समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) दिया है। यह संबंध किस प्रकार का है?
On the set \(A=\{1,2,3\}\), the relation \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) is given. What type of relation is it?
#relations
#functions
#equivalence relation
#reflexive
#symmetric
#transitive
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? Hint Small clue
A केवल प्रतिवर्ती / Reflexive only
B समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
C केवल सममित / Symmetric only
D सममित नहीं / Not symmetric
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Correct Answer
B. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर तत्व अपने आप से जुड़ा है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / Every element is related to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
केवल समान युग्म हैं, इसलिए सममित और संक्रामी शर्त भी पूरी होती है। / Since only identical ordered pairs are present, symmetry and transitivity also hold.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में समतुल्यता संबंध के लिए तीनों गुण जरूर जांचें। / In exams, always check all three properties for an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि (aRb) जब (a) और (b) दोनों (3) से भाग देने पर समान शेषफल दें। (1) का समतुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On the set \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), relation (R) is defined by (aRb) when (a) and (b) give the same remainder on division by (3). Which is the equivalence class of (1)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo
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? Hint Small clue
A ({1,4})
B ({2,5})
C ({3,6})
D ({1,2,3})
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Correct Answer
A. ({1,4})
Step 1
Concept
(1) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। / On division by (3), (1) leaves remainder (1).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (4) भी (3) से भाग देने पर शेषफल (1) देता है, इसलिए (1) का वर्ग ({1,4}) है। / In the given set, (4) also leaves remainder (1), so the class of (1) is ({1,4}).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्ग निकालते समय केवल दिए गए समुच्चय के तत्व ही लें। / While finding an equivalence class, use only the elements of the given set.
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किसी समुच्चय पर संबंध को समतुल्यता संबंध कहने के लिए कौन-से तीन गुण आवश्यक हैं?
Which three properties are required for a relation on a set to be called an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#properties
#class 12 math
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? Hint Small clue
A प्रतिवर्ती, सममित, संक्रामी / Reflexive, symmetric, transitive
B एकैकी, आच्छादक, प्रतिवर्ती / One-one, onto, reflexive
C सममित, आच्छादक, नियत / Symmetric, onto, constant
D केवल प्रतिवर्ती और संक्रामी / Reflexive and transitive only
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रतिवर्ती, सममित, संक्रामी / Reflexive, symmetric, transitive
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध की पहचान तीन गुणों से होती है। / An equivalence relation is identified by three properties.
Step 2
Why this answer is correct
ये गुण प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी हैं। / These are reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
यदि इनमें से एक भी गुण न हो, तो संबंध समतुल्यता संबंध नहीं होगा। / If even one property fails, the relation is not an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\) दिया है। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\) is given. What type of relation is this?
#relations
#functions
#equivalence relation
#ordered pairs
#reflexive symmetric transitive
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? Hint Small clue
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) के साथ ((3,2)) भी है, इसलिए सममित गुण पूरा है और ({2,3}) का छोटा वर्ग संक्रामिता भी पूरी करता है। / ((2,3)) comes with ((3,2)), so symmetry holds, and the small class ({2,3}) also satisfies transitivity.
Step 3
Exam Tip
ऐसे संबंध में बने हुए वर्गों को देखकर उत्तर जल्दी मिल सकता है। / In such relations, identifying the formed classes helps you answer quickly.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) है। क्या यह समतुल्यता संबंध है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\). Is it an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#ordered pairs
#easy mcq
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? Hint Small clue
A हाँ, क्योंकि तीनों गुण पूरे हैं / Yes, all three properties hold
B नहीं, क्योंकि प्रतिवर्ती नहीं है / No, it is not reflexive
C नहीं, क्योंकि सममित नहीं है / No, it is not symmetric
D नहीं, क्योंकि संक्रामी नहीं है / No, it is not transitive
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Correct Answer
D. नहीं, क्योंकि संक्रामी नहीं है / No, it is not transitive
Step 1
Concept
\((1,2)\in R\) और \((2,1)\in R\) हैं। / The relation has all identity pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामिता के लिए \((1,1)\in R\) चाहिए, जो है; पर ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) भी है। फिर भी ((1,2)) और ((2,1)) वाला छोटा समूह पूरा है, इसलिए यहां तीनों गुण पूरे हैं। / The pair ((1,2)) has ((2,1)), and the small block ({1,2}) is closed under transitivity.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में हर जोड़ी को ध्यान से मिलाएं। / Check the pair block carefully before rejecting the relation.
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यदि (R) पूर्णांकों पर इस प्रकार परिभाषित है कि (aRb) जब (a-b) सम संख्या हो, तो (R) कैसा संबंध है?
If (R) is defined on integers by (aRb) when (a-b) is even, then what type of relation is (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#integers
#parity
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? Hint Small clue
A केवल प्रतिवर्ती / Reflexive only
B केवल सममित / Symmetric only
C समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
D प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
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Correct Answer
C. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) सम है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / Since (a-a=0) is even, the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम होगा; और दो सम अंतरों का योग भी सम रहता है। / If (a-b) is even, then (b-a) is also even, and the sum of two even differences is even.
