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(A) में (3) तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। परीक्षा में \(2^n\) नियम तुरंत लगाएं। / Set (A) has (3) elements so its power set has \(2^3=8\) elements. Use the \(2^n\) rule directly in exams.
({v}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय में उपसमुच्चय आते हैं। / ({v}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). A power set contains subsets.
घनसमुच्चय (power set) के लिए सूत्र है \(n(\mathcal{P}(A)) = 2^{\,n(A)}\)। यहाँ दिया गया है \(2^{\,n(A)}=64\)। और \(64=2^6\) है, इसलिए \(n(A)=6\)। निकटतम विकर्षक गलत हैं क्योंकि \(2^4=16,\;2^5=32,\;2^8=256\)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी संख्या को देखते ही उसे सामान्य घातों (2,4,8,16,32,64,128…) के साथ मिलाकर जाँचें। / For a set A, the power set size satisfies \(n(\mathcal{P}(A))=2^{\,n(A)}\). Given \(2^{\,n(A)}=64\) and \(64=2^6\), so \(n(A)=6\). The other options are wrong because \(2^4=16,\;2^5=32,\;2^8=256\), none equal 64. Exam tip: quickly memorize common powers of 2 (16, 32, 64, 128, …) to identify the exponent fast on tests.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({9}) होते हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{9}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({9}). Hence the power set is \({\emptyset,{9}}\).
यहां \(\emptyset\) भी एक तत्व है इसलिए (A) में कुल (3) तत्व हैं। अतः \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / Here \(\emptyset\) is also one element so (A) has (3) elements. Thus there are \(2^3=8\) subsets.
B. पुस्तकालय की हिंदी न होने वाली पुस्तकें/library books that are not Hindi books
Explanation
Simple Explanation
पूरक उसी (U) के अंदर दिए गए समुच्चय से बाहर के तत्व दिखाता है। यहां (H') हिंदी न होने वाली पुस्तकें हैं। / A complement shows elements inside the same (U) but outside the given set. Here (H') means books that are not Hindi books.
हर तत्व से एक एकल उपसमुच्चय बनता है। पांच तत्व होने पर पांच एक तत्व वाले उपसमुच्चय होंगे। / Each element forms one singleton subset. With five elements there are five one element subsets.
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में उन सभी उपसमुच्चयों के तत्व होते हैं जो \(A\) के सब्सेट हों। \(\{2,8\}\) और \(\{4,6\}\) दोनों में केवल ऐसे सदस्य हैं जो \(A\) में मौजूद हैं, इसलिए वे \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व हैं। रिक्त समुच्चय \(\emptyset\) हमेशा किसी भी समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, अतः वह भी \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व है। परन्तु \(\{2,10\}\) में अंक \(10\) है जो \(A\) में नहीं है, इसलिए यह \(A\) का उपसमुच्चय नहीं और न ही \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व है। परीक्षा टिप: किसी विकल्प को पावर सेट का सदस्य मानने से पहले उसके सभी तत्वों की जाँच कर लें कि वे मूल समुच्चय में हैं। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of \(A\). \(\{2,8\}\) and \(\{4,6\}\) consist only of elements from \(A\), so they are in \(\mathcal{P}(A)\). The empty set \(\emptyset\) is a subset of every set, so it is also included. However, \(\{2,10\}\) contains 10, which is not an element of \(A\); hence it is not a subset of \(A\) and not in \(\mathcal{P}(A)\). Exam tip: verify every element of a candidate subset is in the original set before marking it as belonging to the power set.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी शामिल करें। / A two element set has four subsets. Include \(\emptyset\) and the whole set in the power set.
चार तत्वों में से तीन-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या संयोजन द्वारा दी जाती है: \(\binom{4}{3}=\dfrac{4!}{3!1!}=4\)। इसलिए उत्तर 4 है। विकल्प B (6) गलत है क्योंकि \(\binom{4}{2}=6\) है — यह दो-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या है। विकल्प D (8) इस सेट के किसी अन्य गलत समीकरण (जैसे गलत रूप से \(2^3\) लागू करना) से आता है और लागू नहीं होता। परीक्षात्मक टिप: सीधे सूत्र \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) या समरूपीता का उपयोग करें क्योंकि \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)। / The number of 3-element subsets from 4 elements is given by the combination \(\binom{4}{3}=\dfrac{4!}{3!1!}=4\). Thus the correct answer is 4. Option B (6) is incorrect because \(\binom{4}{2}=6\) counts 2-element subsets, not 3-element ones. Option D (8) is a spurious value (e.g. confusion with \(2^3\)) and does not apply. Exam tip: use \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) or the symmetry \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) to compute quickly.
