Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(2x) और (4z) का दोगुना गुणनफल (16xz) है। परीक्षा में हर जोड़ी का दोगुना पद देखें। / Twice the product of (2x) and (4z) is (16xz). Exam tip: check twice the product of each pair.
(-2b) और (c) का दोगुना गुणनफल (-4bc) नहीं बल्कि (2\cdot(-2b)\cdot c=-4bc) है। सही विकल्प में चिन्ह और गुणांक मिलाएँ। / Twice the product of (-2b) and (c) is (2\cdot(-2b)\cdot c=-4bc). Match both sign and coefficient carefully.
इसे (A-2-B-2=(A+B)(A-B)) से करें। (A+B=2x-1) और (A-B=5), इसलिए (10x-5) है। / Use (A-2-B-2=(A+B)(A-B)). Here (A+B=2x-1) and (A-B=5), so the result is (10x-5).
(A-2-B-2=(A+B)(A-B)) लगाएँ। यहाँ (A-B=-6) और (A+B=4x+4), इसलिए (-24x-24) है। / Apply (A-2-B-2=(A+B)(A-B)). Here (A-B=-6) and (A+B=4x+4), so it is (-24x-24).
पहले (x-2+10x+25=(x+5)2) पहचानें। फिर ( (x+5)2-(2y)2 ) पर अंतर के वर्ग लगाएँ। / First identify (x-2+10x+25=(x+5)2). Then apply difference of squares to ( (x+5)2-(2y)2 ).
पहचान से बायाँ पक्ष \(4\cdot3m\cdot n=12mn\) है। (12mn=48mn) से (m) नहीं बल्कि (mn) कटने पर कथन केवल (12=48) देगा, इसलिए कोई निश्चित (m) नहीं है। / By identity the left side is \(4\cdot3m\cdot n=12mn\). (12mn=48mn) gives no valid nonzero fixed (m); the given equality is not generally true.
दोनों गुणनफल \(x^2-2x-24\) और \(x^2+2x-24\) हैं। जोड़ने पर \(2x^2-48\) मिलता है। / The two products are \(x^2-2x-24\) and \(x^2+2x-24\). Adding gives \(2x^2-48\).
पहला गुणनफल \(x^2-2x-24\) और दूसरा \(x^2+2x-24\) है। अंतर (-4x) है। / The first product is \(x^2-2x-24\) and the second is \(x^2+2x-24\). Their difference is (-4x).
तीन रैखिक गुणनखंडों में \(x^2\) का गुणांक स्थिर संख्याओं का योग होता है। यहाँ (-2+5-7=-4) है। / In three linear factors, the coefficient of \(x^2\) is the sum of constants. Here (-2+5-7=-4).
स्थिर पद (1\cdot(-3)\cdot8=-24) है। परीक्षा में स्थिर पद के लिए केवल संख्याओं का गुणन करें। / The constant term is (1\cdot(-3)\cdot8=-24). Exam tip: multiply only the constants for constant term.
\(x^2\) पदों के लिए दो (2x) और एक स्थिर पद चुनते हैं। कुल गुणांक (4(3-5+1)=-4) है। / For \(x^2\) terms, choose two (2x) factors and one constant. The total coefficient is (4(3-5+1)=-4).
पहचान से \(2a^2+2b^2=50\) है। (a=3) रखने पर \(18+2b^2=50\), इसलिए \(b^2=16\) है। / By identity \(2a^2+2b^2=50\). With (a=3), \(18+2b^2=50\), so \(b^2=16\).
(a-2-b-2=(a+b)(a-b)) से \(2000\cdot8=16000\) है। परीक्षा में बड़े वर्ग अलग-अलग न निकालें। / Using (a-2-b-2=(a+b)(a-b)), \(2000\cdot8=16000\). Exam tip: do not calculate both large squares separately.
इसे ( (500+3)2+(500-3)2 ) मानें। \(2\cdot500^2+2\cdot3^2=500018\) मिलता है। / Treat it as ( (500+3)2+(500-3)2 ). It gives \(2\cdot500^2+2\cdot3^2=500018\).
अंतर के वर्ग से ( (203+197)(203-197)=400\cdot6=2400 ) है। परीक्षा में योग और अंतर सीधे निकालें। / By difference of squares, ( (203+197)(203-197)=400\cdot6=2400 ). Exam tip: directly find sum and difference.