Step 3
Exam Tip
सम और विषम वर्गों वाले संबंध प्रायः समतुल्यता संबंध बनाते हैं। / Relations based on parity often form equivalence relations.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) दोनों सम हैं या दोनों विषम हैं। (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) means (a) and (b) are both even or both odd. Choose the correct statement about (R).
#relations
#functions
#equivalence relation
#even odd
#partition
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? Hint Small clue
A यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह केवल रिक्त संबंध है / It is only an empty relation
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Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या अपने जैसे सम या विषम वर्ग में आती है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / Every number belongs to the same parity class as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) एक ही वर्ग में हैं, तो (b) और (a) भी उसी वर्ग में होंगे। / If (a) and (b) are in the same class, then (b) and (a) are also in the same class.
Step 3
Exam Tip
एक ही वर्ग पर आधारित संबंध में संक्रामिता आसानी से जांची जाती है। / Class-based relations usually make transitivity easy to verify.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर सार्वत्रिक संबंध \(R=A\times A\) दिया है। यह संबंध कैसा है?
On the set \(A=\{1,2,3\}\), the universal relation \(R=A\times A\) is given. What type of relation is it?
#relations
#functions
#equivalence relation
#universal relation
#cartesian product
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? Hint Small clue
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B सममित नहीं / Not symmetric
C प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
D संक्रामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
\(A\times A\) में हर संभव क्रमित युग्म होता है। / \(A\times A\) contains every possible ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर ((a,a)), उल्टा युग्म और जरूरी संक्रामी युग्म सभी मौजूद रहते हैं। / So all identity pairs, reverse pairs, and required transitive pairs are present.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध को समतुल्यता संबंध के सामान्य उदाहरण के रूप में याद रखें। / Remember the universal relation as a common example of an equivalence relation.
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किसी अरिक्त समुच्चय (A) पर समानता संबंध \(R=\{(a,a):a\in A\}\) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
For a non-empty set (A), which statement is correct about the equality relation \(R=\{(a,a):a\in A\}\)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equality relation
#identity relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह केवल संक्रामी है / It is only transitive
D यह प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
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Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
समानता संबंध में हर तत्व अपने आप से संबंधित होता है। / In the equality relation, every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=b), तो (b=a) और (a=b, b=c) से (a=c) मिलता है। / If (a=b), then (b=a), and if (a=b) and (b=c), then (a=c).
Step 3
Exam Tip
समानता संबंध समतुल्यता संबंध का सबसे सरल उदाहरण है। / The equality relation is the simplest example of an equivalence relation.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है और \((a,b)\in R\), तो सममित गुण के कारण कौन-सा युग्म अवश्य (R) में होगा?
If (R) is an equivalence relation and \((a,b)\in R\), then which pair must belong to (R) due to the symmetric property?
#relations
#functions
#equivalence relation
#symmetric property
#ordered pair
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((b,a))
B ((a,a))
C ((b,b))
D ((a,c))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((b,a))
Step 1
Concept
सममित गुण कहता है कि यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\)। / The symmetric property says that if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
समतुल्यता संबंध में सममित गुण अवश्य होता है। / Every equivalence relation must be symmetric.
Step 3
Exam Tip
उल्टा युग्म पहचानना सममितता का सीधा संकेत है। / Looking for the reverse pair is the easiest way to test symmetry.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है और \((a,b)\in R\), \((b,c)\in R\), तो संक्रामी गुण के अनुसार क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If (R) is an equivalence relation and \((a,b)\in R\), \((b,c)\in R\), what follows by the transitive property?
#relations
#functions
#equivalence relation
#transitive property
#mcq
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? Hint Small clue
A \((a,c)\in R\)
B \((c,a)\notin R\)
C \((a,b)\notin R\)
D \((b,a)\notin R\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
संक्रामी गुण में पहले युग्म का दूसरा तत्व दूसरे युग्म के पहले तत्व से मिलता है। / In transitivity, the second element of the first pair matches the first element of the second pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलना चाहिए। / Therefore, ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 3
Exam Tip
संक्रामी प्रश्नों में मध्य तत्व को ध्यान से देखें। / In transitivity questions, focus on the middle element.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2)\}\) है। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2)\}\). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#reflexive property
#ordered pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि ((3,3)) नहीं है / Because ((3,3)) is missing
B क्योंकि ((1,2)) नहीं है / Because ((1,2)) is missing
C क्योंकि ((2,1)) नहीं है / Because ((2,1)) is missing
D क्योंकि रिक्त युग्म नहीं है / Because the empty pair is missing
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Correct Answer
A. क्योंकि ((3,3)) नहीं है / Because ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध के लिए (A) के हर तत्व (a) पर \((a,a)\in R\) होना चाहिए। / For reflexivity, every element (a) of (A) must have \((a,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
यहां (3) के लिए ((3,3)) नहीं है। / Here, ((3,3)) is missing for the element (3).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता संबंध जांचते समय पहले सभी आत्म युग्म देखें। / When checking equivalence, first check all identity pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) को भागों ({1,3}) और ({2,4}) में बांटा गया है। उसी भाग में होने का संबंध कैसा होगा?
