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तीन तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^3=8\) होते हैं। परीक्षा में घात समुच्चय की संख्या के लिए \(2^n\) याद रखें। / A set with three elements has \(2^3=8\) subsets. For exams remember \(2^n\) for number of elements in a power set.
पहले (A'={3,4,5,6}) मिलेगा जिसमें (4) तत्व हैं। इसलिए (\mathcal{P}(A')) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (A'={3,4,5,6}), which has (4) elements. So (\mathcal{P}(A')) has \(2^4=16\) elements.
घात समुच्चय किसी समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होता है। परीक्षा में तत्व और उपसमुच्चय में अंतर रखें। / A power set is the set of all subsets of a given set. In exams keep the difference between element and subset clear.
({a}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय के तत्व हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / ({a}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Elements of a power set are always subsets.
रिक्त समुच्चय का एक ही उपसमुच्चय \(\emptyset\) होता है। इसलिए (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}) है। / The empty set has only one subset which is \(\emptyset\). Hence (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}).
A. चर्चा में सभी संबंधित तत्वों का समुच्चय/set of all relevant elements under discussion
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय उस संदर्भ के सभी संबंधित तत्व रखता है। प्रश्न में दिए गए संदर्भ को देखकर (U) तय करें। / The universal set contains all relevant elements in the given context. Decide (U) from the context of the question.
परिभाषा के अनुसार किसी सेट का पूर्ण परिशिष्ट (complement) उस सार्वभौमिक सेट \(U\) के वे तत्व होते हैं जो दिए गए सेट में नहीं हैं। यहाँ \(A' = U\setminus A = \{1,2,3,4,5\}\setminus\{2,4\} = \{1,3,5\}\)। विकल्प A गलत है क्योंकि वह मूल सेट \(A\) है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह पूरे सार्वभौमिक सेट \(U\) है, और विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली नहीं है। Exam tip: पूरक निकालने के लिए सीधे \(U\) के सभी तत्वों में से \(A\) के तत्व हटा दें। / By definition the complement of a set consists of elements of the universal set \(U\) that are not in the given set. So \(A' = U\setminus A = \{1,2,3,4,5\}\setminus\{2,4\} = \{1,3,5\}\). Option A is just \(A\), option C is the whole universal set \(U\), and option D is wrong because the complement is not empty. Exam tip: to find a complement, cross out the elements of \(A\) from \(U\) — the remaining elements form \(A'\).
किसी समुच्चय A के घात समुच्चय में A के सभी उपसमुच्चय आते हैं और उनकी संख्या सूत्र \(2^n\) से दी जाती है जहाँ \(n\) मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=4\) है अतः \(2^4=16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। नज़दीकी विचलन — 8 इसलिए गलत है क्योंकि यह \(2^n\) के बजाय किसी और (जैसे \(2\times n\)) ग़लत गणना का परिणाम होगा; 32 तब ही सही होता यदि \(n=5\) होता। परीक्षा सुझाव: घात समुच्चय में खाली समुच्चय और मूल समुच्चय दोनों शामिल होते हैं — इसलिए हमेशा \(2^n\) याद रखें। / The power set of a set A consists of all possible subsets, and its size is given by the formula \(2^n\), where \(n\) is the number of elements in A. Here \(n=4\), so \(2^4=16\); hence 16 is correct. Closest distractor 8 is incorrect because it reflects a wrong computation (e.g. treating the count as \(2\times n\) instead of \(2^n\)); 32 would correspond to \(n=5\). Exam tip: always count the empty set and the set itself — memorise \(2^n\) for power-set questions.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({x}) हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{x}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({x}). So its power set is \({\emptyset,{x}}\).
पूरक B' का मतलब है U में वे तत्व जो B में नहीं हैं, यानि B' = U − B. यहाँ U = {a, b, c, d} और B = {a, d} होने पर B में a और d हैं, इसलिए U में से a और d हटाने पर बचते हैं {b, c}. विकल्प A गलत है क्योंकि वह B स्वयं है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह पूरा यूनिवर्सल सेट है (पूरक तभी पूरा यूनिवर्सल होगा जब B शून्य सेट हो), और विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें d शामिल है जो B में आता है। परीक्षा टिप: किसी भी तत्व को पूरक में रखने से पहले जाँचें कि वह U में है और B में नहीं। / The complement B' consists of elements in U that are not in B, i.e. B' = U − B. Given U = {a, b, c, d} and B = {a, d}, removing a and d from U leaves {b, c}. Option A is incorrect because it is B itself, option C is incorrect because it is the whole universal set (which would be the complement only if B were empty), and option D is incorrect because it still contains d, an element of B. Exam tip: For each element, check it belongs to U and verify it is not in B before including it in the complement.
