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(A) में (3) तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। परीक्षा में \(2^n\) नियम तुरंत लगाएं। / Set (A) has (3) elements so its power set has \(2^3=8\) elements. Use the \(2^n\) rule directly in exams.
पहले \(A\cup B\) निकालें: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\). किसी सेट का पूर्ण पूरक (complement) यूनिवर्सल सेट \(U\) में से उस सेट के सदस्यों को हटाने से मिलता है: \((A\cup B)'=U-(A\cup B)=\{6,7,8\}\). विकल्प A गलत है क्योंकि यह \(A\cup B\) स्वयं है, न कि उसका पूरक. विकल्प C गलत है क्योंकि इसमें 1 और 2 शामिल हैं जो पूरक में नहीं हो सकते. विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली सेट नहीं है. परीक्षा टिप: पहले यूनियन लिखकर फिर यूनिवर्सल सेट से घटा दें। / Compute the union first: \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\). The complement relative to \(U\) is the elements of \(U\) not in the union: \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=\{6,7,8\}\). Option A is just the union, not the complement. Option C wrongly keeps elements 1 and 2 which belong to the union, and option D is incorrect because the complement is not empty. Exam tip: list the union, then remove those elements from the universal set.
({v}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय में उपसमुच्चय आते हैं। / ({v}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). A power set contains subsets.
किसी यूनिवर्सल सेट \(U\) के लिए किसी सेट \(A\) का पूरक \(A'\) वे सभी तत्व हैं जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। गणितीय रूप में \(A'=U\setminus A\)। यहां \(U\) के तत्वों में से \(2,4,8\) को हटाने पर बचे हुए तत्व \(1,3,5,6,7\) हैं, अतः सही उत्तर \(\{1,3,5,6,7\}\) है। विकल्प C (\(\{1,2,3,4\}\)) गलत है क्योंकि उसमें \(2\) और \(4\) मौजूद हैं जो \(A\) के सदस्य हैं; विकल्प A ठीक वही \(A\) है न कि उसका पूरक; विकल्प D खाली सेट है जो यहां लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय हमेशा \(U\) से \(A\) के तत्वों को घटाइए — किसी भी तत्व की सदस्यता को दोनों सेटों में जाँच कर लें। / For a universal set \(U\), the complement \(A'\) of \(A\) consists of elements in \(U\) that are not in \(A\); equivalently \(A'=U\setminus A\). Removing \(2,4,8\) from \(U\) leaves \(1,3,5,6,7\), so \(\{1,3,5,6,7\}\) is correct. Option C (\(\{1,2,3,4\}\)) is wrong because it still contains \(2\) and \(4\) which belong to \(A\); option A is just \(A\) itself, not its complement; option D is the empty set and not applicable here. Exam tip: compute \(U\setminus A\) element-wise — check each element of \(U\) whether it belongs to \(A\) or not.
घनसमुच्चय (power set) के लिए सूत्र है \(n(\mathcal{P}(A)) = 2^{\,n(A)}\)। यहाँ दिया गया है \(2^{\,n(A)}=64\)। और \(64=2^6\) है, इसलिए \(n(A)=6\)। निकटतम विकर्षक गलत हैं क्योंकि \(2^4=16,\;2^5=32,\;2^8=256\)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी संख्या को देखते ही उसे सामान्य घातों (2,4,8,16,32,64,128…) के साथ मिलाकर जाँचें। / For a set A, the power set size satisfies \(n(\mathcal{P}(A))=2^{\,n(A)}\). Given \(2^{\,n(A)}=64\) and \(64=2^6\), so \(n(A)=6\). The other options are wrong because \(2^4=16,\;2^5=32,\;2^8=256\), none equal 64. Exam tip: quickly memorize common powers of 2 (16, 32, 64, 128, …) to identify the exponent fast on tests.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({9}) होते हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{9}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({9}). Hence the power set is \({\emptyset,{9}}\).
परिशिष्ट की परिभाषा के अनुसार C' वे सभी तत्व होते हैं जो U में तो हों पर C में न हों। यहाँ U = {a, b, c, d, f} और C = {a, c, f} से C' = {b, d} बनता है। इसलिए b C' में है। विकल्प a और c तथा f गलत हैं क्योंकि वे C में आते हैं, इसलिए वे C' में नहीं होंगे। परीक्षा सुझाव: U की सूची लीजिए और C में आने वाले तत्वों को काट दें; बचे हुए तत्व C' होंगे। / By definition the complement C' (relative to U) contains those elements that are in U but not in C. With U = {a, b, c, d, f} and C = {a, c, f}, we get C' = {b, d}. Hence b is in C'. Options a, c and f are incorrect because they belong to C and so are not in C'. Exam tip: write U, cross out elements of C — the remaining elements form C'.