अंतर के वर्ग से ( \(x^2+1+x^2\)\(x^2+1-x^2\)=2x-2+1 ) मिलता है। परीक्षा में अंत में सरल करें। / Difference of squares gives ( \(x^2+1+x^2\)\(x^2+1-x^2\)=2x-2+1 ). Exam tip: simplify at the end.
(A-2-B-2=(A+B)(A-B)) लगाएँ। \(A+B=2x^2\) और (A-B=-8), इसलिए \(-16x^2\) है। / Use (A-2-B-2=(A+B)(A-B)). Here \(A+B=2x^2\) and (A-B=-8), so it is \(-16x^2\).
स्थिर पद \(1\cdot2\cdot3=6\) है। परीक्षा में स्थिर पद के लिए केवल स्थिर संख्याएँ गुणा करें। / The constant term is \(1\cdot2\cdot3=6\). Exam tip: multiply only constants for the constant term.
स्थिर पद (1\cdot(-3)\cdot5=-15) है। परीक्षा में चिन्ह के साथ संख्याएँ गुणा करें। / The constant term is (1\cdot(-3)\cdot5=-15). Exam tip: multiply constants with signs.
A. क्योंकि (4uv) में (u=4x) और (v=y) है/Because in (4uv), (u=4x) and (v=y)
Explanation
Simple Explanation
( (u+v)2-(u-v)2=4uv ) है। (u=4x) और (v=y) रखने पर (16xy) मिलता है, इसलिए (32xy) सही नहीं है। / ( (u+v)2-(u-v)2=4uv ). With (u=4x) and (v=y), it gives (16xy), so (32xy) is not correct.
तीन पदों के वर्ग में (2ab+2bc+2ca) आते हैं। दिए गए (2ab) को घटाने पर (2bc+2ca) बचता है। / In the three-term square, (2ab+2bc+2ca) appear. After subtracting the given (2ab), (2bc+2ca) remains.
वर्ग पद घटाने पर केवल जोड़ीदार दोगुने पद बचते हैं। ये (4xy), (2xz) और (4yz) हैं। / After subtracting square terms, only twice the pair products remain. They are (4xy), (2xz), and (4yz).
(xy) पद (2\cdot3x\cdot(-2y)=-12xy) और (yz) पद (2\cdot(-2y)\cdot z=-4yz) है। दोनों का योग (-12xy-4yz) है। / The (xy)-term is (2\cdot3x\cdot(-2y)=-12xy) and the (yz)-term is (2\cdot(-2y)\cdot z=-4yz). Their sum is (-12xy-4yz).
(x) का गुणांक स्थिर पदों के दो-दो गुणनफल का योग है। (4(-1)+4(-6)+(-1)(-6)=-22) नहीं, सही जोड़ (-4-24+6=-22) है। / The coefficient of (x) is the sum of pairwise products of constants. (4(-1)+4(-6)+(-1)(-6)=-22), so check options carefully.
(x) का गुणांक स्थिर पदों के दो-दो गुणनफल का योग है। (3(-4)+3(2)+(-4)(2)=-14) है, इसलिए दिए विकल्पों में सावधानी चाहिए। / The coefficient of (x) is the sum of pairwise products of constants. (3(-4)+3(2)+(-4)(2)=-14), so be careful with options.
(x) के लिए एक (2x) और दो स्थिर पद चुनते हैं। गुणांक (2(1\cdot3+1\cdot(-5)+3\cdot(-5))=-34) है। / For (x), choose one (2x) and two constants. The coefficient is (2(1\cdot3+1\cdot(-5)+3\cdot(-5))=-34).
A. क्योंकि (+42ab) और (-42ab) कट जाते हैं/Because (+42ab) and (-42ab) cancel
Explanation
Simple Explanation
दोनों वर्गों में बीच के पद विपरीत चिन्ह के होते हैं। जोड़ने पर वे कट जाते हैं। / The middle terms in the two squares have opposite signs. They cancel when added.
A. क्योंकि पहचान से (4z(x+y)=20z) आता है/Because identity gives (4z(x+y)=20z)
Explanation
Simple Explanation
इसे ( ((x+y)+z)2-((x+y)-z)2 ) मानें। परिणाम (4z(x+y)=20z) है, इसलिए (40z) सही नहीं है। / Treat it as ( ((x+y)+z)2-((x+y)-z)2 ). The result is (4z(x+y)=20z), so (40z) is not correct.