\(\mathcal{P}(\{1,2\})\) में उन सभी उपसमुच्चयों के集合 आते हैं जो \(\{1,2\}\) के हैं, अर्थात् \(\emptyset,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}\). \(\{3\}\) उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि तत्व 3 मूल समुच्चय \(\{1,2\}\) में नहीं है; अतः \(\{3\}\) घात समुच्चय का तत्व नहीं हो सकता। निकटभ्रामक विकल्प \(\emptyset\) को कभी-कभी याद नहीं रखा जाता, पर खाली समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है इसलिए वह घात समुच्चय में अवश्य आता है। परीक्छा-सूत्र: घात समुच्चय लिखते समय सभी उपसमुच्चयों को सूचीबद्ध कर लें और खाली समुच्चय न भूलें। / The power set \(\mathcal{P}(\{1,2\})\) consists of all subsets of \(\{1,2\}\), namely \(\emptyset,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}\). The set \(\{3\}\) is not a subset because element 3 is not in \(\{1,2\}\); therefore \(\{3\}\) cannot be an element of the power set. A common distractor is \(\emptyset\): some students forget it, but the empty set is a subset of every set so it is in the power set. Exam tip: systematically list all subsets when forming a power set and always include \(\emptyset\).
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए \(\emptyset\) हर घात समुच्चय का तत्व है। / The empty set is a subset of every set. Therefore \(\emptyset\) is an element of every power set.
परिभाषा के अनुसार पूरक को सार्वत्रिक समुच्चय के सन्दर्भ में लिया जाता है: \(A' = \{x\in U : x\notin A\\} = U\setminus A\)। अतः हर तत्व \(A'\) का स्रोत \(U\) ही है, इसलिए \(A'\subseteq U\)। विकल्प \(A\) सामान्यतः गलत है क्योंकि \(A\) और \(A'\) परस्पर अलग होते हैं; केवल विशेष स्थिति (जैसे \(A=U\) में) पर \(A'\subseteq A\) संभव है। \(\mathcal{P}(A)\) गलत है क्योंकि यह \(A\) के उपसमुच्चयों का समुच्चय है और \(A'\) सामान्यतः \(A\) का उपसमुच्चय नहीं होता। \(\emptyset\) भी गलत है क्योंकि पूरक हमेशा शून्य नहीं होता। परीक्षा-सुझाव: पूरक को हमेशा इस रूप में लिखें — \(A'=U\setminus A\) — इससे सही उत्तर त्वरित दिखाई देगा। / By definition the complement is taken relative to the universal set: \(A' = \{x\in U : x\notin A\} = U\setminus A\). Therefore every element of \(A'\) comes from \(U\), so \(A'\subseteq U\). Option \(A\) is generally incorrect because \(A\) and \(A'\) are disjoint; only in special cases (e.g. \(A=U\)) would \(A'\subseteq A\) hold. \(\mathcal{P}(A)\) is wrong since it denotes the set of subsets of \(A\); \(A'\) is not normally a subset of \(A\). \(\emptyset\) is incorrect because the complement need not be empty. Exam tip: Always write the complement as \(A'=U\setminus A\) to identify its containing set quickly.
किसी समुच्चय A का घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में तत्वों की संख्या \(2^{n(A)}\) होती है क्योंकि प्रत्येक तत्व को या तो चुना जा सकता है या छोड़ा जा सकता है। यहाँ \(n(A)=2\) है, अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^{2}=4\)। विकल्प 2, 3 और 5 गलत हैं क्योंकि वे \(2^{n(A)}\) के नियम का पालन नहीं करते। परीक्षा-सुझाव: याद रखें कि यदि समुच्चय में \(n\) तत्व हों तो उसका पावर सेट हमेशा \(2^n\) तत्वों का होगा। / The cardinality of the power set \(\mathcal{P}(A)\) is \(2^{n(A)}\) because each element may either be included or excluded when forming a subset. With \(n(A)=2\), we get \(n(\mathcal{P}(A))=2^{2}=4\). Options 2, 3 and 5 are incorrect as they do not follow the \(2^{n(A)}\) rule. Exam tip: for any set with \(n\) elements, its power set has \(2^n\) subsets—memorize this formula.
