है / \(a^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible. If (a) has no factor (3), then \(a^2\) also has none. But \(a^2=3b^2\) makes \(a^2\) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यदि (a) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(a^2\) में भी नहीं होगा। लेकिन \(a^2=3b^2\) \(a^2\) को (3) से विभाज्य बनाता है।
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(m^2=2n^2\) \(\rightarrow\) (m) सम \(\rightarrow\) (n) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(m^2=2n^2\) \(\rightarrow\) (m) even \(\rightarrow\) (n) even \(\rightarrow\) contradiction
Step 1
Concept
This is the correct stepwise structure of the proof. Finally both even conflicts with coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(m^2=2n^2\) \(\rightarrow\) (m) सम \(\rightarrow\) (n) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास / Assume rational \(\rightarrow\) \(m^2=2n^2\) \(\rightarrow\) (m) even \(\rightarrow\) (n) even \(\rightarrow\) contradiction. This is the correct stepwise structure of the proof. Finally both even conflicts with coprime condition.
Step 3
Exam Tip
यही प्रमाण की सही क्रमिक रचना है। अंत में दोनों सम मिलना सहभाज्य शर्त से टकराता है।
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=3b^2\) \(\rightarrow\) (a) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (b) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=3b^2\) \(\rightarrow\) (a) divisible by (3) \(\rightarrow\) (b) divisible by (3) \(\rightarrow\)
Step 1
Concept
The proof of \(\sqrt{3}\) follows a chain of divisibility by (3). Finally the coprime assumption breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=3b^2\) \(\rightarrow\) (a) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (b) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास / Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=3b^2\) \(\rightarrow\) (a) divisible by (3) \(\rightarrow\) (b) divisible by (3) \(\rightarrow\). The proof of \(\sqrt{3}\) follows a chain of divisibility by (3). Finally the coprime assumption breaks.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला चलती है। अंत में सहभाज्य मान्यता टूटती है।
A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं रहेगा/The contradiction will not be clear when both become even
Step 1
Concept
The lowest-form condition states coprimality. Without it, both even will not form a decisive contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं रहेगा / The contradiction will not be clear when both become even. The lowest-form condition states coprimality. Without it, both even will not form a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप की शर्त ही सहभाज्य होना बताती है। बिना इसके दोनों सम होना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा।
A. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास कमजोर हो जाता है/The contradiction becomes weak when both are found divisible by (3)
Step 1
Concept
Without the coprime condition, common factor (3) cannot clearly show the final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास कमजोर हो जाता है / The contradiction becomes weak when both are found divisible by (3). Without the coprime condition, common factor (3) cannot clearly show the final contradiction.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य शर्त के बिना सामान्य गुणनखंड (3) मिलना अंतिम विरोधाभास नहीं दिखा पाएगा।
A. (m) और (n) दोनों सम हैं/Both (m) and (n) are even
Step 1
Concept
(m=2k) gives (m) even and \(n^2=2k^2\) gives (n) even. This creates the final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m) और (n) दोनों सम हैं / Both (m) and (n) are even. (m=2k) gives (m) even and \(n^2=2k^2\) gives (n) even. This creates the final contradiction.
