वर्गमूल सर्पिल की रचना 1 इकाई लंबे रेखाखंड से शुरू होती है। इसके एक सिरे पर 1 इकाई का लंब खींचकर पहला समकोण त्रिभुज बनाया जाता है, जिसकी कर्ण \(\sqrt{2}\) होती है। इसलिए \(\sqrt{2}\) वाला रेखाखंड शुरुआत में नहीं, पहले त्रिभुज के बाद प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: रचना का पहला आधार हमेशा 1 इकाई याद रखें। / A square root spiral begins with a line segment of length 1 unit. A perpendicular segment of 1 unit is then drawn at one end to form the first right triangle, whose hypotenuse is \(\sqrt{2}\). Thus, \(\sqrt{2}\) is obtained after the first construction and is not the starting segment. Exam tip: Remember that the spiral always starts with a 1-unit base.
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) होता है। पहला मुख्य कर्ण \(\sqrt{2}\) है। / By Pythagoras theorem the hypotenuse is \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). The first main hypotenuse is \(\sqrt{2}\).
वर्गमूल सर्पिल (थियोडोरस सर्पिल) में हर नया समकोण त्रिभुज पिछली कर्ण के साथ बनाया जाता है और उसकी नई लंब भुजा \(1\) इकाई रखी जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से इससे क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि कर्ण प्राप्त होते हैं। \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) लंब भुजाएँ नहीं, बल्कि शुरुआती चरणों में बनने वाली कर्ण हैं। परीक्षा टिप: सर्पिल में जो भुजा हर चरण में समान रहती है, वह \(1\) इकाई की नई लंब भुजा है। / In a square root (Theodorus) spiral, each new right triangle is constructed on the previous hypotenuse, with a new perpendicular side of \(1\) unit. By the Pythagorean theorem, the successive hypotenuses become \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Thus, \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are hypotenuses at early stages, not the new perpendicular side. Exam tip: remember that the side kept fixed in every new triangle is \(1\) unit.
कर्ण ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय लगाया जाता है। इसलिए समकोण त्रिभुज पहचानना जरूरी है। / Pythagoras theorem is used to find the hypotenuse. So recognizing the right triangle is important.
हर नया त्रिभुज पिछले कर्ण पर 1 इकाई की लंब भुजा जोड़कर बनता है। पाइथागोरस के अनुसार \((\sqrt{n-1})^2+1=n\), इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{n}\) होता है। परीक्षा में कर्णों का क्रम \(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4\) याद रखें। / Each new triangle is formed by adding a perpendicular side of length 1 to the previous hypotenuse. By Pythagoras, \((\sqrt{n-1})^2+1=n\), so the new hypotenuse is \(\sqrt{n}\). Exam tip: remember the order \(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4\).
\(\sqrt{3}\) के साथ (1) इकाई लंब से नया कर्ण \(\sqrt{4}\) बनता है। क्रम में अगला वर्गमूल लें। / With \(\sqrt{3}\) and a (1) unit perpendicular the new hypotenuse is \(\sqrt{4}\). Take the next square root in sequence.
कर्ण क्रम से \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) आगे बढ़ते हैं। सर्पिल में संख्या एक-एक बढ़ती है। / The hypotenuses progress as \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) and so on. In the spiral the number increases by one.
A. पिछले कर्ण के एक सिरे पर 1 इकाई की रेखा उसके लंबवत खींची जाती है/A line segment of length 1 is drawn perpendicular to the previous hypotenuse at one endpoint.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण को एक भुजा मानकर उसके सिरे पर 1 इकाई की लंब भुजा बनाई जाती है। पाइथागोरस से नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है। समानांतर रेखा से समकोण नहीं बनेगा। परीक्षा में लंब चिह्न पहचानें। / In a square root spiral, the previous hypotenuse becomes one leg and a 1-unit perpendicular leg is added at its endpoint. By Pythagoras, the next hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\). A parallel segment will not form the required right angle. Exam tip: look for the perpendicular mark.
\(\sqrt{11}\) पर (1) इकाई लंब जोड़ने से \(\sqrt{12}\) बनता है। पिछला कर्ण एक कम संख्या का होता है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{11}\) gives \(\sqrt{12}\). The previous hypotenuse has one less number.