\(\{3,9\}\) में प्रयुक्त सदस्य मात्र संख्याएँ हैं, और \(A\) के सभी सदस्यों (3, 6, 9) में से 3 और 9 शामिल हैं; अतः \(\{3,9\}\subseteq A\)। पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में सभी उपसमुच्चय जैसे \(\{3,9\}\) एक-एक करके तत्व होते हैं, इसलिए \(\{3,9\}\in\mathcal{P}(A)\) सही है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(A\) का प्रत्येक तत्व एक संख्या है, कोई उपसमुच्चय नहीं — इसलिए \(\{3,9\}\) सदस्य (element) के रूप में \(A\) का भाग नहीं हो सकता। विकल्प C गलत है क्योंकि \(\{3,9\}\) तथा \(A\) के तत्व समान नहीं हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि वाक्य का उल्टा सच है (यह उपसमुच्चय है)। परीक्षा सुझाव: किसी सेट के तत्व और उसके उपसमुच्चयों में फर्क अलग-अलग चिन्हों से किया जाता है — "\(\in\)" तत्व के लिए और "\(\subseteq\)" उपसमुच्चय के लिए। / All elements of \(\{3,9\}\) (i.e. 3 and 9) belong to \(A\), so \(\{3,9\}\subseteq A\). The power set \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\), hence every subset (including \(\{3,9\}\)) is an element of \(\mathcal{P}(A)\). Thus \(\{3,9\}\in\mathcal{P}(A)\) is correct. Option A is wrong because the elements of \(A\) are numbers 3, 6, 9 — not set-members like \(\{3,9\}\). Option C is false since \(\{3,9\}\) is not equal to \(A\). Option D is false because \(\{3,9\}\) is indeed a subset of \(A\). Exam tip: distinguish "\(\in\) (element of)" from "\(\subseteq\) (subset of)" — subsets of \(A\) lie in \(\mathcal{P}(A)\).
पूरक सेट \(A'\) में वे सभी तत्व होंगे जो सार्वभौमिक सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(A'=\{0,2,4,6\}\) इसलिए \(n(A')=4\)। समेकित रूप से \(n(A')=n(U)-n(A)=7-3=4\)। विकल्प A (3) त्रुटिपूर्ण है क्योंकि यह \(n(A)\) का मान है, और विकल्प D (7) पूरे सार्वभौमिक सेट का आकार है। परीक्षा सुझाव: तेज गणना के लिये सीधे \(n(A')=n(U)-n(A)\) फ़ॉर्मूला प्रयोग करें। / The complement \(A'\) consists of elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(A'=\{0,2,4,6\}\), so \(n(A')=4\). Alternatively use \(n(A')=n(U)-n(A)=7-3=4\). Option A (3) is incorrect because it equals \(n(A)\); option D (7) is the size of the whole universal set. Exam tip: compute complements quickly using \(n(A')=n(U)-n(A)\).
यहां \(\emptyset\) भी एक तत्व है इसलिए (A) में कुल (3) तत्व हैं। अतः \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / Here \(\emptyset\) is also one element so (A) has (3) elements. Thus there are \(2^3=8\) subsets.
B. पुस्तकालय की हिंदी न होने वाली पुस्तकें/library books that are not Hindi books
Explanation
Simple Explanation
पूरक उसी (U) के अंदर दिए गए समुच्चय से बाहर के तत्व दिखाता है। यहां (H') हिंदी न होने वाली पुस्तकें हैं। / A complement shows elements inside the same (U) but outside the given set. Here (H') means books that are not Hindi books.
हर तत्व से एक एकल उपसमुच्चय बनता है। पांच तत्व होने पर पांच एक तत्व वाले उपसमुच्चय होंगे। / Each element forms one singleton subset. With five elements there are five one element subsets.
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में उन सभी उपसमुच्चयों के तत्व होते हैं जो \(A\) के सब्सेट हों। \(\{2,8\}\) और \(\{4,6\}\) दोनों में केवल ऐसे सदस्य हैं जो \(A\) में मौजूद हैं, इसलिए वे \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व हैं। रिक्त समुच्चय \(\emptyset\) हमेशा किसी भी समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, अतः वह भी \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व है। परन्तु \(\{2,10\}\) में अंक \(10\) है जो \(A\) में नहीं है, इसलिए यह \(A\) का उपसमुच्चय नहीं और न ही \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व है। परीक्षा टिप: किसी विकल्प को पावर सेट का सदस्य मानने से पहले उसके सभी तत्वों की जाँच कर लें कि वे मूल समुच्चय में हैं। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of \(A\). \(\{2,8\}\) and \(\{4,6\}\) consist only of elements from \(A\), so they are in \(\mathcal{P}(A)\). The empty set \(\emptyset\) is a subset of every set, so it is also included. However, \(\{2,10\}\) contains 10, which is not an element of \(A\); hence it is not a subset of \(A\) and not in \(\mathcal{P}(A)\). Exam tip: verify every element of a candidate subset is in the original set before marking it as belonging to the power set.