Step 3
Exam Tip
(m=2k) से (m) सम है और \(n^2=2k^2\) से (n) सम है। यह अंतिम विरोधाभास बनाता है।
B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (a) and (b) are divisible by (3)
Step 1
Concept
(a=3r) shows (a) is divisible by (3) and \(b^2=3r^2\) shows (b) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (a) and (b) are divisible by (3). (a=3r) shows (a) is divisible by (3) and \(b^2=3r^2\) shows (b) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(a=3r) से (a) (3) से विभाज्य है और \(b^2=3r^2\) से (b) भी (3) से विभाज्य है।
A. यदि संख्या विषम हो तो उसका वर्ग विषम होगा, इसलिए वर्ग सम हो तो संख्या सम है/If a number is odd, its square is odd, so if the square is even, the number is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. Therefore if the square is even, the number cannot be odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि संख्या विषम हो तो उसका वर्ग विषम होगा, इसलिए वर्ग सम हो तो संख्या सम है / If a number is odd, its square is odd, so if the square is even, the number is even. The square of an odd number is odd. Therefore if the square is even, the number cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
विषम का वर्ग विषम होता है। इसलिए वर्ग सम होने पर संख्या विषम नहीं हो सकती।
A prime factor appears in a square only when it appears in the original number. This is the basis of divisibility.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3) अभाज्य है / (3) is prime. A prime factor appears in a square only when it appears in the original number. This is the basis of divisibility.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब मूल संख्या में आता है। यही विभाज्यता का आधार है।
A. पहले (m) सम सिद्ध करके (m=2k) रखना पड़ता है/First (m) must be proved even and (m=2k) must be used
Step 1
Concept
\(m^2=2n^2\) does not directly give (n) even. After putting (m=2k), \(n^2=2k^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले (m) सम सिद्ध करके (m=2k) रखना पड़ता है / First (m) must be proved even and (m=2k) must be used. \(m^2=2n^2\) does not directly give (n) even. After putting (m=2k), \(n^2=2k^2\) is obtained.
Step 3
Exam Tip
\(m^2=2n^2\) से सीधे (n) सम नहीं मिलता। (m=2k) रखने के बाद \(n^2=2k^2\) मिलता है।
A. पहले (a) (3) से विभाज्य सिद्ध करके (a=3r) रखना पड़ता है/First (a) must be proved divisible by (3) and (a=3r) must be used
Step 1
Concept
First (a) is proved divisible by (3) from \(a^2\). Then after putting (a=3r), the conclusion for (b) follows.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले (a) (3) से विभाज्य सिद्ध करके (a=3r) रखना पड़ता है / First (a) must be proved divisible by (3) and (a=3r) must be used. First (a) is proved divisible by (3) from \(a^2\). Then after putting (a=3r), the conclusion for (b) follows.
Step 3
Exam Tip
पहले \(a^2\) से (a) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (a=3r) रखकर (b) का निष्कर्ष आता है।
A. \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), जहाँ (\gcd(m,n)=1) और \(n\neq0\)/\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), where (\gcd(m,n)=1) and \(n\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written in lowest coprime fraction. This form creates the contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), जहाँ (\gcd(m,n)=1) और \(n\neq0\) / \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), where (\gcd(m,n)=1) and \(n\neq0\). A rational number is written in lowest coprime fraction. This form creates the contradiction.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या को सरलतम सहभाज्य भिन्न में लिखा जाता है। इसी रूप से विरोधाभास बनता है।
C. \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ (\gcd(a,b)=1) और \(b\neq0\)/\(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where (\gcd(a,b)=1) and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
The proof needs the lowest fraction. It is necessary to write (\gcd(a,b)=1) and \(b\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ (\gcd(a,b)=1) और \(b\neq0\) / \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where (\gcd(a,b)=1) and \(b\neq0\). The proof needs the lowest fraction. It is necessary to write (\gcd(a,b)=1) and \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में सरलतम भिन्न चाहिए। (\gcd(a,b)=1) और \(b\neq0\) लिखना आवश्यक है।
A. दोनों में परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य गुणनखंड से विरोधाभास आता है/Both use rational assumption, squaring, and contradiction through a prime factor
Step 1
Concept
Both proofs have the same structure. The only difference is the prime factors (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों में परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य गुणनखंड से विरोधाभास आता है / Both use rational assumption, squaring, and contradiction through a prime factor. Both proofs have the same structure. The only difference is the prime factors (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाणों की संरचना समान है। अंतर केवल अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) का है।
