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(A) में (3) तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। परीक्षा में (n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}) याद रखें। / Set (A) has (3) elements so its power set has \(2^3=8\) elements. Remember (n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}) for exams.
({x}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय में सीधे तत्व नहीं बल्कि उपसमुच्चय आते हैं। / ({x}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). A power set contains subsets not direct elements.
पूरक हमेशा किसी दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में निकाला जाता है। बिना (U) के पूरक स्पष्ट नहीं होता। / A complement is always found with respect to a given universal set. Without (U) the complement is not clear.
समुच्चय का पूरक (A') वह समुच्चय है जिसमें यूनीवर्सल सेट U के वे ही तत्व आते हैं जो A में नहीं हैं। यहाँ U = {1,2,3,4,5,6,7} और A = {2,5,7} हैं, अतः A' = U \\ A = {1,3,4,6}। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें 2 शामिल है जो A में है; विकल्प A और D भी गलत हैं क्योंकि वे U में से A के सभी अपविष्ट तत्व सही ढंग से नहीं दर्शाते। परीक्षा के टिप: पूरक निकालने के लिए U के सभी तत्वों में से A के तत्व एक-एक करके घटा दें। / The complement A' consists of elements of the universal set U that are not in A. With U = {1,2,3,4,5,6,7} and A = {2,5,7}, removing A's elements from U leaves {1,3,4,6}, so A' = {1,3,4,6}. Option C is incorrect because it still contains 2 (which belongs to A). Options A and D do not list all elements excluded from A. Exam tip: compute A' by listing U and crossing out every element of A — the remaining elements form the complement.
पावर सेट की संख्या हमेशा मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या \(n\) पर \(2^{n}\) के रूप में होती है, यानी \(|\mathcal{P}(A)|=2^{n(A)}\)। यहाँ \(2^{n}=16\) दिया है, और \(16=2^{4}\) है, अतः \(n(A)=4\)। विकल्प D (8) गलत है क्योंकि \(8=2^{3}\) होता, जो कि \(16\) नहीं है। परीक्षा युक्ति: ऐसे प्रश्नों में दी हुई संख्या को आधार 2 की घात में लिखकर सीधे n निकालें (या लागू करें \(n=\log_{2}(\text{size})\))। / The size of a power set of a set with \(n\) elements is \(2^{n}\), i.e. \(|\mathcal{P}(A)|=2^{n(A)}\). Given \(2^{n}=16\) and since \(16=2^{4}\), we get \(n(A)=4\). Option D (8) is incorrect because \(8=2^{3}\), not 16. Exam tip: write the given power-set size as a power of 2 or use \(n=\log_{2}(\text{size})\) to find \(n\) quickly.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({3}) हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{3}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({3}). So the power set is \({\emptyset,{3}}\).
किसी सेट का पूरक (B') उस यूनिवर्सल सेट के सभी ऐसे तत्वों का समूह है जो B में नहीं हैं. यहाँ \(U=\{a,b,c,d,e\}\) और \(B=\{b,e\}\), अत: \(B'=U\setminus B=\{a,c,d\}\). इसलिए \(b\) B में है और B' में नहीं होगा। निकटतम विक्षेपक \(a\) गलत है क्योंकि \(a\) B में नहीं है और इसलिए B' में आता है। परीक्षा-सुझाव: पूरक निकालने के लिए पहले U के सभी तत्व लिखें और B के तत्वों को हटाकर बची हुई सूची को लिखें। / The complement of a set B (i.e. B') consists of those elements of the universal set U that are not in B. Here \(U=\{a,b,c,d,e\}\) and \(B=\{b,e\}\), so \(B'=U\setminus B=\{a,c,d\}\). Thus \(b\) is in B and therefore not in B'. The closest distractor a is incorrect because a is not in B and so it does belong to B'. Exam tip: to find a complement, list U and remove the elements of B — the remainder is B'.
