Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=2\) मिलता है। इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{1}{2}\); ऐसे प्रश्नों में वर्ग करना उपयोगी है। / Squaring both sides gives \(1+2\sin x\cos x=2\). Hence \(\sin x\cos x=\frac{1}{2}\); squaring is useful in such questions.
परिभाषा के अनुसार \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)। प्रश्न में \(\tan x=2\) दिया है, इसलिए \(\frac{\sin x}{\cos x}=2\)। \(\frac{1}{2}\) इसका व्युत्क्रम है, जो \(\cot x\) के बराबर होता है, न कि \(\tan x\) के। परीक्षा टिप: \(\tan x\) को हमेशा \(\sin x/\cos x\) से जोड़कर याद रखें। / By definition, \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\). Since \(\tan x=2\) is given, \(\frac{\sin x}{\cos x}=2\). The value \(\frac{1}{2}\) is the reciprocal and represents \(\cot x\), not \(\tan x\). Exam tip: Remember \(\tan x\) as \(\sin x/\cos x\).
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) होता है। जब \(\cos x=0\), अर्थात \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\), तब हर शून्य होने से \(\tan x\) अपरिभाषित है। \(x=n\pi\) पर इसका मान 0 होता है। परीक्षा टिप: tan के लिए cos का शून्य होना याद रखें। / \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\). It is undefined when \(\cos x=0\), i.e. at \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\). At \(x=n\pi\), tan equals 0, so option A is not correct. Exam tip: link tan’s domain to non-zero cosine.
\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) होता है। इसलिए \(\sin x=\frac{1}{4}\); हर व्युत्क्रम फलन को जोड़ी में याद करें। / \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\). Hence \(\sin x=\frac{1}{4}\); learn each reciprocal function as a pair.
पाइथागोरस सर्वसमिका \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से \(1-\cos^2 x=\sin^2 x\) प्राप्त होता है। अतः \(\frac{1-\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x}=1\), जहाँ \(\sin x\ne 0\) हो। \(\sin x\), \(\cos x\) या \(\tan x\) स्वयं इस अनुपात के सरल मान नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में पहले \(1-\cos^2 x\) को \(\sin^2 x\) से बदलें। / Using the Pythagorean identity \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), we get \(1-\cos^2 x=\sin^2 x\). Therefore, \(\frac{1-\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x}=1\), provided \(\sin x\ne 0\). Neither \(\sin x\), \(\cos x\), nor \(\tan x\) is the simplified value of this ratio. Exam tip: first replace \(1-\cos^2 x\) with \(\sin^2 x\) in such questions.
क्योंकि \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), इसलिए मान (1) होगा। \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) सबसे जरूरी पहचान है। / Since \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), the value is (1). \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) is the most important identity.
\(\sin kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ \(k=3\), इसलिए काल \(\frac{2\pi}{3}\) है। / The period of \(\sin kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here \(k=3\), so the period is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(\tan kx\) का काल \(\frac{\pi}{k}\) होता है। \(k=4\) रखने पर काल \(\frac{\pi}{4}\) मिलता है। / The period of \(\tan kx\) is \(\frac{\pi}{k}\). Substituting \(k=4\) gives period \(\frac{\pi}{4}\).
चूँकि \(\cos x\) का मान \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसलिए 2 से गुणा करने पर \(2\cos x\) का मान \(-2\) से \(2\) के बीच होगा। \(x=0\) पर इसका मान \(2\) तथा \(x=\pi\) पर \(-2\) मिलता है, इसलिए दोनों छोर भी शामिल हैं। \([-1,1]\) केवल \(\cos x\) का परिसर है। परीक्षा टिप: \(a\cos x\) का परिसर \([-|a|,|a|]\) होता है। / Since \(\cos x\) lies between \(-1\) and \(1\), multiplying by 2 gives values of \(2\cos x\) from \(-2\) to \(2\). The endpoints are included because \(2\cos 0=2\) and \(2\cos \pi=-2\). Thus, \([-1,1]\) is the range of \(\cos x\), not of \(2\cos x\). Exam tip: the range of \(a\cos x\) is \([-|a|,|a|]\).
क्योंकि \(\sin x\) का मान \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसका अधिकतम मान \(1\) है। अतः \(3\sin x+1\) का अधिकतम मान \(3\times1+1=4\) होगा। विकल्प 3 केवल \(3\sin x\) का अधिकतम मान है; इसमें स्थिर पद \(1\) जोड़ने पर अधिकतम मान 4 हो जाता है। परीक्षा टिप: \(a\sin x+b\) का अधिकतम मान, जब \(a>0\) हो, \(a+b\) होता है। / Since \(\sin x\) lies between \(-1\) and \(1\), its maximum value is \(1\). Therefore, the maximum of \(3\sin x+1\) is \(3\times1+1=4\). Option 3 is only the maximum of \(3\sin x\); adding the constant \(1\) shifts the maximum to 4. Exam tip: for \(a\sin x+b\), when \(a>0\), the maximum value is \(a+b\).
चूँकि \(\cos x\) का मान \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसलिए \(5-2\cos x\) न्यूनतम तब होगा जब \(\cos x=1\) हो। अतः न्यूनतम मान \(5-2(1)=3\) है। \(7\) अधिकतम मान है, जो \(\cos x=-1\) पर मिलता है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक गुणांक वाले त्रिकोणमितीय पद में फलन का न्यूनतम ज्ञात करने के लिए उस त्रिकोणमितीय फलन का अधिकतम मान लें। / Since \(\cos x\) lies between \(-1\) and \(1\), \(5-2\cos x\) is smallest when \(\cos x=1\). Thus, its minimum value is \(5-2(1)=3\). The value \(7\) is the maximum, obtained when \(\cos x=-1\). Exam tip: For a trigonometric term with a negative coefficient, use the maximum value of that trigonometric function to find the minimum of the expression.
\(\sin x=\frac{15}{17}\) मिलता है और \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\) होता है। इसलिए \(\cot x=\frac{8}{15}\)। / \(\sin x=\frac{15}{17}\) and \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\). Therefore, \(\cot x=\frac{8}{15}\).
\(\tan x=\frac{3}{4}\) से समकोण त्रिभुज में कर्ण (5) होगा। इसलिए \(\sin x=\frac{3}{5}\)। / From \(\tan x=\frac{3}{4}\), the hypotenuse in a right triangle is (5). Hence \(\sin x=\frac{3}{5}\).
\(\cot x=\frac{5}{12}\) में आसन्न (5) और सामने (12) मानें। कर्ण (13) होगा, इसलिए \(\cos x=\frac{5}{13}\)। / For \(\cot x=\frac{5}{12}\), take adjacent as (5) and opposite as (12). The hypotenuse is (13), so \(\cos x=\frac{5}{13}\).
पूरक कोण सूत्रों के अनुसार \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) तथा \(\sin(\pi-x)=\sin x\) होता है। अतः \(\sin(\pi+x)+\sin(\pi-x)=-\sin x+\sin x=0\)। \(2\sin x\) तब मिलता है जब दोनों पद \(\sin x\) के समान चिह्न वाले हों, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: \(\pi\pm x\) वाले कोणों में चिन्ह निर्धारित करने के लिए कोण का चतुर्थांश अवश्य देखें। / Using allied-angle identities, \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) and \(\sin(\pi-x)=\sin x\). Therefore, \(\sin(\pi+x)+\sin(\pi-x)=-\sin x+\sin x=0\). The result \(2\sin x\) would occur only if both terms had the same sign, which they do not here. Exam tip: for angles of the form \(\pi\pm x\), determine the sign by identifying the quadrant.
पूरक कोण के सूत्रों से \(\cos(\pi+x)=-\cos x\) तथा \(\cos(\pi-x)=-\cos x\) होता है। अतः \(\cos(\pi+x)+\cos(\pi-x)=-\cos x-\cos x=-2\cos x\)। \(0\) केवल विशेष मानों, जैसे \(\cos x=0\), के लिए मिल सकता है; यह सामान्य सरल रूप नहीं है। परीक्षा टिप: \(\pi\pm x\) वाले कोणों में पहले त्रिकोणमितीय फलन का चिह्न जाँचें। / Using allied-angle identities, \(\cos(\pi+x)=-\cos x\) and \(\cos(\pi-x)=-\cos x\). Hence, \(\cos(\pi+x)+\cos(\pi-x)=-\cos x-\cos x=-2\cos x\). The value \(0\) may occur only for particular values such as when \(\cos x=0\); it is not the general simplified form. Exam tip: For angles of the form \(\pi\pm x\), first check the sign of the trigonometric function.