एक विद्यार्थी ने वर्गमूल सर्पिल में
\(\sqrt{10}\) को दर्शाने के लिए क्रमशः 1 इकाई भुजा वाले समकोण त्रिभुज बनाते हुए नौ नए त्रिभुज जोड़े। क्या उसका तरीका सही है?
A. हाँ, क्योंकि दसवीं कर्ण की लंबाई \(\sqrt{10}\) होती है।/Yes, because the tenth hypotenuse has length \(\sqrt{10}\).
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रारम्भिक रेखाखंड \(\sqrt{1}\) है। हर नया समकोण त्रिभुज जोड़ने पर कर्ण का वर्ग 1 बढ़ता है; इसलिए 9 नए त्रिभुजों के बाद कर्ण \(\sqrt{10}\) होगा। परीक्षा में चरणों की गिनती प्रारम्भिक \(\sqrt{1}\) से करें। / A square root spiral starts with \(\sqrt{1}\). Each added right triangle increases the square of the hypotenuse by 1, so after 9 new triangles the hypotenuse is \(\sqrt{10}\). Exam tip: count from the initial \(\sqrt{1}\), not from zero.
वर्गमूल सर्पिल में हर नया समकोण त्रिभुज पिछले कर्ण पर 1 इकाई की लम्ब भुजा जोड़कर बनता है। इसलिए नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि होता है। परीक्षा टिप: नई जोड़ी गई भुजा हमेशा 1 याद रखें। / In a square root spiral, each new right triangle is formed by adding a perpendicular side of 1 unit to the previous hypotenuse. Hence the new hypotenuse becomes \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Exam tip: the added side is always 1 unit.
समकोण का माप 90° होता है, इसलिए सही विकल्प 90° है। वर्गमूल सर्पिल बनाते समय प्रत्येक नया त्रिभुज समकोण त्रिभुज होता है और उसकी नई भुजा ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग किया जाता है। 60° कोण विशेष रूप से समबाहु त्रिभुज से जुड़ा है, समकोण से नहीं। परीक्षा टिप: ‘समकोण’ दिखते ही 90° याद रखें। / A right angle measures 90°, so 90° is the correct option. In a square root spiral, each new triangle is a right-angled triangle, and the Pythagoras theorem is used to obtain the next length. A 60° angle is associated with an equilateral triangle, not a right angle. Exam tip: whenever you see ‘right angle’, recall 90° immediately.
पाइथागोरस से नया कर्ण (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}) होता है। यही सामान्य नियम है। / By Pythagoras the new hypotenuse is (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}). This is the general rule.
रीमा ने \(\sqrt{10}\) तक वर्गमूल सर्पिल बनाया। वह कहती है कि \(\sqrt{11}\) बनाने के लिए पिछले कर्ण के सिरे पर 1 इकाई की नई रेखा उसी कर्ण के समानांतर खींचनी चाहिए। उसका कथन गलत क्यों है?
A. नई 1 इकाई की भुजा पिछले कर्ण पर लंबवत होनी चाहिए, ताकि समकोण त्रिभुज बने।/The new unit side must be perpendicular to the previous hypotenuse so that a right triangle is formed.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण पर 1 इकाई की रेखा लंबवत खींची जाती है। इसलिए \((\sqrt{10})^2+1^2=11\) से नया कर्ण \(\sqrt{11}\) होता है। समानांतर रेखा समकोण नहीं बनाएगी। परीक्षा टिप: हर चरण में पायथागोरस प्रमेय लगाएँ। / In a square root spiral, the new unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. Thus, \((\sqrt{10})^2+1^2=11\), giving a hypotenuse of \(\sqrt{11}\). A parallel segment does not form the required right triangle. Exam tip: apply Pythagoras at each step.