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में A के सभी उपसमुच्चय (subsets) अपने-अपने तत्व के रूप में होते हैं। चूँकि \(\{p,q\}\) A का उपसमुच्चय है (\(\{p,q\}\subseteq A\)), इसलिए \(\{p,q\}\) पावर सेट का एक तत्व है यानी \(\{p,q\}\in\mathcal{P}(A)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\{p,q\}\subset\mathcal{P}(A)\) का अर्थ होगा कि हर एक तत्व p और q भी \(\mathcal{P}(A)\) में है — पर \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व उपसमुच्चय हैं, न कि p और q जैसे मूल तत्व। विकल्प C तभी सही होता अगर A स्वयं \(\{p,q\}\) होता (यहाँ A में r भी है)। विकल्प D गलत है क्योंकि A के तत्व p और q सेट नहीं, बल्कि मूल तत्त्व हैं, अतः \(\{p,q\}\in A\) व्यर्थ कथन है। परीक्षा-सुझाव: ∈ (element of) और ⊂/⊆ (subset) का अंतर स्पष्ट रखें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of A as its elements. Since \(\{p,q\}\) is a subset of A (\(\{p,q\}\subseteq A\)), it is an element of the power set, so \(\{p,q\}\in\mathcal{P}(A)\). Option B is incorrect because \(\{p,q\}\subset\mathcal{P}(A)\) would mean p and q themselves are elements of \(\mathcal{P}(A)\); but elements of \(\mathcal{P}(A)\) are subsets of A, not the individual atoms p and q. Option C is wrong because A contains r as well, and option D is false since p and q are members of A, not the set \(\{p,q\}\) being a member of A. Exam tip: clearly distinguish between “∈” (is an element of) and “⊂/⊆” (is a subset of).
किसी भी समुच्चय का परिशिष्ट (complement) सार्वभौमिक समुच्चय में उन तत्वों का समुच्चय होता है जो दिए हुए समुच्चय में नहीं हैं। यदि \(A=U\), तो \(A'=U\setminus A=U\setminus U=\emptyset\)। इसलिए सही उत्तर \(\emptyset\) है। सबसे प्रलोभक विकल्प \(\{1,2,3,4\}\) (विकल्प A) इसलिए गलत है क्योंकि वह A ही है, परिशिष्ट नहीं। विकल्प \(\{1\}\) केवल एक तत्व देता है और विकल्प \(\{0\}\) गलत है क्योंकि \(0\) सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में नहीं है; परिशिष्ट में केवल \(U\) के तत्व ही आ सकते हैं। परीक्षा-सुझाव: हमेशा याद रखें \(A'=U\setminus A\)। / The complement of a set contains those elements of the universal set that are not in the given set. If \(A=U\), then \(A'=U\setminus A=U\setminus U=\emptyset\). Hence the correct answer is \(\emptyset\). The most tempting distractor \(\{1,2,3,4\}\) (option A) is incorrect because it equals A, not A'. Option \(\{1\}\) is wrong because only one element is listed while no elements remain outside A, and option \(\{0\}\) is wrong because 0 is not even an element of the universal set U. Exam tip: compute complements as \(A'=U\setminus A\) and check elements must belong to U.
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। परीक्षा में \(\emptyset'=U\) याद रखें। / The empty set has no elements so its complement is the whole (U). Remember \(\emptyset'=U\) for exams.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। इनमें \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी शामिल होते हैं। / A two element set has four subsets. These include \(\emptyset\) and the whole set itself.
किसी समुच्चय के हर मूल तत्व से एक-एक एकल (singleton) उपसमुच्चय बनता है। चूँकि \(A\) में 5 तत्व हैं, इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में 5 एक-तत्व उपसमुच्चय होंगे। विकल्प D (10) अक्सर भ्रम पैदा करता है — यह संख्या वास्तव में 2-तत्व उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) के बराबर है, न कि एक-तत्व उपसमुच्चयों की। परीक्षा सुझाव: एक-तत्व उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर होती है (यदि \(|A|=n\) तो singletons = \(n\)). / Each element of a set produces exactly one singleton subset. Since \(A\) has 5 elements, there are 5 one-element subsets in \(\mathcal{P}(A)\). Option D (10) is a common distractor — 10 equals the number of 2-element subsets, \(\binom{5}{2}=10\), not singletons. Exam tip: For k-element subsets use \(\binom{n}{k}\); for singletons set \(k=1\) so the count is \(n\).