\(\{1,9\})\) में मौजूद दोनों तत्त्व (1 और 9) सेट \(A\) में भी हैं, अतः \(\{1,9\}\subseteq A\)। पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में \(A\) के सभी उपसमुच्चय तत्व के रूप में होते हैं, इसलिए \(\{1,9\}\in \mathcal{P}(A)\) सत्य है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व संख्याएँ हैं न कि उपसमुच्चय; विकल्प C निराधार है क्योंकि युनिवर्सल सेट \(U\) को निर्दिष्ट नहीं किया गया है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(\{1,9\}\) वास्तव में \(A\) का उपसमुच्चय है। परीक्षा-सुझाव: पावर सेट और उपसमुच्चय के बीच फर्क स्पष्ट रखें — उपसमुच्चय होने पर वह पावर सेट का तत्व होता है। / Both elements 1 and 9 of \(\{1,9\}\) are members of \(A\), so \(\{1,9\}\subseteq A\). The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains every subset of \(A\) as an element, therefore \(\{1,9\}\in\mathcal{P}(A)\) is true. Option A is wrong because elements of \(A\) are numbers, not subsets; option C is irrelevant since the universal set \(U\) is not specified; option D is false because \(\{1,9\}\) is indeed a subset of \(A\). Exam tip: remember that being a subset makes a set an element of the power set.
पूरक सेट \(A'\) उन सभी तत्वों से बना होता है जो सार्वभौमिक सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U\) के तत्व \{0,1,2,3,4,5\} हैं और \(A\) में \{0,1,5\} हैं, अतः \(A'=\{2,3,4\}\) और \(n(A')=3\)। गलत विकल्पों का कारण: C (4) तब होता अगर कोई और तत्व गिना गया हो — यह अतिगणना है; A (2) तब होता अगर किसी एक तत्व को भूल लिया गया हो — यह अल्पगणना है; D (6) गलत है क्योंकि वह \(U\) का कुल आकार है न कि \(A'\) का। परीक्षा-सुझाव: सीधे सूत्र लागू करें — \(n(A')=n(U)-n(A)\)। / The complement \(A'\) contains elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Here \(U=\{0,1,2,3,4,5\}\) and \(A=\{0,1,5\}\), so \(A'=\{2,3,4\}\) and \(n(A')=3\). Why other options are wrong: C (4) would mean one extra element was mistakenly counted; A (2) means one element was missed; D (6) is the size of \(U\), not of \(A'\). Exam tip: use the relation \(n(A')=n(U)-n(A)\) to avoid counting errors.
रिक्त समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय \(\emptyset\) होता है। इसलिए (\mathcal{P}\(\emptyset\)) में (1) तत्व है। / The empty set has only one subset which is \(\emptyset\). Hence (\mathcal{P}\(\emptyset\)) has (1) element.
यहाँ \(A\) के दो तत्व हैं: \(\emptyset\) और \(1\)। इसलिए \(n(A)=2\)। किसी भी समुच्चय के लिए शक्ति समुच्चय (power set) के तत्वों की संख्या की सामान्य सूत्र \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) है, अतः \(2^{2}=4\)। गलत विकल्पों का स्पष्टीकरण: (B) = 2 चुनने वाले अक्सर \(n(A)\) (तत्वों की संख्या) को ही उत्तर समझ लेते हैं, जबकि प्रश्न शक्ति समुच्चय की संख्या पूछ रहा है; (D) = 8 तब गलत होगा जब कोई त्रुटिवश A में तीन तत्व मान ले (क्योंकि \(2^3=8\))। परीक्षा-सुझाव: पहले स्पष्ट रूप से \(n(A)\) लिखें और फिर हमेशा \(2^{n(A)}\) लागू करें; ध्यान रखें कि \(\emptyset\) यदि A का सदस्य है तो वह भी एक सामान्य तत्व माना जाएगा। / Set \(A\) has two elements: \(\emptyset\) and \(1\), so \(n(A)=2\). The number of subsets (power set size) is given by \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Therefore \(2^{2}=4\). Why the distractors are wrong: option B (2) confuses the count of elements of \(A\) with the count of subsets; option D (8) would be correct only if \(A\) had three elements (since \(2^3=8\)). Quick exam tip: always compute \(n(A)\) first, then use \(2^{n(A)}\); also remember that an occurrence of \(\emptyset\) inside a set is treated as a single element, not as “no element”.