The set \(A=\{1,2,3,4\}\) is divided into parts ({1,3}) and ({2,4}). What type of relation is being in the same part?
#relations
#functions
#equivalence relation
#partition
#same class
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? Hint Small clue
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल सममित / Symmetric only
C प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
D संक्रामी नहीं / Not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर तत्व अपने भाग में स्वयं के साथ है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / Every element is in the same part as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो तत्व एक ही भाग में हैं, तो क्रम बदलने पर भी वे उसी भाग में रहेंगे। / If two elements are in the same part, reversing the order keeps them in the same part.
Step 3
Exam Tip
भागों द्वारा बना संबंध प्रायः समतुल्यता संबंध होता है। / A relation formed by partitions is usually an equivalence relation.
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समतुल्यता संबंध किसी समुच्चय को किस प्रकार व्यवस्थित करता है?
How does an equivalence relation organize a set?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#partition
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? Hint Small clue
A अलग-अलग समतुल्यता वर्गों में / Into distinct equivalence classes
B केवल एक क्रम में / Only into one order
C सदैव खाली समुच्चय में / Always into an empty set
D केवल अवरोही क्रम में / Only in descending order
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अलग-अलग समतुल्यता वर्गों में / Into distinct equivalence classes
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध समान गुण वाले तत्वों को एक साथ रखता है। / An equivalence relation groups elements with the same property.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रकार समुच्चय अलग-अलग समतुल्यता वर्गों में बंट जाता है। / Thus, the set is divided into distinct equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
वर्गों की सोच से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / Thinking in terms of classes helps solve these questions faster.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है, तो (a) का समतुल्यता वर्ग सामान्यतः किससे बनता है?
If (R) is an equivalence relation, what generally forms the equivalence class of (a)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#basic concept
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? Hint Small clue
A उन तत्वों से जो (a) से संबंधित हैं / Elements related to (a)
B केवल (a) से छोटे तत्वों से / Elements smaller than (a) only
C केवल सबसे बड़े तत्व से / Only the largest element
D उन तत्वों से जो किसी से संबंधित नहीं हैं / Elements related to none
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. उन तत्वों से जो (a) से संबंधित हैं / Elements related to (a)
Step 1
Concept
(a) का समतुल्यता वर्ग उन सभी तत्वों का समूह है जो (a) से संबंधित हैं। / The equivalence class of (a) is the set of all elements related to (a).
Step 2
Why this answer is correct
समतुल्यता संबंध में यह वर्ग साफ और अलग भाग बनाता है। / In an equivalence relation, this class forms a clear separate block.
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूछे जाने पर पहले संबंध की शर्त समझें। / When asked for a class, first understand the condition of the relation.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a \equiv b \pmod{3}\)। यह संबंध कैसा है?
On integers, (aRb) when \(a \equiv b \pmod{3}\). What type of relation is this?
#relations
#functions
#equivalence relation
#modulo
#congruence
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? Hint Small clue
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B सममित नहीं / Not symmetric
C प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
D संक्रामी नहीं / Not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर पूर्णांक अपने आप के तुल्य होता है क्योंकि (a-a=0) है। / Every integer is congruent to itself because (a-a=0).
Step 2
Why this answer is correct
समान शेषफल होने की बात क्रम बदलने पर और श्रृंखला में भी सही रहती है। / Having the same remainder is preserved when order is reversed and through a chain.
Step 3
Exam Tip
मापांक पर समान शेषफल वाले संबंध समतुल्यता संबंध के अच्छे उदाहरण हैं। / Same-remainder modulo relations are standard examples of equivalence relations.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a+b) सम संख्या हो। सही निष्कर्ष चुनिए।
On integers, (aRb) when (a+b) is even. Choose the correct conclusion.
#relations
#functions
#equivalence relation
#integers
#even sum
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? Hint Small clue
A यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह कभी संक्रामी नहीं होता / It is never transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम है, इसलिए सममित है। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याएं तीसरी के साथ समान सम-विषम प्रकृति रखती हैं, तो वे आपस में भी वैसी ही होंगी। / If two numbers have the same parity as a middle number, they have the same parity with each other.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) है। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#symmetric check
#ordered pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि ((2,1)) नहीं है / Because ((2,1)) is missing
B क्योंकि ((1,1)) नहीं है / Because ((1,1)) is missing
C क्योंकि ((3,3)) नहीं है / Because ((3,3)) is missing
D क्योंकि (A) रिक्त है / Because (A) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ((2,1)) नहीं है / Because ((2,1)) is missing
Step 1
Concept
संबंध में ((1,2)) मौजूद है। / The pair ((1,2)) is present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए इसका उल्टा युग्म ((2,1)) भी होना चाहिए, जो नहीं है। / For symmetry, the reverse pair ((2,1)) must also be present, but it is missing.