\(\tan\) का आवर्त \(\pi\) है, इसलिए \(\tan(\pi+x)=\tan x\)। साथ ही, \(\tan(\pi-x)=\tan(-x)=-\tan x\)। अतः \(\tan(\pi+x)-\tan(\pi-x)=\tan x-(-\tan x)=2\tan x\)। \(-2\tan x\) तब मिलता यदि पदों का क्रम उलटा होता। परीक्षा टिप: \(\tan(\pi-x)\) में ऋण चिह्न अवश्य ध्यान रखें। / The period of \(\tan\) is \(\pi\), so \(\tan(\pi+x)=\tan x\). Also, \(\tan(\pi-x)=\tan(-x)=-\tan x\). Hence, \(\tan(\pi+x)-\tan(\pi-x)=\tan x-(-\tan x)=2\tan x\). The value \(-2\tan x\) would result if the order of the two terms were reversed. Exam tip: carefully retain the negative sign in \(\tan(\pi-x)\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) वाले रूप में \(\sin\) बदलकर \(\cos\) होता है और चिन्ह धनात्मक रहता है। इसलिए उत्तर \(\cos x\) है। / In the form \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\sin\) changes to \(\cos\) and the sign remains positive. Hence the answer is \(\cos x\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) वाले रूप में \(\cos\) बदलकर \(\sin\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए \(-\sin x\) मिलता है। / In the form \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\cos\) changes to \(\sin\) with a negative sign. Hence it becomes \(-\sin x\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) पर \(\tan\) बदलकर \(\cot\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए (\tan\(\frac{\pi}{2}+x\)=-\cot x)। / At \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\tan\) changes to \(\cot\) with a negative sign. Hence (\tan\(\frac{\pi}{2}+x\)=-\cot x).
(\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)=\sin x), इसलिए (\sec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\sin x}=\cosec x)। पूरक कोण में सहफलन बनता है। / (\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)=\sin x), so (\sec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\sin x}=\cosec x). Complementary angles give cofunctions.
(\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x), इसलिए (\cosec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\cos x}=\sec x)। व्युत्क्रम और पूरक पहचान साथ लगाएँ। / (\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x), so (\cosec\(\frac{\pi}{2}-x\)=\frac{1}{\cos x}=\sec x). Use reciprocal and cofunction identities together.
पहचान से \(|\cos x|=\frac{24}{25}\) मिलता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। / The identity gives \(|\cos x|=\frac{24}{25}\). In the second quadrant, \(\cos x\) is negative.
\(\sec^2 x=1+\tan^2 x\) से \(|\sec x|=\frac{41}{40}\) मिलता है। तीसरे चतुर्थांश में \(\sec x\) ऋणात्मक होता है। / From \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\), \(|\sec x|=\frac{41}{40}\). In the third quadrant, \(\sec x\) is negative.
पहचान से \(|\sin x|=\frac{8}{17}\) मिलता है। चौथे चतुर्थांश में \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। / The identity gives \(|\sin x|=\frac{8}{17}\). In the fourth quadrant, \(\sin x\) is negative.
\(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\) मिलता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cosec x\) धनात्मक होता है। / From \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\). In the second quadrant, \(\cosec x\) is positive.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\) से \(\sec^2 x-1=\tan^2 x\) मिलता है। अतः \(\frac{\sec^2 x-1}{\tan^2 x}=\frac{\tan^2 x}{\tan^2 x}=1\), जहाँ दिया गया व्यंजक परिभाषित है। \(0\) विकल्प गलत है, क्योंकि अंश और हर समान हैं, अंश शून्य होने पर हर भी शून्य होगा और भिन्न परिभाषित नहीं होगा। परीक्षा टिप: \(\sec^2 x-1\) दिखते ही उसे \(\tan^2 x\) से बदलें। / Using the identity \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\), we get \(\sec^2 x-1=\tan^2 x\). Therefore, \(\frac{\sec^2 x-1}{\tan^2 x}=\frac{\tan^2 x}{\tan^2 x}=1\), wherever the given expression is defined. Option \(0\) is incorrect because the numerator and denominator are equal; when they are zero, the fraction is undefined rather than zero. Exam tip: Replace \(\sec^2 x-1\) directly with \(\tan^2 x\).
पाइथागोरसीय त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(\cosec^2 x-1=\cot^2 x\) मिलता है। अतः \(\frac{\cosec^2 x-1}{\cot^2 x}=\frac{\cot^2 x}{\cot^2 x}=1\), जहाँ व्यंजक परिभाषित है। \(\cot^2 x\) उत्तर नहीं है, क्योंकि यह केवल अंश का सरल रूप है। परीक्षा टिप: \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) को \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\) के साथ याद रखें। / Using the Pythagorean trigonometric identity \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), we get \(\cosec^2 x-1=\cot^2 x\). Therefore, \(\frac{\cosec^2 x-1}{\cot^2 x}=\frac{\cot^2 x}{\cot^2 x}=1\), wherever the expression is defined. \(\cot^2 x\) is not the final answer because it is only the simplified numerator. Exam tip: remember \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) alongside \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\).
\(\cos(-x)=\cos x\) होने के कारण \(\cos x\) सम फलन है। जबकि \(\sin(-x)=-\sin x\), इसलिए \(\sin x\), \(\tan x\) और \(\cot x\) विषम हैं। परीक्षा में \(f(-x)\) लिखकर पहचान करें। / Since \(\cos(-x)=\cos x\), \(\cos x\) is an even function. In contrast, \(\sin(-x)=-\sin x\), so \(\sin x\), \(\tan x\), and \(\cot x\) are odd. Exam tip: test parity by replacing \(x\) with \(-x\).
A. \(\sin(\pi-x)=\sin x\), क्योंकि द्वितीय चतुर्थांश में साइन धनात्मक होता है।/\(\sin(\pi-x)=\sin x\), because sine is positive in the second quadrant.
Explanation
Simple Explanation
सही पहचान \(\sin(\pi-x)=\sin\pi\cos x-\cos\pi\sin x=0-(-1)\sin x=\sin x\) है। \(\pi-x\) द्वितीय चतुर्थांश में होता है, जहाँ साइन धनात्मक रहता है। परीक्षा में \(\pi\pm x\) के लिए चतुर्थांश का चिह्न जरूर जाँचें। / Using the subtraction formula, \(\sin(\pi-x)=\sin\pi\cos x-\cos\pi\sin x=0-(-1)\sin x=\sin x\). The angle \(\pi-x\) is in quadrant II, where sine is positive. Exam tip: check the quadrant sign for identities involving \(\pi\pm x\).
\\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\) होता है। \\(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\\) पर \\(\cos x=0\\), इसलिए शून्य से भाग नहीं हो सकता और \\(\tan x\\) अपरिभाषित है। परीक्षा टिप: हर भिन्नात्मक फलन में हर को शून्य जाँचें। / \\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\). At \\(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\\), \\(\cos x=0\\), so division by zero makes \\(\tan x\\) undefined. Exam tip: for a quotient function, first check where its denominator is zero.
\(\sin x\) का मान सदैव \(-1\) और \(1\) के बीच रहता है तथा दोनों मान प्राप्त भी हो सकते हैं; जैसे \(\sin(\pi/2)=1\) और \(\sin(3\pi/2)=-1\)। इसलिए सिरों को शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: परास लिखते समय बराबर का चिह्न न भूलें। / The value of \(\sin x\) always lies from \(-1\) to \(1\), and both endpoints occur: \(\sin(\pi/2)=1\) and \(\sin(3\pi/2)=-1\). Hence the endpoints must be included. Exam tip: use inclusive inequality signs for the range of sine.