B. चश्मा न पहनने वाले कक्षा के विद्यार्थी/class students not wearing glasses
Explanation
Simple Explanation
पूरक में उसी (U) के अंदर वे तत्व आते हैं जो दिए गए समुच्चय में नहीं हैं। यहां (G') चश्मा न पहनने वाले विद्यार्थियों को दिखाता है। / A complement contains elements inside (U) that are not in the given set. Here (G') means students not wearing glasses.
समुच्चय \(A\) में चार तत्व हैं: \(p,q,r,s\)। प्रत्येक तत्व से केवल एक एकल उपसमुच्चय बनता है (जैसे \(\{p\},\{q\},\{r\},\{s\}\)) इसलिए एक‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या 4 है। विकल्प D (8) भ्रम में डाल सकता है — यह \(2^3\) जैसा कोई संबंध दर्शाता है; जबकि कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होती है, एक‑तत्व वाले ही 4 हैं। परीक्षा सुझाव: किसी सेट के एक‑तत्व उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा सेट के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / Set \(A\) has four elements: \(p,q,r,s\). Each element produces exactly one singleton subset (\(\{p\},\{q\},\{r\},\{s\}\)), so there are 4 singleton subsets. Option D (8) is incorrect — 8 is not the number of singletons (total subsets are \(2^4=16\)). Exam tip: the number of singleton subsets equals the number of elements in the set (n singletons for an n‑element set).
({1,4}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि (4) (A) में नहीं है। इसलिए यह घात समुच्चय में नहीं आएगा। / ({1,4}) is not a subset of (A) because (4) is not in (A). So it will not be in the power set.
किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ सार्वत्रिक समुच्चय देता है क्योंकि सार्वत्रिक समुच्चय के किसी भी तत्व के लिए वह या तो A में होगा या A में नहीं होगा (यानि A' में)। इसलिए \(A\cup A'=U\)। विकल्प B (\(A'\)) गलत है क्योंकि A में मौजूद तत्व A' में नहीं होते; विकल्प D (\(\emptyset\)) भी गलत है क्योंकि संघ शून्य सेट नहीं बनता। परीक्षा सलाह: प्रमुख पहचानें — \(A\cup A'=U\) और \(A\cap A'=\emptyset\) को याद रखें। / The union of a set with its complement equals the universal set because every element of the universe is either in A or not in A (i.e., in A'). Hence \(A\cup A'=U\). Option B (\(A'\)) is incorrect since elements of A are not in A'; option D (\(\emptyset\)) is impossible because the union cannot be empty. Exam tip: memorize the basic complement identities: \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\emptyset\).
परिभाषा के अनुसार \(A'\) (A का पूरक) उन सभी तत्त्वों का समूह है जो सार्वभौमिक सेट \(U\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं हैं। कोई भी तत्त्व एक साथ \(A\) और \(A'\) दोनों में नहीं होगा, इसलिए उनका संगम (intersection) खाली सेट होता है: \(A\cap A'=\emptyset\)। विकल्प B (\(A\)) गलत है क्योंकि \(A\cap A'\) में कोई भी \(A\) का तत्त्व नहीं आ सकता जो \(A'\) में भी हो। विकल्प D (\(\mathcal{P}(A)\)) गलत है क्योंकि यह \(A\) के उपसंग्रहों का सेट है, न कि \(A\) तथा \(A'\) के तत्त्वों का। परीक्षा-सुझाव: याद रखें कि हमेशा \(A\cap A'=\emptyset\) और \(A\cup A'=U\)। / By definition, \(A'\) (the complement of \(A\) in \(U\)) contains those elements of \(U\) that are not in \(A\). No element can belong to both \(A\) and \(A'\) simultaneously, so their intersection is the empty set: \(A\cap A'=\emptyset\). Option B (\(A\)) is incorrect because an element of \(A\) cannot be in \(A'\) at the same time. Option D (\(\mathcal{P}(A)\)) is of a different type (the power set of \(A\)), not a set of elements of \(U\). Exam tip: remember the identities \(A\cap A'=\emptyset\) and \(A\cup A'=U\).
