Starting from (\sqrt{1}) in a square root spiral, which is the third hypotenuse?वर्गमूल सर्पिल में (\sqrt{1}) से शुरू करने पर तीसरा कर्ण कौन-सा होता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\sqrt{3})(\sqrt{3})
In a square root spiral, each new right triangle uses the previous hypotenuse and a new perpendicular side of length 1. By the Pythagorean theorem, the squared hypotenuse increases by 1 at every step. Starting with a hypotenuse of \sqrt{1}, the next one is \sqrt{2}, and the following one is \sqrt{3}.
Counting the hypotenuses in order gives first: \sqrt{1}; second: \sqrt{2}; third: \sqrt{3}. Therefore the third hypotenuse is \sqrt{3}, which is option B. It is important to count the initial \sqrt{1} as the first member of the sequence. If the counting began after the initial triangle, a different label might be obtained, but that is not the convention stated here.वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछले कर्ण और 1 इकाई की नई लंब भुजा से बनता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार हर चरण में कर्ण के वर्ग में 1 जुड़ता है। इसलिए कर्णों का क्रम \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, ... होता है।
अब क्रम से गिनने पर पहला कर्ण \sqrt{1}, दूसरा \sqrt{2} और तीसरा \sqrt{3} है। इसलिए तीसरा कर्ण \sqrt{3} होगा और सही विकल्प B है। यहाँ प्रारंभिक \sqrt{1} को पहला कर्ण गिना गया है। यदि कोई प्रारंभिक त्रिभुज को गिनती में शामिल न करे, तो क्रम बदलता हुआ लग सकता है, पर प्रश्न में शुरूआत \sqrt{1} से दी गई है।
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