\(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\) होगा। प्रथम चतुर्थांश में \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) लिया जाता है। / \(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\). In the first quadrant, \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) is taken.
\(\sin^2 x=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\) होता है। चौथे चतुर्थांश में \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। / \(\sin^2 x=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\). In the fourth quadrant, \(\sin x\) is negative.
\(\cos kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ \(k=5\), इसलिए काल \(\frac{2\pi}{5}\) है। / The period of \(\cos kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here \(k=5\), so the period is \(\frac{2\pi}{5}\).
साइन फलन के रूप \(a\sin bx\) में आयाम \(|a|\) होता है। यहाँ \(a=4\) है, इसलिए आयाम \(|4|=4\) है। \(2\) का संबंध फलन के आवर्तकाल से है, आयाम से नहीं। परीक्षा टिप: आयाम ज्ञात करने के लिए \(\sin\) या \(\cos\) के बाहर के गुणांक का परम मान लें। / For a sine function of the form \(a\sin bx\), the amplitude is \(|a|\). Here, \(a=4\), so the amplitude is \(|4|=4\). The factor \(2\) affects the period of the function, not its amplitude. Exam tip: To find amplitude, take the absolute value of the coefficient outside \(\sin\) or \(\cos\).
चूँकि \(\cos x\) का मान \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसलिए \(-3\cos x\) का मान \(-3\) से \(3\) के बीच होगा। जब \(\cos x=1\) होता है, तब \(-3\cos x=-3\) प्राप्त होता है, अतः न्यूनतम मान \(-3\) है। \(3\) अधिकतम मान है, जो \(\cos x=-1\) पर मिलता है। परीक्षा टिप: किसी त्रिकोणमितीय फलन को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर उसके अधिकतम और न्यूनतम मानों का क्रम बदल जाता है। / Since \(\cos x\) lies between \(-1\) and \(1\), \(-3\cos x\) lies between \(-3\) and \(3\). When \(\cos x=1\), we get \(-3\cos x=-3\); hence the minimum value is \(-3\). The value \(3\) is the maximum, obtained when \(\cos x=-1\). Exam tip: multiplying a trigonometric function by a negative number reverses the order of its maximum and minimum values.
क्योंकि \(\sin x\) का मान हमेशा \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसलिए \(2+\sin x\) का न्यूनतम मान \(2-1=1\) और अधिकतम मान \(2+1=3\) है। अतः परिसर \([1,3]\) है। \([-1,1]\) केवल \(\sin x\) का परिसर है, \(2+\sin x\) का नहीं। परीक्षा टिप: किसी फलन में नियत संख्या जोड़ने पर परिसर की दोनों सीमाएँ उतनी ही संख्या से बदलती हैं। / Since \(\sin x\) always lies between \(-1\) and \(1\), the minimum value of \(2+\sin x\) is \(2-1=1\) and its maximum value is \(2+1=3\). Hence, its range is \([1,3]\). The interval \([-1,1]\) is the range of \(\sin x\) alone, not of \(2+\sin x\). Exam tip: when a constant is added to a function, add that constant to both endpoints of its range.
क्योंकि \(\cos x\) का मान \([-1,1]\) के बीच होता है, इसलिए \(1-\cos x\) का न्यूनतम मान \(0\) होता है, जब \(\cos x=1\), और अधिकतम मान \(2\) होता है, जब \(\cos x=-1\)। अतः परिसर \([0,2]\) है। विकल्प \([-1,1]\) केवल \(\cos x\) का परिसर है, \(1-\cos x\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(a-\cos x\) के परिसर के लिए \(\cos x\in[-1,1]\) रखकर दोनों सीमांत मान जाँचें। / Since \(\cos x\) lies in \([-1,1]\), the minimum value of \(1-\cos x\) is \(0\) when \(\cos x=1\), and its maximum value is \(2\) when \(\cos x=-1\). Hence, the range is \([0,2]\). The interval \([-1,1]\) is the range of \(\cos x\), not of \(1-\cos x\). Exam tip: for an expression such as \(a-\cos x\), substitute the endpoint values \(-1\) and \(1\) of \(\cos x\).
अंश और हर को \(\cos x\) से भाग देने पर \(\frac{\tan x+1}{\tan x-1}\) मिलता है। \(\tan x=3\) रखने पर मान (2) है। / Dividing numerator and denominator by \(\cos x\) gives \(\frac{\tan x+1}{\tan x-1}\). Substituting \(\tan x=3\) gives (2).
मान \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\) है। हर को परिमेय करने पर \(7+4\sqrt{3}\) मिलता है। / The value is \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\). Rationalising the denominator gives \(7+4\sqrt{3}\).
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) होता है। जब \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\), तब \(\cos x=0\) हो जाता है, इसलिए \(\tan x\) अपरिभाषित है। \(\sin x\) और \(\cos x\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित हैं। परीक्षा टिप: हर भिन्नात्मक फलन में हर को शून्य होने से जाँचें। / \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\). For \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\), \(\cos x=0\), so \(\tan x\) is undefined. In contrast, \(\sin x\) and \(\cos x\) are defined for every real \(x\). Exam tip: for a quotient function, first check where its denominator becomes zero.
सर्वसमिका \(\cosec^2 x-\cot^2 x=1\) से \((\cosec x-\cot x)(\cosec x+\cot x)=1\) मिलता है। दिया है \(\cosec x-\cot x=\frac{1}{3}\), अतः \(\frac{1}{3}(\cosec x+\cot x)=1\)। इसलिए \(\cosec x+\cot x=3\)। \(\frac{1}{3}\) दिया हुआ व्यंजक है, उसका प्रतिलोम लेने पर 3 प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(\cosec^2 x-\cot^2 x=1\) पहचानकर दोनों संयुग्म व्यंजकों का गुणनफल लें। / Using the identity \(\cosec^2 x-\cot^2 x=1\), we get \((\cosec x-\cot x)(\cosec x+\cot x)=1\). Given \(\cosec x-\cot x=\frac{1}{3}\), so \(\frac{1}{3}(\cosec x+\cot x)=1\). Therefore, \(\cosec x+\cot x=3\). The value \(\frac{1}{3}\) is the given expression; its reciprocal gives 3. Exam tip: recognise \(\cosec^2 x-\cot^2 x=1\) and multiply the conjugate expressions in such questions.
अंतर के वर्गों के सूत्र से \(\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)\)। अब \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), इसलिए सरल मान \(\sin^2 x-\cos^2 x\) है। विकल्प B इसका ऋणात्मक रूप है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) लगाने के बाद मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करें। / Using the difference of squares, \(\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)\). Since \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), the simplified value is \(\sin^2 x-\cos^2 x\). Option B is its negative, so it is not correct. Exam tip: after applying \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), use the fundamental trigonometric identity.
ऊपर \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) और नीचे \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\) है। अनुपात \(\frac{\sec^2 x}{\cosec^2 x}=\tan^2 x\) होता है। / The numerator is \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) and the denominator is \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\). Their ratio is \(\frac{\sec^2 x}{\cosec^2 x}=\tan^2 x\).
हर को परिमेय करने पर (\frac{\(1+\sin x\)2}{\cos-2 x}) मिलता है। यह (\(\sec x+\tan x\)2) के बराबर है। / Rationalising the denominator gives (\frac{\(1+\sin x\)2}{\cos-2 x}). This equals (\(\sec x+\tan x\)2).
अर्ध कोण पहचान के अनुसार \(\tan^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)। अर्ध कोण रूपों को अलग से याद रखें। / By the half-angle identity, \(\tan^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\). Remember half-angle forms separately.
मानक अर्ध कोण पहचान \(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\) है। ऐसे रूप में अर्ध कोण तुरंत पहचानें। / The standard half-angle identity is \(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}\). Identify the half-angle form quickly.