पहचान से योग (2(2x)2+2(3)2=8x-2+18) है। \(8x^2+18=100\), इसलिए \(x^2=\frac{41}{4}\) है। / By identity the sum is (2(2x)2+2(3)2=8x-2+18). From \(8x^2+18=100\), \(x^2=\frac{41}{4}\).
पहला गुणनफल \(x^2+8x+12\) और दूसरा \(x^2+8x+15\) है। अंतर (-3) है। / The first product is \(x^2+8x+12\) and the second is \(x^2+8x+15\). Their difference is (-3).
पहला गुणनफल \(4x^2+12x-7\) और दूसरा \(4x^2+12x+5\) है। अंतर (-12) है। / The first product is \(4x^2+12x-7\) and the second is \(4x^2+12x+5\). The difference is (-12).
(x-4-81=\(x^2\)2-92) है। पहले ( \(x^2+9\)\(x^2-9\) ), फिर (x-2-9=(x+3)(x-3)) करें। / (x-4-81=\(x^2\)2-92). First get ( \(x^2+9\)\(x^2-9\) ), then (x-2-9=(x+3)(x-3)).
(A-2-B-2=(A+B)(A-B)) लगाएँ। यहाँ (A+B=2x-2) और (A-B=10), इसलिए (20x-20) है। / Apply (A-2-B-2=(A+B)(A-B)). Here (A+B=2x-2) and (A-B=10), so it is (20x-20).
(x-2+y-2=(x+y)2-2xy=81-28=53) है। परीक्षा में वर्ग योग से (2xy) घटाएँ। / (x-2+y-2=(x+y)2-2xy=81-28=53). Exam tip: subtract (2xy) from the square of the sum.
(a-2+b-2=(a-b)2+2ab=49+36=85) होता है। परीक्षा में अंतर के वर्ग में (2ab) जोड़ें। / (a-2+b-2=(a-b)2+2ab=49+36=85). Exam tip: add (2ab) to the square of the difference.
(p-2-q-2=(p+q)(p-q)=12\times4=48) है। परीक्षा में अंतर वर्ग पहचान सीधे लगाएँ। / (p-2-q-2=(p+q)(p-q)=12\times4=48). Exam tip: directly apply the difference of squares identity.
विस्तार \(25a^2-20ab+4b^2\) है इसलिए समान पद घटकर (-20ab) बचता है। परीक्षा में ऋणात्मक मध्य पद पर ध्यान दें। / The expansion is \(25a^2-20ab+4b^2\), so like terms cancel and (-20ab) remains. Exam tip: watch the negative middle term.
\(144=12^2\) और (2k=24) इसलिए (k=12) है। परीक्षा में अंतिम पद और मध्य पद दोनों से जाँच करें। / \(144=12^2\) and (2k=24), so (k=12). Exam tip: verify using both the last term and the middle term.
\(225=15^2\) और (-2kx=-30x) से (k=15) मिलता है। परीक्षा में ((x-k)2) का मध्य पद (-2kx) होता है। / \(225=15^2\) and (-2kx=-30x) gives (k=15). Exam tip: the middle term of ((x-k)2) is (-2kx).
पहला गुणनफल \(9x^2-16\) है और फिर \(9x^2-20\) घटता है। परीक्षा में पूरे कोष्ठक पर ऋण लगाएँ। / The first product is \(9x^2-16\), then \(9x^2-20\) is subtracted. Exam tip: apply the minus sign to the whole bracket.
\(2\times2y\times3z=12yz\) होता है। परीक्षा में तीन पदों के वर्ग में हर जोड़े का दुगुना गुणन लें। / \(2\times2y\times3z=12yz\). Exam tip: in the square of three terms, take twice the product of every pair.
\(2\times2a\times(-b)=-4ab\) है। परीक्षा में ऋण चिन्ह को पद के साथ रखें। / \(2\times2a\times(-b)=-4ab\). Exam tip: keep the negative sign with the term.
पहचान से अंतर (4xy) होता है इसलिए (4xy=72)। परीक्षा में पहले पहचान लगाकर समीकरण छोटा करें। / By identity, the difference is (4xy), so (4xy=72). Exam tip: use the identity first to shorten the equation.