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी लिखें। / A two element set has four subsets. Include \(\emptyset\) and the whole set in the power set.
सम्पूरक (A') का अर्थ है U के वे तत्व जो A में नहीं हैं, अर्थात् A' = U \ A। U में मौजूद तत्वों में से A के तत्व (2,4,6,8) हटाने पर केवल 1, 3 और 5 बचे रहते हैं। इसलिए सही उत्तर {1,3,5} है। नज़दीकी ग़लत विकल्प {5,6,8} में 6 और 8 शामिल हैं जो A में हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: U की सूची लिखकर A के तत्वों को काट दें — जो बचे वे A' हैं। / The complement A' consists of elements of U that are not in A, i.e. A' = U \ A. Removing A's elements (2,4,6,8) from U leaves 1, 3 and 5, so A' = {1,3,5}. A close distractor {5,6,8} is wrong because it still contains 6 and 8 which belong to A. Exam tip: list U and cross out elements of A; the remaining elements form A'.
A में कुल 4 तत्व हैं। किसी भी दो-तत्व वाले उपसमुच्चय की संख्या संयोजन से दी जाती है: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2}=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 है। विकल्प 4 गलत है — वह \(\binom{4}{1}=4\) के कारण एक-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या है; विकल्प 8 भी गलत है और कभी-कभी गलत तरीके से \(2^{n-1}\) जैसा फॉर्मूला लागू करने पर आता है। परीक्षा टिप: दो-तत्व के लिए सीधे \(nC2=\dfrac{n(n-1)}{2}\) का प्रयोग करें। / Set A has 4 elements. The number of 2-element subsets is given by combinations: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2}=6\). So 6 is correct. Option 4 is incorrect — it equals \(\binom{4}{1}=4\), the number of singletons; option 8 is also incorrect and often arises from misapplying formulas like \(2^{n-1}\). Exam tip: remember the shortcut \(nC2= n(n-1)/2\) for two-element subsets.
पूरक की परिभाषा है \(A'=U\setminus A\)। इसलिए \(A=U\setminus A'\)। यहाँ \(A=\{1,2,3,4\}\setminus\{1,4\}=\{2,3\}\)। विकल्प \(\{1,4\}\) पूरक ही है इसलिए वह गलत विकल्प है। परीक्षा सुझाव: पूरक निकालते समय सीधे सार्वत्रिक सेट से पूरक के तत्व घटा दें या एक छोटा वेन्न आरेख बनाकर चेक कर लें। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A\), so \(A=U\setminus A'\). Thus \(A=\{1,2,3,4\}\setminus\{1,4\}=\{2,3\}\). The option \(\{1,4\}\) is the complement, not \(A\). Exam tip: compute complements by subtracting elements of \(A'\) from \(U\) or draw a simple Venn diagram to avoid errors.
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है इसलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\) होता है। इसे \(A\subseteq A\) से समझें। / Every set is a subset of itself so \(A\in\mathcal{P}(A)\). Understand it from \(A\subseteq A\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं इसलिए ({2}) सही है। (2) (A) का तत्व है लेकिन घात समुच्चय का तत्व नहीं। / (\mathcal{P}(A)) contains subsets so ({2}) is correct. (2) is an element of (A) but not of the power set.
पूरक A′ को परिभाषा अनुसार U \\ A के रूप में निकाला जाता है — अर्थात् U के वे तत्व जो A में नहीं हैं। यहाँ U = {सूर्य, चंद्र, तारा} और A = {सूर्य} इसलिए A′ = {चंद्र, तारा} होगा। विकल्प A गलत है क्योंकि वह A ही है, विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें चंद्र गायब है, और विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली सेट नहीं हो सकता। परीक्षा सुझाव: पूरक निकालते समय सीधे U से A के तत्व हटा दें — A′ = U \ A। / By definition the complement A′ = U \ A, i.e. the elements of U that are not in A. With U = {sun, moon, star} and A = {sun}, removing sun leaves {moon, star}, so A′ = {moon, star}. Option A is just A itself, option C omits moon, and option D (empty set) is incorrect because some elements remain. Exam tip: compute A′ by literally subtracting A's elements from U (A′ = U \ A).