परिभाषा के अनुसार \(A'\) का अर्थ है उन सभी तत्वों का सेट जो यूनिवर्सल सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यदि कोई तत्व \(x\) दोनों \(A\) और \(A'\) में होता तो इसका मतलब होगा कि \(x\) है भी और नहीं भी — यह विरोधाभास है। इसलिए ऐसा कोई तत्व मौजूद नहीं होगा और प्रतिच्छेद शून्य सेट होता है, अर्थात् \(A'\cap A=\emptyset\)। निकटतम भ्रामक विकल्प जैसे \(A\) या \(A')\ गलत हैं क्योंकि किसी भी तत्व का दोनों में होना असंभव है। परीक्षा टिप: हमेशा याद रखें कि किसी सेट और उसके पूरक का समुच्चय यूनिवर्सल सेट देता है और उनका प्रतिच्छेद शून्य सेट। / By definition, \(A'\) consists of elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). If an element \(x\) belonged to both \(A\) and \(A'\), it would simultaneously be in \(A\) and not in \(A\), a contradiction. Hence no such element exists and \(A'\cap A=\emptyset\). Distractors like \(A\) or \(A'\) are incorrect because an element cannot lie in both a set and its complement. Exam tip: remember \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\emptyset\) for any subset \(A\) of the universal set.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी शामिल करें। / A two element set has four subsets. Include \(\emptyset\) and the whole set in the power set.
समुच्चय का पूरक \(A'\) वह समुच्चय है जो यूनिवर्सल समुच्चय \(U\) में है पर \(A\) में नहीं। \(U\) से \(A\) के तत्व (1,3,5,7,9) हटाने पर बचे तत्व \{2,4,6\} हैं, अत: \(A'=\{2,4,6\}\)। विकल्प C में 8 शामिल है जबकि 8 \(U\) का तत्व नहीं है; विकल्प B मूल समुच्चय \(A\) है; विकल्प D केवल 9 है जो \(A\) में है—सभी गलत कारण। परीक्षा युक्ति: पूरक लेते समय हमेशा सदस्यता को सिर्फ दिए गए यूनिवर्सल सेट के अनुरूप जाँचें। / The complement \(A'\) consists of elements that are in the universal set \(U\) but not in \(A\). Removing \(A=\{1,3,5,7,9\}\) from \(U\) leaves \{2,4,6\}, so \(A'=\{2,4,6\}\). Option C wrongly includes 8 which is not in \(U\); option B is just \(A\) itself; option D contains 9 which belongs to \(A\). Exam tip: always check membership relative to the given universal set—do not introduce elements outside \(U\).
चार तत्वों में से तीन-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या संयोजन द्वारा दी जाती है: \(\binom{4}{3}=\dfrac{4!}{3!1!}=4\)। इसलिए उत्तर 4 है। विकल्प B (6) गलत है क्योंकि \(\binom{4}{2}=6\) है — यह दो-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या है। विकल्प D (8) इस सेट के किसी अन्य गलत समीकरण (जैसे गलत रूप से \(2^3\) लागू करना) से आता है और लागू नहीं होता। परीक्षात्मक टिप: सीधे सूत्र \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) या समरूपीता का उपयोग करें क्योंकि \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)। / The number of 3-element subsets from 4 elements is given by the combination \(\binom{4}{3}=\dfrac{4!}{3!1!}=4\). Thus the correct answer is 4. Option B (6) is incorrect because \(\binom{4}{2}=6\) counts 2-element subsets, not 3-element ones. Option D (8) is a spurious value (e.g. confusion with \(2^3\)) and does not apply. Exam tip: use \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) or the symmetry \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) to compute quickly.
पूरक का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) के वे तत्व जो \(A\) में नहीं हैं. इसलिए \(A=U\setminus A'=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{2,6\}=\{1,3,4,5\}\). विकल्प A गलत है क्योंकि वह \(A'\) ही है, विकल्प C गलत है क्योंकि इसमें 2 शामिल है और 4,5 गायब हैं; विकल्प D भी गलत है क्योंकि इसमें 6 है जबकि 6 पूरक में है। परीक्षा-टिप: किसी सेट का पूरक दिया हो तो मूल सेट पाने के लिए पूरक के तत्वों को यूनिवर्सल सेट से हटा दें। / By definition, the complement \(A'\) contains elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). So \(A=U\setminus A'=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{2,6\}=\{1,3,4,5\}\). Option A is just the complement itself, option C wrongly includes 2 and omits 4 and 5, and option D incorrectly keeps 6. Exam tip: to recover a set from its complement, subtract the complement's elements from the universal set.