A. क्योंकि \(A\subseteq A\)/because \(A\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
घातसमुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) का पूर्ण परिभाषा है: यह उन सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है जो \(A\) के हैं। किसी भी समुच्चय के लिए \(A\subseteq A\) सदैव सत्य है (हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है), इसलिए \(A\) स्वयं एक उपसमुच्चय है और इसीलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\)। निकटतम विचलक (D) गलत है क्योंकि केवल यह कि \(A\) में तत्व हैं, यह दर्शाता नहीं कि \(A\) \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व होगा —Power set में तत्व समुच्चय होने चाहिए। (C) भी गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व यहाँ संख्याएँ हैं, वे स्वतः उपसमुच्चय नहीं होते। परीक्षा के लिए सुझाव: "Power set = सभी उपसमुच्चय" यह परिभाषा याद रखें और हर समुच्चय का खुद से उपसमुच्चय होना (reflexive) मत भूलें। / By definition the power set \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). For any set, \(A\subseteq A\) is always true (a set is a subset of itself), so \(A\) is one of the subsets of \(A\) and hence \(A\in\mathcal{P}(A)\). Closest distractor (D) is wrong because having elements does not make the whole set an element of the power set — membership in \(\mathcal{P}(A)\) requires being a subset of \(A\). Option (C) is also incorrect since the elements of \(A\) here are numbers, not subsets. Exam tip: remember the definition "power set = set of all subsets" and that subset relation is reflexive (every set is a subset of itself).
\(\mathcal{P}(A)\) का अर्थ है सभी उपसमुच्चयों का समूह। \(\{7\}\) स्पष्ट रूप से \(A\) का एक उपसमुच्चय है, अतः यह \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व होगा। जबकि 7 स्वयं \(A\) का एक साधारण तत्व है, पर वह उपसमुच्चय नहीं है जब तक उसे सेट के रूप में न लिखा जाए (यानी \(\{7\}\) की तरह)। इसलिए केवल \(\{7\}\) सही उत्तर है। निकटतम ग़लत विकल्प (केवल 7) इस भ्रम पर आधारित है कि तत्व और उपसमुच्चय समान हैं—यह गलत है। परीक्षा टिप: ‘‘तत्व’’ और ‘‘उपसमुच्चय’’ के बीच अंतर पर ध्यान दें — एक तत्व को उपसमुच्चय बनाने के लिए उसे ब्रेसेज़ \(\{\ \}\) में लिखना ज़रूरी है। / \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). The singleton \(\{7\}\) is a subset of \(A\), so \(\{7\}\) belongs to \(\mathcal{P}(A)\). The element 7 itself is an element of \(A\) but not a subset of \(A\), so 7 is not in \(\mathcal{P}(A)\). Thus only \(\{7\}\) is correct. The closest distractor (only 7) mistakes an element for a subset. Exam tip: always distinguish between an element x and the singleton set \(\{x\}\) when deciding membership of a power set.
पांच तत्वों में से चार चुनने के (5) तरीके हैं। हर उपसमुच्चय में एक अलग तत्व छूटता है। / There are (5) ways to choose four elements from five. In each subset one different element is left out.