पहचान \((\sin x-\cos x)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=1-2\sin x\cos x\) का प्रयोग करें। दिया है \(\sin x-\cos x=\frac{1}{2}\), अतः \(\frac{1}{4}=1-2\sin x\cos x\)। इसलिए \(2\sin x\cos x=\frac{3}{4}\) और \(\sin x\cos x=\frac{3}{8}\) होगा। \(\frac{1}{4}\) केवल दिए गए अंतर का वर्ग है, गुणनफल नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले द्विपद का वर्ग लेकर \(\sin^2x+\cos^2x=1\) लगाएँ। / Use \((\sin x-\cos x)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=1-2\sin x\cos x\). Since \(\sin x-\cos x=\frac{1}{2}\), we get \(\frac{1}{4}=1-2\sin x\cos x\). Hence \(2\sin x\cos x=\frac{3}{4}\), so \(\sin x\cos x=\frac{3}{8}\). The value \(\frac{1}{4}\) is the square of the given difference, not the product. Exam tip: square the given expression first and then use \(\sin^2x+\cos^2x=1\).
पहचान (\(\sin x+\cos x\)2+\(\sin x-\cos x\)2=2) का उपयोग करें। इसलिए मान \(2-\frac{36}{25}=\frac{14}{25}\) है। / Use the identity (\(\sin x+\cos x\)2+\(\sin x-\cos x\)2=2). Hence the value is \(2-\frac{36}{25}=\frac{14}{25}\).
दिया है \,\(\tan x+\cot x=5\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \((\tan x+\cot x)^2=\tan^2x+\cot^2x+2\tan x\cot x\) मिलता है। चूँकि \(\tan x\cot x=1\), इसलिए \(25=\tan^2x+\cot^2x+2\)। अतः \(\tan^2x+\cot^2x=23\)। विकल्प 25 केवल योग के वर्ग का मान है; उसमें से 2 घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(\tan x\cot x=1\) का उपयोग करना न भूलें। / Given \(\tan x+\cot x=5\). Squaring both sides gives \((\tan x+\cot x)^2=\tan^2x+\cot^2x+2\tan x\cot x\). Since \(\tan x\cot x=1\), we get \(25=\tan^2x+\cot^2x+2\). Hence, \(\tan^2x+\cot^2x=23\). Option 25 is only the square of the given sum; the extra 2 must be subtracted. Exam tip: always use \(\tan x\cot x=1\) in such identities.
पहचान \(\sec^2 x-\tan^2 x=1\) से \((\sec x-\tan x)(\sec x+\tan x)=1\) मिलता है। अतः \(\frac{1}{4}(\sec x+\tan x)=1\), इसलिए \(\sec x+\tan x=4\)। विकल्प \(16\) तब आता यदि \(\frac{1}{4}\) का गलत वर्ग किया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(\sec^2 x-\tan^2 x=1\) को गुणनखंडों के रूप में लिखें। / Using the identity \(\sec^2 x-\tan^2 x=1\), we get \((\sec x-\tan x)(\sec x+\tan x)=1\). Hence \(\frac{1}{4}(\sec x+\tan x)=1\), so \(\sec x+\tan x=4\). The option \(16\) may result from incorrectly squaring \(\frac{1}{4}\). Exam tip: rewrite \(\sec^2 x-\tan^2 x=1\) as a product in such questions.
(\(\cosec x+\cot x\)\(\cosec x-\cot x\)=1) होता है। इसलिए आवश्यक मान \(\frac{1}{6}\) है। / The identity is (\(\cosec x+\cot x\)\(\cosec x-\cot x\)=1). Therefore, the required value is \(\frac{1}{6}\).
अर्ध-कोण पहचान से \(\frac{\sin x}{1-\cos x}=\cot \frac{x}{2}\) होता है। ऐसे रूपों में हर देखकर पहचान करें। / By the half-angle identity, \(\frac{\sin x}{1-\cos x}=\cot \frac{x}{2}\). In such forms, identify the denominator carefully.
मानक अर्ध-कोण रूप \(\cot \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}\) है। \(\tan \frac{x}{2}\) और \(\cot \frac{x}{2}\) के रूप अलग रखें। / The standard half-angle form is \(\cot \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}\). Keep the forms of \(\tan \frac{x}{2}\) and \(\cot \frac{x}{2}\) separate.
A. \(\cos x\) का न्यूनतम मान \(-1\) है, इसलिए \(y\) का न्यूनतम मान \(1\) है।/The minimum value of \(\cos x\) is \(-1\), so the minimum value of \(y\) is \(1\).
Explanation
Simple Explanation
\(\cos x\) का परास \([-1,1]\) होता है। अतः दोनों सिरों में 2 जोड़ने पर \(y\) का परास \([1,3]\) मिलता है; इसलिए न्यूनतम मान 1 है। परीक्षा में स्थिरांक जोड़ने पर परास के दोनों सिरों को उतना ही बदलें। / The range of \(\cos x\) is \([-1,1]\). Adding 2 to both endpoints gives the range \([1,3]\), so the minimum is 1. In exams, when a constant is added, shift both endpoints of the range by that constant.
क्योंकि \(\cos x\) का मान \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसलिए \(5\cos x\) का न्यूनतम मान \(-5\) होगा। अतः \(2+5\cos x\) का न्यूनतम मान \(2-5=-3\) है, जो \(\cos x=-1\) पर प्राप्त होता है। विकल्प \(7\) अधिकतम मान है, क्योंकि वह \(\cos x=1\) पर मिलता है। परीक्षा टिप: \(a+b\cos x\) में \(b>0\) होने पर न्यूनतम मान \(a-b\) होता है। / Since \(\cos x\) lies between \(-1\) and \(1\), the minimum value of \(5\cos x\) is \(-5\). Hence, the minimum value of \(2+5\cos x\) is \(2-5=-3\), attained when \(\cos x=-1\). Option \(7\) is the maximum value, obtained when \(\cos x=1\). Exam tip: for \(a+b\cos x\) with \(b>0\), the minimum value is \(a-b\).
चूँकि \(\sin 2x\) का मान हमेशा \(-1\) से \(1\) के बीच रहता है, इसलिए \(3\sin 2x\) का परिसर \([-3,3]\) होगा। अब इसमें \(-1\) जोड़ने पर पूरा परिसर 1 इकाई बाईं ओर खिसक जाता है: \([-3-1,\,3-1]=[-4,2]\)। इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प A में केवल 3 से गुणा करने का प्रभाव लिया गया है, \(-1\) का स्थानांतरण नहीं। परीक्षा टिप: \(a\sin(bx)+c\) का परिसर \([c-|a|,\,c+|a|]\) होता है। / Since \(\sin 2x\) always lies between \(-1\) and \(1\), the range of \(3\sin 2x\) is \([-3,3]\). Adding \(-1\) shifts every value down by 1, giving \([-3-1,\,3-1]=[-4,2]\). Hence, option B is correct. Option A accounts only for multiplication by 3 and misses the downward shift by 1. Exam tip: the range of \(a\sin(bx)+c\) is \([c-|a|,\,c+|a|]\).
फलन \(a\cos(bx)+c\) का काल \(\frac{2\pi}{|b|}\) होता है। यहाँ \(b=3\) है, इसलिए काल \(\frac{2\pi}{3}\) है। गुणांक 2 केवल आयाम बदलता है और +4 केवल ग्राफ को ऊपर खिसकाता है; ये काल को नहीं बदलते। \(\frac{\pi}{3}\) आधा काल है, इसलिए यह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\sin bx\) या \(\cos bx\) में काल ज्ञात करने के लिए \(2\pi\) को \(|b|\) से भाग दें। / For a function of the form \(a\cos(bx)+c\), the period is \(\frac{2\pi}{|b|}\). Here, \(b=3\), so the period is \(\frac{2\pi}{3}\). The coefficient 2 changes only the amplitude, and +4 shifts the graph upward; neither changes the period. \(\frac{\pi}{3}\) is half of the period, so it is not correct. Exam tip: For \(\sin bx\) or \(\cos bx\), divide \(2\pi\) by \(|b|\) to find the period.
\(\tan kx\) का काल \(\frac{\pi}{k}\) होता है। यहाँ (k=2), इसलिए मूल काल \(\frac{\pi}{2}\) है। / The period of \(\tan kx\) is \(\frac{\pi}{k}\). Here (k=2), so the fundamental period is \(\frac{\pi}{2}\).