A. क्योंकि \(A\subseteq A\)/because \(A\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
घातसमुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) का पूर्ण परिभाषा है: यह उन सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है जो \(A\) के हैं। किसी भी समुच्चय के लिए \(A\subseteq A\) सदैव सत्य है (हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है), इसलिए \(A\) स्वयं एक उपसमुच्चय है और इसीलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\)। निकटतम विचलक (D) गलत है क्योंकि केवल यह कि \(A\) में तत्व हैं, यह दर्शाता नहीं कि \(A\) \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व होगा —Power set में तत्व समुच्चय होने चाहिए। (C) भी गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व यहाँ संख्याएँ हैं, वे स्वतः उपसमुच्चय नहीं होते। परीक्षा के लिए सुझाव: "Power set = सभी उपसमुच्चय" यह परिभाषा याद रखें और हर समुच्चय का खुद से उपसमुच्चय होना (reflexive) मत भूलें। / By definition the power set \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). For any set, \(A\subseteq A\) is always true (a set is a subset of itself), so \(A\) is one of the subsets of \(A\) and hence \(A\in\mathcal{P}(A)\). Closest distractor (D) is wrong because having elements does not make the whole set an element of the power set — membership in \(\mathcal{P}(A)\) requires being a subset of \(A\). Option (C) is also incorrect since the elements of \(A\) here are numbers, not subsets. Exam tip: remember the definition "power set = set of all subsets" and that subset relation is reflexive (every set is a subset of itself).
\(\mathcal{P}(A)\) का अर्थ है सभी उपसमुच्चयों का समूह। \(\{7\}\) स्पष्ट रूप से \(A\) का एक उपसमुच्चय है, अतः यह \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व होगा। जबकि 7 स्वयं \(A\) का एक साधारण तत्व है, पर वह उपसमुच्चय नहीं है जब तक उसे सेट के रूप में न लिखा जाए (यानी \(\{7\}\) की तरह)। इसलिए केवल \(\{7\}\) सही उत्तर है। निकटतम ग़लत विकल्प (केवल 7) इस भ्रम पर आधारित है कि तत्व और उपसमुच्चय समान हैं—यह गलत है। परीक्षा टिप: ‘‘तत्व’’ और ‘‘उपसमुच्चय’’ के बीच अंतर पर ध्यान दें — एक तत्व को उपसमुच्चय बनाने के लिए उसे ब्रेसेज़ \(\{\ \}\) में लिखना ज़रूरी है। / \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). The singleton \(\{7\}\) is a subset of \(A\), so \(\{7\}\) belongs to \(\mathcal{P}(A)\). The element 7 itself is an element of \(A\) but not a subset of \(A\), so 7 is not in \(\mathcal{P}(A)\). Thus only \(\{7\}\) is correct. The closest distractor (only 7) mistakes an element for a subset. Exam tip: always distinguish between an element x and the singleton set \(\{x\}\) when deciding membership of a power set.
समुच्चय का पूरक (relative to U) वे सभी तत्व होते हैं जो U में हैं पर A में नहीं। U में चार फल हैं: सेब, केला, अंगूर, आम; A में सेब और आम हैं। इसलिए U के वे तत्व जो A में नहीं हैं केवल केला और अंगूर हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि वह A स्वयं है; विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें आम शामिल है जो A में ही है; विकल्प D (∅) गलत है क्योंकि पूरक खाली नहीं है। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय सीधे "U से A के तत्व घटा दें"। / The complement of A (relative to U) consists of all elements in U that are not in A. Here U has {apple, banana, grapes, mango} and A has {apple, mango}, so the elements in U but not in A are banana and grapes. Thus option B is correct. Option A is just A itself; option C wrongly includes mango which is in A; option D (∅) is incorrect because the complement is not empty. Exam tip: compute A' by removing A's elements from U (U \ A).
पांच तत्वों में से चार चुनने के (5) तरीके हैं। हर उपसमुच्चय में एक अलग तत्व छूटता है। / There are (5) ways to choose four elements from five. In each subset one different element is left out.