चार‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या का अर्थ है कि पाँच में से किन चार तत्वों को चुना जा रहा है। यह संयोजन से दिया जाता है: \(\binom{5}{4}=5\)। वैकल्पिक दृष्टिकोण: हर चार‑तत्व वाले उपसमुच्चय के लिए एक तत्व छोड़ा जाता है, इसलिए 5 अलग‑अलग तरीके हैं। निकटवर्ती विक्षेपक 10 है — यह \(\binom{5}{2}=10\) है (दो‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या) और इसलिए गलत है। परिक्षा‑टिप: यदि आप \(\binom{n}{r}\) याद नहीं रखते, तो सोचें कि चार चुनना मतलब एक छोड़ना है — चुनने के आसान तरीके गिनना उपयोगी होता है। / The number of four‑element subsets equals the number of ways to choose 4 elements from 5: \(\binom{5}{4}=5\). Equivalently, choosing 4 to include is the same as choosing 1 to exclude, so there are 5 choices. The closest distractor 10 is \(\binom{5}{2}=10\), the number of 2‑element subsets, hence incorrect. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) or think in terms of which elements you leave out to count quickly.
A. क्योंकि \(\emptyset\subseteq A\)/because \(\emptyset\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए वह हर घात समुच्चय में तत्व के रूप में आता है। / The empty set is a subset of every set. Therefore it appears as an element in every power set.
पहले परिशिष्ट निकालें: \(A'=U\setminus A=\{2,4,5\}\), इसमें 3 तत्व हैं। किसी समुच्चय S के पावर सेट \(\mathcal{P}(S)\) के तत्वों की संख्या हमेशा \(2^{|S|}\) होती है, अतः \(\mathcal{P}(A')\) में \(2^3=8\) तत्व होंगे। विकल्प (4) गलत है क्योंकि यह तत्वों की संख्या का आधा है; विकल्प (16) गलत है क्योंकि वह \(2^4\) का मान है — यानी किसी ने गलती से परिशिष्ट का आकार 4 मान लिया होगा। परीक्षा-टिप: पहले हमेशा परिशिष्ट \(A'\) की संख्या गिनें, फिर पावर सेट के लिए \(2^{|A'|}\) लगाएँ। / First find the complement: \(A'=U\setminus A=\{2,4,5\}\), which has 3 elements. The number of elements in the power set \(\mathcal{P}(S)\) of any set S is \(2^{|S|}\), so \(\mathcal{P}(A')\) has \(2^3=8\) elements. Option 4 is incorrect (too small); option 16 is incorrect because it equals \(2^4\), implying an incorrect complement size of 4. Exam tip: always count |A'| first, then compute \(2^{|A'|}\).
समुच्चय \(A=\{\{1\},\,2\}\) में दो तत्व हैं: पहला तत्व है \(\{1\}\) (यह स्वयं एक सेट है) और दूसरा तत्व है संख्या \(2\)। संख्या \(1\) केवल \(\{1\}\) के अंदर मौजूद है और सीधे \(A\) का सदस्य नहीं है। इसलिए \(n(A)=2\)। गलत उत्तर (3) होने की आम गलती यह है कि लोग \(1\), \(\{1\}\) और \(2\) को तीन अलग तत्व मान लेते हैं — यह गलत है। परीक्षा टिप: किसी सेट की संख्या गिनते समय केवल सीधे उपस्थित सदस्यों को गिनें, नेस्टेड (nested) सदस्यों को नहीं। / In the set \(A=\{\{1\},\,2\}\) there are two elements: the element \(\{1\}\) (which is itself a set) and the element \(2\). The number \(1\) is inside \(\{1\}\) and is not a direct member of \(A\). Hence \(n(A)=2\). A common mistake giving the answer 3 is to count \(1\), \(\{1\}\) and \(2\) as three separate elements — that is incorrect. Exam tip: count only the elements that are directly present in the set, not elements nested inside those elements.