दूसरे चतुर्थांश में \(\sin x\) धनात्मक और \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। \(\sin x=\frac{4}{5}\), इसलिए \(\tan x=-\frac{4}{3}\) है। / In the second quadrant, \(\sin x\) is positive and \(\cos x\) is negative. Since \(\sin x=\frac{4}{5}\), \(\tan x=-\frac{4}{3}\).
तीसरे चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। \(\cos x=-\frac{12}{13}\), इसलिए \(\sec x=-\frac{13}{12}\) है। / In the third quadrant, \(\cos x\) is negative. Since \(\cos x=-\frac{12}{13}\), \(\sec x=-\frac{13}{12}\).
चौथे चतुर्थांश में \(\cos x\) धनात्मक और \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। (7,24,25) त्रिक से \(\cos x=\frac{7}{25}\) है। / In the fourth quadrant, \(\cos x\) is positive and \(\sin x\) is negative. From the (7,24,25) triple, \(\cos x=\frac{7}{25}\).
\(\cos x=-\frac{8}{17}\) होगा। दूसरे चतुर्थांश में \(\sin x\) धनात्मक है, इसलिए \(\sin x=\frac{15}{17}\) है। / \(\cos x=-\frac{8}{17}\). In the second quadrant, \(\sin x\) is positive, so \(\sin x=\frac{15}{17}\).
\(2\pi-x\) चौथे चतुर्थांश से संबंधित है। वहाँ \(\sin x\) ऋणात्मक होता है, इसलिए (\sin\(2\pi-x\)=-\sin x)। / \(2\pi-x\) is related to the fourth quadrant. There \(\sin x\) is negative, so (\sin\(2\pi-x\)=-\sin x).
\(2\pi-x\) चौथे चतुर्थांश में आता है और \(\cos x\) धनात्मक रहता है। इसलिए (\cos\(2\pi-x\)=\cos x)। / \(2\pi-x\) lies in the fourth quadrant and \(\cos x\) remains positive. Hence (\cos\(2\pi-x\)=\cos x).
\(2\pi-x\) और \(-x\) सह-अंत कोण हैं, क्योंकि उनके बीच का अंतर \(2\pi\) है। अतः \(\tan(2\pi-x)=\tan(-x)\)। स्पर्शज्या एक विषम फलन है, इसलिए \(\tan(-x)=-\tan x\)। \(\cot x\) वाला विकल्प गलत है क्योंकि पूरक कोण लेने पर ही tangent और cotangent का संबंध आता है। परीक्षा टिप: \(\tan(2\pi-x)\) को पहले \(\tan(-x)\) में बदलें। / The angles \(2\pi-x\) and \(-x\) are coterminal because they differ by \(2\pi\). Hence, \(\tan(2\pi-x)=\tan(-x)\). Since tangent is an odd function, \(\tan(-x)=-\tan x\). The \(\cot x\) option is incorrect because tangent changes to cotangent for complementary angles, not for this angle. Exam tip: First reduce \(2\pi-x\) to \(-x\).
\(\frac{3\pi}{2}+x\) रूप में \(\sin\) बदलकर \(\cos\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए उत्तर \(-\cos x\) है। / In the form \(\frac{3\pi}{2}+x\), \(\sin\) changes to \(\cos\) with a negative sign. Hence the answer is \(-\cos x\).
\(\frac{3\pi}{2}-x\) तीसरे चतुर्थांश से जुड़ा है। \(\cos\) बदलकर \(\sin\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक रहता है। / \(\frac{3\pi}{2}-x\) is related to the third quadrant. \(\cos\) changes to \(\sin\) with a negative sign.
\(\frac{3\pi}{2}+x\) पर \(\tan\) बदलकर \(\cot\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक है। इसलिए (\tan\(\frac{3\pi}{2}+x\)=-\cot x)। / At \(\frac{3\pi}{2}+x\), \(\tan\) changes to \(\cot\) with a negative sign. Hence (\tan\(\frac{3\pi}{2}+x\)=-\cot x).
पहचानें: \(\sin(\pi-x)=\sin x\) तथा \(\cos(\pi+x)=-\cos x\)। अतः \(\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi+x)}=\frac{\sin x}{-\cos x}=-\tan x\)। \(\tan x\) निकटतम विचलक है, पर हर में ऋण चिह्न के कारण वह गलत है। परीक्षा टिप: \(\pi\pm x\) वाले कोणों में sin और cos के चिह्न अलग-अलग जाँचें। / Using allied-angle identities, \(\sin(\pi-x)=\sin x\) and \(\cos(\pi+x)=-\cos x\). Therefore, \(\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi+x)}=\frac{\sin x}{-\cos x}=-\tan x\). \(\tan x\) is the closest distractor, but it misses the negative sign from the denominator. Exam tip: For angles involving \(\pi\pm x\), check the sign of each trigonometric function separately.
सर्वसमिकाओं \(\cos(2\pi-x)=\cos x\) तथा \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) का प्रयोग करने पर
\[\frac{\cos(2\pi-x)}{\sin(\pi+x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\cot x.\]
अतः सही उत्तर \(-\cot x\) है। \(\cot x\) लेने पर हर के ऋण चिह्न की उपेक्षा हो जाएगी। परीक्षा टिप: \(\pi+x\) वाले कोण में sine का चिह्न ऋणात्मक होता है। / Using the identities \(\cos(2\pi-x)=\cos x\) and \(\sin(\pi+x)=-\sin x\),
\[\frac{\cos(2\pi-x)}{\sin(\pi+x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\cot x.\]
Therefore, the correct answer is \(-\cot x\). Choosing \(\cot x\) would ignore the negative sign in the denominator. Exam tip: for an angle of the form \(\pi+x\), sine has a negative sign.
\(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) और \(\sec x\cosec x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) होता है। इसलिए अनुपात (1) है। / \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) and \(\sec x\cosec x=\frac{1}{\sin x\cos x}\). Hence the ratio is (1).
पहचान \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\) का प्रयोग करें। अतः \(\sin^2 x(1+\cot^2 x)=\sin^2 x\cdot\cosec^2 x=\sin^2 x\cdot\frac{1}{\sin^2 x}=1\)। इसलिए सही उत्तर \(1\) है। \(\sin^2 x\) केवल गुणनखंड है, सरल मान नहीं। परीक्षा टिप: \(1+\cot^2 x\) दिखते ही \(\cosec^2 x\) वाली पहचान याद करें। / Use the identity \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\). Thus, \(\sin^2 x(1+\cot^2 x)=\sin^2 x\cdot\cosec^2 x=\sin^2 x\cdot\frac{1}{\sin^2 x}=1\). Therefore, the correct answer is \(1\). \(\sin^2 x\) is only a factor, not the simplified value. Exam tip: When you see \(1+\cot^2 x\), recall the \(\cosec^2 x\) identity.
पहचान \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) का प्रयोग करने पर दिया गया व्यंजक \(\cos^2 x\sec^2 x\) बनता है। क्योंकि \(\sec^2 x=1/\cos^2 x\), इसलिए इसका मान \(1\) है। \(\sec^2 x\) केवल कोष्ठक वाले भाग का मान है, पूरे व्यंजक का नहीं। परीक्षा टिप: \(1+\tan^2 x\) दिखते ही इसे \(\sec^2 x\) से बदलें। / Using the identity \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\), the expression becomes \(\cos^2 x\sec^2 x\). Since \(\sec^2 x=1/\cos^2 x\), its value is \(1\). \(\sec^2 x\) is only the value of the bracketed part, not of the complete expression. Exam tip: When you see \(1+\tan^2 x\), replace it with \(\sec^2 x\).
\(\tan^2 x=\frac{1}{4}\) रखें। तब मान \(\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}\) है। / Put \(\tan^2 x=\frac{1}{4}\). Then the value is \(\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}\).
\(\cot^2 x=\frac{9}{4}\) रखकर सरल करें। मान \(\frac{\frac{9}{4}-1}{\frac{9}{4}+1}=\frac{5}{13}\) है। / Substitute \(\cot^2 x=\frac{9}{4}\) and simplify. The value is \(\frac{\frac{9}{4}-1}{\frac{9}{4}+1}=\frac{5}{13}\).