A. क्योंकि \(\emptyset\subseteq A\)/because \(\emptyset\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
गणित में घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) का अर्थ है: A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय। खाली समुच्चय \(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, अतः \(\emptyset\) भी \(A\) का उपसमुच्चय है और इसलिए \(\emptyset\in\mathcal{P}(A)\)। नज़दीकी भ्रमात्मक विकल्प \(\emptyset\in A\) गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व केवल \(d,e,f\) हैं, न कि \(\emptyset\)। अन्य गलत विकल्प भी इसलिए गलत हैं कि \(\emptyset\) किसी गैर-खाली सेट के बराबर या सार्वभौमिक समुच्चय के बराबर नहीं होता। परीक्षा-सुझाव: हमेशा याद रखें — खाली समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है और घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय आते हैं। / By definition, the power set \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). The empty set \(\emptyset\) is a subset of every set, so \(\emptyset\) is one of the subsets of \(A\) and hence an element of \(\mathcal{P}(A)\). The common distractor \(\emptyset\in A\) is incorrect because the elements of \(A\) are \(d,e,f\), not \(\emptyset\). Other wrong choices fail because \(\emptyset\) is not equal to a nonempty \(A\) nor generally equal to the universal set. Exam tip: memorize “\(\emptyset\subseteq S\) for every set \(S\)” and the definition of power set as the collection of all subsets.
पहले (A'={1,3,5,6}) है जिसमें (4) तत्व हैं। इसलिए (\mathcal{P}(A')) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (A'={1,3,5,6}), which has (4) elements. So (\mathcal{P}(A')) has \(2^4=16\) elements.
यहाँ \(\{2\}\) स्वयं एक तत्व है (एक सेट के रूप में) — इसे अलग से गिना जाता है, न कि उसके अंदर का सदस्य अलग। बाकी दो तत्व 4 और 6 हैं। अतः कुल बाहरी स्तर पर 3 तत्व हैं इसलिए \(n(A)=3\)। विकल्प A (2) गलत है क्योंकि इसमें लोग ने नेस्टेड सेट \(\{2\}\) को गिनना नहीं माना। परीक्षा टिप: सेट के तत्वों को गिनते समय हमेशा केवल बाहरी (top-level) तत्वों को गिनें; किसी तत्व के भीतर के सदस्य अलग तत्व नहीं होते जब तक वे बाह्य स्तर पर न हों। / Here \(\{2\}\) is itself a single element (a set as an element) — you count it as one, not by counting the item inside separately. The other two elements are 4 and 6. So there are 3 elements in total and \(n(A)=3\). Option A (2) is wrong because it ignores the nested set \(\{2\}\) at the outer level. Exam tip: Count only the top-level elements of a set; do not unpack elements that are themselves sets unless they appear as separate outer elements.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में समुच्चयों की संख्या हमेशा मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या \(n(A)=k\) के लिए \(2^k\) होती है। यहाँ \(A=\{\{2\},4,6\}\) में तीन तत्व हैं: एक तत्व है समुच्चय \(\{2\}\) और अन्य दो तत्व संख्याएँ 4 और 6 हैं। इसलिये \(n(A)=3\) और \(n(\mathcal{P}(A))=2^3=8\)। निकटतम ग़लत विकल्प (6) इसलिए भ्रमित कर सकता है कि अंदर के सेट \(\{2\}\) के घटक भी गिने जा रहे हों — यह गलत है; \(\{2\}\) यहाँ एक ही तत्व के रूप में गिना जाता है। परीक्षा सुझाव: किसी भी जाँच में यह स्पष्ट कर लें कि कोई आइटम सेट है या उसका सदस्य, क्योंकि सेट-भेदन (element vs subset) से ग़लतियाँ होती हैं। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains \(2^k\) subsets when the original set has \(k\) elements. Here \(A=\{\{2\},4,6\}\) has three elements: the set \(\{2\}\), and the numbers 4 and 6. So \(n(A)=3\) and \(n(\mathcal{P}(A))=2^3=8\). A common mistake leading to option 6 is wrongly counting elements inside the nested set \(\{2\}\) separately; but \(\{2\}\) itself is a single element of \(A\). Exam tip: always distinguish an element that is itself a set from the members of that inner set when counting elements.
पूरक समुच्चय \(A'\) का अर्थ है सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में से \(A\) के तत्व निकालने पर जो बचता है। यहाँ \(A'=U\setminus A=\{1,2,5,6\}\)। इसलिए \(\mathcal{P}(A')\) उन सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होगा जो \(\{1,2,5,6\}\) के सदस्य हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि वह मूल समुच्चय \(A\) है, C गलत है क्योंकि वह पूरे \(U\) को दर्शाता है, और D केवल रिक्त समुच्चय है न कि \(A'\) का आधार। परीक्षा संकेत: किसी भी प्रश्न में पूरक लेते समय सीधे \(U\) से \(A\) के तत्व घटा दें। / The complement \(A'\) is \(U\setminus A\), so here \(A'=\{1,2,5,6\}\). The power set \(\mathcal{P}(A')\) consists of all subsets of \(\{1,2,5,6\}\), so option B is correct. Option A is just the original set \(A\), C is the entire universal set \(U\), and D is only the empty set, none of which are the base set whose subsets form \(\mathcal{P}(A')\). Exam tip: compute \(A'\) by removing elements of \(A\) from \(U\) before listing or reasoning about the power set.