योग (2m-2+2n-2=2\(m^2+n^2\)) होता है। परीक्षा में दोनों वर्गों का योग आधा करें। / The sum is (2m-2+2n-2=2\(m^2+n^2\)). Exam tip: take half of the sum of the two squares.
(a-2-b-2=(a+b)(a-b)=2000\times10=20000) है। परीक्षा में बड़ी संख्याओं में अंतर वर्ग उपयोगी है। / (a-2-b-2=(a+b)(a-b)=2000\times10=20000). Exam tip: difference of squares is useful for large numbers.
(123\times117=(120+3)(120-3)=1202-32=14391)। परीक्षा में समान केंद्र (120) पहचानें। / (123\times117=(120+3)(120-3)=1202-32=14391). Exam tip: identify the common centre (120).
( (1000-2)2=1000000-4000+4=996004 ) है। परीक्षा में घटने वाले मध्य पद को सही रखें। / ( (1000-2)2=1000000-4000+4=996004 ). Exam tip: keep the subtracted middle term correct.
यह (4AB) है जहाँ (A=4x) और (B=1)। परीक्षा में \(4\times4x\times1=16x\) करें। / This is (4AB) where (A=4x) and (B=1). Exam tip: calculate \(4\times4x\times1=16x\).
पहला \(x^2+11x+24\) और दूसरा \(x^2+11x+28\) है। परीक्षा में समान पद घटाकर केवल स्थिर अंतर देखें। / The first is \(x^2+11x+24\) and the second is \(x^2+11x+28\). Exam tip: cancel like terms and check the constant difference.
मध्य पद (-6x+10x=4x) है इसलिए गुणांक (4) है। परीक्षा में दोनों मध्य गुणनों को जोड़ें। / The middle terms are (-6x+10x=4x), so the coefficient is (4). Exam tip: add both middle products.
स्थिर पद ((-2)\times6=-12) है। परीक्षा में स्थिर पद के लिए केवल स्थिर संख्याएँ गुणा करें। / The constant term is ((-2)\times6=-12). Exam tip: multiply only the constants for the constant term.
तीनों स्थिर पदों का योग (1+2+3=6) है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। परीक्षा में क्रमिक गुणन से भी यही मिलेगा। / The sum of constants is (1+2+3=6) and the sign is negative. Exam tip: stepwise multiplication also gives the same result.
विस्तार करने पर (6a-2b+2b-3=2b\(3a^2+b^2\)) मिलता है। परीक्षा में घन विस्तार में चिन्ह सावधानी से रखें। / On expansion, (6a-2b+2b-3=2b\(3a^2+b^2\)). Exam tip: handle signs carefully in cube expansions.
जोड़ने पर (b) की विषम शक्ति वाले पद कटते हैं और \(2a^3+6ab^2\) बचता है। परीक्षा में सममिति का लाभ लें। / On adding, terms with odd powers of (b) cancel and \(2a^3+6ab^2\) remains. Exam tip: use symmetry.
यह (a-3+b-3=(a+b)\(a^2-ab+b^2\)) का रूप है। परीक्षा में \(27=3^3\) पहचानें। / This is the form (a-3+b-3=(a+b)\(a^2-ab+b^2\)). Exam tip: identify \(27=3^3\).
(8x-3=(2x)3) और \(125=5^3\) है। परीक्षा में \(a^3-b^3\) का सूत्र सही लगाएँ। / (8x-3=(2x)3) and \(125=5^3\). Exam tip: apply the \(a^3-b^3\) formula correctly.
पहचान के अनुसार (a-3+b-3+c-3-3abc=(a+b+c)\(\cdots\)) है। परीक्षा में (a+b+c=0) होने पर \(a^3+b^3+c^3=3abc\) याद रखें। / By identity, (a-3+b-3+c-3-3abc=(a+b+c)\(\cdots\)). Exam tip: if (a+b+c=0), remember \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
पहचान में यह पद (x+y+z) से गुणा होता है इसलिए मान (0) होगा। परीक्षा में शर्त को पहले जाँचें। / In the identity, this expression is multiplied by (x+y+z), so the value is (0). Exam tip: check the condition first.
(x-2+y-2+z-2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)=36-22=14)। परीक्षा में तीन पदों की पहचान उपयोग करें। / (x-2+y-2+z-2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)=36-22=14). Exam tip: use the three-term identity.