A. क्योंकि \(\emptyset\subseteq A\)/because \(\emptyset\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
गणित में घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) का अर्थ है: A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय। खाली समुच्चय \(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, अतः \(\emptyset\) भी \(A\) का उपसमुच्चय है और इसलिए \(\emptyset\in\mathcal{P}(A)\)। नज़दीकी भ्रमात्मक विकल्प \(\emptyset\in A\) गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व केवल \(d,e,f\) हैं, न कि \(\emptyset\)। अन्य गलत विकल्प भी इसलिए गलत हैं कि \(\emptyset\) किसी गैर-खाली सेट के बराबर या सार्वभौमिक समुच्चय के बराबर नहीं होता। परीक्षा-सुझाव: हमेशा याद रखें — खाली समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है और घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय आते हैं। / By definition, the power set \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). The empty set \(\emptyset\) is a subset of every set, so \(\emptyset\) is one of the subsets of \(A\) and hence an element of \(\mathcal{P}(A)\). The common distractor \(\emptyset\in A\) is incorrect because the elements of \(A\) are \(d,e,f\), not \(\emptyset\). Other wrong choices fail because \(\emptyset\) is not equal to a nonempty \(A\) nor generally equal to the universal set. Exam tip: memorize “\(\emptyset\subseteq S\) for every set \(S\)” and the definition of power set as the collection of all subsets.
पहले (A'={1,3,5,6}) है जिसमें (4) तत्व हैं। इसलिए (\mathcal{P}(A')) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (A'={1,3,5,6}), which has (4) elements. So (\mathcal{P}(A')) has \(2^4=16\) elements.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में समुच्चयों की संख्या हमेशा मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या \(n(A)=k\) के लिए \(2^k\) होती है। यहाँ \(A=\{\{2\},4,6\}\) में तीन तत्व हैं: एक तत्व है समुच्चय \(\{2\}\) और अन्य दो तत्व संख्याएँ 4 और 6 हैं। इसलिये \(n(A)=3\) और \(n(\mathcal{P}(A))=2^3=8\)। निकटतम ग़लत विकल्प (6) इसलिए भ्रमित कर सकता है कि अंदर के सेट \(\{2\}\) के घटक भी गिने जा रहे हों — यह गलत है; \(\{2\}\) यहाँ एक ही तत्व के रूप में गिना जाता है। परीक्षा सुझाव: किसी भी जाँच में यह स्पष्ट कर लें कि कोई आइटम सेट है या उसका सदस्य, क्योंकि सेट-भेदन (element vs subset) से ग़लतियाँ होती हैं। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains \(2^k\) subsets when the original set has \(k\) elements. Here \(A=\{\{2\},4,6\}\) has three elements: the set \(\{2\}\), and the numbers 4 and 6. So \(n(A)=3\) and \(n(\mathcal{P}(A))=2^3=8\). A common mistake leading to option 6 is wrongly counting elements inside the nested set \(\{2\}\) separately; but \(\{2\}\) itself is a single element of \(A\). Exam tip: always distinguish an element that is itself a set from the members of that inner set when counting elements.
पूरक समुच्चय \(A'\) का अर्थ है सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में से \(A\) के तत्व निकालने पर जो बचता है। यहाँ \(A'=U\setminus A=\{1,2,5,6\}\)। इसलिए \(\mathcal{P}(A')\) उन सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होगा जो \(\{1,2,5,6\}\) के सदस्य हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि वह मूल समुच्चय \(A\) है, C गलत है क्योंकि वह पूरे \(U\) को दर्शाता है, और D केवल रिक्त समुच्चय है न कि \(A'\) का आधार। परीक्षा संकेत: किसी भी प्रश्न में पूरक लेते समय सीधे \(U\) से \(A\) के तत्व घटा दें। / The complement \(A'\) is \(U\setminus A\), so here \(A'=\{1,2,5,6\}\). The power set \(\mathcal{P}(A')\) consists of all subsets of \(\{1,2,5,6\}\), so option B is correct. Option A is just the original set \(A\), C is the entire universal set \(U\), and D is only the empty set, none of which are the base set whose subsets form \(\mathcal{P}(A')\). Exam tip: compute \(A'\) by removing elements of \(A\) from \(U\) before listing or reasoning about the power set.