वर्गमूल सर्पिल में प्राप्त कर्ण की लंबाई किसी वर्गमूल का मान दर्शाती है। कंपास में यह लंबाई लेकर, संख्या रेखा पर 0 से चाप काटकर उसका बिंदु अंकित किया जाता है। स्केल रेखा खींचने या दूरी मापने में सहायक है, लेकिन सटीक लंबाई को संख्या रेखा पर स्थानांतरित करने के लिए कंपास अधिक उपयुक्त है। परीक्षा टिप: लंबाई को एक स्थान से दूसरे स्थान पर उतारने के लिए कंपास का प्रयोग याद रखें। / In a square root spiral, the obtained hypotenuse represents a square-root length. This length is taken in a compass and transferred from 0 onto the number line by drawing an arc. A ruler helps draw or measure lines, but a compass is the appropriate instrument for transferring an exact length. Exam tip: use a compass whenever a construction asks you to transfer a length.
A. 1 इकाई लंबी लम्ब भुजा/A perpendicular side of length 1 unit
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछली कर्ण पर 1 इकाई की लम्ब भुजा खींची जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से नई कर्ण का वर्ग पिछली कर्ण के वर्ग में 1 जुड़ने से मिलता है। परीक्षा में लम्ब भुजा और कर्ण का अंतर ध्यान रखें। / In a square root spiral, a perpendicular side of length 1 unit is drawn on the previous hypotenuse. By Pythagoras’ theorem, the square of the new hypotenuse equals the previous square plus 1. Exam tip: do not confuse the added perpendicular with the hypotenuse.
A. \(\sqrt{6}\) वाली भुजा के सिरे पर 1 इकाई की लंबवत रेखा खींचकर उसका कर्ण लेना/Draw a 1-unit perpendicular segment at the end of \(\sqrt{6}\) and take the hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नए चरण में पिछली भुजा के सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा बनती है। अतः कर्ण² = \(6+1=7\), इसलिए कर्ण \(\sqrt{7}\) होगा। परीक्षा में समकोण अवश्य जाँचें। / At each step, a 1-unit side is drawn perpendicular to the previous radius. Thus, hypotenuse² = \(6+1=7\), so the hypotenuse is \(\sqrt{7}\). In exams, always check the right angle.
A. क्योंकि नया कर्ण वर्गों के योग से बनता है/Because the new hypotenuse is formed by the sum of squares
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में जोड़ सीधे लंबाइयों का नहीं, वर्गों का होता है। सही तर्क पाइथागोरस प्रमेय है। / In a square root spiral the addition is of squares, not direct lengths. The correct reasoning is Pythagoras theorem.
लगातार समकोण त्रिभुज दिशा बदलते हुए बनते हैं। इसलिए आकृति सर्पिल जैसी दिखती है। / Successive right triangles are formed while changing direction. Therefore the figure looks like a spiral.
A. वर्गमूल लंबाइयों का ज्यामितीय निर्माण करना/To geometrically construct square root lengths
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) जैसी लंबाइयाँ बनाता है। यह संख्या रेखा पर उपयोगी है। / A square root spiral constructs lengths like \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\). It is useful on the number line.
\(\sqrt{17}\) में (1) इकाई लंब जोड़कर \(\sqrt{18}\) मिलता है। पिछले कर्ण की संख्या एक कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{17}\) gives \(\sqrt{18}\). The previous hypotenuse has one less number.
वर्गमूल सर्पिल में हर नए समकोण त्रिभुज की एक भुजा 1 इकाई होती है और दूसरी भुजा पिछले त्रिभुज का कर्ण होती है। इसलिए पायथागोरस प्रमेय से नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि बनता है। परीक्षा टिप: स्थिर भुजा हमेशा 1 इकाई याद रखें। / In a square root spiral, one leg of every new right triangle is 1 unit, while the other leg is the previous hypotenuse. By Pythagoras’ theorem, the hypotenuses become \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Exam tip: remember that the fixed added side is always 1 unit.
