यदि \(A=\{p,q,r\}\) है तो \(\{p,q\}\) का \(\mathcal{P}(A)\) के साथ क्या संबंध है?

Correct Answer: A. \(\{p,q\}\in\mathcal{P}(A)\). Explanation: पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में A के सभी उपसमुच्चय (subsets) अपने-अपने तत्व के रूप में होते हैं। चूँकि \(\{p,q\}\) A का उपसमुच्चय है (\(\{p,q\}\subseteq A\)), इसलिए \(\{p,q\}\) पावर सेट का एक तत्व है यानी \(\{p,q\}\in\mathcal{P}(A)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\{p,q\}\subset\mathcal{P}(A)\) का अर्थ होगा कि हर एक तत्व p और q भी \(\mathcal{P}(A)\) में है — पर \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व उपसमुच्चय हैं, न कि p और q जैसे मूल तत्व। विकल्प C तभी सही होता अगर A स्वयं \(\{p,q\}\) होता (यहाँ A में r भी है)। विकल्प D गलत है क्योंकि A के तत्व p और q सेट नहीं, बल्कि मूल तत्त्व हैं, अतः \(\{p,q\}\in A\) व्यर्थ कथन है। परीक्षा-सुझाव: ∈ (element of) और ⊂/⊆ (subset) का अंतर स्पष्ट रखें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of A as its elements. Since \(\{p,q\}\) is a subset of A (\(\{p,q\}\subseteq A\)), it is an element of the power set, so \(\{p,q\}\in\mathcal{P}(A)\). Option B is incorrect because \(\{p,q\}\subset\mathcal{P}(A)\) would mean p and q themselves are elements of \(\mathcal{P}(A)\); but elements of \(\mathcal{P}(A)\) are subsets of A, not the individual atoms p and q. Option C is wrong because A contains r as well, and option D is false since p and q are members of A, not the set \(\{p,q\}\) being a member of A. Exam tip: clearly distinguish between “∈” (is an element of) and “⊂/⊆” (is a subset of).