किसी भी सेट का पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) सभी उपसमुच्चयों का समूह है और उसमें खाली समुच्चय \(\emptyset\) हमेशा एक ही बार उपस्थित होता है। इसलिए ऐसे शून्य-तत्त्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या 1 है। सबसे निकटवर्ती भ्रमित करने वाला विकल्प 4 है — वह \(A\) के तत्त्वों की संख्या दर्शाता है, न कि शून्य-तत्त्व वाले उपसमुच्चयों की। परीक्षा सुझाव: याद रखें कि किसी सेट के लिए खाली उपसमुच्चय की संख्या हमेशा 1 और कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है (यहाँ \(n=4\) होने पर कुल 16)। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains every subset of \(A\), and the empty set \(\emptyset\) is a unique subset that always appears exactly once. Therefore there is 1 zero-element subset. The closest misleading option, 4, is just the number of elements in \(A\), not the count of empty subsets. Exam tip: remember the empty subset always exists (count = 1) and the total number of subsets is \(2^n\); here \(n=4\) so total subsets = 16.
A' का अर्थ है U में वह सभी तत्व जो A में नहीं हैं. U \,minus A = {6,7,8,9}. इनमें सबसे बड़ा तत्व 9 है। निकट भ्रमकर्ता 8 गलत है क्योंकि 9 उससे बड़ा है। परीक्षा टिप: तुरंत U से A घटाएँ \(U\A\) और सबसे बड़ा अंक चुनें। / A' means all elements of U that are not in A. U\A = {6,7,8,9}, so the largest element is 9. The close distractor 8 is incorrect because 9 is greater. Exam tip: compute U minus A to get the complement, then pick the maximum element quickly.
A. क्योंकि यह (A) का उपसमुच्चय है/because it is a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
({क,घ}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय आते हैं। / All elements of ({a,d}) are in (A), so it is a subset. A power set contains all subsets.
परिशिष्ट की परिभाषा के अनुसार \(A'=U\setminus A\) होता है। यदि \(A=U\) है तो \(U\setminus A=\varnothing\) अर्थात् रिक्त समुच्चय मिलता है, जिसमें कोई तत्व नहीं होते। इसलिए \(A'\) में तत्वों की संख्या 0 है। विकल्प C (4) गलत है क्योंकि वह \(|U|\) यानी मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या है, पर परिशिष्ट में वे नहीं आते। परीक्षा टिप: परिशिष्ट निकालने के लिए हमेशा लिखें \(A'=U\setminus A\) और देखा कि क्या कुछ तत्व बचते हैं। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A\). If \(A=U\), then \(U\setminus A=\varnothing\), the empty set, which has no elements. Therefore the number of elements in \(A'\) is 0. Option C (4) is incorrect because 4 is \(|U|\), the size of the universal set, not the size of the complement. Exam tip: write the complement as \(U\setminus A\) on paper to check whether any elements remain outside \(A\).
जब \(A=\emptyset\) हो तो (A'=U) होता है। यहां (U) में (3) तत्व हैं इसलिए \(2^3=8\) तत्व मिलेंगे। / When \(A=\emptyset\), (A'=U). Here (U) has (3) elements so the power set has \(2^3=8\) elements.
(5) को स्थिर रखकर बाकी (2) तत्वों के लिए \(2^2=4\) विकल्प हैं। इसलिए ऐसे (4) उपसमुच्चय होंगे। / Keep (5) fixed and choose from the remaining (2) elements in \(2^2=4\) ways. So there are (4) such subsets.
A का पूरक (A') वह सेट है जिसमें वे सभी सदस्य आते हैं जो यूनिवर्सल सेट U में तो हैं पर A में नहीं। गणना: U
= {नीला, हरा, पीला, गुलाबी}, A = {हरा, गुलाबी} ⇒ A' = U
A = {नीला, पीला}. इसलिए सही उत्तर {नीला, पीला} है। पास का भ्रम (option D) इसलिए गलत है क्योंकि उसमें पीला सही है पर गुलाबी A का सदस्य है — अतः वह पूरा पूरक नहीं है। परिक्षा सलाह: U को लिखकर A के सदस्यों पर रेखा खींच दें; जो बचे वे A' होंगे। / The complement A' consists of elements that are in the universal set U but not in A. Here U = {blue, green, yellow, pink} and A = {green, pink}, so A' = U \ A = {blue, yellow}. Thus option B is correct. The closest distractor (option D) is wrong because it mixes one correct element (yellow) with pink, which belongs to A, so it is not the full complement. Exam tip: list U, cross out elements of A, and the remaining elements form A'.
(36) को हटाकर बाकी (2) तत्वों से \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। ऐसे प्रश्नों में बचे तत्व गिनें। / After excluding (36), the remaining (2) elements form \(2^2=4\) subsets. Count the remaining elements in such questions.