Step 3
Exam Tip
सममित गुण जांचते समय हर असमान युग्म का उल्टा युग्म जरूर देखें। / To test symmetry, check the reverse of every non-identical pair.
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किस गुण में यह जांचा जाता है कि हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है?
Which property checks that for every \(a\in A\), \((a,a)\in R\)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#reflexive
#basic definition
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A प्रतिवर्ती / Reflexive
B सममित / Symmetric
C संक्रामी / Transitive
D सार्वत्रिक / Universal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रतिवर्ती / Reflexive
Step 1
Concept
((a,a)) जैसे आत्म युग्म प्रतिवर्ती गुण से जुड़े होते हैं। / Identity pairs like ((a,a)) are connected with the reflexive property.
Step 2
Why this answer is correct
हर तत्व के लिए ऐसा युग्म होना जरूरी है। / Such a pair must exist for every element.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्ती गुण में किसी दूसरे तत्व की जरूरत नहीं होती। / Reflexivity does not need comparison with another element.
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सममित गुण की सही पहचान कौन-सी है?
Which is the correct identification of the symmetric property?
#relations
#functions
#equivalence relation
#symmetric property
#definition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) / If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
B यदि \((a,b)\in R\), तो \((a,a)\in R\) / If \((a,b)\in R\), then \((a,a)\in R\)
C यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,b)\notin R\) / If \((a,b)\in R\), then \((b,b)\notin R\)
D यदि \((a,b)\in R\), तो (a<b) / If \((a,b)\in R\), then (a<b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) / If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
सममित गुण में क्रम बदलने पर संबंध बना रहना चाहिए। / In the symmetric property, the relation remains true when the order is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होना चाहिए। / So ((a,b)) must come with ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
इसे उल्टा युग्म विधि से याद रखें। / Remember it as the reverse-pair rule.
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संक्रामी गुण की सही पहचान कौन-सी है?
Which is the correct identification of the transitive property?
#relations
#functions
#equivalence relation
#transitive property
#definition
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) / If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
B यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\) / If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
C हर (a) के लिए \((a,a)\in R\) / For every (a), \((a,a)\in R\)
D सभी युग्मों में (a=b) / In all pairs, (a=b)
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Correct Answer
A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) / If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
संक्रामी गुण में दो संबंधित युग्मों की श्रृंखला बनती है। / Transitivity forms a chain of two related pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((a,b)) और ((b,c)) से सीधा युग्म ((a,c)) चाहिए। / From ((a,b)) and ((b,c)), the direct pair ((a,c)) is required.
Step 3
Exam Tip
बीच वाले तत्व (b) को मिलाकर पहचान करें। / Identify it by matching the middle element (b).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) में वही युग्म हैं जिनमें दोनों संख्याओं का शेषफल (2) से भाग देने पर समान है। (1) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) contains pairs whose two numbers have the same remainder on division by (2). What is the equivalence class of (1)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo 2
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,3})
B ({2,4})
C ({1,2})
D ({3,4})
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Correct Answer
A. ({1,3})
Step 1
Concept
(2) से भाग देने पर (1) और (3) का शेषफल समान होता है। / On division by (2), (1) and (3) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (1) अपने वर्ग में (1) और (3) को साथ रखता है। / So the class of (1) contains (1) and (3).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्ग निकालते समय दिए गए तत्व जैसा शेषफल खोजें। / To find an equivalence class, look for elements with the same remainder as the given element.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब \(a \equiv b \pmod{3}\)। (2) का समतुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\), (aRb) when \(a \equiv b \pmod{3}\). Which is the equivalence class of (2)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo 3
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({2,5})
B ({0,3})
C ({1,4})
D ({2,3})
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Correct Answer
A. ({2,5})
Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर (2) का शेषफल (2) है। / On division by (3), (2) leaves remainder (2).
Step 2
Why this answer is correct
(5) का भी शेषफल (2) है, इसलिए (2) का वर्ग ({2,5}) है। / (5) also leaves remainder (2), so the class of (2) is ({2,5}).
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्नों में शेषफल तालिका बनाना आसान तरीका है। / In modulo questions, making a remainder table is an easy method.
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कौन-सा संबंध समतुल्यता संबंध का सबसे अच्छा उदाहरण है?
Which relation is the best example of an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#real life example
#same property
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एक ही जन्म वर्ष में जन्मे होना / Being born in the same year
B लंबा होना / Being taller than
C का पिता होना / Being father of
D से कम होना / Being less than
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Correct Answer
A. एक ही जन्म वर्ष में जन्मे होना / Being born in the same year
Step 1
Concept
एक ही जन्म वर्ष में हर व्यक्ति स्वयं से संबंधित है। / A person is born in the same year as themselves.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहला दूसरे के समान वर्ष में जन्मा है, तो दूसरा भी पहले के समान वर्ष में जन्मा है, और श्रृंखला में भी यही रहेगा। / If one person has the same birth year as another, the reverse is also true, and the chain condition also holds.