किसी भी सेट का पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) सभी उपसमुच्चयों का समूह है और उसमें खाली समुच्चय \(\emptyset\) हमेशा एक ही बार उपस्थित होता है। इसलिए ऐसे शून्य-तत्त्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या 1 है। सबसे निकटवर्ती भ्रमित करने वाला विकल्प 4 है — वह \(A\) के तत्त्वों की संख्या दर्शाता है, न कि शून्य-तत्त्व वाले उपसमुच्चयों की। परीक्षा सुझाव: याद रखें कि किसी सेट के लिए खाली उपसमुच्चय की संख्या हमेशा 1 और कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है (यहाँ \(n=4\) होने पर कुल 16)। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains every subset of \(A\), and the empty set \(\emptyset\) is a unique subset that always appears exactly once. Therefore there is 1 zero-element subset. The closest misleading option, 4, is just the number of elements in \(A\), not the count of empty subsets. Exam tip: remember the empty subset always exists (count = 1) and the total number of subsets is \(2^n\); here \(n=4\) so total subsets = 16.
A. क्योंकि यह (A) का उपसमुच्चय है/because it is a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
({क,घ}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय आते हैं। / All elements of ({a,d}) are in (A), so it is a subset. A power set contains all subsets.
जब \(A=\emptyset\) हो तो (A'=U) होता है। यहां (U) में (3) तत्व हैं इसलिए \(2^3=8\) तत्व मिलेंगे। / When \(A=\emptyset\), (A'=U). Here (U) has (3) elements so the power set has \(2^3=8\) elements.
(5) को स्थिर रखकर बाकी (2) तत्वों के लिए \(2^2=4\) विकल्प हैं। इसलिए ऐसे (4) उपसमुच्चय होंगे। / Keep (5) fixed and choose from the remaining (2) elements in \(2^2=4\) ways. So there are (4) such subsets.
(36) को हटाकर बाकी (2) तत्वों से \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। ऐसे प्रश्नों में बचे तत्व गिनें। / After excluding (36), the remaining (2) elements form \(2^2=4\) subsets. Count the remaining elements in such questions.
तीन तत्वों वाले समुच्चय का तीन तत्व वाला उपसमुच्चय केवल पूरा समुच्चय होता है। इसलिए संख्या (1) है। / The only three element subset of a three element set is the whole set. So the number is (1).
A. \({5}\subseteq A\) और \({5}\in\mathcal{P}(A)\)/\({5}\subseteq A\) and \({5}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({5}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह घात समुच्चय का तत्व है। सीधे (5) को घात समुच्चय का तत्व न मानें। / ({5}) is a subset of (A), so it is an element of the power set. Do not treat direct (5) as an element of the power set.
पहले (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। फिर (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (n(\mathcal{P}(A))=22=4). Then (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^4=16\) elements.
(1) और (9) रखना तय है और (3) को लेने या न लेने के (2) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (2) उपसमुच्चय हैं। / Keeping (1) and (9) is fixed and (3) can be taken or not taken in (2) ways. So there are (2) such subsets.
2 को लेना और 3 को न लेना निश्चित है, इसलिए उपसमुच्चयों का चयन केवल शेष तत्वों 1 और 4 के लिए स्वतंत्र है। प्रत्येक शेष तत्व के लिए दो विकल्प हैं (लेना या न लेना), अतः कुल उपसमुच्चय \(2^2=4\) होंगे। विकल्प D (8) गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र तत्व मानकर \(2^3\) गिन रहा है। परीक्षा सुझाव: जब कुछ तत्व शामिल/बहिष्कृत निश्चित हों तो बाकी तत्वों के लिए \(2^{n}\) नियम लागू करें। / Including 2 and excluding 3 are fixed choices, so only the remaining elements 1 and 4 are free to be chosen or not. Each of these has 2 possibilities, giving a total of \(2^2=4\) subsets. Option D (8) is wrong because it wrongly treats three free elements (counting \(2^3\)). Exam tip: fix required inclusions/exclusions first, then use \(2^{n}\) for the remaining n elements.
(A) में तीन अलग तत्व \(\emptyset,{\emptyset},0\) हैं। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=23=8) है। / (A) has three distinct elements \(\emptyset,{\emptyset},0\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=23=8).
चार तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होते हैं। दो तत्व वाले उपसमुच्चय (6) होते हैं। / A set with four elements has \(2^4=16\) total subsets. The number of two element subsets is (6).
कुल (8) उपसमुच्चय हैं और (a,b) दोनों को न रखने वाले (2) हैं। इसलिए (8-2=6) उपसमुच्चय सही हैं। / There are (8) total subsets and (2) subsets contain neither (a) nor (b). So (8-2=6) subsets are correct.