तीन पदों के वर्ग में अतिरिक्त मिश्र पद (2xy+2yz+2zx) होते हैं। परीक्षा में सभी तीन मिश्र पद लिखें। / The extra mixed terms in the square of three terms are (2xy+2yz+2zx). Exam tip: write all three mixed terms.
((2x+3)) सामान्य लेकर ((2x+3)[(2x+3)-(2x-3)]) मिलता है। परीक्षा में common factor लेने से काम आसान होता है। / ((2x+3)) is common, giving ((2x+3)[(2x+3)-(2x-3)]). Exam tip: taking common factors makes work easier.
अंतर में \(6x^2\cdot4=24x^2\) मिलता है। परीक्षा में घन अंतर में \(x^2\) वाला पद जल्दी पहचानें। / The difference gives \(6x^2\cdot4=24x^2\). Exam tip: identify the \(x^2\) term quickly in cube differences.
योग में स्थिर घन कटते हैं और \(2x^3+6x\cdot4=2x^3+24x\) बचता है। परीक्षा में सममित घन विस्तार समझें। / In the sum, constant cube terms cancel and \(2x^3+6x\cdot4=2x^3+24x\) remains. Exam tip: understand symmetric cube expansion.
\(a^2+2ab+b^2-a^2+b^2=2ab+2b^2\)। परीक्षा में ऋण चिन्ह को पूरे दूसरे पद पर लगाएँ। / \(a^2+2ab+b^2-a^2+b^2=2ab+2b^2\). Exam tip: apply the minus sign to the whole second expression.
( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ) है इसलिए घटाने पर (-2ab) बचता है। परीक्षा में नकारात्मक मध्य पद याद रखें। / ( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ), so subtracting leaves (-2ab). Exam tip: remember the negative middle term.
वर्ग करने पर \(x^2+2+\frac{1}{x^2}=25\) मिलता है। परीक्षा में (2) घटाना न भूलें। / On squaring, \(x^2+2+\frac{1}{x^2}=25\). Exam tip: do not forget to subtract (2).
वर्ग करने पर \(t^2-2+\frac{1}{t^2}=36\) इसलिए मान (38) है। परीक्षा में अंतर के वर्ग में (-2) आता है। / On squaring, \(t^2-2+\frac{1}{t^2}=36\), so the value is (38). Exam tip: the square of a difference gives (-2).
यह (4AB) है जहाँ (A=x) और \(B=\frac{1}{x}\), इसलिए मान (4) है। परीक्षा में reciprocal terms का गुणन (1) होता है। / This is (4AB) where (A=x) and \(B=\frac{1}{x}\), so the value is (4). Exam tip: reciprocal terms multiply to (1).
पहले ( (x-2)(x+2)=x-2-4 ) और फिर (\(x^2-4\)\(x^2+4\)=x-4-16)। परीक्षा में दो बार अंतर वर्ग लगाएँ। / First ( (x-2)(x+2)=x-2-4 ), then (\(x^2-4\)\(x^2+4\)=x-4-16). Exam tip: apply difference of squares twice.
(16x-4=\(4x^2\)2) और (81y-4=\(9y^2\)2) है। परीक्षा में पहले बड़े वर्ग पहचानें। / (16x-4=\(4x^2\)2) and (81y-4=\(9y^2\)2). Exam tip: identify larger squares first.
यह (4AB) है जहाँ \(A=x^2\) और (B=3)। परीक्षा में \(x^2\) को एक पूरा पद मानें। / This is (4AB) where \(A=x^2\) and (B=3). Exam tip: treat \(x^2\) as one whole term.
( (u-v)2=u-2+v-2-2uv=29-20=9)। परीक्षा में अंतर के वर्ग में (2uv) घटता है। / ( (u-v)2=u-2+v-2-2uv=29-20=9). Exam tip: subtract (2uv) in the square of difference.
\(2\times2b\times(-c)=-4bc\) है। परीक्षा में तीन पदों के वर्ग में चिन्हों को ध्यान से रखें। / \(2\times2b\times(-c)=-4bc\). Exam tip: handle signs carefully in squares of three terms.
\(2\times2x\times z=4xz\) मिलता है। परीक्षा में जिस जोड़ी की बात हो वही मिश्र पद निकालें। / \(2\times2x\times z=4xz\). Exam tip: find the mixed term for the required pair only.