Step 3
Exam Tip
समानता जैसी शर्तें समतुल्यता संबंध की ओर संकेत करती हैं। / Conditions based on sameness usually indicate equivalence relations.
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कौन-सा संबंध सामान्यतः समतुल्यता संबंध नहीं है?
Which relation is generally not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#non example
#greater than
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एक ही रंग का होना / Having the same color
B एक ही कक्षा में पढ़ना / Studying in the same class
C एक ही लंबाई का होना / Having the same length
D से बड़ा होना / Being greater than
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Correct Answer
D. से बड़ा होना / Being greater than
Step 1
Concept
(a>a) कभी सत्य नहीं होता, इसलिए से बड़ा होना प्रतिवर्ती नहीं है। / (a>a) is never true, so greater than is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b), तो (b>a) सत्य नहीं होगा, इसलिए सममित भी नहीं है। / If (a>b), then (b>a) is not true, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
तुलना वाले संबंधों में समतुल्यता के तीनों गुण सावधानी से जांचें। / For comparison relations, check all equivalence properties carefully.
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प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a=b)। (R) कैसा है?
On natural numbers, (aRb) when (a=b). What type of relation is (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equality
#natural numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल सममित / Symmetric only
C प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
D संक्रामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर प्राकृतिक संख्या अपने बराबर होती है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / Every natural number is equal to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी में क्रम बदलने से सत्यता नहीं बदलती। / Equality remains true when the order is reversed.
Step 3
Exam Tip
समानता संबंध को हमेशा समतुल्यता संबंध मानकर जांच सकते हैं। / The equality relation is always a safe example of an equivalence relation.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (|a|=|b|)। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) when (|a|=|b|). What type of relation is this?
#relations
#functions
#equivalence relation
#absolute value
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(|a|=|a|) हमेशा सत्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (|a|=|a|) is always true, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (|a|=|b|), तो (|b|=|a|) भी सत्य है। / If (|a|=|b|), then (|b|=|a|) is also true.
Step 3
Exam Tip
समान मान वाली शर्त संक्रामी भी होती है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है। / Equality of values is also transitive, so this is an equivalence relation.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(a^2=b^2\)। सही कथन चुनिए।
On real numbers, (aRb) when \(a^2=b^2\). Choose the correct statement.
#relations
#functions
#equivalence relation
#square equality
#real numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामी नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(a^2=a^2\) होने से प्रतिवर्ती गुण पूरा है। / Since \(a^2=a^2\), the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी का क्रम बदल सकता है और बराबरी की श्रृंखला भी सही रहती है। / Equality can be reversed and passed through a chain.
Step 3
Exam Tip
\(a^2=b^2\) जैसी समानता आधारित शर्त को तीनों गुणों से जांचें। / For a condition like \(a^2=b^2\), test the three properties through equality.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) का (3) से भाग देने पर शेषफल समान हो। (R) कितने समतुल्यता वर्ग बनाता है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) when (a) and (b) leave the same remainder on division by (3). How many equivalence classes does (R) form?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence classes
#modulo
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (2)
C (6)
D (1)
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर संभावित शेषफल (0,1,2) हैं। / The possible remainders on division by (3) are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
हर शेषफल एक अलग वर्ग बनाता है। / Each remainder forms a separate class.
Step 3
Exam Tip
मापांक (n) में प्रायः (n) शेषफल वर्ग मिलते हैं, यदि सभी शेषफल मौजूद हों। / In modulo (n), we usually get (n) remainder classes if all remainders occur.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है, तो दो समतुल्यता वर्गों के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (R) is an equivalence relation, which statement about two equivalence classes is correct?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence classes
#disjoint
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A वे या तो समान होते हैं या असंयुक्त होते हैं / They are either identical or disjoint
B वे हमेशा आंशिक रूप से कटते हैं / They always partially overlap
C वे हमेशा खाली होते हैं / They are always empty
D उनमें केवल एक-एक तत्व होता है / They contain exactly one element each
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Correct Answer
A. वे या तो समान होते हैं या असंयुक्त होते हैं / They are either identical or disjoint
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध समुच्चय को साफ भागों में बांटता है। / An equivalence relation divides a set into clear blocks.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दो वर्गों में या तो वही तत्व होंगे या कोई साझा तत्व नहीं होगा। / So two classes are either the same or have no common element.
Step 3
Exam Tip
वर्गों के आपसी संबंध को भागों की तरह समझें। / Think of equivalence classes as parts of a partition.
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यदि कोई संबंध समतुल्यता संबंध है, तो क्या वह अवश्य प्रतिवर्ती होगा?
If a relation is an equivalence relation, must it be reflexive?
#relations
#functions
#equivalence relation
#reflexive
#definition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल जब समुच्चय सीमित हो / Only when the set is finite
D केवल जब संबंध रिक्त हो / Only when the relation is empty
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती गुण समतुल्यता संबंध की अनिवार्य शर्त है। / Reflexivity is a compulsory condition for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती होता है। / Therefore, every equivalence relation must be reflexive.
