यदि \(A=\{d,e,f\}\) है, तो \(\emptyset\) \(\mathcal{P}(A)\) में क्यों होता है?

Correct Answer: A. क्योंकि \(\emptyset\subseteq A\) / because \(\emptyset\subseteq A\). Explanation: गणित में घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) का अर्थ है: A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय। खाली समुच्चय \(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, अतः \(\emptyset\) भी \(A\) का उपसमुच्चय है और इसलिए \(\emptyset\in\mathcal{P}(A)\)। नज़दीकी भ्रमात्मक विकल्प \(\emptyset\in A\) गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व केवल \(d,e,f\) हैं, न कि \(\emptyset\)। अन्य गलत विकल्प भी इसलिए गलत हैं कि \(\emptyset\) किसी गैर-खाली सेट के बराबर या सार्वभौमिक समुच्चय के बराबर नहीं होता। परीक्षा-सुझाव: हमेशा याद रखें — खाली समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है और घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय आते हैं। / By definition, the power set \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). The empty set \(\emptyset\) is a subset of every set, so \(\emptyset\) is one of the subsets of \(A\) and hence an element of \(\mathcal{P}(A)\). The common distractor \(\emptyset\in A\) is incorrect because the elements of \(A\) are \(d,e,f\), not \(\emptyset\). Other wrong choices fail because \(\emptyset\) is not equal to a nonempty \(A\) nor generally equal to the universal set. Exam tip: memorize “\(\emptyset\subseteq S\) for every set \(S\)” and the definition of power set as the collection of all subsets.