(x) का गुणांक (2+5=7) है। परीक्षा में ((x+a)(x+b)) में (x) का गुणांक (a+b) होता है। / The coefficient of (x) is (2+5=7). Exam tip: in ((x+a)(x+b)), the coefficient of (x) is (a+b).
स्थिर पद (-4k=-28) से (k=7) मिलता है और मध्य पद भी (3x) बनता है। परीक्षा में दोनों शर्तों से जाँच करें। / The constant term (-4k=-28) gives (k=7), and the middle term also becomes (3x). Exam tip: verify using both conditions.
पहला \(x^2+6x+9\) और दूसरा \(x^2+6x-7\) है। घटाने पर (16) नहीं बल्कि (9-(-7)=16) होगा इसलिए सही विकल्प (16) होना चाहिए। / The first is \(x^2+6x+9\) and the second is \(x^2+6x-7\). Subtracting gives (9-(-7)=16), so the correct option should be (16).
पहला गुणनफल \(4x^2+20x+9\) और दूसरा \(4x^2+20x+25\) है। परीक्षा में समान पद काटकर स्थिर पदों का अंतर लें। / The first product is \(4x^2+20x+9\) and the second is \(4x^2+20x+25\). Exam tip: cancel like terms and compare constants.
पहला विस्तार \(x^2+12x+36\) और दूसरा \(x^2+12x+20\) है। परीक्षा में समान पद काटकर स्थिर पदों का अंतर लें। / The first expansion is \(x^2+12x+36\) and the second is \(x^2+12x+20\). Exam tip: cancel like terms and compare constants.
पहचान (a-3+b-3=(a+b)3-3ab(a+b)) लगाएँ जहाँ (ab=1)। परीक्षा में \(7^3-3\times7=322\) याद रखें। / Use (a-3+b-3=(a+b)3-3ab(a+b)) where (ab=1). Exam tip: remember \(7^3-3\times7=322\).
यह ((3a)3+(2b)3) है इसलिए \(a^3+b^3\) की पहचान लगेगी। परीक्षा में योग घन में बीच वाला पद ऋणात्मक होता है। / This is ((3a)3+(2b)3), so the sum of cubes identity applies. Exam tip: the middle term inside the second factor is negative.
(a-2+b-2+c-2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=81-40=41)। परीक्षा में तीन पदों की वर्ग पहचान सीधे लगाएँ। / (a-2+b-2+c-2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=81-40=41). Exam tip: directly use the square identity of three terms.
योग पहचान से (2(5a)2+2(4b)2=50a-2+32b-2) मिलता है। परीक्षा में मध्य पदों के कटने को पहचानें। / The sum identity gives (2(5a)2+2(4b)2=50a-2+32b-2). Exam tip: notice the cancellation of middle terms.
इसे (A=x+z) मानकर ( (A+y)2-(A-y)2=4Ay ) लगाएँ। परीक्षा में समूह बनाकर पहचान लगाएँ। / Take (A=x+z) and apply ( (A+y)2-(A-y)2=4Ay ). Exam tip: group terms before applying the identity.
तीन पदों के वर्ग में हर जोड़ी का दोहरा गुणन आता है। यहाँ (pq), (pr), (qr) पद क्रमशः (12pq), (6pr), (4qr) हैं। / A three-term square has double products of every pair. Here the (pq), (pr), and (qr) terms are (12pq), (6pr), and (4qr).
यह ( (4x)2-2\cdot4x\cdot5y+(5y)2 ) है। परीक्षा में ऋण मध्य पद से घटाव वाला वर्ग पहचानें। / This is ( (4x)2-2\cdot4x\cdot5y+(5y)2 ). Exam tip: identify a minus square from the negative middle term.
यह ( (9a)2-(7b)2 ) है। परीक्षा में वर्गों के अंतर में दोनों वर्गमूल सही लें। / This is ( (9a)2-(7b)2 ). Exam tip: take both square roots correctly in difference of squares.
स्थिर पदों का योग (12+(-5)=7) और गुणन (-60) है। परीक्षा में मिश्रित चिह्नों में योग और गुणन अलग जाँचें। / The sum of constants is (12+(-5)=7) and the product is (-60). Exam tip: check sum and product separately with mixed signs.
( (2x+5)2=4x-2+20x+25 ) है। दिए गए वर्ग पद और स्थिर पद घटाने पर (20x) बचता है। / ( (2x+5)2=4x-2+20x+25 ). After subtracting the given square and constant terms, (20x) remains.