(A) में दो तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। अंदर के कोष्ठकों को देखकर तत्व गिनें। / Set (A) has two elements so its power set has \(2^2=4\) elements. Count elements carefully using brackets.
पहले (A') निकालते हैं जो ({1,4,5}) है। फिर (\mathcal{P}(A')) इसी समुच्चय के उपसमुच्चयों से बनेगा। / First find (A'), which is ({1,4,5}). Then (\mathcal{P}(A')) is made from subsets of this set.
शून्य तत्व वाला केवल \(\emptyset\) होता है। इसलिए किसी भी समुच्चय में ऐसा उपसमुच्चय एक ही होता है। / The only zero element subset is \(\emptyset\). So any set has exactly one such subset.
समूहन के नियमानुसार, \(A'\) का अर्थ है समुच्चय \(U\) का वह भाग जो \(A\) में नहीं है, अर्थात् \(A'=U\setminus A\). यहाँ \(U\setminus A=\{5,6,7,8\}\। इसलिए इनमें सबसे छोटी संख्या 5 है। विकल्प (4) भ्रमित करने वाला है क्योंकि 4 वास्तव में \(A\) में है और इसलिए \(A'\) में नहीं आ सकता। परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले \(U\) और \(A\) के तत्व लिख लें और फिर ही पूर्णक (complement) निकालें। / By definition, \(A'\) (the complement of A in U) is \(U\setminus A\), i.e. elements of U that are not in A. Here \(U\setminus A=\{5,6,7,8\}\), so the smallest element is 5. Option 4 is wrong because 4 belongs to A and thus is excluded from A'. Exam tip: list elements of U and A explicitly before taking the complement to avoid mistakes.
A. क्योंकि यह (A) का उपसमुच्चय है/because it is a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
({क,ग}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। घात समुच्चय के तत्व उपसमुच्चय होते हैं। / All elements of ({a,c}) are in (A), so it is a subset. Elements of a power set are subsets.
पूरक की परिभाषा अनुसार \(A' = U\setminus A\) होता है — अर्थात् वे तत्व जो यूनिवर्सल सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(A=U\) है, इसलिए \(U\setminus A = U\setminus U = \varnothing\)। रिक्त समुच्चय \(\varnothing\) में तत्वों की संख्या 0 होती है। अक्सर विद्यार्थी विकल्प (5) चुनते हैं क्योंकि वह \(A\) का आकार है; यह गलत है क्योंकि पूरक \(A\) का नहीं बल्कि \(U\) और \(A\) के बीच का अंतर है। परीक्षा युक्ति: पहले जाँचें कि क्या \(A\) यूनिवर्सल सेट के बराबर है; यदि हाँ, तो पूरक अवश्य रिक्त होगा। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A\), the elements in the universal set not in \(A\). Here \(A=U\), so \(U\setminus A=U\setminus U=\varnothing\). The empty set \(\varnothing\) has 0 elements, so \(|A'|=0\). A common error is choosing 5 (the size of \(A\)) — that confuses the set with its complement. Exam tip: compute \(U\setminus A\) directly or check if \(A=U\) before counting.
जब \(A=\emptyset\) हो तो (A'=U) होता है। यहां (U) में (4) तत्व हैं इसलिए \(2^4=16\) तत्व मिलेंगे। / When \(A=\emptyset\), (A'=U). Here (U) has (4) elements so the power set has \(2^4=16\) elements.
(1) को स्थिर रखकर बाकी (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (4) उपसमुच्चय हैं। / Keep (1) fixed and choose or not choose the remaining (2) elements in \(2^2=4\) ways. So there are (4) such subsets.
समुच्चय का पूरक A' का अर्थ है U में से A के सदस्यों को हटा देना: A' = U \ A. यहाँ U={काला, सफेद, लाल, पीला} और A में काला व पीला हैं, अतः बचते हैं सफेद और लाल। इसलिए A' = {सफेद, लाल}। निकटवर्ती ग़लत विकल्पों में D में काला शामिल है जो A का सदस्य है, इसलिए वह पूरक नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: पूरक निकालने के लिए केवल U के उन तत्वों को चुनें जो A में नहीं आते। / The complement A' means all elements of U that are not in A: A' = U \ A. Here U={black, white, red, yellow} and A contains black and yellow, so the remaining elements are white and red. Hence A' = {white, red}. A common mistake is option D, which includes black (an element of A) and so cannot be the complement. Exam tip: To find a complement, remove A's elements from U rather than trying to pair or reorder elements.
