In a square root spiral, which hypotenuse will be formed after (\sqrt{43})?वर्गमूल सर्पिल में (\sqrt{43}) के बाद अगला कर्ण कौन-सा बनेगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\sqrt{44})(\sqrt{44})
The square-root spiral advances by one under the radical at every stage. The construction uses the current hypotenuse and a new perpendicular segment of length 1. If the current hypotenuse is sqrt{n}, then the next hypotenuse has square length n+1, so its length is sqrt{n+1}. This is a direct application of the Pythagorean theorem.
Here the current value is sqrt{43}. Adding the square of the new unit side gives (sqrt{43})^2+1^2=43+1=44. Taking the positive square root, as lengths are positive, gives sqrt{44}. Therefore option C is correct. sqrt{42} is the preceding stage, while sqrt{43} is the existing hypotenuse, not the new one. There is no doubling in this process.वर्गमूल सर्पिल में हर नए चरण पर मूल के अंदर की संख्या 1 बढ़ती है। वर्तमान कर्ण को एक भुजा माना जाता है और उसके लंबवत 1 इकाई की भुजा जोड़ी जाती है। यदि वर्तमान कर्ण sqrt{n} है, तो पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार अगले कर्ण का वर्ग n+1 होगा। इसलिए अगला कर्ण sqrt{n+1} होता है।
यहाँ वर्तमान कर्ण sqrt{43} है। नई इकाई भुजा जोड़ने पर (sqrt{43})^2+1^2=43+1=44 मिलता है। लंबाई धनात्मक होती है, इसलिए नया कर्ण sqrt{44} होगा। अतः विकल्प C सही है। sqrt{42} पिछला चरण है और sqrt{43} वर्तमान कर्ण है, नया नहीं। इस प्रक्रिया में संख्या को दोगुना नहीं किया जाता।
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