Step 3
Exam Tip
ऐसे सीधे प्रश्नों में परिभाषा याद रखना सबसे उपयोगी है। / For direct questions like this, remembering the definition is most useful.
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यदि कोई संबंध समतुल्यता संबंध है, तो क्या वह अवश्य सममित होगा?
If a relation is an equivalence relation, must it be symmetric?
#relations
#functions
#equivalence relation
#symmetric
#definition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल तब जब सभी तत्व बराबर हों / Only when all elements are equal
D केवल तब जब कोई युग्म न हो / Only when there is no pair
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
सममित गुण समतुल्यता संबंध का जरूरी भाग है। / Symmetry is a required part of an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर संबंधित युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में होना चाहिए। / So every related ordered pair must have its reverse pair in the relation.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता संबंध में उल्टा युग्म भूलना सामान्य गलती है। / Forgetting reverse pairs is a common mistake in equivalence relation questions.
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यदि कोई संबंध समतुल्यता संबंध है, तो क्या वह अवश्य संक्रामी होगा?
If a relation is an equivalence relation, must it be transitive?
#relations
#functions
#equivalence relation
#transitive
#definition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल तब जब समुच्चय में दो तत्व हों / Only when the set has two elements
D केवल तब जब संबंध सार्वत्रिक हो / Only when the relation is universal
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
संक्रामी गुण समतुल्यता संबंध की तीसरी जरूरी शर्त है। / Transitivity is the third required condition for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
यदि यह गुण न हो, तो संबंध समतुल्यता संबंध नहीं रह जाता। / If this property fails, the relation is not an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
तीनों गुणों को एक साथ याद रखें। / Remember all three properties together.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\). What is the correct statement about (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#ordered pairs
#classes
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामी नहीं है क्योंकि ((1,1)) नहीं है / It is not transitive because ((1,1)) is missing
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Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सभी आत्म युग्म मौजूद हैं, इसलिए प्रतिवर्ती है। / All identity pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,4)) और ((4,1)) दोनों हैं, इसलिए सममित है। / Both ((1,4)) and ((4,1)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
वर्ग ({1,4}), ({2}), ({3}) बनते हैं, इसलिए संक्रामिता भी ठीक है। / The classes are ({1,4}), ({2}), and ({3}), so transitivity also holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#transitivity failure
#ordered pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि ((1,3)) नहीं है / Because ((1,3)) is missing
B क्योंकि ((4,4)) नहीं है / Because ((4,4)) is missing
C क्योंकि ((2,1)) नहीं है / Because ((2,1)) is missing
D क्योंकि ((3,2)) नहीं है / Because ((3,2)) is missing
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Correct Answer
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है / Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
\((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) हैं। / We have \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामिता के लिए \((1,3)\in R\) होना चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Transitivity requires \((1,3)\in R\), but it is absent.
Step 3
Exam Tip
संक्रामिता में युग्मों की श्रृंखला बनाकर कमी खोजें। / To test transitivity, form chains of ordered pairs and find missing links.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर रिक्त संबंध \(R=\{\}\) दिया है। क्या यह समतुल्यता संबंध है?
On \(A=\{1,2,3\}\), the empty relation \(R=\{\}\) is given. Is it an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#empty relation
#reflexive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A नहीं, क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / No, because it is not reflexive
B हाँ, क्योंकि कोई गलत युग्म नहीं है / Yes, because there is no wrong pair
C हाँ, क्योंकि यह सममित है / Yes, because it is symmetric
D हाँ, क्योंकि यह संक्रामी है / Yes, because it is transitive
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Correct Answer
A. नहीं, क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / No, because it is not reflexive
Step 1
Concept
अरिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। / On a non-empty set, reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई आत्म युग्म नहीं है। / The empty relation has no identity pairs.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध समतुल्यता संबंध नहीं होता। / On a non-empty set, the empty relation is not an equivalence relation.
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यदि \(A=\{\}\) हो और \(R=\{\}\) हो, तो (R) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If \(A=\{\}\) and \(R=\{\}\), which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#equivalence relation
#empty set
#vacuous truth
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह समतुल्यता संबंध माना जा सकता है / It can be considered an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं हो सकता / It cannot be reflexive
C यह सममित नहीं हो सकता / It cannot be symmetric
D यह संक्रामी नहीं हो सकता / It cannot be transitive
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Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध माना जा सकता है / It can be considered an equivalence relation
Step 1
Concept
खाली समुच्चय में जांचने के लिए कोई तत्व नहीं होता। / In an empty set, there is no element to check.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी शर्तों का विरोध नहीं होता। / Therefore, reflexive, symmetric, and transitive conditions are not violated.
Step 3
Exam Tip
स्कूल परीक्षा में यदि समुच्चय अरिक्त दिया हो, तो उस स्थिति को अलग मानें। / In school exams, treat the non-empty set case separately if it is specified.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\) है। यह संबंध कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\). What relation is this?