(15) को न लेकर बाकी (2) तत्वों से \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में हटे हुए तत्व के बाद बचे तत्व गिनें। / Without (15), the remaining (2) elements form \(2^2=4\) subsets. In exams count the elements left after removing the fixed element.
समुच्चय का पर्याप्त (complement) परिभाषित है: \(M' = \{x\in U : x\notin M\}\)। यहाँ \(U\) में मौजूद ऐसे तत्व जो \(M\) में नहीं हैं वे हैं 1, 3, 5, 7, 9। इसलिए 9 \(M'\) में है। निकटभ्रामक विकल्पों में से 10 और 6 दोनों \(M\) के सदस्य हैं इसलिए वे \(M'\) में नहीं आएंगे। परीक्षाटिप: यूनिवर्सल सेट \(U\) की सूची में से \(M\) के तत्व हटा दें — जो बचे वे \(M'\) हैं। / The complement is defined by \(M' = \{x\in U : x\notin M\}\). From \(U\) remove the elements of \(M\); the remaining elements are 1, 3, 5, 7, 9. Thus 9 is in \(M'\). Closest distractors like 10 (and 6) are actually members of \(M\), so they are not in the complement. Exam tip: To find a complement quickly, cross out all elements of \(M\) from \(U\) — the leftovers form \(M'\).
तीन तत्वों वाले समुच्चय का तीन तत्व वाला उपसमुच्चय केवल वही पूरा समुच्चय होता है। इसलिए संख्या (1) है। / The only three element subset of a three element set is the whole set itself. So the number is (1).
A. \({1}\subseteq A\) और \({1}\in\mathcal{P}(A)\)/\({1}\subseteq A\) and \({1}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({1}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए वह घात समुच्चय का तत्व है। सीधे (1) को (\mathcal{P}(A)) का तत्व न मानें। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of the power set. Do not treat direct (1) as an element of (\mathcal{P}(A)).
सम्पूर्ण सेट के सापेक्ष वर्गपूरक को परिभाषित करें: \(A'=U\setminus A\). इसलिए \(A'=\{1,4,6\}\). इनमें 4 से छोटे तत्वों की जाँच करें: केवल 1 ही 4 से छोटा है। इसलिए सही उत्तर 1 है. निकटवर्ती ग़लत विकल्प (B) तब बनता है जब छात्र 4 को भी "छोटा" मान ले या गलत तरीके से 3 को शामिल कर ले। परीक्षा टिप: "छोटा" (less than) का अर्थ कड़ाई से तय है — 4 को शामिल न करें; पहले हमेशा \(A'\) लिखकर तत्व निकालें। / Find the complement relative to the universal set: \(A'=U\setminus A\). Thus \(A'=\{1,4,6\}\). Check which of these are less than 4: only 1 is less than 4, so the answer is 1. The common mistake (option B) arises from either treating 4 as "less than 4" or mistakenly including an element like 3. Exam tip: first compute the complement explicitly, then apply the inequality (remember that "less than 4" excludes 4).
पहले (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। फिर (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (n(\mathcal{P}(A))=22=4). Then (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^4=16\) elements.
किसी समुच्चय A का पूरक A' = U \ A होता है। यहाँ A' = {2,3,4}। फिर (A')' का अर्थ है U \ A' जो फिर से मूल समुच्चय A दे देता है। अतः (A')' = {1,5}। सबसे नज़दीकी भ्रमित करने वाली विकल्प {2,3,4} केवल एकल पूरक A' है, न कि उसके पूरक का पूरक। परीक्षा टिप: किसी भी दोहरे पूरक पर नियम याद रखें — (A')' = A (सदैव यूनिवर्सल सेट के सन्दर्भ में)। / The complement A' is U \ A. Here A' = {2,3,4}. The complement of that, (A')', is U \ A' which returns the original set A. Therefore (A')' = {1,5}. The closest distractor {2,3,4} is just A' (the single complement), not the complement of the complement. Exam tip: remember the double-complement law (A')' = A with respect to the given universal set.