पहचान \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) में \(a=\sin^2 x\) और \(b=\cos^2 x\) रखने पर \(\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), इसलिए मान \(1-2\sin^2 x\cos^2 x\) है। विकल्प A में ऋण चिह्न के स्थान पर गलत रूप से धन चिह्न है। परीक्षा टिप: घात 4 वाले ऐसे पदों को पहले \(\sin^2 x\) और \(\cos^2 x\) का वर्ग मानकर पहचान लगाएँ। / Using \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\), take \(a=\sin^2 x\) and \(b=\cos^2 x\). Then \(\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x\). Since \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), the expression equals \(1-2\sin^2 x\cos^2 x\). Option A incorrectly has a plus sign instead of a minus sign. Exam tip: for fourth powers, treat \(\sin^2 x\) and \(\cos^2 x\) as the two terms before applying an algebraic identity.
पहचान \(\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x\) लगाएँ। \(\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{16}\), इसलिए मान \(\frac{7}{8}\) है। / Use \(\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x\). Since \(\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{16}\), the value is \(\frac{7}{8}\).
वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=3\), इसलिए \(\sin x\cos x=1\) मिलता है। फिर \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\), इसलिए मान (1) नहीं बल्कि विकल्पों में कोई सही नहीं होता। / Squaring gives \(1+2\sin x\cos x=3\), so \(\sin x\cos x=1\). Then \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\), so the value is (1), but none of the options is correct.
वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=\frac{49}{25}\), इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{12}{25}\)। अब \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{25}{12}\)। / Squaring gives \(1+2\sin x\cos x=\frac{49}{25}\), so \(\sin x\cos x=\frac{12}{25}\). Now \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{25}{12}\).
वर्ग करने पर \(1-2\sin x\cos x=\frac{1}{9}\) मिलता है। इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{4}{9}\) और \(\tan x+\cot x=\frac{9}{4}\)। / Squaring gives \(1-2\sin x\cos x=\frac{1}{9}\). Thus \(\sin x\cos x=\frac{4}{9}\) and \(\tan x+\cot x=\frac{9}{4}\).
क्योंकि \(\sec x-\tan x=\frac{1}{3}\) होगा। दोनों समीकरण जोड़ने पर \(2\sec x=3+\frac{1}{3}\), इसलिए \(\sec x=\frac{5}{3}\)। / Since \(\sec x-\tan x=\frac{1}{3}\). Adding both equations gives \(2\sec x=3+\frac{1}{3}\), so \(\sec x=\frac{5}{3}\).
हरों को मिलाने पर \(\frac{2}{1-\sin^2 x}\) मिलेगा। यह \(\frac{2}{\cos^2 x}=2\sec^2 x\) है। / Combining denominators gives \(\frac{2}{1-\sin^2 x}\). This is \(\frac{2}{\cos^2 x}=2\sec^2 x\).
हरों को मिलाने पर \(\frac{2}{1-\cos^2 x}\) मिलता है। यह \(\frac{2}{\sin^2 x}=2\cosec^2 x\) है। / Combining denominators gives \(\frac{2}{1-\cos^2 x}\). This is \(\frac{2}{\sin^2 x}=2\cosec^2 x\).
\(\sec x+\tan x\) के हर और अंश को \(\sec x-\tan x\) से गुणा करें। तब हर \((\sec x+\tan x)(\sec x-\tan x)=\sec^2x-\tan^2x=1\) होगा। इसलिए \(\frac{1}{\sec x+\tan x}=\sec x-\tan x\)। विकल्प C इसका ऋणात्मक मान है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\sec^2x-\tan^2x=1\) पहचान का उपयोग ऐसे व्युत्क्रम वाले प्रश्नों में करें। / Multiply the numerator and denominator by \(\sec x-\tan x\). The denominator becomes \((\sec x+\tan x)(\sec x-\tan x)=\sec^2x-\tan^2x=1\). Hence, \(\frac{1}{\sec x+\tan x}=\sec x-\tan x\). Option C is the negative of the required expression, so it is incorrect. Exam tip: use the identity \(\sec^2x-\tan^2x=1\) for reciprocal expressions of this form.
क्योंकि (\(\cosec x-\cot x\)\(\cosec x+\cot x\)=1)। इसलिए आवश्यक व्युत्क्रम \(\cosec x+\cot x\) है। / Since (\(\cosec x-\cot x\)\(\cosec x+\cot x\)=1). Hence the required reciprocal is \(\cosec x+\cot x\).
आयाम गुणांक के परिमाण के बराबर होता है। यहाँ \(\sin 4x\) का गुणांक (-2) है, इसलिए आयाम (2) है। / Amplitude equals the absolute value of the coefficient. Here the coefficient of \(\sin 4x\) is (-2), so the amplitude is (2).
\(\cos kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ \(k=\frac{1}{2}\), इसलिए काल \(4\pi\) है। / The period of \(\cos kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here \(k=\frac{1}{2}\), so the period is \(4\pi\).
B. यह \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\), जहाँ \(n\in\mathbb Z\), पर अपरिभाषित है/It is undefined at \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\), where \(n\in\mathbb Z\).
Explanation
Simple Explanation
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) है। जब \(\cos x=0\), अर्थात \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\), तब हर शून्य होने से फलन अपरिभाषित है। \(\tan x\) का परास सभी वास्तविक संख्याएँ है। परीक्षा टिप: भिन्न वाले त्रिकोणमितीय फलन में हर को शून्य जाँचें। / Since \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), it is undefined wherever \(\cos x=0\), i.e., at \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\). Its range is all real numbers, not \([-1,1]\). Exam tip: for a quotient trig function, first check where its denominator becomes zero.
\(\sin(-x)=-\sin x\), इसलिए \(\sin x\) विषम फलन है और इसका मूल आवर्त \(2\pi\) है। \(\tan x\) विषम तो है, पर उसका मूल आवर्त \(\pi\) होता है। परीक्षा में दोनों शर्तों को अलग-अलग जाँचें। / Since \(\sin(-x)=-\sin x\), \(\sin x\) is an odd function, and its fundamental period is \(2\pi\). Although \(\tan x\) is also odd, its fundamental period is \(\pi\). In exams, verify each condition separately.
क्योंकि (\(\sec x-\tan x\)\(\sec x+\tan x\)=1), इसलिए \(\sec x+\tan x=\frac{5}{2}\)। दोनों समीकरण घटाने पर \(\tan x=\frac{21}{20}\) मिलता है। / Since (\(\sec x-\tan x\)\(\sec x+\tan x\)=1), \(\sec x+\tan x=\frac{5}{2}\). Subtracting the two equations gives \(\tan x=\frac{21}{20}\).
अंश को (\sin x\(1-\sin^2 x\)) लिखें। क्योंकि \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), इसलिए मान \(\sin x\) है। / Write the numerator as (\sin x\(1-\sin^2 x\)). Since \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), the value is \(\sin x\).
चूँकि \(0\leq \cos^2 x\leq 1\), इसलिए \(0\leq 4\cos^2 x\leq 4\)। अतः \(2-4\cos^2 x\) का न्यूनतम मान \(-2\) (जब \(\cos^2 x=1\)) और अधिकतम मान \(2\) (जब \(\cos^2 x=0\)) है। इसलिए परिसर \([-2,2]\) है। \([0,2]\) केवल धनात्मक मानों को लेता है, जबकि फलन का मान \(-2\) भी हो सकता है। परीक्षा टिप: \(a+b\cos^2 x\) में पहले \(\cos^2 x\) का परिसर \([0,1]\) लिखकर सिरों पर मान जाँचें। / Since \(0\leq \cos^2 x\leq 1\), we get \(0\leq 4\cos^2 x\leq 4\). Hence, \(2-4\cos^2 x\) has minimum value \(-2\) when \(\cos^2 x=1\), and maximum value \(2\) when \(\cos^2 x=0\). Therefore, its range is \([-2,2]\). The interval \([0,2]\) is incorrect because the function can also take the value \(-2\). Exam tip: for an expression involving \(\cos^2 x\), first use its range \([0,1]\) and then test the endpoint values.