A. यदि पिछले कर्ण की लंबाई \(\sqrt{n}\) हो, तो नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) को दर्शाए/If the previous hypotenuse is \(\sqrt{n}\), the new hypotenuse represents \(\sqrt{n+1}\)
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण का वर्ग \((\sqrt{n})^2+1^2=n+1\) होता है, इसलिए उसकी लंबाई \(\sqrt{n+1}\) होती है। त्रिभुजों का समद्विबाहु होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा में कर्णों के वर्गों का क्रम देखें। / By Pythagoras’ theorem, the square of the new hypotenuse is \((\sqrt{n})^2+1^2=n+1\), so its length is \(\sqrt{n+1}\). The triangles need not be isosceles. Exam tip: follow the sequence of squared hypotenuse lengths.
A. पाइथागोरस प्रमेय से अगला कर्ण \(\sqrt{n+1}\) प्राप्त करने के लिए/To obtain the next hypotenuse \(\sqrt{n+1}\) using Pythagoras’ theorem
Explanation
Simple Explanation
यदि पिछले कर्ण की लंबाई \(\sqrt{n}\) है और उसके लंबवत 1 इकाई का रेखाखंड बनाया जाए, तो नए कर्ण का वर्ग \(n+1\) होगा। इसलिए उसकी लंबाई \(\sqrt{n+1}\) होती है। परीक्षा में समकोण अवश्य पहचानें। / If the previous hypotenuse is \(\sqrt{n}\) and a unit segment is drawn perpendicular to it, the square of the new hypotenuse is \(n+1\). Hence its length is \(\sqrt{n+1}\). In exams, first identify the right angle.
A. समकोण त्रिभुज बनाने के लिए/To construct a right-angled triangle
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल के प्रत्येक चरण में 1 इकाई की नई भुजा को पिछली भुजा पर 90° पर खींचा जाता है, जिससे समकोण त्रिभुज बनता है। तब पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण की लंबाई क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि प्राप्त होती है। विकल्प B गलत है क्योंकि नया कर्ण सामान्यतः पिछली भुजा से बड़ा होता है। परीक्षा टिप: 90° दिखे तो समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय के उपयोग को पहचानें। / At each step of a square root spiral, a new side of length 1 unit is drawn at 90° to the previous side, forming a right-angled triangle. Pythagoras’ theorem then gives successive hypotenuse lengths such as \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Option B is incorrect because the new hypotenuse is generally longer than the previous side. Exam tip: A 90° angle in such a construction signals the use of a right triangle and Pythagoras’ theorem.
\(\sqrt{49}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{50}\) बनता है। पिछली संख्या (1) कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{49}\) gives \(\sqrt{50}\). The previous number is (1) less.
A. मूल बिंदु से उस बिंदु तक की दूरी, जो \(\sqrt{n}\) दर्शाता है
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज की एक भुजा 1 होती है और कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\) आदि बनते हैं। इसलिए मूल बिंदु से संबंधित बिंदु की दूरी \(\sqrt{n}\) होती है। परीक्षा में कर्ण को ही वर्गमूल की लंबाई पहचानें। / In a square root spiral, each new right triangle has one leg of length 1, so its hypotenuse becomes \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\), and so on. Thus, the distance from the starting point to the relevant point represents \(\sqrt{n}\). Exam tip: identify the hypotenuse, not the unit side.
A. 1 इकाई की लम्ब भुजा/A perpendicular side of 1 unit
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज की कर्ण को एक भुजा मानकर उस पर 1 इकाई की लम्ब भुजा बनाई जाती है। इसी से अगली कर्ण क्रमशः √2, √3 आदि दर्शाती है। परीक्षा टिप: स्थिर लम्ब भुजा हमेशा 1 इकाई याद रखें। / In a square root spiral, the previous hypotenuse becomes one side and a perpendicular side of 1 unit is added. The new hypotenuse then represents √2, √3 and so on. Exam tip: remember that the added perpendicular side is always 1 unit.
\(\sqrt{6}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने से \(\sqrt{7}\) बनता है। यह पाइथागोरस प्रमेय से आता है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{6}\) forms \(\sqrt{7}\). This follows from Pythagoras theorem.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज एक इकाई भुजा जोड़ता है। यदि पिछला कर्ण \(\sqrt{4}\) हो, तो पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण \(\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\) होगा। \(\pi\) इस क्रम का रूप नहीं है। परीक्षा टिप: कर्णों का क्रम \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\dots\) याद रखें। / Each new right triangle in a square root spiral adds a unit side. If the previous hypotenuse is \(\sqrt{4}\), Pythagoras gives the next hypotenuse as \(\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\). \(\pi\) is not obtained in this sequence. Exam tip: remember the hypotenuse pattern \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\dots\).
