If a 1-unit perpendicular is added to the hypotenuse √n, what will the new hypotenuse generally be?यदि √n कर्ण पर 1 इकाई की लंब जोड़ी जाए, तो नया कर्ण सामान्यतः क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: √(n + 1)√(n + 1)
The general rule follows directly from the Pythagorean theorem. Let the old hypotenuse be √n and let the new hypotenuse be h after a perpendicular side of length 1 is added. The two perpendicular sides of the new right triangle have lengths √n and 1, so h² = (√n)² + 1² = n + 1. Since h is a length, h = √(n + 1), which makes option B correct. Option A subtracts 1 and describes the preceding step rather than the new one. Option C incorrectly doubles n, and option D squares n without using the added unit side. This formula explains why the spiral produces successive square-root lengths.इस सामान्य नियम का आधार पाइथागोरस प्रमेय है। पुराने कर्ण की लंबाई √n मानें और उस पर लंबवत 1 इकाई की भुजा जोड़ने के बाद नए कर्ण को h मानें। नए समकोण त्रिभुज की दोनों लंब भुजाएँ √n और 1 हैं, इसलिए h² = (√n)² + 1² = n + 1। चूँकि कर्ण की लंबाई धनात्मक होती है, h = √(n + 1) होगा। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में 1 घटाया गया है, जो आगे का नहीं बल्कि पिछले चरण का संबंध बताता है। विकल्प C में n को गलत ढंग से दोगुना किया गया है और विकल्प D में n का वर्ग लिया गया है, जबकि पाइथागोरस गणना में जोड़ी गई इकाई का वर्ग शामिल होना चाहिए। यही सूत्र सर्पिल के क्रमिक वर्गमूलों को समझाता है।
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