A. हां क्योंकि \(A\subseteq A\)/Yes because \(A\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार \(\mathcal{P}(A)\) वह समुच्चय है जिसमें A के सभी उपसमुच्चय आते हैं। हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, अर्थात् \(A\subseteq A\)। इसलिए A एक उपसमुच्चय है और इसलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\mathcal{P}(A)\) में A के तत्व नहीं बल्कि A के उपसमुच्चय होते हैं; विकल्प C गलत है क्योंकि किसी समुच्चय के तत्वों की संख्या उसे उपसमुच्चय या सदस्य बनने से रोकती नहीं है; विकल्प D अप्रासंगिक है — सार्वत्रिक समुच्चय होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा सुझाव: किसी भी सेट X के लिये हमेशा जाँचें कि क्या X ⊆ X — यदि हाँ तो X ∈ P(X)। / By definition \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of A. Every set is a subset of itself, so \(A\subseteq A\), which means A is one of the subsets and therefore \(A\in\mathcal{P}(A)\). Option B is a common mistake — elements of \(\mathcal{P}(A)\) are subsets of A, not the individual elements of A. Option C is irrelevant: the number of elements does not prevent a set from being a subset. Option D is also irrelevant: A need not be the universal set to belong to its power set. Exam tip: remember P(X) contains every subset of X, including X itself and the empty set.
B. विद्यालय के वे विद्यार्थी जो कक्षा (11) में नहीं हैं/school students not in class (11)
Explanation
Simple Explanation
पूरक (U) के अंदर (A) से बाहर के तत्वों को दिखाता है। यहां यह कक्षा (11) में न पढ़ने वाले विद्यालय के विद्यार्थी हैं। / The complement shows elements inside (U) but outside (A). Here it means school students who are not in class (11).
पावर सेट के लिए सूत्र है \(n(\mathcal{P}(A))=2^{\,n(A)}\)। दिया गया है \(2^{\,n(A)}=8\)। क्योंकि \(8=2^3\), इसलिए \(n(A)=3\)। निकटतम विकर्षक (उदा. विकल्प A: 2) गलत है क्योंकि \(2^2=4\) न कि 8; विकल्प C:4 भी गलत है क्योंकि \(2^4=16\)। परीक्षा-सूत्र: पावर सेट का आकार \(2^n\) का रूप लेता है — दिए गए संख्या को 2 के घात के रूप में पहचानें या \(\log_2\) लें। / The cardinality of a power set satisfies \(n(\mathcal{P}(A))=2^{\,n(A)}\). Here \(2^{\,n(A)}=8\), and since \(8=2^3\) we get \(n(A)=3\). The nearest distractor (option A: 2) is wrong because \(2^2=4\), not 8; option C:4 is wrong because \(2^4=16\). Exam tip: write the power-set size as \(2^n\) and match it to a power of 2 (or use \(\log_2\)) to find \(n\).
केंद्रित विचार: यदि \(A=\{\emptyset\}\), तो सेट \(A\) में एक ही तत्व है — वह तत्व खुद खाली सेट \(\emptyset\) है, न कि \(A\) खाली है। पावर सेट की परिभाषा के अनुसार \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\)। यहाँ \(n(A)=1\), अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^1=2\), यही सही उत्तर है। नजदीकी ग़लत विकल्प का स्पष्टीकरण: विकल्प B (1) भ्रामक है — यह तब सही होता अगर पावर सेट की गणना गलत तरीके से केवल एक (खाली उपसेट) मान ली जाए; पर वास्तविकता में \(A\) के दो उपसेट हैं: \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\)। परीक्षा टिप: \(\emptyset\) (खाली सेट) और \(\{\emptyset\}\) (खाली सेट को तत्व मानने वाला सेट) को अलग-अलग समझें और पहले हमेशा \(n(A)\) गिनें, फिर \(2^{n(A)}\) लगाएँ। / Core idea: For \(A=\{\emptyset\}\), the set \(A\) has exactly one element — that element is the empty set \(\emptyset\). By definition \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Here \(n(A)=1\), so \(n(\mathcal{P}(A))=2^1=2\), which is correct. Why the closest distractor is wrong: option B (1) confuses the empty set with a set containing the empty set; it ignores the full subset \(\{\emptyset\}\) and counts only the empty subset. Exam tip: always count elements of the original set first (distinguish \(\emptyset\) from \(\{\emptyset\}\)), then apply \(2^{n(A)}\) to get the power-set size.
(A) के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) हैं। इसलिए उसका घात समुच्चय \({\emptyset,{\emptyset}}\) है। / The subsets of (A) are \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). So its power set is \({\emptyset,{\emptyset}}\).