पहले दो वर्गों का योग \(2a^2+2b^2\) होता है। वही घटाने पर शून्य मिलता है। / The sum of the first two squares is \(2a^2+2b^2\). Subtracting the same expression gives zero.
दोनों विस्तारों में \(x^2+14x\) समान है और स्थिर पद (40-48=-8) देता है। परीक्षा में समान पद काटकर स्थिर पद घटाएँ। / Both expansions have the same \(x^2+14x\), and constants give (40-48=-8). Exam tip: cancel like terms and subtract constants.
तीन पदों के वर्ग में जोड़ी पद (6ab), (6ac), और (2bc) आते हैं। परीक्षा में हर जोड़ी का दोहरा गुणन करें। / The pair terms in the square are (6ab), (6ac), and (2bc). Exam tip: take the double product of every pair.
(xy), (yz), और (xz) पद क्रमशः (6xy), (24yz), और (8xz) हैं। परीक्षा में प्रत्येक जोड़ी अलग निकालें। / The (xy), (yz), and (xz) terms are (6xy), (24yz), and (8xz). Exam tip: find each pair separately.
(998=1000-2) इसलिए घटाव के वर्ग की पहचान सबसे आसान है। परीक्षा में निकट आधार चुनें। / Since (998=1000-2), the square of difference identity is easiest. Exam tip: choose a nearby base.
वर्गों के अंतर से ( (1006+994)(1006-994)=2000\cdot12=24000 )। परीक्षा में योग और अंतर का गुणन करें। / By difference of squares, ( (1006+994)(1006-994)=2000\cdot12=24000 ). Exam tip: multiply the sum and difference.
(3052=(300+5)2=90000+3000+25=93025) होता है। परीक्षा में (2ab) और \(b^2\) दोनों जोड़ें। / (3052=(300+5)2=90000+3000+25=93025). Exam tip: add both (2ab) and \(b^2\).
यह (4ab) है जहाँ (a=8x) और (b=1), इसलिए (32x) मिलता है। परीक्षा में (a) का पूरा पद लें। / This is (4ab), where (a=8x) and (b=1), so (32x) is obtained. Exam tip: take the full term for (a).
पहले दो वर्गों का योग \(72x^2+50\) है। \(72x^2\) घटाने पर (50) बचता है। / The sum of the first two squares is \(72x^2+50\). After subtracting \(72x^2\), (50) remains.
घटाव के घन में ( -3(4a)2b=-48a-2b ) आता है। परीक्षा में चिह्न और गुणांक साथ जाँचें। / In the cube of a difference, ( -3(4a)2b=-48a-2b ) appears. Exam tip: check sign and coefficient together.
घन विस्तार में \(x^3\) और (x) वाले पद कट जाते हैं। परीक्षा में घटाव करते समय चिह्न बदलें। / In cube expansion, the \(x^3\) and (x) terms cancel. Exam tip: change signs while subtracting.
यह (a-3+(6b)3) है। घनों के योग में दूसरा गुणनखंड \(a^2-6ab+36b^2\) होता है। / This is (a-3+(6b)3). In sum of cubes, the second factor is \(a^2-6ab+36b^2\).
यह ( (3p)3-(4q)3 ) है। परीक्षा में घनों के अंतर का दूसरा गुणनखंड धन पदों वाला रखें। / This is ( (3p)3-(4q)3 ). Exam tip: keep all terms positive in the second factor of difference of cubes.
घन विस्तार के मध्य पद \(3a^2b+3ab^2\) हैं। इन्हें (3ab(a+b)) के रूप में लिखा जाता है। / The middle terms in the cube expansion are \(3a^2b+3ab^2\). They are written as (3ab(a+b)).
(x-2+y-2=(x+y)2-2xy=289-120=169)। परीक्षा में योग के वर्ग से (2xy) घटाएँ। / (x-2+y-2=(x+y)2-2xy=289-120=169). Exam tip: subtract (2xy) from the square of the sum.
( (m+n)2=m-2+2mn+n-2 ) से (196=100+2mn), इसलिए (mn=48)। परीक्षा में पहले (2mn) निकालें। / Using ( (m+n)2=m-2+2mn+n-2 ), (196=100+2mn), so (mn=48). Exam tip: find (2mn) first.