A. (b) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना/To prove (b) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
Putting (a=3r) gives \(b^2=3r^2\). This makes (b) also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (b) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना / To prove (b) is also divisible by (3). Putting (a=3r) gives \(b^2=3r^2\). This makes (b) also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(a=3r) रखने से \(b^2=3r^2\) मिलता है। इससे (b) भी (3) से विभाज्य होता है।
A. पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है/In a perfect square, every prime exponent is even
Step 1
Concept
In a perfect square, prime exponents are even. The exponent of (2) explains the contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है / In a perfect square, every prime exponent is even. In a perfect square, prime exponents are even. The exponent of (2) explains the contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (2) की घात से विरोधाभास समझ आता है।
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर \(3b^2\) में वह विषम हो सकती है/In a perfect square, exponent of (3) must be even, but in \(3b^2\) it can become odd
Step 1
Concept
In a perfect square, all prime exponents are even. This idea strengthens the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर \(3b^2\) में वह विषम हो सकती है / In a perfect square, exponent of (3) must be even, but in \(3b^2\) it can become odd. In a perfect square, all prime exponents are even. This idea strengthens the proof of \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। यही विचार \(\sqrt{3}\) के प्रमाण को मजबूत करता है।
A. (\gcd(m,n)=1) और (\gcd(m,n)\ge2) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(m,n)=1) and (\gcd(m,n)\ge2) cannot both hold
Step 1
Concept
Coprime means (\gcd(m,n)=1). Both even means the highest common factor is at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(m,n)=1) और (\gcd(m,n)\ge2) दोनों साथ नहीं हो सकते / (\gcd(m,n)=1) and (\gcd(m,n)\ge2) cannot both hold. Coprime means (\gcd(m,n)=1). Both even means the highest common factor is at least (2).
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य होने से (\gcd(m,n)=1) है। दोनों सम होने से महत्तम समापवर्तक कम से कम (2) होगा।
A. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge3) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge3) cannot both hold
Step 1
Concept
Being coprime means the highest common factor is (1). Both divisible by (3) makes it at least (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge3) दोनों साथ नहीं हो सकते / (\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge3) cannot both hold. Being coprime means the highest common factor is (1). Both divisible by (3) makes it at least (3).
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से वह कम से कम (3) होगा।
A. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(m,n)=1) विरोधाभास देता है/\(n\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(m,n)=1) gives the contradiction
Step 1
Concept
Non-zero denominator is for defining the fraction. The coprime condition creates contradiction with the final common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(m,n)=1) विरोधाभास देता है / \(n\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(m,n)=1) gives the contradiction. Non-zero denominator is for defining the fraction. The coprime condition creates contradiction with the final common factor.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न होना भिन्न की परिभाषा के लिए है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से विरोधाभास बनाती है।
A. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(a,b)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(a,b)=1) is the basis of the final contradiction
Step 1
Concept
\(b\neq0\) is necessary for the fraction. (\gcd(a,b)=1) creates contradiction when both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(a,b)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है / \(b\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(a,b)=1) is the basis of the final contradiction. \(b\neq0\) is necessary for the fraction. (\gcd(a,b)=1) creates contradiction when both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(b\neq0\) भिन्न के लिए आवश्यक है। (\gcd(a,b)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास बनाता है।
A. (m) सम सिद्ध करने के बाद (n) सम सिद्ध करना/After proving (m) even, proving (n) even
Step 1
Concept
Only (m) being even is not enough. For contradiction, (n) must also be even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m) सम सिद्ध करने के बाद (n) सम सिद्ध करना / After proving (m) even, proving (n) even. Only (m) being even is not enough. For contradiction, (n) must also be even.