पूरक \(A'\) वे तत्व होते हैं जो यूनिवर्सल सेट \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U=\{0,1,2,3,4\}\) और \(A=\{0,2,4\}\) होने पर \(A'=\{1,3\}\) जो 2 तत्वों का समूह है। निकटतम विकल्प (3) गलत है — यह तब आएगा जब कोई एक अतिरिक्त तत्व गिन लिया जाए। परीक्षा सुझाव: तुरंत तत्वों की सूची लिखें या सूत्र \(n(A')=n(U)-n(A)\) का इस्तेमाल करें। / The complement \(A'\) consists of elements in the universal set \(U\) that are not in \(A\). With \(U=\{0,1,2,3,4\}\) and \(A=\{0,2,4\}\), we get \(A'=\{1,3\}\), which has 2 elements. The closest distractor (3) is wrong — it reflects a one-element counting error. Exam tip: either list elements of \(U\setminus A\) or use the formula \(n(A')=n(U)-n(A)\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं, सीधे तत्व नहीं। ({1}) उपसमुच्चय है इसलिए सही है। / (\mathcal{P}(A)) contains subsets, not direct elements. ({1}) is a subset, so it is correct.
किसी सेट का पूरक (complement) उस यूनिवर्सल सेट में उपस्थित वे तत्व होते हैं जो दिए गए सेट में नहीं हैं। यहाँ \(E=\{2,4,6\}\) है और यूनिवर्सल सेट \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) है, इसलिए \(E' = U\setminus E = \{1,3,5\}\). विकल्प C में 2 शामिल है जो E में है, इसलिए गलत है; विकल्प B सीधे E है, जो पूरक नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय हमेशा यूनिवर्सल सेट के सभी तत्वों में से दिए गए सेट के तत्व हटा दें। / The complement of a set consists of all elements in the universal set that are not in the given set. Here \(E=\{2,4,6\}\) and \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\), so \(E' = U\setminus E = \{1,3,5\}\). Option C wrongly includes 2 (which belongs to E); option B is E itself, not its complement. Exam tip: to find a complement, list elements of U and remove those that are in the given set.
({1,5}) (A) का उपसमुच्चय है लेकिन (A) का सीधा तत्व नहीं है। इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / ({1,5}) is a subset of (A) but not a direct element of (A). So it is an element of (\mathcal{P}(A)).
क्योंकि \(32=2^5\), मूल समुच्चय में (5) तत्व होंगे। घात समुच्चय की संख्या हमेशा (2) की घात होती है। / Since \(32=2^5\), the original set has (5) elements. The size of a power set is always a power of (2).
(0) तत्वों वाले समुच्चय के लिए \(2^0=1\) होता है। इसलिए रिक्त समुच्चय का घात समुच्चय एक तत्व वाला है। / For a set with (0) elements, \(2^0=1\). So the power set of the empty set has one element.
किसी सेट A का पूरक A' उस सार्वभौमिक सेट U के वे तत्व होते हैं जो A में नहीं आते, अर्थात् A' = U
dash; A. यहाँ U = {क, ख, ग, घ} और A = {क, ग} है, अतः A के तत्वों को U से हटा देने पर बचे हुए तत्व {ख, घ} होंगे। विकल्प A गलत है क्योंकि वह A स्वयं है, विकल्प C और D भी गलत संयोजन हैं (C में ग गायब है और D में ग के साथ ग गलत जो A में पहले से है)। परीक्षात्मक सुझाव: U के सभी तत्व लिखकर A के तत्वों पर काट/रंग कर दें; जो बचें वही A' हैं। / The complement A' consists of elements of the universal set U that are not in A, i.e. A' = U \ A. With U = {a, b, c, d} and A = {a, c}, removing A from U leaves {b, d}. Option A is just A itself, so it's incorrect; options C and D are other wrong combinations (they either include an element of A or miss some elements of U). Exam tip: write U, cross out the elements of A, and the leftovers give A'.
किसी सेट के दो-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\) से दी जाती है, जहाँ \(n\) सेट के तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=3\) इसलिए \(\binom{3}{2}=3\)। स्पष्ट रूप से दो-तत्व वाले उपसमुच्चय हैं \(\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\)। विकल्प D (6) गलत है—यह क्रमबद्ध जोड़ों (permutations) की संख्या \(P(3,2)=6\) से मेल खाता है। परीक्षा-सुझाव: छोटे सेटों के लिए सूची बना लेना तेज़ और सुरक्षित तरीका है; सामान्यतः \(\binom{n}{2}\) याद रखें। / The number of two-element subsets of an n-element set is given by \(\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\). Here \(n=3\), so \(\binom{3}{2}=3\). The two-element subsets are \(\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\). Option D (6) is incorrect because 6 counts ordered arrangements (permutations) \(P(3,2)=6\), not unordered subsets. Exam tip: for small n either list subsets or use \(\binom{n}{2}\).