पूरक का अर्थ है U के वे तत्व जो T में नहीं हैं। इसलिए \(T'=U\setminus T=\{1,2,4,5,7,8\}\)। 6 मूल समुच्चय T का सदस्य है, अतः यह T' में नहीं होगा। निकटवर्ती भ्रम के बावजूद (जैसे 8) वह T में नहीं है इसलिए T' में शामिल है। परीक्षा टिप: पूरक निकालने के लिए सीधे U से T के तत्व घटा दें। / The complement consists of elements of U that are not in T. Thus \(T'=U\setminus T=\{1,2,4,5,7,8\}\). The number 6 is in T, so it cannot be in the complement. A common distractor is 8, but 8 is not in T so it correctly belongs to T'. Exam tip: quickly form the complement by removing all elements of T from U and list what remains.
तीन तत्वों वाले समुच्चय का तीन तत्व वाला उपसमुच्चय केवल पूरा समुच्चय होता है। इसलिए संख्या (1) है। / The only three element subset of a three element set is the whole set. So the number is (1).
A. \({5}\subseteq A\) और \({5}\in\mathcal{P}(A)\)/\({5}\subseteq A\) and \({5}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({5}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह घात समुच्चय का तत्व है। सीधे (5) को घात समुच्चय का तत्व न मानें। / ({5}) is a subset of (A), so it is an element of the power set. Do not treat direct (5) as an element of the power set.
कम्प्लीमेंट को लिखें: \(A'=U\setminus A=\{2,3,5,7\}\). इन में से 5 से कम केवल 2 और 3 हैं, अतः संख्या 2। नज़दीकी भ्रम (3) इसीलिए गलत है क्योंकि वह 5 को भी गिन लेता है जबकि 5, 5 से छोटा नहीं है। परीक्षा टिप: पहले पूरा कम्प्लीमेंट लिखें और कड़ी असमानता (<) पर ध्यान दें। / Write the complement: \(A'=U\setminus A=\{2,3,5,7\}\). Among these, only 2 and 3 are less than 5, so the count is 2. The closest distractor (3) mistakenly counts 5 as well; note that 5 is not less than 5. Exam tip: always list the complement explicitly and apply the strict inequality (<) carefully.
पहले (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। फिर (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (n(\mathcal{P}(A))=22=4). Then (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^4=16\) elements.
किसी समुच्चय का पूरक उसके सार्वभौमिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। यहाँ \(A'=U\setminus A=\{4,6,8\}\)। फिर \((A')'=U\setminus(A')=U\setminus\{4,6,8\}=\{2,10\}\), जो मूल समुच्चय \(A\) के बराबर है। ध्यान दें कि विकल्प B केवल \(A'\) है न कि \((A')'\), और विकल्प C पूरा सार्वभौमिक समुच्चय है जो गलत होगा। परीक्षा टिप: दोहरी पूरक का नियम याद रखें: \((A')'=A\) या चरण-दर-चरण पूरक निकालकर जाँच करें। / Complement is taken with respect to the universal set. Here \(A'=U\setminus A=\{4,6,8\}\). Then \((A')'=U\setminus(A')=U\setminus\{4,6,8\}=\{2,10\}\), which equals the original set \(A\). Note that option B equals \(A'\) (the single complement), not the double complement, and option C is the entire universal set which is incorrect. Exam tip: use the identity \((A')'=A\) or compute complements stepwise to avoid mistakes.
(1) और (9) रखना तय है और (3) को लेने या न लेने के (2) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (2) उपसमुच्चय हैं। / Keeping (1) and (9) is fixed and (3) can be taken or not taken in (2) ways. So there are (2) such subsets.
एक-अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ \(1\) से \(9\) तक हैं, यानी \(U=\{1,2,\dots,9\}\)। सेट \(A=\{2,4,6,8\}\) को हटाने पर वे तत्त्व बचते हैं जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं — अर्थात् \(\{1,3,5,7,9\}\)। विकल्प B में \(0\) है, पर यहाँ परिभाषित यूनिवर्सल सेट में \(0\) शामिल नहीं है, इसलिए B गलत है। C और D भी स्पष्ट रूप से गलत हैं (C वही A है, D खाली सेट)। परीक्षा टिप: किसी भी कॉम्प्लिमेंट प्रश्न में पहले यूनिवर्सल सेट स्पष्ट रूप से लिखें और फिर उससे दिए गए सेट के तत्त्व घटाएँ। / One-digit natural numbers are \(1\) to \(9\), so \(U=\{1,2,\dots,9\}\). Removing the elements of \(A=\{2,4,6,8\}\) from \(U\) leaves exactly the odd digits \(\{1,3,5,7,9\}\), which is \(A'\). Option B is incorrect because it includes \(0\), which is not in the given universal set; option C is just \(A\) itself and D is the empty set, so both are wrong. Exam tip: Always list the universal set elements first, then subtract the set given to find the complement.