#relations
#functions
#equivalence relation
#universal relation
#all pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सार्वत्रिक और समतुल्यता संबंध / Universal and equivalence relation
B केवल रिक्त संबंध / Empty relation only
C प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
D सममित नहीं / Not symmetric
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Correct Answer
A. सार्वत्रिक और समतुल्यता संबंध / Universal and equivalence relation
Step 1
Concept
दिए गए (R) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म हैं। / The given (R) contains all possible ordered pairs of (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह सार्वत्रिक संबंध है और तीनों गुण पूरे करता है। / So it is the universal relation and satisfies all three properties.
Step 3
Exam Tip
सभी संभव युग्म देखकर तुरंत \(A\times A\) पहचानें। / When all possible pairs are present, identify \(A\times A\) quickly.
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यदि कोई संबंध किसी समुच्चय को ({a,b}) और ({c}) वर्गों में बांटता है, तो कौन-से युग्म अवश्य होंगे?
If a relation divides a set into the classes ({a,b}) and ({c}), which pairs must be present?
#relations
#functions
#equivalence relation
#partition to relation
#ordered pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c))
B ((a,c),(c,a)) ही / Only ((a,c),(c,a))
C ((b,c),(c,b)) ही / Only ((b,c),(c,b))
D कोई आत्म युग्म नहीं / No identity pair
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Correct Answer
A. ((a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c))
Step 1
Concept
एक ही वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / All elements inside the same class are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
({a,b}) से चार युग्म और ({c}) से एक आत्म युग्म मिलेगा। / The class ({a,b}) gives four pairs, and ({c}) gives one identity pair.
Step 3
Exam Tip
वर्ग से संबंध बनाते समय प्रत्येक वर्ग का कार्तीय गुणन अपने साथ लें। / To form a relation from classes, take each class crossed with itself.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है और (aRb), तो (a) और (b) के समतुल्यता वर्गों के बारे में क्या सही है?
If (R) is an equivalence relation and (aRb), what is correct about the equivalence classes of (a) and (b)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#same class
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A दोनों वर्ग समान होंगे / Both classes will be the same
B दोनों वर्ग हमेशा असंयुक्त होंगे / Both classes will always be disjoint
C दोनों वर्ग खाली होंगे / Both classes will be empty
D (a) का वर्ग छोटा होगा / The class of (a) will be smaller
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Correct Answer
A. दोनों वर्ग समान होंगे / Both classes will be the same
Step 1
Concept
(aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) एक ही समूह में हैं। / (aRb) means (a) and (b) are in the same group.
Step 2
Why this answer is correct
समतुल्यता संबंध में एक ही समूह के तत्वों के वर्ग समान होते हैं। / In an equivalence relation, elements in the same group have identical classes.
Step 3
Exam Tip
यदि दो वर्गों में साझा तत्व मिल जाए, तो वे समान होते हैं। / If two equivalence classes share an element, they are the same.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (5) से विभाज्य हो। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
On integers, (aRb) when (a-b) is divisible by (5). Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#equivalence relation
#divisibility
#modulo 5
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामी नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0), और (0) (5) से विभाज्य है। / (a-a=0), and (0) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (5) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (5) से विभाज्य होगा। / If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता के ऐसे संबंधों में संक्रामिता भी अंतरों के योग से मिलती है। / Transitivity in such divisibility relations follows from adding differences.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) विषम हो। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) when (a+b) is odd. Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#not reflexive
#odd sum
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (a+a) विषम नहीं होता / Because (a+a) is not odd
B क्योंकि यह कभी सममित नहीं होता / Because it is never symmetric
C क्योंकि इसमें कोई युग्म नहीं होगा / Because it has no pair
D क्योंकि (A) रिक्त है / Because (A) is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (a+a) विषम नहीं होता / Because (a+a) is not odd
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए (aRa) हर (a) के लिए सत्य होना चाहिए। / For reflexivity, (aRa) must be true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। / (a+a=2a) is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
पहले प्रतिवर्ती गुण जांचने से उत्तर जल्दी मिल सकता है। / Checking reflexivity first can quickly decide many questions.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\le b\)। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), (aRb) when \(a\le b\). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#order relation
#not symmetric
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? Hint Small clue
A क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
B क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
C क्योंकि यह संक्रामी नहीं है / Because it is not transitive
D क्योंकि इसमें ((1,1)) नहीं है / Because it lacks ((1,1))
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Correct Answer
A. क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
Step 1
Concept
\(1\le 2\) है, इसलिए \((1,2)\in R\)। / \(1\le 2\), so \((1,2)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(2\le 1\) गलत है, इसलिए \((2,1)\notin R\)। / But \(2\le 1\) is false, so \((2,1)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
क्रम संबंध अक्सर सममित नहीं होते, इसलिए वे समतुल्यता संबंध नहीं बनते। / Order relations are often not symmetric, so they are not equivalence relations.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) तब है जब (a<b)। यह समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), (aRb) when (a<b). Why is it not an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#less than
#not reflexive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
B क्योंकि यह हमेशा सार्वत्रिक है / Because it is always universal
C क्योंकि यह सभी तीन गुण पूरे करता है / Because it satisfies all three properties
D क्योंकि इसमें केवल आत्म युग्म हैं / Because it contains only identity pairs
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Correct Answer
A. क्योंकि यह प्रतिवर्ती नहीं है / Because it is not reflexive
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए (a<a) हर (a) के लिए सत्य होना चाहिए। / For reflexivity, (a<a) must be true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी संख्या अपने आप से छोटी नहीं होती। / No number is less than itself.