वर्गमूल सर्पिल में पिछली कर्ण के साथ हमेशा 1 इकाई की लम्बवत भुजा जोड़ी जाती है। इसलिए नई कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि दर्शाती है। परीक्षा टिप: हर चरण में नई भुजा 1 ही लें। / In a square root spiral, a perpendicular side of length 1 unit is added to the previous hypotenuse. Thus, the new hypotenuses represent \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Exam tip: the added side is always 1 unit.
\(\sqrt{14}\) के साथ (1) इकाई लंब से \(\sqrt{15}\) बनता है। पिछला कर्ण एक कम संख्या का है। / With \(\sqrt{14}\) and a (1) unit perpendicular, \(\sqrt{15}\) is formed. The previous hypotenuse has one less number.
A. प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा 1 इकाई और दूसरी लंब भुजा पिछले त्रिभुज का कर्ण होती है।
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में हर नया समकोण त्रिभुज पिछले कर्ण और 1 इकाई की नई लंब भुजा से बनता है। इसलिए कर्ण क्रमशः बढ़ते हैं। परीक्षा टिप: संबंध \(h_{\text{new}}^2=h_{\text{old}}^2+1\) याद रखें। / In a square root spiral, each new right triangle uses the previous hypotenuse and a new perpendicular side of length 1. Hence the hypotenuses increase, not remain equal. Exam tip: remember \(h_{\text{new}}^2=h_{\text{old}}^2+1\).
B. \(\sqrt{3}\) का कर्ण/Hypotenuse of \(\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
जिस वर्गमूल को अंकित करना है, उसी कर्ण की लंबाई कंपास में लेते हैं। इसलिए \(\sqrt{3}\) का कर्ण चाहिए। / The hypotenuse length of the required square root is taken in the compass. So the hypotenuse of \(\sqrt{3}\) is needed.
A. पिछले कर्ण के एक सिरे पर 1 इकाई की लम्ब रेखा खींची जाती है/A perpendicular segment of length 1 is drawn at an endpoint of the previous hypotenuse.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण पर 1 इकाई की लम्ब भुजा जोड़ते हैं। पाइथागोरस से नया कर्ण
a-2+1
होता है, इसलिए क्रमशः
after? / In a square root spiral, a unit perpendicular is added to the previous hypotenuse. By Pythagoras, the new hypotenuse has square
a-2+1
; hence successive roots are formed. A parallel segment would not ensure a right triangle. Exam tip: look for “unit perpendicular.”
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय प्रत्येक नया त्रिभुज पिछले कर्ण पर समकोण बनाकर बनाया जाता है। सेट स्क्वायर से यह समकोण सटीक रूप से बनाया जा सकता है, इसलिए विकल्प A सही है। कर्ण की लंबाई सामान्यतः स्केल से मापी जाती है; सेट स्क्वायर का मुख्य कार्य कोण बनाना है। परीक्षा टिप: वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक चरण पर 1 इकाई की नई भुजा पिछले कर्ण पर लंबवत खींची जाती है। / While constructing a square root spiral, each new triangle is formed by drawing a right angle on the previous hypotenuse. A set square helps construct this right angle accurately, so option A is correct. The length of a hypotenuse is generally measured with a ruler; the main use of a set square is constructing angles. Exam tip: at each step of a square root spiral, draw a new unit-length side perpendicular to the previous hypotenuse.
A. पिछले त्रिभुज के कर्ण के अंतिम बिंदु पर, उसके लंबवत
Explanation
Simple Explanation
हर नए चरण में पिछले त्रिभुज के कर्ण के अंतिम बिंदु पर 1 इकाई का लंबवत रेखाखंड बनाया जाता है। यदि पिछला कर्ण \(\sqrt{n}\) है, तो नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होगा। परीक्षा में समकोण का चिह्न अवश्य देखें। / At each step, a unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse at its endpoint. If the previous hypotenuse is \(\sqrt{n}\), Pythagoras gives the next one as \(\sqrt{n+1}\). In exams, check the right-angle mark.