2 को लेना और 3 को न लेना निश्चित है, इसलिए उपसमुच्चयों का चयन केवल शेष तत्वों 1 और 4 के लिए स्वतंत्र है। प्रत्येक शेष तत्व के लिए दो विकल्प हैं (लेना या न लेना), अतः कुल उपसमुच्चय \(2^2=4\) होंगे। विकल्प D (8) गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र तत्व मानकर \(2^3\) गिन रहा है। परीक्षा सुझाव: जब कुछ तत्व शामिल/बहिष्कृत निश्चित हों तो बाकी तत्वों के लिए \(2^{n}\) नियम लागू करें। / Including 2 and excluding 3 are fixed choices, so only the remaining elements 1 and 4 are free to be chosen or not. Each of these has 2 possibilities, giving a total of \(2^2=4\) subsets. Option D (8) is wrong because it wrongly treats three free elements (counting \(2^3\)). Exam tip: fix required inclusions/exclusions first, then use \(2^{n}\) for the remaining n elements.
B = A' है, अतः B' = (A')' होता है। किसी सेट का दो बार संबंधित पूर्णपूरक (double complement) मूल सेट देता है: (A')' = A। इसलिए B' = A = {2,5,7}। सबसे भ्रमित करने वाला विकल्प {1,3,4,6} वास्तव में A का पूर्णपूरक (यानी B) है, न कि B'। परीक्षा टिप: पूर्णपूरक का दोहरा लागू करने पर मूल सेट ही मिलता है — यह अक्सर त्वरित उत्तर के लिए उपयोगी है। / Since B = A', we have B' = (A')'. By the double-complement law (the complement of the complement is the original set), (A')' = A. Therefore B' = A = {2,5,7}. The tempting distractor {1,3,4,6} is A's complement (B itself), not B'. Exam tip: use (A')' = A to find complements quickly under a given universal set.
(A) में तीन अलग तत्व \(\emptyset,{\emptyset},0\) हैं। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=23=8) है। / (A) has three distinct elements \(\emptyset,{\emptyset},0\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=23=8).
पूरक की परिभाषा: A' = U extbackslash A, अर्थात् वे तत्व जो U में हैं पर A में नहीं। U से A के तत्व {10,20,30} हटा देने पर शेष तत्व {5,15,25} मिलते हैं, इसलिए A' = {5,15,25}। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A स्वयं है, न कि उसका पूरक; विकल्प C गलत है क्योंकि इसमें 10 शामिल है जो A में आता है; विकल्प D गलत है क्योंकि इसमें 5 और 15 गायब हैं। परीक्षा टिप: जब यूनिवर्सल सेट दिया हो, तो सीधे U के तत्वों में से A के तत्व घटा दें। / Definition: A' = U \ A, the elements in U that are not in A. Removing A = {10,20,30} from U leaves {5,15,25}, so A' = {5,15,25}. Option B is just A (not its complement); option C wrongly includes 10 which belongs to A; option D omits 5 and 15. Exam tip: To find a complement relative to U, subtract A's elements from U one-by-one.
चार तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होते हैं। दो तत्व वाले उपसमुच्चय (6) होते हैं। / A set with four elements has \(2^4=16\) total subsets. The number of two element subsets is (6).
कुल (8) उपसमुच्चय हैं और (a,b) दोनों को न रखने वाले (2) हैं। इसलिए (8-2=6) उपसमुच्चय सही हैं। / There are (8) total subsets and (2) subsets contain neither (a) nor (b). So (8-2=6) subsets are correct.
किसी सेट और उसके पूर्णपूरक (complement) में समान तत्व नहीं होते। यहाँ \(A'=\{2,3,4,5\}\) है और \(A=\{1,6\}\) है, अत: दोनों का योगांतर (intersection) खाली सेट होता है: \(A'\cap A=\emptyset\)। विकल्प (B) सिर्फ \(A'\) को दर्शाता है — वह \(A\) के साथ किसी सामान्य तत्व को साझा नहीं करता — इसलिए वह गलत है। परीक्षा की टिप: हमेशा याद रखें कि \(A\cap A'=\emptyset\) और \(A\cup A'=U\)। / A set and its complement have no common elements. Here \(A'=\{2,3,4,5\}\) and \(A=\{1,6\}\), so their intersection is the empty set: \(A'\cap A=\emptyset\). Option B lists \(A'\) itself, which does not share elements with \(A\), so it is not the intersection. Exam tip: remember the identities \(A\cap A'=\emptyset\) and \(A\cup A'=U\).