पहले दो गुणनखंडों को फैलाकर तीसरे से गुणा करें। परीक्षा में समान पदों को क्रम से जोड़ें। / Expand two factors first and then multiply by the third. Exam tip: combine like terms in order.
( (2x+1)(2x+9)=4x-2+20x+9 ) है। परीक्षा में लंबा गुणन छोटे चरणों में करें। / ( (2x+1)(2x+9)=4x-2+20x+9 ). Exam tip: do long multiplication in small steps.
घटाव के घन में चिह्न (+), (-), (+), (-) क्रम में आते हैं। परीक्षा में \(4^2\) और \(4^3\) दोनों देखें। / In the cube of a difference, signs follow (+), (-), (+), (-). Exam tip: check both \(4^2\) and \(4^3\).
( (3x)3=27x-3 ), (3(3x)2\cdot4=108x-2), और (3(3x)\cdot16=144x) है। परीक्षा में हर पद की घात जाँचें। / ( (3x)3=27x-3 ), (3(3x)2\cdot4=108x-2), and (3(3x)\cdot16=144x). Exam tip: check the power of every term.
यह ( (3a)3+(4b)3 ) है। परीक्षा में घनमूल पहचानकर घनों के योग की पहचान लगाएँ। / This is ( (3a)3+(4b)3 ). Exam tip: identify cube roots and apply the sum of cubes identity.
यह ( (6p)3-(5q)3 ) है। परीक्षा में घनों के अंतर का दूसरा गुणनखंड धन पदों वाला रखें। / This is ( (6p)3-(5q)3 ). Exam tip: keep all terms positive in the second factor of difference of cubes.
इसे (A=x+4) मानकर ( (A+y)2-(A-y)2=4Ay ) लगाएँ। परीक्षा में समूह बनाकर पूरा पद लें। / Take (A=x+4) and use ( (A+y)2-(A-y)2=4Ay ). Exam tip: group terms and take the complete term.
जोड़ी पद \(2\cdot2x\cdot3y=12xy\), \(2\cdot2x\cdot4=16x\), और \(2\cdot3y\cdot4=24y\) हैं। / The pair terms are \(2\cdot2x\cdot3y=12xy\), \(2\cdot2x\cdot4=16x\), and \(2\cdot3y\cdot4=24y\).
पहले दो वर्गों का अंतर (24x) है और ( (x+5)(x-5)=x-2-25 ) है। परीक्षा में पहचानें जोड़कर हल करें। / The difference of the first two squares is (24x), and ( (x+5)(x-5)=x-2-25 ). Exam tip: combine identities while solving.
दोनों घन फैलाने पर \(ab^2\) वाले पद \(12ab^2\) और \(-12ab^2\) घटाव से मिलकर \(24ab^2\) देते हैं। / On expanding both cubes, the \(ab^2\) terms \(12ab^2\) and \(-12ab^2\) combine under subtraction to give \(24ab^2\).
A. पूरे पद, चिह्न, घात और मध्य पद को अलग-अलग जाँचना/check complete terms, signs, powers, and middle term separately
Explanation
Simple Explanation
अधिकतर गलतियाँ अधूरे पद या गलत चिह्न से होती हैं। परीक्षा में सूत्र लगाने से पहले पदों की पहचान करें। / Most mistakes happen due to incomplete terms or wrong signs. Exam tip: identify the terms before applying the formula.
( (a+b)3+(a-b)3=2a-3+6ab-2 ) लगाएँ। यहाँ (a=x) और (b=2y) लेने से \(2x^3+24xy^2\) मिलता है। / Use ( (a+b)3+(a-b)3=2a-3+6ab-2 ). Here (a=x) and (b=2y), so the result is \(2x^3+24xy^2\).
यह ( (5x)3+(6y)3 ) है। घनों के योग में दूसरा गुणनखंड \(a^2-ab+b^2\) रूप का होता है। / This is ( (5x)3+(6y)3 ). In sum of cubes, the second factor has the form \(a^2-ab+b^2\).
इसे (A=2x+3) और (B=y) मानकर ( (A+B)2-(A-B)2=4AB ) लगाएँ। परीक्षा में पूरा समूह पहचानें। / Take (A=2x+3) and (B=y), then apply ( (A+B)2-(A-B)2=4AB ). Exam tip: identify the complete group.