\(\sqrt{79}\) पर (1) इकाई लंब जोड़ने से \(\sqrt{80}\) बनता है। पिछला कर्ण एक कम संख्या का होता है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{79}\) gives \(\sqrt{80}\). The previous hypotenuse has one less number.
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछले त्रिभुज की कर्ण पर बनाया जाता है। यदि किसी चरण में कर्ण की लंबाई \(\sqrt{10}\) है और नई लम्ब भुजा \(1\) इकाई है, तो नए त्रिभुज की कर्ण क्या होगी?
पाइथागोरस प्रमेय से नई कर्ण² = \((\sqrt{10})^2+1^2=10+1=11\)। इसलिए नई कर्ण \(\sqrt{11}\) होगी। \(\sqrt{20}\) में पुरानी कर्ण का वर्ग गलत लिया गया है। परीक्षा में पहले कर्ण का वर्ग अवश्य करें। / By Pythagoras’ theorem, new hypotenuse² = \((\sqrt{10})^2+1^2=10+1=11\). Hence the new hypotenuse is \(\sqrt{11}\). \(\sqrt{20}\) results from squaring the previous hypotenuse incorrectly. Exam tip: square the radical first.
A. \(\sqrt{2}\) के सिरे पर (1) इकाई लंब बनाना/Draw a (1) unit perpendicular at the end of \(\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के सिरे पर (1) इकाई लंब बनाकर अगला त्रिभुज बनाया जाता है। इससे \(\sqrt{3}\) मिलता है। / A (1) unit perpendicular is drawn at the end of \(\sqrt{2}\) to make the next triangle. This gives \(\sqrt{3}\).
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय एक विद्यार्थी पिछले कर्ण के अंतिम बिंदु पर नई भुजा उसी दिशा में खींच देता है। सर्पिल को सही रखने के लिए नई इकाई-लंबाई वाली भुजा कैसे खींचनी चाहिए?
A. पिछले कर्ण पर लंबवत/Perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नया त्रिभुज समकोण त्रिभुज होना चाहिए। पिछले कर्ण पर लंबवत 1 इकाई की भुजा बनाने पर पाइथागोरस से नया कर्ण मिलता है। समांतर भुजा बनाने पर समकोण नहीं बनेगा। परीक्षा टिप: 1 इकाई वाली नई भुजा हमेशा लंबवत बनाइए। / Each added triangle must be right-angled. Drawing a unit side perpendicular to the previous hypotenuse gives the next hypotenuse using Pythagoras’ theorem. A parallel side does not form a right angle. Exam tip: mark the new unit side perpendicular first.
A. इकाई लंबाई के दो परस्पर लम्बवत भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज के कर्ण के रूप में
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल का पहला समकोण त्रिभुज 1 और 1 इकाई की लम्बवत भुजाओं से बनता है। पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण² = 1² + 1² = 2, इसलिए कर्ण \(\sqrt{2}\) है। भुजा 2 वाले वर्ग का विकर्ण \(2\sqrt{2}\) होता है। परीक्षा में त्रिभुज की भुजाएँ पहले पहचानें। / The first right triangle in a square root spiral has perpendicular sides of 1 unit and 1 unit. By Pythagoras, hypotenuse² = 1² + 1² = 2, so the hypotenuse is \(\sqrt{2}\). A square of side 2 has diagonal \(2\sqrt{2}\), not \(\sqrt{2}\). Exam tip: identify the triangle’s legs first.
B. पिछली कर्ण पर लंबवत एक इकाई लंबाई की भुजा बनाकर
Explanation
Simple Explanation
हर नए त्रिभुज में पिछली कर्ण एक भुजा बनती है और उसके सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा खींची जाती है। पाइथागोरस से नई कर्ण का वर्ग 1 बढ़ता है। परीक्षा टिप: सर्पिल में हर नया खंड पिछली कर्ण पर लंबवत होता है। / In each new triangle, the previous hypotenuse is one leg and a unit segment is drawn perpendicular to it. By Pythagoras, the square of the new hypotenuse increases by 1. Exam tip: each added segment is perpendicular to the previous hypotenuse.