क्योंकि पूरक कोणों में \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta\) और \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta\) होता है। परीक्षा में co-function सूत्र याद रखें। / Because for complementary angles \( \sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta\) and \( \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta\). In exams remember co-function formulas.
A. \(\sec \theta\) धनात्मक और \(\cosec \theta\) ऋणात्मक/\(\sec \theta\) positive and \(\cosec \theta\) negative
Explanation
Simple Explanation
चतुर्थ चतुर्थांश में \(\cos \theta\) धनात्मक और \(\sin \theta\) ऋणात्मक होता है, इसलिए उनके व्युत्क्रमों के चिन्ह भी वैसे ही होंगे। परीक्षा में पहले मूल फलनों के चिन्ह तय करें। / In the fourth quadrant, \(\cos \theta\) is positive and \(\sin \theta\) is negative, so their reciprocals have the same signs. In exams decide the signs of basic functions first.
\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) होता है। परीक्षा में परिभाषा सीधे लागू करें। / \( \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\). In exams apply the definition directly.
\(\tan \theta\) का मूल period \(\pi\) है और \(5\pi\) period का गुणज है, इसलिए मान नहीं बदलता। परीक्षा में tangent में \(\pi\) के गुणज को हटाकर सरल करें। / The fundamental period of \(\tan \theta\) is \(\pi\), and \(5\pi\) is a multiple of the period, so the value does not change. In exams simplify tangent by removing multiples of \(\pi\).
मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) होती है। अतः \(k=1\) होगा। विकल्प 2 तब मिलता है जब दोनों पदों को गलती से जोड़ने के बजाय अलग-अलग अधिकतम मान मान लिया जाए, पर यह हर \(\theta\) के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\sin^2\theta+\cos^2\theta\) दिखते ही इसे 1 से प्रतिस्थापित करें। / The fundamental trigonometric identity is \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\). Therefore, \(k=1\). Option 2 may result from incorrectly treating both terms as individually equal to their maximum value; it is not true for every \(\theta\). Exam tip: whenever you see \(\sin^2\theta+\cos^2\theta\), replace it with 1.
\(\sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\) से अंतर (1) मिलता है। परीक्षा में identity को rearrange करें। / From \( \sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\), the difference is (1). In exams rearrange the identity.
\(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta=\frac{144}{169}\) और प्रथम चतुर्थांश में मान धनात्मक है। परीक्षा में quadrant sign न भूलें। / \( \cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta=\frac{144}{169}\), and in the first quadrant it is positive. In exams do not forget quadrant sign.
\(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta=\frac{16}{25}\) और द्वितीय चतुर्थांश में \(\sin \theta\) धनात्मक है। परीक्षा में ASTC नियम काम आता है। / \( \sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta=\frac{16}{25}\), and \(\sin \theta\) is positive in the second quadrant. In exams ASTC rule helps.
\(\tan \theta\) विषम फलन है इसलिए (\tan\(-\theta\)=-\tan \theta)। परीक्षा में sign बदलने पर ध्यान दें। / \( \tan \theta\) is an odd function, so ( \tan\(-\theta\)=-\tan \theta). In exams focus on sign change.
\(\pi-\theta\) द्वितीय चतुर्थांश में आता है और sine धनात्मक रहता है। परीक्षा में allied angle formula याद रखें। / \( \pi-\theta\) lies in the second quadrant and sine remains positive. In exams remember allied angle formulas.
\(\pi-\theta\) द्वितीय चतुर्थांश में है जहां cosine ऋणात्मक होता है। परीक्षा में चतुर्थांश का चिन्ह जरूर लगाएं। / \( \pi-\theta\) is in the second quadrant where cosine is negative. In exams always apply quadrant sign.
\(\pi-\theta\) द्वितीय चतुर्थांश में है और tangent ऋणात्मक होता है। परीक्षा में tangent के sign पर विशेष ध्यान दें। / \( \pi-\theta\) is in the second quadrant and tangent is negative. In exams pay special attention to the sign of tangent.
\(\pi+\theta\) तृतीय चतुर्थांश में है जहां sine ऋणात्मक होता है। परीक्षा में allied angle पहचानना जरूरी है। / \( \pi+\theta\) is in the third quadrant where sine is negative. In exams identifying allied angles is important.
\(\pi+\theta\) तृतीय चतुर्थांश में है और cosine ऋणात्मक होता है। परीक्षा में sign table तुरंत याद करें। / \( \pi+\theta\) is in the third quadrant and cosine is negative. In exams recall the sign table quickly.
\(\tan \theta\) का period \(\pi\) है इसलिए (\tan\(\pi+\theta\)=\tan \theta)। परीक्षा में tangent की periodicity याद रखें। / The period of \( \tan \theta\) is \( \pi\), so ( \tan\(\pi+\theta\)=\tan \theta). In exams remember the periodicity of tangent.
\(2\pi-\theta\) चतुर्थ चतुर्थांश में है जहां tangent ऋणात्मक होता है। परीक्षा में sine और cosine के sign से tangent निकालें। / \(2\pi-\theta\) is in the fourth quadrant where tangent is negative. In exams derive tangent from sine and cosine signs.
\(\sin \theta\) शून्य (0), \(\pi\), \(2\pi\) जैसे बिंदुओं पर होता है। परीक्षा में \(n\in\mathbb{Z}\) मानकर सामान्य हल लिखें। / \( \sin \theta\) is zero at points like (0), \(\pi\), and \(2\pi\). In exams write the general solution with \(n\in\mathbb{Z}\).
\(\cos \theta\) शून्य odd multiples of \(\frac{\pi}{2}\) पर होता है। परीक्षा में (\frac{(2n+1)\pi}{2}) पैटर्न याद रखें। / \( \cos \theta\) is zero at odd multiples of \( \frac{\pi}{2}\). In exams remember the pattern ( \frac{(2n+1)\pi}{2}).
\(\tan \theta=0\) तब होता है जब \(\sin \theta=0\) और \(\cos \theta\neq0\)। परीक्षा में tangent का period \(\pi\) रखें। / \( \tan \theta=0\) occurs when \( \sin \theta=0\) and \( \cos \theta\neq0\). In exams use period \( \pi\) for tangent.
\(\sin \theta=\sin \alpha\) का संयुक्त हल (\theta=n\pi+(-1)^n\alpha) होता है। परीक्षा में दो अलग हलों को एक सूत्र में लिखना सीखें। / The combined solution of \( \sin \theta=\sin \alpha\) is ( \theta=n\pi+(-1)^n\alpha). In exams learn to write two cases in one formula.
\(\cos \theta=\cos \alpha\) के लिए दोनों दिशाओं में कोण मिलते हैं। परीक्षा में \(\pm\alpha\) लगाना न भूलें। / For \( \cos \theta=\cos \alpha\), angles occur in both directions. In exams do not forget \( \pm\alpha\).
\(\tan \theta\) का period \(\pi\) है इसलिए हल \(\theta=n\pi+\alpha\) होगा। परीक्षा में tangent equations में \(\pi\) period लगाएं। / The period of \( \tan \theta\) is \( \pi\), so the solution is \( \theta=n\pi+\alpha\). In exams use period \( \pi\) for tangent equations.
\(\frac{\pi}{2}-\theta\) पर tangent का co-function cotangent होता है। परीक्षा में complementary angle property याद रखें। / At \( \frac{\pi}{2}-\theta\), tangent changes to its co-function cotangent. In exams remember complementary angle property.
\(\frac{\pi}{2}-\theta\) पर cotangent का co-function tangent होता है। परीक्षा में reciprocal function pair याद रखें। / At \( \frac{\pi}{2}-\theta\), cotangent changes to the co-function tangent. In exams remember reciprocal function pairs.
\(\sin \theta=\cos \theta\) से \(\tan \theta=1\) और प्रथम चतुर्थांश में \(\theta=\frac{\pi}{4}\) है। परीक्षा में दोनों तरफ \(\cos \theta\) से भाग तभी दें जब वह शून्य न हो। / From \( \sin \theta=\cos \theta\), \( \tan \theta=1\), and in the first quadrant \( \theta=\frac{\pi}{4}\). In exams divide by \( \cos \theta\) only when it is nonzero.