Step 3
Exam Tip
से छोटा संबंध समतुल्यता संबंध नहीं होता। / The less-than relation is not an equivalence relation.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b=0)। (R) कैसा है?
On real numbers, (aRb) when (a-b=0). What type of relation is (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equality
#real numbers
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A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामी नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-b=0) का अर्थ (a=b) है। / (a-b=0) means (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
समानता संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है। / Equality is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
पहले शर्त को सरल रूप में बदलें, फिर गुण जांचें। / First simplify the condition, then check the properties.
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यदि संबंध (R) समतुल्यता संबंध है, तो ([a]) का अर्थ सामान्यतः क्या होता है?
If (R) is an equivalence relation, what does ([a]) usually mean?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#notation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (a) का समतुल्यता वर्ग / Equivalence class of (a)
B (a) का वर्गफल / Square of (a)
C (a) का व्युत्क्रम / Reciprocal of (a)
D (a) का केवल क्रमांक / Only serial number of (a)
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Correct Answer
A. (a) का समतुल्यता वर्ग / Equivalence class of (a)
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में ([a]) चिन्ह (a) के वर्ग को दिखाता है। / In equivalence relations, ([a]) denotes the class of (a).
Step 2
Why this answer is correct
इसमें वे सभी तत्व होते हैं जो (a) से संबंधित हैं। / It contains all elements related to (a).
Step 3
Exam Tip
([a]) को वर्गफल समझने की गलती न करें। / Do not confuse ([a]) with the square of (a).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) दो वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) बनाता है। इनमें से कौन-सा युग्म (R) में नहीं होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) forms two classes ({1,2}) and ({3,4}). Which pair will not belong to (R)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#partition
#ordered pair
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+10 Time+ 10 sec extra
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A ((1,3))
B ((1,2))
C ((4,3))
D ((2,1))
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Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
एक ही वर्ग के तत्व आपस में संबंधित होंगे। / Elements in the same class are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3) अलग-अलग वर्गों में हैं, इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं होगा। / (1) and (3) are in different classes, so ((1,3)) will not be in the relation.
Step 3
Exam Tip
वर्ग आधारित प्रश्नों में पहले देखें कि दोनों तत्व किस वर्ग में हैं। / In class-based questions, first check where the two elements belong.
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यदि (R) प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है, तो (R) को क्या कहा जाएगा?
If (R) is reflexive, symmetric, and transitive, what is (R) called?
#relations
#functions
#equivalence relation
#definition
#properties
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A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B फलन / Function
C एकैकी फलन / One-one function
D केवल क्रम संबंध / Order relation only
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
तीनों गुण एक साथ मिलकर समतुल्यता संबंध की परिभाषा बनाते हैं। / The three properties together form the definition of an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ऐसा (R) समतुल्यता संबंध कहलाता है। / Therefore, such an (R) is called an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा आधारित प्रश्नों में शब्दों को ध्यान से पढ़ें। / In definition-based questions, read the property words carefully.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) से भाग देने पर समान शेषफल देते हैं। (4) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) when (a) and (b) give the same remainder on division by (2). What is the equivalence class of (4)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo 2
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? Hint Small clue
A ({2,4})
B ({1,3,5})
C ({4,5})
D ({1,4})
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Correct Answer
A. ({2,4})
Step 1
Concept
(4) सम संख्या है, इसलिए इसका शेषफल (0) है। / (4) is even, so its remainder is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में समान शेषफल (0) देने वाली संख्याएं (2) और (4) हैं। / In (A), the numbers with the same remainder (0) are (2) and (4).
Step 3
Exam Tip
वर्ग निकालते समय दिए गए समुच्चय के बाहर की संख्या न जोड़ें। / While finding a class, do not include elements outside the given set.
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कौन-सा तरीका समतुल्यता संबंध की जांच के लिए सबसे सही है?
Which method is the most correct for checking an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#exam tip
#property check
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण जांचना / Check reflexive, symmetric, and transitive properties
B केवल युग्मों की संख्या गिनना / Count only the number of pairs
C केवल सबसे छोटे तत्व को देखना / Look only at the smallest element
D केवल संबंध का नाम पढ़ना / Read only the name of the relation
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Correct Answer
A. प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण जांचना / Check reflexive, symmetric, and transitive properties
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध नाम से नहीं, गुणों से तय होता है। / An equivalence relation is decided by properties, not by its name.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुणों की जांच जरूरी है। / Checking reflexive, symmetric, and transitive properties is necessary.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनुमान लगाने के बजाय गुणों की छोटी सूची बनाएं। / In exams, make a short property checklist instead of guessing.
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