\(7\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है और सर्पिल में उसकी अलग लंबाई दर्शाई जाती है। जबकि \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{16}=4\) और \(\sqrt{25}=5\) परिमेय हैं। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग की जड़ पूर्णांक होती है। / Since 7 is not a perfect square, \(\sqrt{7}\) is irrational and is shown as a distinct length on the spiral. In contrast, \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{16}=4\), and \(\sqrt{25}=5\) are rational. Exam tip: square roots of perfect squares are integers.
A. ताकि पाइथागोरस प्रमेय से अगला कर्ण क्रमशः अगले प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल बने।/So that, by Pythagoras’ theorem, the next hypotenuse becomes the square root of the next natural number.
Explanation
Simple Explanation
पहले कर्ण की लंबाई
\(\sqrt{2}\) होती है। अगली 1 इकाई भुजा जोड़ने पर कर्ण का वर्ग \(2+1=3\) बनता है, इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{3}\) है। परीक्षा में हर नया त्रिभुज समकोण याद रखें। / The first hypotenuse is \(\sqrt{2}\). Adding a new 1-unit side gives hypotenuse squared as \(2+1=3\), so the next hypotenuse is \(\sqrt{3}\). Exam tip: each added triangle is right-angled.
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण² = 1² + 1² = 2, इसलिए कर्ण \(\sqrt{2}\) इकाई है। 2 केवल दोनों भुजाओं का योग है, कर्ण नहीं। परीक्षा में कर्ण के लिए भुजाओं के वर्गों का योग लें। / By Pythagoras’ theorem, hypotenuse² = 1² + 1² = 2, so the hypotenuse is \(\sqrt{2}\) units. Option 2 is only the sum of the sides, not the hypotenuse. Exam tip: add squares, then take the square root.
एक विद्यार्थी कहता है कि वर्गमूल सर्पिल में
a
\(\sqrt{17}\) को दर्शाने के लिए 4 इकाई लंबाई वाला लंबवत भुजा बनानी चाहिए, क्योंकि \(17-1=16\)। यह कथन क्यों गलत है?
A. नई लंबवत भुजा की लंबाई 1 इकाई होनी चाहिए; पिछले कर्ण \(\sqrt{16}\) के साथ यह \(\sqrt{17}\) बनाता है/The new perpendicular side must be 1 unit; with the previous hypotenuse \(\sqrt{16}\), it forms \(\sqrt{17}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछले कर्ण के साथ 1 इकाई की भुजा जोड़कर बनता है। \(\sqrt{16}^2+1^2=16+1=17\), इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{17}\) है। 4 इकाई भुजा लेने पर \(16+16=32\) मिलेगा। परीक्षा टिप: पायथागोरस प्रमेय में वर्गों का योग जाँचें। / In a square root spiral, each new right triangle uses the previous hypotenuse and a new side of 1 unit. Since \(\sqrt{16}^2+1^2=16+1=17\), the new hypotenuse is \(\sqrt{17}\). A side of 4 gives \(16+16=32\), not 17. Exam tip: check the sum of squares using Pythagoras' theorem.
\(\sqrt{56}\) के साथ (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{57}\) बनता है। पिछले कर्ण की संख्या हमेशा (1) कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{56}\) forms \(\sqrt{57}\). The previous hypotenuse number is always (1) less.
हर नए चरण में (1) इकाई लंब जुड़ती है। इसलिए \(\sqrt{43}\) के बाद \(\sqrt{44}\) बनेगा। / At each new step, a (1) unit perpendicular is added. Therefore \(\sqrt{44}\) will be formed after \(\sqrt{43}\).
(1) इकाई की लंबाई सही लेने के लिए मापक पट्टी उपयोगी है। गलत माप से सर्पिल की लंबाइयाँ गलत हो सकती हैं। / A ruler is useful for taking the (1) unit length correctly. Wrong measurement can make the spiral lengths incorrect.