Step 3
Exam Tip
सिर्फ (m) सम होना पर्याप्त नहीं है। विरोधाभास के लिए (n) भी सम होना चाहिए।
A. दोनों सम निकलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा/The contradiction will not be clear when both become even
Step 1
Concept
Lowest form gives that (m) and (n) are coprime. This is the basis of the final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम निकलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा / The contradiction will not be clear when both become even. Lowest form gives that (m) and (n) are coprime. This is the basis of the final contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप से ही (m) और (n) का सहभाज्य होना मिलता है। यही अंतिम विरोधाभास का आधार है।
A. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/A decisive contradiction will not form when both become divisible by (3)
Step 1
Concept
Without the coprime condition, getting common factor (3) will not be a sufficient contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा / A decisive contradiction will not form when both become divisible by (3). Without the coprime condition, getting common factor (3) will not be a sufficient contradiction.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य शर्त के बिना सामान्य गुणनखंड (3) मिलना पर्याप्त विरोधाभास नहीं होगा।
A. क्योंकि दोनों (2) से विभाज्य हैं/Because both are divisible by (2)
Step 1
Concept
Both have common factor (2). So numerator and denominator can be divided by (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि दोनों (2) से विभाज्य हैं / Because both are divisible by (2). Both have common factor (2). So numerator and denominator can be divided by (2).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए अंश और हर को (2) से भाग दिया जा सकता है।
A. क्योंकि दोनों को (3) से घटाया जा सकता है/Because both can be reduced by (3)
Step 1
Concept
Both have common factor (3). In lowest form, such a common factor does not exist.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि दोनों को (3) से घटाया जा सकता है / Because both can be reduced by (3). Both have common factor (3). In lowest form, such a common factor does not exist.
Step 3
Exam Tip
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है। सरलतम रूप में ऐसा सामान्य गुणनखंड नहीं होता।
A. विरोधाभास के लिए (n) को भी सम सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (n) must also be proved even
Step 1
Concept
One number being even gives no contradiction with coprime condition. Both must be even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. विरोधाभास के लिए (n) को भी सम सिद्ध करना जरूरी है / To get contradiction, (n) must also be proved even. One number being even gives no contradiction with coprime condition. Both must be even.
Step 3
Exam Tip
एक संख्या का सम होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं देता। दोनों का सम होना जरूरी है।
A. विरोधाभास के लिए (b) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (b) must also be proved divisible by (3)
Step 1
Concept
Only (a) having factor (3) is not a contradiction. Both (a) and (b) must have factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. विरोधाभास के लिए (b) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है / To get contradiction, (b) must also be proved divisible by (3). Only (a) having factor (3) is not a contradiction. Both (a) and (b) must have factor (3).
Step 3
Exam Tip
सिर्फ (a) में (3) का गुणनखंड होना विरोधाभास नहीं है। (a) और (b) दोनों में (3) होना जरूरी है।
A. क्योंकि सरलतम भिन्न में अंश और हर का सामान्य गुणनखंड (2) नहीं हो सकता/Because numerator and denominator of a lowest fraction cannot have common factor (2)
Step 1
Concept
In lowest form (\gcd(m,n)=1) should hold. If both are even, common factor (2) appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि सरलतम भिन्न में अंश और हर का सामान्य गुणनखंड (2) नहीं हो सकता / Because numerator and denominator of a lowest fraction cannot have common factor (2). In lowest form (\gcd(m,n)=1) should hold. If both are even, common factor (2) appears.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (\gcd(m,n)=1) होना चाहिए। दोनों सम होने पर सामान्य गुणनखंड (2) मिल जाता है।
Only (a) being divisible by (3) is not the final contradiction. (b) must also be proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (a) (3) से विभाज्य है / (a) is divisible by (3). Only (a) being divisible by (3) is not the final contradiction. (b) must also be proved divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
केवल (a) का (3) से विभाज्य होना अंतिम विरोधाभास नहीं है। (b) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना होता है।
A. (m) और (n) दोनों (2) से विभाज्य हैं/Both (m) and (n) are divisible by (2)
Step 1
Concept
If both are divisible by (2), the fraction can be reduced. This does not happen in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m) और (n) दोनों (2) से विभाज्य हैं / Both (m) and (n) are divisible by (2). If both are divisible by (2), the fraction can be reduced. This does not happen in lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों (2) से विभाज्य हों तो भिन्न को घटाया जा सकता है। सरलतम रूप में ऐसा नहीं होता।
B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (a) and (b) are divisible by (3)
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore \(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (a) and (b) are divisible by (3). Both have common factor (3). Therefore \(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकता।