\(\sin \theta=\frac{1}{2}\) के reference angle \(\frac{\pi}{6}\) हैं और sine प्रथम व द्वितीय चतुर्थांश में धनात्मक है। परीक्षा में दिए interval में ही उत्तर चुनें। / The reference angle for \( \sin \theta=\frac{1}{2}\) is \( \frac{\pi}{6}\), and sine is positive in the first and second quadrants. In exams choose only answers in the given interval.
\(\cos \theta=\frac{1}{2}\) के लिए reference angle \(\frac{\pi}{3}\) है और cosine प्रथम व चतुर्थ चतुर्थांश में धनात्मक है। परीक्षा में \(2\pi\) तक के दोनों हल लिखें। / For \( \cos \theta=\frac{1}{2}\), the reference angle is \( \frac{\pi}{3}\), and cosine is positive in the first and fourth quadrants. In exams write both solutions up to \(2\pi\).
\(\tan \theta=\sqrt{3}\) का reference angle \(\frac{\pi}{3}\) है और \(0<\theta<\pi\) में tangent प्रथम चतुर्थांश में धनात्मक है। परीक्षा में sign के अनुसार quadrant चुनें। / The reference angle for \( \tan \theta=\sqrt{3}\) is \( \frac{\pi}{3}\), and in \(0<\theta<\pi\) tangent is positive in the first quadrant. In exams choose the quadrant by sign.
क्योंकि \(1-\cos^2 \theta=\sin^2 \theta\), इसलिए अनुपात (1) है। परीक्षा में denominator condition जरूर देखें। / Because \(1-\cos^2 \theta=\sin^2 \theta\), the ratio is (1). In exams always check the denominator condition.
क्योंकि \(1-\sin^2 \theta=\cos^2 \theta\), इसलिए मान (1) होगा। परीक्षा में basic identity से numerator बदलें। / Because \(1-\sin^2 \theta=\cos^2 \theta\), the value is (1). In exams replace the numerator using the basic identity.
\(\tan \theta=\frac{4}{3}\) में opposite (4), adjacent (3), hypotenuse (5) होगा। परीक्षा में Pythagorean triplet पहचानें। / In \( \tan \theta=\frac{4}{3}\), opposite is (4), adjacent is (3), and hypotenuse is (5). In exams identify Pythagorean triplets.
\(\cot \theta=\frac{12}{5}\) में adjacent (12), opposite (5), hypotenuse (13) है। \(परीक्षा में (\cos \theta=\frac{\)adjacent}{hypotenuse}) लगाएं। \(/ In ( \cot \theta=\frac{12}{5}), adjacent is (12), opposite is (5), and hypotenuse is (13). In exams use ( \cos \theta=\frac{\)adjacent}{hypotenuse}).
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), इसलिए \(\sin \theta=\frac{2}{5}\) है। परीक्षा में cosecant और sine reciprocal हैं। / \( \cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), so \( \sin \theta=\frac{2}{5}\). In exams remember cosecant and sine are reciprocals.
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\) इसलिए गुणनफल (1) है। परीक्षा में defined condition को नजरअंदाज न करें। / \( \cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), so the product is (1). In exams do not ignore the defined condition.
\(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\) होने से गुणनफल (1) बनता है। परीक्षा में reciprocal pair तुरंत पहचानें। / Since \( \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\), the product becomes (1). In exams identify reciprocal pairs quickly.
\(\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}\), इसलिए गुणनफल (1) है। परीक्षा में reciprocal formulas से समय बचता है। / \( \cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}\), so the product is (1). In exams reciprocal formulas save time.
(\sin\(-\theta\)=-\sin \theta), इसलिए दोनों पद कट जाते हैं। परीक्षा में odd function property से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / ( \sin\(-\theta\)=-\sin \theta), so both terms cancel. In exams odd function property solves such questions quickly.
(\cos\(-\theta\)=\cos \theta), इसलिए अंतर (0) है। परीक्षा में even function property ध्यान रखें। / ( \cos\(-\theta\)=\cos \theta), so the difference is (0). In exams keep the even function property in mind.
(\tan\(\pi-\theta\)=-\tan \theta), इसलिए योग (0) होता है। परीक्षा में allied angle sign से उत्तर तुरंत मिलता है। / ( \tan\(\pi-\theta\)=-\tan \theta), so the sum is (0). In exams allied angle sign gives the answer quickly.
क्योंकि \(\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\), इसलिए दिया गया रूप \(-\cos 2\theta\) है। परीक्षा में double angle identities को उल्टा भी पढ़ें। / Because \( \cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\), the given form is \(-\cos 2\theta\). In exams read double angle identities in reverse too.
प्रथम चतुर्थांश में \(\sin \theta+\cos \theta\) का अधिकतम \(\sqrt{2}\) \(\theta=\frac{\pi}{4}\) पर होता है। परीक्षा में symmetry का उपयोग करें। / In the first quadrant, the maximum of \( \sin \theta+\cos \theta\) is \( \sqrt{2}\) at \( \theta=\frac{\pi}{4}\). In exams use symmetry.
\(\sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\), इसलिए अधिकतम \(\sqrt{2}\) है। परीक्षा में \(a\sin x+b\cos x\) का maximum \(\sqrt{a^2+b^2}\) लें। / \( \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\), so the maximum is \( \sqrt{2}\). In exams use maximum of \(a\sin x+b\cos x\) as \( \sqrt{a^2+b^2}\).
\(\sin \theta-\cos \theta\) का amplitude (\sqrt{12+(-1)2}=\sqrt{2}) है। परीक्षा में minimum हमेशा negative amplitude होगा। / The amplitude of \( \sin \theta-\cos \theta\) is ( \sqrt{12+(-1)2}=\sqrt{2}). In exams the minimum is the negative amplitude.
\(a\sin \theta+b\cos \theta\) का अधिकतम \(\sqrt{a^2+b^2}\) होता है, इसलिए (M=5)। परीक्षा में coefficients का square जोड़ें। / The maximum of \(a\sin \theta+b\cos \theta\) is \( \sqrt{a^2+b^2}\), so (M=5). In exams add the squares of coefficients.
Amplitude (\sqrt{52+(-12)2}=13) है, इसलिए न्यूनतम (-13) होगा। परीक्षा में maximum positive और minimum negative amplitude होता है। / The amplitude is ( \sqrt{52+(-12)2}=13), so the minimum is (-13). In exams maximum is positive amplitude and minimum is negative amplitude.
B. \(\sin \theta\) ऋणात्मक और \(\cos \theta\) ऋणात्मक/\(\sin \theta\) negative and \(\cos \theta\) negative
Explanation
Simple Explanation
तृतीय चतुर्थांश में sine और cosine दोनों ऋणात्मक होते हैं। परीक्षा में ASTC नियम से signs जल्दी तय करें। / In the third quadrant, both sine and cosine are negative. In exams use the ASTC rule to decide signs quickly.
\(\sin k\theta\) का period \(\frac{2\pi}{k}\) होता है, इसलिए यहां \(\frac{2\pi}{3}\) मिलेगा। परीक्षा में coefficient को period formula में लगाएं। / The period of \( \sin k\theta\) is \( \frac{2\pi}{k}\), so here it is \( \frac{2\pi}{3}\). In exams use the coefficient in the period formula.
\(\cos \theta=-1\) विषम गुणजों of \(\pi\) पर होता है। परीक्षा में \(\cos \theta=1\) और \(\cos \theta=-1\) के हल अलग पहचानें। / \( \cos \theta=-1\) occurs at odd multiples of \( \pi\). In exams distinguish the solutions of \( \cos \theta=1\) and \( \cos \theta=-1\).
\(\cos k\theta\) का मूल period \(\frac{2\pi}{k}\) होता है, इसलिए यहां \(\frac{\pi}{2}\) मिलेगा। परीक्षा में coefficient को denominator में रखें। / The fundamental period of \( \cos k\theta\) is \( \frac{2\pi}{k}\), so here it is \( \frac{\pi}{2}\). In exams put the coefficient in the denominator.