समुच्चय का पूर्ण पूरक उस सार्वभौमिक समुच्चय के वे तत्व होते हैं जो मूल समुच्चय में नहीं होते। इसलिए \(A=U\setminus A'\) होगा। यहाँ \(U=\{1,2,3,4,5\}\) और \(A'=\{4,5\}\), अतः \(A=\{1,2,3\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(A'\) ही है, विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें \(A'\) के तत्व (4 और 5) शामिल हैं, और विकल्प D गलत है क्योंकि \(A=\varnothing\) होने पर \(A'\) पूरा \(U\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: पूरक निकालने के लिए हमेशा \(A=U\setminus A'\) लिखें। / The complement contains those elements of the universal set that are not in the set. So \(A=U\setminus A'\). With \(U=\{1,2,3,4,5\}\) and \(A'=\{4,5\}\), we get \(A=\{1,2,3\}\). Option B is just \(A'\) (not A), option C incorrectly keeps elements 4 and 5 from the complement, and option D is wrong because if \(A=\varnothing\) then \(A'\) would equal \(U\), not \(\{4,5\}\). Exam tip: compute complements as \(U\setminus A'\) to avoid sign errors.
\(\mathcal{P}(A)\) किसी समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होता है। खाली समुच्चय \(\emptyset\) प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय है, इसलिए यह \(\mathcal{P}(A)\) का एक तत्व है। उदाहरण के लिए \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\emptyset\) उपसमुच्चय न होकर \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व है; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि \(\emptyset\) न तो A के बराबर है न सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के बराबर। परीक््षा सुझाव: पावर सेट के तत्व हमेशा उपसमुच्चय होते हैं — "∈" (तत्व) और "⊆" (उपसमुच्चय) में फर्क याद रखें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of A. The empty set \(\emptyset\) is a subset of every set, so it is one of the elements of \(\mathcal{P}(A)\). For A = \{2,3\}, \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}\). Option B is incorrect because \(\emptyset\) is indeed a subset and hence belongs to \(\mathcal{P}(A)\); options C and D are wrong because \(\emptyset\) is neither equal to A nor to the universal set U. Exam tip: remember that elements of the power set are subsets of the original set — distinguish "∈" (element of) from "⊆" (subset of).
A. क्योंकि हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है/because every set is a subset of itself
Explanation
Simple Explanation
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) से आशय उन सभी उपसमुच्चयों का समूह है जो \(A\) के हैं। किसी भी समुच्चय का नियमानुसार स्वयं उसका उपसमुच्चय होता है (यानी \(A\subseteq A\))। अतः \(\{7,8\}\), जो कि \(A\) के बराबर है, \(\mathcal{P}(A)\) का एक तत्व है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व 7 और 8 हैं, न कि समुच्चय \(\{7,8\}\) स्वयं; C और D स्पष्ट रूप से असत्य हैं। परीक्षा टिप: 'तत्व (element)' और 'उपसमुच्चय (subset)' में फर्क स्पष्ट रखें—पहला समुच्चय के अंदर मौजूद सदस्य है, दूसरा समुच्चय का हिस्सा (जो स्वयं एक समुच्चय हो सकता है) है। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) is the collection of all subsets of \(A\). By definition every set is a subset of itself (\(A\subseteq A\)), so \(\{7,8\}\), being equal to \(A\), is one of the subsets and therefore an element of \(\mathcal{P}(A)\). Option B is wrong because the elements of \(A\) are 7 and 8, not the set \(\{7,8\}\) as a single element; options C and D are also false. Exam tip: always distinguish ‘element of a set’ from ‘subset of a set’ when answering power set questions.