(2) और (4) को रखना अनिवार्य है और (6) को लेने या न लेने के (2) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (2) उपसमुच्चय हैं। / Keeping (2) and (4) is compulsory and (6) can be taken or not taken in (2) ways. So there are (2) such subsets.
सभी अंक (0) से (9) तक होते हैं और (A) में सम अंक हैं। बचे हुए विषम अंक (1,3,5,7,9) हैं। / All digits are from (0) to (9), and (A) contains even digits. The remaining odd digits are (1,3,5,7,9).
1 को समाहित करना और 4 को न समाहित करना दोनों निश्चित हैं। बचे हुए तत्व 2 और 3 के लिए प्रत्येक के पास होने/न होने के दो-दो विकल्प हैं, इसलिए कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\) होगी। नज़दीकी भ्रम (विकल्प D = 8): यदि कोई 4 मान लेता है तो वह तीन स्वतंत्र तत्व मान कर \(2^3=8\) गिन सकता है — पर यहाँ 4 अंशित नहीं होना तय है, इसलिए एक विकल्प घट जाता है। परीक्षा टिप: पहले शामिल/बहिष्कृत किए हुए तत्व तय कर लें, फिर शेष तत्वों के सबसमुच्चयों की गिनती करें। / Including 1 and excluding 4 are fixed conditions. The remaining elements 2 and 3 are free, each having 2 choices (in or out), so the number of subsets is \(2^2=4\). Closest distractor (option D = 8) arises from mistakenly treating three elements as free and counting \(2^3=8\), but since 4 is fixed excluded, only two elements are free. Exam tip: fix required inclusions/exclusions first, then count subsets of the remaining elements.
B = A' है, अतः B' = (A')' होता है। सेट सिद्धांत में द्वि-परिशिष्ट नियम के अनुसार (A')' = A होता है जब परिशिष्ट सार्वभौमिक सेट U के सापेक्ष लिया गया हो। इसलिए B' = A = {1,2,3}। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प B ({4,5,6}) वास्तव में B स्वयं है, न कि B' — इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सुझाव: परिशिष्ट लेते समय हमेशा यह स्पष्ट करें कि परिशिष्ट किस सार्वभौमिक सेट U के सापेक्ष लिया जा रहा है। / Given B = A', so B' = (A')'. By the double-complement law in set theory, (A')' = A (relative to the universal set U). Therefore B' = A = {1,2,3}. The closest distractor {4,5,6} is actually B (the complement of A), not B'. Exam tip: always state the universal set when working with complements and use (A')' = A to simplify.
(A) में दो अलग तत्व \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) हैं। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। / (A) has two distinct elements \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=22=4).
समुच्चय का पूरक \(A'\) उन तत्वों का समुच्चय होता है जो सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। \(U\) से \(A=\{4,8,12\}\) को हटा देने पर शेष तत्व \(\{2,6,10\}\) रहते हैं। इसलिए सही उत्तर \(\{2,6,10\}\) है। विकल्प C निकटतम भ्रामक उत्तर है क्योंकि उसमें 4 शामिल है जो \(A\) का तत्व है, अतः वह पूरक नहीं हो सकता। परीक्षा-सुझाव: पूरक निकालते समय सीधे \(U\) के उस तत्वों की सूची लिखें जो \(A\) में नहीं हैं। / The complement \(A'\) consists of elements that are in the universal set \(U\) but not in \(A\). Removing \(A=\{4,8,12\}\) from \(U\) leaves \(\{2,6,10\}\), so \(\{2,6,10\}\) is the correct complement. The closest distractor is C because it wrongly includes 4, an element of \(A\). Exam tip: to find a complement, list elements of \(U\) and cross out those that belong to \(A\).
चार तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होते हैं। एक तत्व वाले उपसमुच्चय (4) होते हैं। / A set with four elements has \(2^4=16\) total subsets. The number of one element subsets is (4).