किसी सेट A का पूरक A' (U के सन्दर्भ में) उन तत्वों का समूह है जो U में हैं पर A में नहीं हैं। यहाँ U = {1,2,3,4,5,6,7} और A = {1,3,5,7} हैं, इसलिए U में से A के तत्व निकालने पर बचे हुए तत्व {2,4,6} होते हैं। इसीलिए A' = {2,4,6}। नजदीकी विचलन: विकल्प B वही A है (पूरक नहीं), विकल्प C और D कुछ सही/गलत तत्व मिला कर गलत हैं। परीक्षा टिप: पूरक खोजने के लिए हमेशा U के सभी तत्वों में से A के तत्व हटाएँ। / The complement A' relative to U consists of elements that are in U but not in A. With U = {1,2,3,4,5,6,7} and A = {1,3,5,7}, removing A's elements from U leaves {2,4,6}. Thus A' = {2,4,6}. Closest distractor: option B is just A itself, not its complement; options C and D include or omit incorrect elements. Exam tip: compute A' as U \ A (list U, cross out elements of A).
पूरक तब रिक्त होगा जब (A) ने पूरे सार्वत्रिक समुच्चय को ले लिया हो। इसलिए (A=U) सही स्थिति है। / The complement is empty when (A) takes the whole universal set. Therefore (A=U) is the correct case.
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता इसलिए उसका पूरक पूरा (U) है। परीक्षा में यह मूल नियम बहुत उपयोगी है। / The empty set has no element, so its complement is the whole (U). This basic rule is very useful in exams.
चार तत्वों में से तीन चुनने के (4) तरीके हैं। इसलिए तीन तत्व वाले उपसमुच्चय (4) होंगे। / There are (4) ways to choose three elements from four. So there are (4) three element subsets.
किसी भी समुच्चय का केवल एक ही शून्य-तत्व उपसमुच्चय होता है, जो शून्य समुच्चय \(\emptyset\) है। इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में शून्य-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या 1 है। निकटवर्ती गलत विकल्पों का कारण: विकल्प D (8) कुल उपसमुच्चयों की कुल संख्या है (\(2^3\)) पर वह शून्य-तत्व उपसमुच्चयों की संख्या नहीं बताता। परीक्षा सुझाव: हर समय याद रखें कि किसी भी सेट का सिर्फ एक खाली उपसमुच्चय होता है और कुल उपसमुच्चय \(2^n\) होते हैं। / Every set has exactly one empty subset, namely \(\emptyset\). Thus among the subsets in \(\mathcal{P}(A)\) there is exactly one empty subset. Why other options are wrong: option D (8) is the total number of subsets \(2^3\), not the count of empty subsets. Exam tip: remember “one empty subset per set” and that the total number of subsets is \(2^n\) for a set of size \(n\).
पूरक की परिभाषा: A' = U \ A, अर्थात् U के वे तत्व जो A में नहीं हैं। यहाँ U = {लाल, नीला, हरा} और A = {लाल} है, अतः A' = {नीला, हरा}। विकल्प C ({हरा}) अधूरा है — केवल एक तत्व दे रहा है। विकल्प A ({लाल}) A स्वयं है, पूरक नहीं। विकल्प D \(\emptyset\) तब ही सही होगा जब A = U, पर यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा सुझाव: A' निकालने के लिए सीधे U में से A के तत्व हटा दें; जो बचे वही A' होगा। / Definition: A' = U \ A, the elements of U that are not in A. With U = {red, blue, green} and A = {red}, A' = {blue, green}. Option C ({green}) is incomplete (misses blue). Option A ({red}) is A itself, not its complement. Option D \(\emptyset\) would be correct only if A = U, which is not the case here. Exam tip: compute A' by subtracting A from U element-wise: U \ A = remaining elements.
घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा मूल समुच्चय दोनों होते हैं। यहां पूरा मूल समुच्चय ({5}) है। / A power set contains both \(\emptyset\) and the whole original set. Here the whole original set is ({5}).
A. क्योंकि (3) (A) में नहीं है/because (3) is not in (A)
Explanation
Simple Explanation
({1,2,3}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि इसमें अतिरिक्त तत्व (3) है। घात समुच्चय में केवल उपसमुच्चय आते हैं। / ({1,2,3}) is not a subset of (A) because it has the extra element (3). A power set contains only subsets.
A' का अर्थ है A का U के सन्दर्भ में पूरक, यानी U \\ A। U में से A के तत्व {1,4} हटाने पर बचे तत्व {2,3} हैं, अतः B = {2,3}। विकल्प A गलती से A को ही दिखाता है (पूरक नहीं), और विकल्प D में 4 शामिल है जो A में है इसलिए पूरक नहीं हो सकता। परीक्षा-सुझाव: किसी भी पूरक प्रश्न में स्पष्ट रूप से U \ A लिखकर बचे तत्वों को निकालें। / A' means the complement of A relative to U, i.e., U \ A. Removing A's elements {1,4} from U leaves {2,3}, so B = {2,3}. Option A is just A itself (not the complement); option D wrongly keeps 4 which belongs to A. Exam tip: For complements always compute U \ A to list remaining elements clearly.
किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र \(2^{n}\) होता है जहाँ \(n\) मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=2\) इसलिए \(2^{2}=4\)। \(\mathcal{P}(A)\) के उपसमुच्चय हैं: \(\varnothing,\ \{किताब\},\ \{कलम\},\ \{किताब,\, कलम\}\)। विकल्प B (3) गलत है क्योंकि वह शून्य-उपसमुच्चय (\(\varnothing\)) को नहीं गिनता या किसी उपसमुच्चय की अनुपस्थिति का परिणाम होता है। परीक्षा टिप: छोटे सेटों के लिए पहले सभी उपसमुच्चयों की सूची बना लें या सीधे सूत्र \(2^{n}\) लागू करें। / The number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^{n}\). Here \(n=2\), so \(2^{2}=4\). The subsets of \(\mathcal{P}(A)\) are \(\varnothing,\ \{book\},\ \{pen\},\ \{book,\ pen\}\). Option B (3) is incorrect because it effectively omits the empty subset or counts only non-empty subsets. Exam tip: for small sets either list all subsets to verify or use the formula \(2^{n}\).
A. \({4,8}\subseteq A\) और \({4,8}\in \mathcal{P}(A)\)/\({4,8}\subseteq A\) and \({4,8}\in \mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
(4) और (8) दोनों (A) में हैं इसलिए \({4,8}\subseteq A\) है। इसी कारण यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / Both (4) and (8) are in (A), so \({4,8}\subseteq A\). Therefore it is an element of (\mathcal{P}(A)).
\(A'\) (A का पूरक) वे तत्व हैं जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। यहाँ \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) और \(A=\{3,6,9\}\), अतः \(A'=\{1,2,4,5,7,8\}\). इसलिए 8 \(A'\) में है। विकल्प 6 और 9 \(A\) के सदस्य हैं इसलिए वे \(A'\) में नहीं होंगे। परीक्षा टिप: किसी भी तत्व को चुनने से पहले जाँच लें कि वह \(U\) में है और \(A\) में नहीं। / The complement \(A'\) consists of elements that are in \(U\) but not in \(A\). With \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) and \(A=\{3,6,9\}\), we get \(A'=\{1,2,4,5,7,8\}\). Thus 8 is in \(A'\). Options 6 and 9 are in A, so they cannot be in A'. Exam tip: Always verify the chosen element is present in U and absent from A before answering.
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में A के सभी उपसमुच्चय एक-एक बार सूचीबद्ध होते हैं। पूरा समुच्चय (A) स्वयं एक उपसमुच्चय है और इसलिए वह केवल एक बार आता है। (A) में 4 घटक होने पर कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होती है, पर यह कुल उपसमुच्चयों की संख्या है न कि किसी विशेष उपसमुच्चय की आवृत्ति। इसलिए सही उत्तर 1 है। प्रश्न-सुझाव: पावर सेट में हर उपसमुच्चय की एक ही नकल होती है — इसकी बार-बार गिनती नहीं होती। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) lists every subset of \(A\) exactly once. The whole set \(A\) is itself a subset and thus appears exactly once. Note that although the total number of subsets is \(2^4=16\), that counts all different subsets, not the multiplicity of any single subset. Hence the answer is 1. Exam tip: distinguish between the number of distinct subsets (\(2^n\)) and how many times a particular subset appears (always once).
कम्प्लीमेंट की परिभाषा के अनुसार A' = U − A। U में से A के तत्त्व {a,i,u} हटाने पर बचते हैं {e,o}। इसलिए A' = {e,o}। विकल्प A गलत है क्योंकि वह A स्वयं है, न कि A का पूरक; विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें i और u हैं जो A में आते हैं। परीक्षा टिप: पहले U और A के तत्त्व लिखें और U से A के तत्त्व हटाकर बचे हुए को उत्तर मानें। / By definition the complement A' = U − A. Removing the elements of A ({a,i,u}) from U ({a,e,i,o,u}) leaves {e,o}, so A' = {e,o}. Option A is incorrect because it is A itself, not the complement; option D is incorrect because it includes i and u which are in A. Exam tip: list elements of U and subtract those in A to find A'.
({20}) (A) का एक उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) में होगा। सीधे (20) को घात समुच्चय का तत्व न समझें। / ({20}) is a subset of (A), so it will be in (\mathcal{P}(A)). Do not treat direct (20) as an element of the power set.
